第五章 静定结构位移计算
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静定结构的位移计算—图乘法计算静定结构的位移(建筑力学)
ql 2 8
) (5 8
l) 4
5ql 4 384 EI
()
温度变化时位移计算公式
设结构上侧温度变化t1，下侧温度变化t2，则杆轴线处温度变化为t0 =（h2t1+h1t2）/h。
此时任一微元体变形如图所示，包括两种形式：
①轴线伸长量du； ②截面转角dθ。
使用公式 L t L 和图中的几何关系，不难得到：
l
l
]
[t0
0
l
t h
1 2
l
l
]
-6l 18l 2 6l(1 3)()
h
h
N图
M图
支座位移时结构位移计算公式
支座位移直接引起结构位移，并不引起结构变形。因此，仅有支座位移时， 结构微元体变形为0。所以，虚拟状态内力虚功为0。将这一结论代入结构位移计 算的一般公式，即可得到支座位移时结构的位移计算公式：
N Nds EA
荷载作用下位移计算步骤
（1）计算位移状态（实际状态）结构内力：M、Q、N； （2）假设虚拟状态（受力状态）； （3）并求其内力 M、 、Q ；N （4）代入位移计算公式并求解。
计算示例
例：计算图（a）所示简支梁中点C处得竖向线位移（EI为常数）。
（a）实际状态
（b)虚拟状态
解：（1）计算实际状态弯矩
位置如图a所示。
（3）当图形的面积和形心位置不易
图b
确定时,可将其分解为几个简单的图形,分
别与另一图形相乘,最后把结果相加,图b。
图a
（4）当y0所在图形是由若干直线段
组成的折线时,应分段进行图乘，再进行叠
加，图c。
（5）当直杆各杆段截面性质不同,即
EI不同时,应分段图乘,再进行叠加，图d。
典型例题解析-静定结构位移计算
第5章 静定结构位移计算§5 – 1 基本概念5-1-1 虚拟单位力状态构造方法●虚拟单位力状态构造方法：（1）去掉所有荷载重画一个结构； （2）标出所求位移矢量；（3）该矢量变成单位力，即得虚拟单位力状态。
如图3-1a 刚架求C 点竖向位移CV ∆和C 截面转角C ϕ，图3-1b 和图3-1c 为求相应位移所构造的虚拟单位力状态。
5-1-2 位移计算公式虚拟单位力作用下，引起的内力和支座反力：N Q ,,,Ri F M F F实际荷载作用下，引起的内力：NP P QP ,,F M F●位移计算一般公式N Q Ri i F du Md F ds F c ∆ϕγ=++-∑∑∑∑⎰⎰⎰●荷载作用产生位移的计算公式Q N QP NP Pk F F F F M M ds ds ds EA EI GA∆=++∑∑∑⎰⎰⎰ 1、梁或刚架结构 PM M ds EI∆=∑⎰ 2、桁架结构 N NPF F ds EA∆=∑⎰图3-1虚拟单位力状态)a ()b ()c (3、混合结构N NP PF F MM ds ds EA EI∆=+∑∑⎰⎰ ●支座移动引起位移计算公式Ri i F c ∆=-∑●温度引起位移计算公式()N 0tF t dx Mdx hα∆∆α=+±∑∑⎰⎰()N 0Mtt lF A hα∆∆α=+±∑∑式中：0,,t t α∆为线膨胀系数形心温度温差，h 截面高度M A 虚拟状态弯矩图面积●有弹性支座情况的位移计算公式()P RPR 0RPR M M Fds F EI kAy F F EI k∆=+⨯±=+⨯∑∑⎰∑∑5-1-3 图乘法图乘法公式：0P()Ay MM dx EI EI±∆==∑∑⎰图乘法公式条件：●等截面直杆且EI=常数 ●求 y 0图形必须为一条直线 正负号确定：面积A 与y 0同侧取“+”号注意：求面积的图形要会求面积和形心位置。
静定结构的位移计算—结构位移公式及应用(工程力学课件)
【例4】求图示桁架k点水平位移. (各杆EA相同)
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
1
1 2 2 Ni
Δ= FN FNP l
EA
1
1
解：
kx
1 [(1)(P)a EA
(1)( P )a
2 2P 2a] 2(1 2) Pa () EA
ds
FN FNP EA
ds
1. 梁和刚架
在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产 生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
2. 桁架
Δ=
MMP EI
ds
Δ=
FN FNP ds FN FNP ds FN FNPl
EA
EA
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：
1 (M ds FQ 0 FN )ds
MP
EI
0
kFQ P GA
FNP
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
适用条件：小变形、线弹性
➢ 正负号规则
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
M、FQ、FN、FRK ：单位载荷 FP1 1在结构中产生
的内力和支座反力
➢ 单位荷载法
一次计算一种位移
求绝对位移!
