第五章 静定结构位移计算

M F F a sin
dθ a
θ
O
M kMF ds s EI
F k =1 asinθ


2 0
1 a sin F a sin ad EI

Fa 3
4 EI
( ）
θ
O
结构力学
第5章 静定结构位移计算
例题1 求自由端角位移与线位移？EI＝常数
F
ds
解：3、水平位移 u kF
(22) (2 2)
解：1、建立虚力状态
0) (5
3m
8
1
0
(22)
-56.6 20 28.5 40 2 40
20kN 40kN
4 (36) 6 (36) 40kN 20kN
2、计算
FNF
F Nk
FNF、 F Nk
3×4＝12m
40kN
7
3 -1.00 5
-0.707
1
0
0.707 0 0.50 4
kF
M kMF ds s EI
二、计算原理 静矩定理 EI＝常数 y
ds dx M k x tan
kF
B
A
x
A
MF
Aω C
1 M kMF ds EI EI

B
A
xtan M F dx
MF
dx
B
xc
Mk
B B 1 1 tan xdA tan x M F dx A A EI EI 1 1 tan A xC A yC xC tan yC EI EI
3l 4
l
C
2l 3
h
lh A 2
l 3
2l 5
3l 5
三次抛物线
lh A1 4
A 2
l
3lh 4 顶点 切点
C2 C1
4l 5
l 5
l
h
h
2lh 3
C2
A1
lh 3
结构力学
第5章 静定结构位移计算
C
四、简单图形图乘结果
高 底 高 底 yC
高 高 底
C C
C
C
C
yC
1 高高 底 2
Fa3 ( ） 2 EI
总线位移
θ
2 v 2 kF (u kF ) ( kF )
O
Fa3 2 4 4 EI
结构力学
第5章 静定结构位移计算
例题2
求对称桁架结点4的竖向位移？E＝2100kN/cm ，右半各 杆旁数值为杆横截面面积A(cm2)
3 -60 5 (50) 7
o

yc
B
Mk
式中：A为M F图的面积；
A
x
yC为M F图形心C所对应的M k图的竖标。
正负号规定：若A与 yC在杆件的同侧取正号，反之取负号。
结构力学
第5章 静定结构位移计算
三、简单图形的面积和形心的位置
A lh
C
l 2 l 2
3l 8 5l 8
二次抛物线
h
A 2
C1
l 4
l
顶点 切点
第5章 静定结构位移计算
三、虚力状态设置 应据所求位移不同，设置相应的虚拟力状态。
F k =1 A
m k =1 A
F k =1 A
F k =1 B
A点竖向位移
m k =1 C m k =1
A截面转角位移
Fk = A l 1 Fk = l B 1 l
AB两点相对位移
1 l2 2 1 l2 1 1 l1 1 l1
结构力学
第5章 静定结构位移计算
第五章 静定结构位移计算
结构力学
第5章 静定结构位移计算
§5-1 概述 一、杆件结构的位移 工程结构是由可变形的材料做成的，在外部因素作用下，结构 将产生变形和位移。 变形：是指结构原有形状的改变。 位移：是指结构各点的移动和截面的转动。
1、引起结构位移的原因
（1）荷载； （2）温度改变； （3）支座位移； （4）制造误差； （5）材料收缩等。
F 再由 m NF EA
m
FQF
GA
1
m