BF
C
D
q
实际状态
（位移状态）
CH求、CV、C
静定结构的位移计算——非荷载因素作用时的位移计算
t
h SMK
对 桁 架：
K t0 F NKl
例 1 ： 计算图示结构C点竖向位移
C
t1
t2
A
已知：t2 30oC,t1 10oC, 105, h 0.5m
10m
CV 2356105 (m) ()
4m 4m
例 2： 计算图示桁架结构B 点竖向位移
t t t t B
a
B 8t a( )
*
F RK CR
(
FNP
F NK *
kFQP F QK*
MPM
* K
)ds
EA
GA
EI
温度
t0
S F Nk
t
h
S Mk
*
F RK CR
荷载 支座
P t C
作业： 5—29、5—31、5—32
t1
h1 t0 dt h h2
(令t2 t1)
t2 t2 - t1
设温度沿杆件截面厚度方向成线性变化。
截面上、下边缘温差： t t2 - t1
杆轴线处温度改变值t0 ：
t0
t1 dt
t1
h1 h
(t2
-
t1
)
=
h1t2
h2t1 h
图示结构，设外侧温度改变 t1 ，内侧温度改变 t2 ，
(
)
例5： 求图示桁架温度改变引起的AB杆转角。
t t t t B
a
A
4a
AB 4 t( )
静定结构多因素下的位移计算一般公式：
K
*
*
*
*
等于0
(F NK F QK M K )ds F RK CR
(b)
静定结构的位移计算-图乘法
这种利用内力图相乘代替积分的方法称为图乘法。
如果两个图形均为直线，则可取其中任一图形面积和 另一图形纵距相乘；如果两个图形都为曲线，则不能用图 乘法。
利用图乘法应注意：
（1）要满足3个条件；
（2）形心的纵距需取自直线图形； （3）正、负号规定：两个内力图在基线同侧时，乘 积为正。
例 1 计算图示结构 C 点转角
FP
FP B
C
0.5EI
a
EI A
a
C
5FP a 2 2EI
(
)
例 2 ：计算图示结构 B 点转角。
A
B
EI
20kN
m 10m40kN
m
B
500 3EI
(
)
当内力图是由迭加得到时，图乘也可用迭加法。
对于两个图形都是梯形的情况（同侧）
1
2
Mp M dx 1 y1 2 y 2
y1
(2c 3
d)
FP
EI
A
C
B
l/2 l/2
例 8： 计算图示结构A点竖向位移
FP＝0.5qL q
A
EI B
L
例 9（课后完成） : 计算图示结构 C点竖向位移 q
A l/2C l/2 B
作业： 5—20、5—23
第五章 静定结构的位移计算
§5-5 图乘法
目的：用弯矩图面积乘积代替积分 条件：
（1）各杆为等直杆 （2）各杆截面物理参数（EI、EA、GA）为常数 （3）内力图Mp、MK中至少有一个是直线
K
M P M ds Mp M C
EI
EI
(d )
公式（d）的意义在于：当两个内力图形中有一条为 直线时，其积分结果为曲线图形积分段内的面积ω与其形 心相对应的直线图形中纵距的乘积。
静力结构的位移计算——变形体虚功原理及位移计算的一般表达式
FNK cos
A
FP
B
R
ds Rd
BM
FR R3 2EI
()
FP=1
R
A
BQ
kFP R 2GA
()
BN
FP R 2EA
()
例4： 自学167页例5—3。 例 5 ：自学171页例5—5。
小结：
位移计算的一般公式：
K (F NK* F QK* M K* )ds RK*R
GA
4GA
对于截面为矩形
CQ 3.2( h )2
CM
L
结论：对于浅梁可忽略剪切变形作用;
对于深梁和短梁，不可忽略剪切变形作用。
例 3：求图示结构B点水平位移，EI、GA、EA为常数
M P FP R sin
FQP FP cos
FNP FP sin
M K R(1 cos)
FQK sin
(b)
线弹性材料在荷载作用下的位移计算公式：
K
(
FNP F NK *
kFQP F NK *
MPM
* K
)ds
EA
GA
EI
(c)
具体结构的简化公式：
*
1、桁架
K
FNP FNK L EA
2、梁和刚架
K
M P M K* ds EI
3、组合结构 4、拱
K 梁
*
M P M K ds
*
F NP FNK L
第五章 静定结构的位移计算
§5-3 变形体虚功原理及位移计算的一般表达式 一、变形体虚功原理
位移协调状态
FP FRCR (M FQ 0 FN )ds
平衡状态 变形体虚功原理只需要满足平衡条件、位移连续条件， 而与材料特性无关。 对于刚体，由于变形等于零，内力在刚体上不做 功 ，所以，刚体虚功原理是变形体虚功原理的特例。
第五章 结构位移计算
MP
1 2
qx12
MP
1 2
ql 2
求刚架A点的竖向位移。
AB： FN 0 FQ 1 M x1
BC： FN 1 FQ 0 M l
Ay
FN FNPds EA
kFQFQPds GA
MM Pds EI
5ql 4 8EI
8I ( 5 Al 2
求解的关键是找出虚力状态的静力平衡关系。
【例2】 已知支座A的位移为，求C点位移和杆CD的转角。
【解】
虚设单位力状态。
1
C
1 3
0
C
1 3
1 1 0
2l
1
2l
A
l 位移状态
A
1
l
3
虚单位力状态
所得正号表明位移方向 A
与假设的单位力方向一致。 1
MP
1 2
ql 2
AB：
FN 0 FQ 1 M x1
BC：
FN 1 FQ 0 M l
x2
x2
q
B
A
x1 A'
l
（实际位移状态）
C
l
F 1
B
x1
A
虚设单位力状态
C
实际位移状态
虚单位力状态
AB： FNP 0
BC：FNP ql
FQP qx1
FQP 0
P
FN FNP EA
kFQ FQP GA
MM P EI
ds
第5章 静定结构的位移计算
例5-2 图示简支梁在Ｂ支座有沉陷b，用虚力原理 求梁Ｃ点的竖向位移DCV。
分析：图示梁由于支座Ｂ的位移而发生如图示满足 约束的实际刚体位移状态。若再有一个恰当的满足 平衡条件的力状态，就可利用虚功原理求位移。
解：１）在结构的拟求位移点Ｃ虚设力FP，由静力 平衡条件求出支座反力 FBy ＝ FP a／l (↑) 显然虚 力系是满足静力平衡条件的力状态。 ２）令虚力系在实际位移上作虚功，由W=0，得虚 功方程：
三、静定桁架的位移计算 位移计算公式：D = ∑FNC FNPl/EA
(6-4-2)
例5-8 求图示桁架Ｄ点的竖向位移DDV和ＣＤ杆的 转角 。
解:１）计算FNP、FNC ３）代入公式求位移 DDV= [(-5/6)(-4.2)×5+(- 5/6)(-29.2)×5 +1×20×3+(2/3)(23.3)×4×2)]/EA = 2.643×10-3 m(↓) = [（-5/24)(-4.2) ×5+(5/24)(-29.2)×5 +23.3×4/6-23.3 ×4/6 ]/EA = -3.052× 10-3 ()
Ａ
０
B
位移与静力荷载
对于线弹性结构，在静力 荷载加载的过程中，结构 的位移和荷在成正比。 当结构的位移有一增量 dD时，静力功有增量： dW=Fp1dD 当静力达到最后值时总的 静力功为： W=∫dW=∫Fp1dD 由上式可看出，静力功是 图中三角型0AB的面积， 即： W=(1/2)FP1△11
说明：本例应用虚功原理求结构支座反力的方法叫 虚位移法。为简单起见，可设虚位移△B ＝1，则本 题求解过程如下 : FBy×1﹣FP dP=0 即， FBy﹣FP d P=0 由 d P= a／l 得， FBy＝ FP a／l (↑) 这样处理后的方法叫虚单位位移法（简称单位位移 法）。
结构力学5-6静定结构在非荷载因素作用下的位移计算
F
N
图
⑵作单位荷载作用下的轴力图和弯矩图。 ⑶求D点竖向位移。
yD
10
2
2
20
2a 10
1 2 a a 2
1 2
a
20 0 .1 5 a
0 .1 5 a
1 2
a
2
M 图
2 5 a ( )
Kt
t0 A
F
N
பைடு நூலகம்
t
§5-6 静定结构在非荷载因素作用下的位移计算
5-6-1 由于温度变化、制造误差等引起的位移
中 性 轴 处 温 度 变 化 ： t0 h1 t 2 h 2 t 1 h
截 面 对 称 于 中 性 轴 时 ： t0
t1 t 2 2
杆 件 上 下 侧 温 度 变 化 之 差 ： t t 2 t1
F P i ii
§5-7 线性弹性体的互等定理 5-7-1 功的互等定理 5-7-2 位移互等定理
F Pi
ij
F Pj
ji
ji
ij
1
ij
1
ji
5-7-3 反力互等定理
r ji r ij
rii 0 r ji 1 rij 1 r jj 0
§5-7 线性弹性体的互等定理 5-7-1 功的互等定理 5-7-2 位移互等定理
F Pi
ij
F Pj
ji
ji
ij
5-7-3 反力互等定理 5-7-4 反力与位移互等定理
r ji r ij r ji ij
r ji 1 1 ij 0
N
图
⑵作单位荷载作用下的轴力图和弯矩图。 ⑶求D点竖向位移。
yD
10
2
2
20
2a 10
1 2 a a 2
1 2
a
20 0 .1 5 a
0 .1 5 a
1 2
a
2
M 图
2 5 a ( )
Kt
t0 A
F
N
பைடு நூலகம்
t
§5-6 静定结构在非荷载因素作用下的位移计算
5-6-1 由于温度变化、制造误差等引起的位移
中 性 轴 处 温 度 变 化 ： t0 h1 t 2 h 2 t 1 h
截 面 对 称 于 中 性 轴 时 ： t0
t1 t 2 2
杆 件 上 下 侧 温 度 变 化 之 差 ： t t 2 t1
F P i ii
§5-7 线性弹性体的互等定理 5-7-1 功的互等定理 5-7-2 位移互等定理
F Pi
ij
F Pj
ji
ji
ij
1
ij
1
ji
5-7-3 反力互等定理
r ji r ij
rii 0 r ji 1 rij 1 r jj 0
§5-7 线性弹性体的互等定理 5-7-1 功的互等定理 5-7-2 位移互等定理
F Pi
ij
F Pj
ji
ji
ij
5-7-3 反力互等定理 5-7-4 反力与位移互等定理
r ji r ij r ji ij
r ji 1 1 ij 0
5.3结构位移计算一般公式 5.4静定结构在荷载作用下的位移计算(远程教学)
5.4 静定结构在荷载作用下的位移计算
结构位移计算的一般公式：
l Ndu l Md l Qdv RiCi
一、公式推导：
P2
C
B
P1
求C点的竖向位移Δ。 无支座位移: RiCi 0
A
l Ndu l Md l Qdv
5.4 静定结构在荷载作用下的位移计算
一、公式推导： 当结构为线弹性结构时, 最后得到：
A
分段： 分为AB、BC段：
BC段： 以C为原点：
MP q C
x
M
M=1 B
C x
MP
1 qx2 2
M 1
A
q C
l
M=1
C
5.4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（2）分别求出两种状态的内力：
AB段：以B为原点：
q
Bx
C
B
BC段：
MP
1 qx2 2
M=1
B
x
C
MP
MP
1 2
ql
2
M
M 1
l
第五章 结构位移的计算
建筑工程系
5.3 结构位移计算的一般公式
一、 结构位移计算的一般公式
图示刚架由于外因作用，产生变形和位移如图。 求D点处的水平位移Δ。
ds D
A D
B C3
B
A C2
C1
（a图）
D
P=1
A
R1
R2
ds B
R3
（b图）
5.3 结构位移计算的一般公式
一、 结构位移计算的一般公式 由变形体虚功原理：即，T外 W内
3.积分时，当EI、荷载改变时，应分段积分；
角位移→集中力偶
05.静定结构的位移计算
3
A
计
例3:求图示桁架(各杆EA相同)k点 水平位移. 解：构造虚设的力状态