MF EI
荷载作用下的位移计算公式
kF
F Qk FQF F Nk FNF M kMF ds ds ds s s s EA GA EI
6 5 10 9
2
A A
截面面积 腹板面积
λ：为截面形状系数
结构力学
2836.4 kN/cm k =1 F
kF
F Nk FNF l 2836.4 1.35cm( ) EA 2100
3m
8
40.0
(22) (2 2)
166.6
0) (5
1 2
结构力学
第5章 静定结构位移计算
§5-3 图乘法计算结构的位移
一、适用条件： 1、均质常截面直杆，即EI＝常数； 积分法不简便 2、两个内力图中至少有一个是直线变化的。
结构力学
第5章 静定结构位移计算
F k =1 K
K K' K
Δk
m
§5-2 杆件结构位移计算公式 一、杆件结构位移计算一般式
t1 t2
F1 F2
A
m m 1 m
平面杆系结构由 于荷载、温度变 化及支座移动等 因素引起位移。
B'
F Nk F Qk
A
K
Mk
B
FR1k FR 2k
B
求km ?
c1
结构力学
第5章 静定结构位移计算
A
四、积分法计算结构的位移 求跨中挠度？ EI=常数 解：1、建立虚力状态 q 2、分段列内力方程 B 3、计算跨中竖向位移（挠度） K F Qk FQF F Nk FNF M kMF d s d s ds x1 x2 s s s kF
3 -60.0 -60
7 5 (50) 360.0
360.0
(22)
下弦杆
2-4 4-6 6-8 1-3
-56.6 20 28.5
40.0 40.0 40 40 2
1
0
166.6
40kN -0.707
0.707 0.707 -0.707
0.50
20kN 40.0
28.3 28.3 3
4 (36) 166.66 (36) 40kN 166.6 20kN
l
F k =1 A K B
EA GA EI l l 2 1 ql 1 2 1 ql q 2 2 ( qx1 )dx x1 ( x1 x1 )dx 0 0 EI 2 2 2 GA 2 2
5ql 4 5 ql 4 48 EI (1 ) 2 8GA 384 EI 384 EI 5 GAl 5 ql 4 h2 3 I h2 6 kF (1 2.56 2 ) 若取G E，矩形截面： ，＝ 384 EI l 8 A 12 5 h 1 1 h2 当 ＝( )时， 2.56 2 ＝(0.0256 0.01114) 剪力对变形的影响可忽略 l 10 15 l h 1 h2 深梁不能忽略剪力对变形的影响 但当 ＝ 时， 2.56 2 ＝0.64 l 2 l
385.6 385.67 339.3
8
-56.6 3×4＝12m 339.3
40kN
斜杆
3-4 4-7 7-8
-1.00 5
2-3
竖杆 4-5 6-7
300
300 300
22
22 22
0
01 0
-0.707 20.0 0.707 0 0 0.502 0 0.50 4
20.0
-56.6
0
0 0
6
1 2
F k =1
6 8
3、计算位移
kF F Nk FNF l EA
பைடு நூலகம்
1 2
0.5 2 0
1 2
列表计算
结构力学
杆件
上弦杆 3-5 5-7 1-2
第5章 静定结构位移计算
l (cm) A(cm2 ) F Nk (kN) FNF (kN) F Nk FNF l (kN/cm)
A
300 300 300 300 300 300 424 424 424 424 50 50 36 36 36 36 50 22 22 50 -1.00 -1.00 0.50 0.50 0.50 -60.0
C点左右两截面的
相对转角位移
AB杆的转角位移
1、2杆相对转角位移
结构力学
第5章 静定结构位移计算
四、积分法计算结构的位移 求跨中挠度？ EI=常数 解：1、建立虚力状态
q A K B
x1
l
x2
F k =1
A
K
l l 0 ≤ x ≤ 0≤x1≤ 2 2 2 F Nk 0 FNF 0 F Nk 0 FNF 0 1 ql 1 ql F F qx2 Qk F Qk FQF qx1 QF 2 2 2 2 B 1 ql q 2 1 ql q 2 M x M x x2 k M k x1 M F x1 x1 2 F 2 2 2 2 2 2 2
2、分段列内力方程
3、计算跨中竖向位移（挠度）
F Qk FQF F Nk FNF M kMF kF ds ds ds s s s EA GA EI l l 2 1 ql 1 2 1 ql q 2 2 ( qx1 )dx1 x1 ( x1 x1 )dx1 0 0 EI 2 2 2 GA 2 2
ql 2
结构力学
第5章 静定结构位移计算
五、各类结构位移计算公式的简化式 M kMF 位移主要由弯矩引起 kF s EI ds 1、梁和刚架 2、桁架 各杆只有轴力
kF
等直杆
F Nk FNF F Nk FNF l ds s EA EA F Nk FNF l M kMF ds s EI EA
3、桁梁组合结构 梁式杆只计弯矩项，桁架式杆只计轴力项
kF
4、拱 （1）扁平拱或拱轴线与压力线比较接近时
不考虑 曲率影响
kF
F Nk FNF M kMF ds ds s s EA EI
0 0 MC F F NK QK sin F H cos FH f M kMF ds （2）一般拱 s kF
s s s
1
m
ds F Rik Ci
m
ds
结构力学
第5章 静定结构位移计算
二、荷载作用下的位移计算公式 一般式 km s F Nk mds s F Qk mds s M k
1
m
ds F Rik Ci
m 因素为荷载F作用，其内力为FNF、FQF、M F ,将km改写为kF
m k =1
1 F a sin ad EI
θ
Fa 2 (弧度） EI
O
与假设的方向相同
结构力学
第5章 静定结构位移计算
例题1 求自由端角位移与线位移？EI＝常数
F
ds
解：2、竖向位移 v kF
asinθ a(1-cosθ)
虚力状态 内力方程
竖向位移 kF

v kF
M k 1 a sin
一般来说，结果的位移与结构的几何尺寸相比都是极其微小的。
结构力学
第5章 静定结构位移计算
二、 计算位移的目的 （1）验算结构的刚度。 （2）结构制造和施工的需要。 （3）为分析超静定结构打下基础。 （4）结构的稳定和动力计算也需要计算结构的位移。
F F F
F 2
F F
F 2
Δ
Δ
起拱高度
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为基础的。
C
yC
yC
yC
yC
A yC
1 1 1 1 高高 底 高高 底 高高 底 高高 底 3 6 2 4
C C C C
底 yC
C高
底
高
yC
yC
c2
位移状态（m） 单位荷载法：建立虚力状态 求反力及内力 用k考察m位移协调性
1 km F R1k C1 F R2k C2 F Nk mds F Qk mds M k
s s s
虚力状态（k）
1
km F Nk m ds F Qk m ds M k
asinθ a(1-cosθ)
虚力状态 内力方程 M k 1 a(1 cos ) M F F a sin
水平位移 kF

u kF
dθ a
θ
O
M kMF ds s EI


2 0
1 a(1 cos ) F a sin ad EI
F k =1 a(1-cosθ)
结构力学
第5章 静定结构位移计算
2、结构位移的种类 （1）某点的线位移 （2）某截面的角位移 （3）两点间的相对线位移 （4）两截面间的相对角移
F
ΔC
A
θC
C
ΔBC
B
ΔB
θB
绝对位移
结构位移 相对位移
B、C 线位移：
角位移： B、C 相对线位移： BC 相对角位移： BC
θ BC
EI
结构力学
第5章 静定结构位移计算
例题1 求自由端角位移与线位移？EI＝常数
F
ds
解：1、角位移 kF
asinθ a(1-cosθ)
虚力状态 内力方程
角位移
kF

2 0
M k 1 M F F a sin
dθ a
θ
O
kF
M kMF ds s EI
ds ad