kx N P Nil EA
P
P
0
NP
0
P
a
2P
k
a
1
1 [( P )(1)a ( P )(1)a EA
Pa 2 P 2 2a ] 2(1 2 ) ( ) EA
1
2 2
2m
2m
2m
FB
0.67
1
0.33
0.25
1 .5
0 .5
1
二、变形体系的虚功原理和单位荷载法
（一）虚应变能
力状态的内力因位移状态的 相对变形而作虚功，这种虚 功称为虚应变能。
力状态
位移状态
V FN 1du2 FQ1dv2 M 1d2
V FN 1 2 dx FQ1 2 dx M1 2 dx
MP QP
q
[
q(l x)k q(l x) ]dx 0 GA 2 EI qkl2 ql 4 () 2GA 8EI
l 3
Mi
P 1
Qi lx
qkl2 ql 4 ip () 2GA 8EI ql 4 qkl2 设 : M , Q 8EI 2GA Q 4 EIk M GAl2 A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5,
（二）变形体的虚功原理
一个具有理想约束的变形体体系，若发生满足约束允许的 微小位移和变形（可能的），则该变形体体系上任意平衡 外力力系（可能的），在该位移上所作的总外力虚功等于 变形虚功。
W=Ｖ
对于直杆构成的结构
A
计
例3:求图示桁架(各杆EA相同)k点 水平位移. 解：构造虚设的力状态
kx N P Nil EA
P
P
0
NP
0
P
a
2P
k
a
1
1 [( P )(1)a ( P )(1)a EA
Pa 2 P 2 2a ] 2(1 2 ) ( ) EA
1
2 2
2m
2m
2m
FB
0.67
1
0.33
0.25
1 .5
0 .5
1
二、变形体系的虚功原理和单位荷载法
（一）虚应变能
力状态的内力因位移状态的 相对变形而作虚功，这种虚 功称为虚应变能。
力状态
位移状态
V FN 1du2 FQ1dv2 M 1d2
V FN 1 2 dx FQ1 2 dx M1 2 dx
MP QP
q
[
q(l x)k q(l x) ]dx 0 GA 2 EI qkl2 ql 4 () 2GA 8EI
l 3
Mi
P 1
Qi lx
qkl2 ql 4 ip () 2GA 8EI ql 4 qkl2 设 : M , Q 8EI 2GA Q 4 EIk M GAl2 A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5,
（二）变形体的虚功原理
一个具有理想约束的变形体体系，若发生满足约束允许的 微小位移和变形（可能的），则该变形体体系上任意平衡 外力力系（可能的），在该位移上所作的总外力虚功等于 变形虚功。
W=Ｖ
对于直杆构成的结构
静定结构位移计算
⑷需求某两截面相对角位移时，应在两截面处加一对大小相等、转向相反
的单位力偶矩 m=1，如图(d)。
F=1 • A
(a)
m=1 •A
•A
F=1
(b)
F=1
•
B
(c)
•
B m=1
•A m=1
(d)
*⑸需求桁架某杆件角位移或某两杆相对角位移时，因桁架只受轴力，故
须将单位力偶矩 m=1 转化为
1 d
的结点力作用在该杆两端上，下图
结构在使用过程中不允许产生过大变形，必须加以限制。 ⑵为制作和架设结构提供计算依据（如起拱，作图说明）。 ⑶为分析超静定结构作准备。 使结构产生位移的因素主要有三个： ⑴荷载作用。 ⑵温度变化和材料热胀冷缩。 ⑶支座沉降和制造误差。 计算结构位移的两种方法： ⑴以杆件变形关系为基础的几何物理方法。
如计算梁挠度、转角的重积分法。 ⑵以功能原理为基础的单位荷载法，即以虚功原理为基础的单位荷载法。
A l
x B (a) 单位力作用下的弯矩表达式为：
M = -x
1
实际荷载作用下的弯矩表达式为：
A l
B (b)
x
MP
=
-
qx 2 2
故 B 端竖向位移为：
ΔBy =
l MP (x)M(x)dx = 1
0 EI
EI
l (-
0
1qx2 )(-x)dx 2
=
1 qx4 [
EI 8
Δ =
MP (x)M(x)dx + FNP FN L
EI
EA
（5-8）
（梁式杆）
（链杆）
*⑷拱和曲杆
对于一般的拱和曲杆，通常只考虑弯曲变形的影响，即可按梁和刚架
结构力学第五章 位移计算
k FQ P FQ
M ( x ) x l , M P ( x ) q (l x ) 2 / 2
FP 1 x
MP
例 2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知)
FP B FP=1 FP
FQ P M P
A
R
O
θ
R
FN P R
θ
FPF R sin , M k R R R3 M P P , i FP sin, FP R 设 : M Q N
3.变形体的虚功原理 （1）质点系的虚位移原理 具有理想约束的质点系，在某一 位置处于平衡的必要和充分条件 是： 对于任何可能的虚位移，作用 于质点系的主动力所做虚功之 和为零。也即
FP1
FN 1
FP 2
m1 m
2
FN 2
→. → ΣFi δri=0
（2）刚体系的虚位移原理
去掉约束而代以相应 的反力，该反力便可看 成外力。则有：刚体系 处于平衡的必要和充分 条件是：
铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度 (2) 超静定、动力和稳定计算
(3）施工要求
3.本章位移计算的假定 (1)
(2) (3)
线弹性 (Linear Elastic),
小变形 (Small Deformation), 理想联结 (Ideal Constraint)。
[
M PM EI
FN P FN EA
]ds
2.桁架
kp FN P FN EA FN P FN l EA ds
3.组合结构
kp
这些公式的适 用条件是什么?
M ( x ) x l , M P ( x ) q (l x ) 2 / 2
FP 1 x
MP
例 2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知)
FP B FP=1 FP
FQ P M P
A
R
O
θ
R
FN P R
θ
FPF R sin , M k R R R3 M P P , i FP sin, FP R 设 : M Q N
3.变形体的虚功原理 （1）质点系的虚位移原理 具有理想约束的质点系，在某一 位置处于平衡的必要和充分条件 是： 对于任何可能的虚位移，作用 于质点系的主动力所做虚功之 和为零。也即
FP1
FN 1
FP 2
m1 m
2
FN 2
→. → ΣFi δri=0
（2）刚体系的虚位移原理
去掉约束而代以相应 的反力，该反力便可看 成外力。则有：刚体系 处于平衡的必要和充分 条件是：
铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度 (2) 超静定、动力和稳定计算
(3）施工要求
3.本章位移计算的假定 (1)
(2) (3)
线弹性 (Linear Elastic),
小变形 (Small Deformation), 理想联结 (Ideal Constraint)。
[
M PM EI
FN P FN EA
]ds
2.桁架
kp FN P FN EA FN P FN l EA ds
3.组合结构
kp
这些公式的适 用条件是什么?
第5章 结构位移计算
§ 5· 1 应用虚力原理求刚体体系的位移
a）验算结构的刚度； 1、计算位移有三个目的： b）为超静定结构的内力分析 打基础； c）建筑起拱。 a）荷载作用； 2、产生位移的原因主要有三种： b）温度改变和材料胀缩； c）支座沉降和制造误差
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
-t +t
2
Δ
β 不产生内力和变形 产生刚体移动
§3-8、刚体体系的虚功原理： 设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的 无限小刚体位移，则外力在位移上所作的虚功总和恒等于零。
虚力原理：
1 D = Rk ck
i
B
A
DN
由平衡条件：
d
B
i
A
N = 1 cos
虚功方程：
DN
1
1 D N N d = 0
N
B
N
A
DN = N d
当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移D， 即是三者的叠加，有：
D = DM DQ DN = Md Q d Nd
1、局部变形时静定结构的位移计算举例
设静定结构中某个微段出现局部变形（由于制造误差或其他原因造成 微段的弯曲、剪切、拉伸变形），微段两端相邻截面出现相对位移（角位 移、线位移），而结构的其他部分没有变形、仍旧是刚体。
例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因 例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因 产生相对转角d，试求A点在i－i方向的 产生相对剪位移d，试求A点在i－i方向 位移 Dm。 的位移 DQ。
κγε
M Q N
k = d w2 d x
不产生内力， 产生变形、产生位移
位移是几何量，自然可用几何法来求，如 但最好的方法不是几何法，而是虚功法。其理论基础是虚功原理。 计算位移时，常假定：1）ζ=Eε；2）小变形；3）具有理想 约束的体系。即：线弹性体系。荷载与位移成正比，计算位移 可用叠加原理。
a）验算结构的刚度； 1、计算位移有三个目的： b）为超静定结构的内力分析 打基础； c）建筑起拱。 a）荷载作用； 2、产生位移的原因主要有三种： b）温度改变和材料胀缩； c）支座沉降和制造误差
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
-t +t
2
Δ
β 不产生内力和变形 产生刚体移动
§3-8、刚体体系的虚功原理： 设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的 无限小刚体位移，则外力在位移上所作的虚功总和恒等于零。
虚力原理：
1 D = Rk ck
i
B
A
DN
由平衡条件：
d
B
i
A
N = 1 cos
虚功方程：
DN
1
1 D N N d = 0
N
B
N
A
DN = N d
当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移D， 即是三者的叠加，有：
D = DM DQ DN = Md Q d Nd
1、局部变形时静定结构的位移计算举例
设静定结构中某个微段出现局部变形（由于制造误差或其他原因造成 微段的弯曲、剪切、拉伸变形），微段两端相邻截面出现相对位移（角位 移、线位移），而结构的其他部分没有变形、仍旧是刚体。
例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因 例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因 产生相对转角d，试求A点在i－i方向的 产生相对剪位移d，试求A点在i－i方向 位移 Dm。 的位移 DQ。
κγε
M Q N
k = d w2 d x
不产生内力， 产生变形、产生位移
位移是几何量，自然可用几何法来求，如 但最好的方法不是几何法，而是虚功法。其理论基础是虚功原理。 计算位移时，常假定：1）ζ=Eε；2）小变形；3）具有理想 约束的体系。即：线弹性体系。荷载与位移成正比，计算位移 可用叠加原理。
结构力学：第5章 静定结构位移计算3(图乘法)
（3） yc 应取自直线图中。
2. 若 与 yc 在杆件的同侧，yc取正值；
反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
(1) 曲-折组合
例如
Mi MKdx 1 y1 2 y2 3 y3 j y j
(2) 梯-梯同侧组合
1
2
Mi MKdx 1 y1 2 y2
y1
(2c 3
FP
A
C
l
l
2
2
a
B
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
FNP
FP 2
D
A C FP
l
l
2
2
a
B
FN
1 2
D
1 AC
a
B
l
l
2
2
l
MP
FP l
4
Cy
0l
MM P EI
ds
0a
FN FNP EA
ds
M请对计算结4 果 C进y 行4F适8PEl当3I (讨1 论1l！23aAI )
2 [(1 l FPl ) 2 l ] 1 1 FP a FPl 3 FPa
1 EI
yc
必须注意 适用条件
图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他 当时为莫斯科铁路运输学院的学生。
二、几种常见图形的面积和形心位置的 确定方法
顶点指曲 线切线与 杆轴重合 或平行
hl
n1
(n 1)l n2
h
C
l n2
三、注意事项：
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；
q A
MP 图
1 ql 2 8
2. 若 与 yc 在杆件的同侧，yc取正值；
反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
(1) 曲-折组合
例如
Mi MKdx 1 y1 2 y2 3 y3 j y j
(2) 梯-梯同侧组合
1
2
Mi MKdx 1 y1 2 y2
y1
(2c 3
FP
A
C
l
l
2
2
a
B
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
FNP
FP 2
D
A C FP
l
l
2
2
a
B
FN
1 2
D
1 AC
a
B
l
l
2
2
l
MP
FP l
4
Cy
0l
MM P EI
ds
0a
FN FNP EA
ds
M请对计算结4 果 C进y 行4F适8PEl当3I (讨1 论1l！23aAI )
2 [(1 l FPl ) 2 l ] 1 1 FP a FPl 3 FPa
1 EI
yc
必须注意 适用条件
图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他 当时为莫斯科铁路运输学院的学生。
二、几种常见图形的面积和形心位置的 确定方法
顶点指曲 线切线与 杆轴重合 或平行
hl
n1
(n 1)l n2
h
C
l n2
三、注意事项：
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；
q A
MP 图
1 ql 2 8
建筑力学第五章_静定结构位移计算
建筑力学第五章_静定结构位移计算静定结构位移计算是建筑力学中的重要内容，通过位移计算可以得到结构在荷载作用下的变形情况，从而评估结构的稳定性和安全性。
本文将介绍静定结构位移计算的基本原理和具体步骤。
首先，我们需要明确什么是静定结构。
静定结构指的是结构所有部件之间的变形由完全互相嵌入融合而不产生相对变动，这样的结构称为静定结构。
而非静定结构则是指结构所有部件之间的变形不会由于完全互相嵌入而互相制约的结构。
静定结构位移计算的基本原理是根据平衡条件和变形约束条件进行计算。
具体步骤如下：1.建立结构模型：根据实际情况，建立结构的几何形状和支撑条件的数学模型。
可以采用杆件模型、面单元模型等方法进行简化。
2.确定荷载：根据设计要求和实际情况确定结构所受的荷载，包括重力荷载、风荷载、地震荷载等。
3.建立方程：根据平衡条件，建立结构的受力平衡方程。
在平衡方程中，包括结构的受力平衡方程和变形约束条件等。
4.求解方程：根据建立的方程进行求解。
可以通过解析方法、数值方法或者计算机模拟等方式进行求解。
5.分析结果：得到结构在荷载作用下的位移情况。
根据计算结果进行分析，评估结构的稳定性和安全性。
如果结果超出了允许的范围，则需要对结构进行调整或优化重新计算。
静定结构位移计算过程中需要注意的是，要考虑结构的边界条件和材料的性质等因素。
边界条件包括支座的约束条件和结构的支承情况等，材料的性质包括刚度、强度等。
静定结构位移计算是建筑力学中的重要内容，对于结构的安全性和稳定性评估非常关键。
通过位移计算，可以得到结构的变形情况，为结构设计和优化提供重要的参考依据。
但需要注意的是，位移计算只能适用于静定结构，对于非静定结构需要采用其他方法进行分析和计算。
总之，静定结构位移计算是建筑力学中的重要内容，通过建立结构模型、确定荷载、建立方程、求解方程和分析结果等步骤，可以得到结构在荷载作用下的位移情况。
这对于评估结构的稳定性和安全性非常有帮助。
结构力学第五章位移计算
解得：
bc/a
这就是著名的单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)
单位位移法的虚功方程
平衡方程
单位荷载法的虚功方程
几何方程
第一种应用一些文献称为“虚位移原理”， 而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的 说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要 性命题。上述两原理都是充分、必要性命题， 它们和虚功原理是有区别的。
解：去掉A端约束并代以反力 X，构相应的虚位移状态.
(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是
实由际受外力力状虚态功的总平衡和方为程零，即： MX BX 0FP C 0
(将2)虚位X 移/ 与C实际a /力b状代态入无得关:,故可设X bFxP / a 1
(通3)常求解取时关键一步是1找出虚位移状态的位移关系。
2.广义力 (Generalized force) 广义位移(Generalized displacement)
一个力系作的总虚功 W=Σ[FP× ]
FP---广义力; ---广义位移
例: 1)作虚功的力系为一个集中力
2)作虚功的力系为一个集中力偶
FP
W FP
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
K
1
K KC
K
c2
FR1
FR 3
c1
c3
FR 2
由刚体虚功原理:
We Fi i 1 kc FR1C1 FR2C2 FR3C3 0
第五章 静定结构位移计算
Displacement of Statically Determinate Structures
§5-1结构位移计算概述
线位移
A
位移
05-3结构力学 第五章 超静定结构的内力和位移计算(5.2节 位移法)ok
如： 1 2
3
1 2
1
3
这样即可使12、13杆 成为单跨超静定梁
2、附加链杆支座约束：为使杆件两端相对线位移被约束而在结点上附加的约 束阻止结点移动的装置。
如：1
3
用“
” 表示
2 1 3
结构变形时，显然13杆可沿水平方向移动， 同时刚结点1也可能发生转角，要使各杆独立成为 单跨超静定梁。 需在1结点上附加刚臂约束 同时还需加附加链杆支座以阻止13杆的水平线 位移。
r11Z 1+ r12Z 2+ · · · · + r1nZ n+R1P=0
位移法 – 刚度法
ri j=rj i
反力互等定理
位移法典型方程，简称为位移法方程 – 结构的刚度方程
主系数，rii>0 r12 ...... r1n Z1 R1P r11 r Z R r ...... r 2P 22 2n 2 21 ri j=rj i 反力互等定理 0 ...... ...... ...... ...... rn 2 ...... rnn Z n RnP rij=rji，Rip，>0，=0，<0 rn1
F M AB ql 2 / 12 F M BA ql 2 / 12
F A l/2 l/2 B
Fl/8 A
Fl/8
F M AB Fl / 8
B
F M BA Fl / 8
q
ql2/8 B A B
F M AB ql 2 / 8
A
F A l/2 l/2 B
3Fl/16 A B
EI=
Z1 Z2
EI=
《结构力学》静定结构的位移计算
03
在实际应用中，可以根据结构特点、计算精度和计算资源等因素综合考虑选择 合适的数值方法。
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桥梁横向位移限制
对于大跨度桥梁，需要限制其在风荷载、地震等横向力作用下的横 向位移，以保证桥梁的稳定性和行车安全。
支座位移控制
桥梁支座的位移也需要进行控制，以避免支座过度磨损或脱空等现 象，确保桥梁的正常使用。
建筑工程中变形缝设置要求
伸缩缝设置
为避免建筑物因温度变化、地基沉降等因素而产生裂缝或 破坏，需要在建筑物的适当位置设置伸缩缝，使建筑物能 够自由伸缩。
计算方法
采用分段叠加法，将组合结构分成若 干段，分别计算各段的位移再求和； 或采用有限元法直接求解整体位移。
需考虑不同材料或截面的变形协调问 题。
03 图乘法计算静定结构位移
图乘法基本原理及适用条件
基本原理
图乘法是基于结构力学的虚功原理，通过图形面积与形心位置的乘积来简化计 算结构位移的一种方法。
均布荷载作用
荷载沿梁长均匀分布，引 起梁产生均匀弯曲变形。
位移计算
采用图乘法或积分法求解， 考虑荷载、跨度、截面惯 性矩等因素。
悬臂梁在集中力作用下位移
悬臂梁基本概念
一端固定，另一端自由的 梁，承受集中力、均布荷 载等。
集中力作用
在悬臂梁自由端施加集中 力，引起梁产生弯曲和剪 切变形。
位移计算
采用叠加原理，分别计算 弯曲和剪切变形引起的位 移，再求和。
制造误差对结构位移的影响不同。
影响系数
02
利用影响系数可以计算制造误差引起的结构位移，影响系数与
结构形式和荷载情况有关。
敏感性分析
静定结构位移计算
的向下的挠度被抵消一部分，减小了梁跨中
的最大挠度值。
(3) 改善荷载的作用情况 在结构允许的情况下，合理地调整荷载的位置 及分布情况，以降低弯矩，从而减小梁的变形， 提高其刚度。如图所示，将集中力分散作用， 甚至 改为分布荷载，则弯矩降低，从而梁的 变形减小，刚度提高。
14.4 一、图乘法原理
图乘法
续表
3.悬臂梁 均匀分布荷载作用在梁上
ql 3 B 6 EI
wmax
ql 8EI
4
4.简支梁 集中荷载作用跨中位置上
ab l 2
时
16 EI
l ab 时 2
2 A － FP l B
wmax
FPl 3 48EI
续表
5简支梁 均匀分布荷载作用在梁上
ql 3 A - B 24 EI
KP
F N FNPl EA
（3）组合结构
既有梁式杆，又有链杆，取用公式中的前两项
KP
（4）拱
F N FNPl MM P ds EI EA
一般计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽 略不计
KP F N FNPl MM P ds EI EA
三、虚拟状态的选取 欲求结构在荷载作用下的指定位移，须取相应 的虚拟状态。即取同一结构，在要求位移的地 方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载： 1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力 2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
AH
AV
截面A 的角位移
A
C、D 两点的水平相对线位移
( C D)H = C +
A、B两个截面的相对转角
D
AB= + B A
四、引起位移的原因
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385.6 385.67 339.3
8
-56.6 3×4＝12m 339.3
40kN
斜杆
3-4 4-7 7-8
-1.00 5
2-3
竖杆 4-5 6-7
300
300 300
22
22 22
0
01 0
-0.707 20.0 0.707 0 0 0.502 0 0.50 4
20.0
-56.6
0
0 0
6
1 2
o
yc
B
Mk
式中：A为M F图的面积；
A
x
yC为M F图形心C所对应的M k图的竖标。
正负号规定：若A与 yC在杆件的同侧取正号，反之取负号。
结构力学
第5章 静定结构位移计算
三、简单图形的面积和形心的位置
A lh
C
l 2 l 2
3l 8 5l 8
二次抛物线
h
A 2
C1
l 4
l
顶点 切点
ql 2
结构力学
第5章 静定结构位移计算
五、各类结构位移计算公式的简化式 M kMF 位移主要由弯矩引起 kF s EI ds 1、梁和刚架 2、桁架 各杆只有轴力
kF
等直杆
F Nk FNF F Nk FNF l ds s EA EA F Nk FNF l M kMF ds s EI EA
3 -60.0 -60
7 5 (50) 360.0
360.0
(22)
下弦杆
2-4 4-6 6-8 1-3
-56.6 20 28.5
40.0 40.0 40 40 2
1
0
166.6
40kN -0.707
0.707 0.707 -0.707
0.50
20kN 40.0
28.3 28.3 3
4 (36) 166.66 (36) 40kN 166.6 20kN
结构力学
第5章 静定结构位移计算
2、结构位移的种类 （1）某点的线位移 （2）某截面的角位移 （3）两点间的相对线位移 （4）两截面间的相对角移
F
ΔC
A
θC
C
ΔBC
B
ΔB
θB
绝对位移
结构位移 相对位移
B、C 线位移：
角位移： B、C 相对线位移： BC 相对角位移： BC
θ BC
第5章 静定结构位移计算
三、虚力状态设置 应据所求位移不同，设置相应的虚拟力状态。
F k =1 A
m k =1 A
F k =1 A
F k =1 B
A点竖向位移
m k =1 C m k =1
A截面转角位移
Fk = A l 1 Fk = l B 1 l
AB两点相对位移
1 l2 2 1 l2 1 1 l1 1 l1
asinθ a(1-cosθ)
虚力状态 内力方程 M k 1 a(1 cos ) M F F a sin
水平位移 kF
u kF
dθ a
θ
O
M kMF ds s EI
2 0
1 a(1 cos ) F a sin ad EI
F k =1 a(1-cosθ)
3l 4
l
C
2l 3
h
lh A 2
l 3
2l 5
3l 5
三次抛物线
lh A1 4
A 2
l
3lh 4 顶点 切点
C2 C1
4l 5
l 5
l
h
h
2lh 3
C2
A1
lh 3
结构力学
第5章 静定结构位移计算
C
四、简单图形图乘结果
高 底 高 底 yC
高 高 底
C C
C
C
C
yC
1 高高 底 2
2、分段列内力方程
3、计算跨中竖向位移（挠度）
F Qk FQF F Nk FNF M kMF kF ds ds ds s s s EA GA EI l l 2 1 ql 1 2 1 ql q 2 2 ( qx1 )dx1 x1 ( x1 x1 )dx1 0 0 EI 2 2 2 GA 2 2
F k =1
6 8
3、计算位移
kF F Nk FNF l EA
1 2
0.5 2 0
1 2
列表计算
结构力学
杆件
上弦杆 3-5 5-7 1-2
第5章 静定结构位移计算
l (cm) A(cm2 ) F Nk (kN) FNF (kN) F Nk FNF l (kN/cm)
A
300 300 300 300 300 300 424 424 424 424 50 50 36 36 36 36 50 22 22 50 -1.00 -1.00 0.50 0.50 0.50 -60.0
结构力学
第5章 静定结构位移计算
第五章 静定结构位移计算
结构力学
第5章 静定结构位移计算
§5-1 概述 一、杆件结构的位移 工程结构是由可变形的材料做成的，在外部因素作用下，结构 将产生变形和位移。 变形：是指结构原有形状的改变。 位移：是指结构各点的移动和截面的转动。
1、引起结构位移的原因
（1）荷载； （2）温度改变； （3）支座位移； （4）制造误差； （5）材料收缩等。
EI
结构力学
第5章 静定结构位移计算
例题1 求自由端角位移与线位移？EI＝常数
F
ds
解：1、角位移 kF
asinθ a(1-cosθ)
虚力状态 内力方程
角位移
kF
2 0
M k 1 M F F a sin
dθ a
θ
O
kF
M kMF ds s EI
ds ad
(22) (2 2)
解：1、建立虚力状态
0) (5
3m
8
1
0
(22)
-56.6 20 28.5 40 2 40
20kN 40kN
4 (36) 6 (36) 40kN 20kN
2、计算
FNF
F Nk
FNF、 F Nk
3×4＝12m
40kN
7
3 -1.00 5
-0.707
1
0
0.707 0 0.50 4
结构力学
第5章 静定结构位移计算
F k =1 K
K K' K
Δk
m
§5-2 杆件结构位移计算公式 一、杆件结构位移计算一般式
t1 t2
F1 F2
A
m m 1 m
平面杆系结构由 于荷载、温度变 化及支座移动等 因素引起位移。
B'
F Nk F Qk
A
K
Mk
B
FR1k FR 2k
B
求km ?
c1
c2
位移状态（m） 单位荷载法：建立虚力状态 求反力及内力 用k考察m位移协调性
1 km F R1k C1 F R2k C2 F Nk mds F Qk mds M k
s s s
虚力状态（k）
1
km F Nk m ds F Qk m ds M k
M F F a sin
dθ a
θ
O
M kMF ds s EI
F k =1 asinθ
2 0
1 a sin F a sin ad EI
Fa 3
4 EI
( ）
θ
O
结构力学
第5章 静定结构位移计算
例题1 求自由端角位移与线位移？EI＝常数
F
ds
解：3、水平位移 u kF
C
yC
yC
yC
yC
A yC
1 1 1 1 高高 底 高高 底 高高 底 高高 底 3 6 2 4
C C C C
底 yC
C高
底
高
yC
yC
Fa3 ( ） 2 EI
总线位移
θ
2 v 2 kF (u kF ) ( kF )
O
Fa3 2 4 4 EI
例题2
求对称桁架结点4的竖向位移？E＝2100kN/cm ，右半各 杆旁数值为杆横截面面积A(cm2)
3 -60 5 (50) 7
C点左右两截面的
相对转角位移
AB杆的转角位移
1、2杆相对转角位移
结构力学
第5章 静定结构位移计算
四、积分法计算结构的位移 求跨中挠度？ EI=常数 解：1、建立虚力状态
q A K B
x1
l
x2
F k =1
A
K
l l 0 ≤ x ≤ 0≤x1≤ 2 2 2 F Nk 0 FNF 0 F Nk 0 FNF 0 1 ql 1 ql F F qx2 Qk F Qk FQF qx1 QF 2 2 2 2 B 1 ql q 2 1 ql q 2 M x M x x2 k M k x1 M F x1 x1 2 F 2 2 2 2 2 2 2
kF
M kMF ds s EI
二、计算原理 静矩定理 EI＝常数 y
ds dx M k x tan
kF
B
A
x
A
MF
Aω C
1 M kMF ds EI EI
8
-56.6 3×4＝12m 339.3
40kN
斜杆
3-4 4-7 7-8
-1.00 5
2-3
竖杆 4-5 6-7
300
300 300
22
22 22
0
01 0
-0.707 20.0 0.707 0 0 0.502 0 0.50 4
20.0
-56.6
0
0 0
6
1 2
o
yc
B
Mk
式中：A为M F图的面积；
A
x
yC为M F图形心C所对应的M k图的竖标。
正负号规定：若A与 yC在杆件的同侧取正号，反之取负号。
结构力学
第5章 静定结构位移计算
三、简单图形的面积和形心的位置
A lh
C
l 2 l 2
3l 8 5l 8
二次抛物线
h
A 2
C1
l 4
l
顶点 切点
ql 2
结构力学
第5章 静定结构位移计算
五、各类结构位移计算公式的简化式 M kMF 位移主要由弯矩引起 kF s EI ds 1、梁和刚架 2、桁架 各杆只有轴力
kF
等直杆
F Nk FNF F Nk FNF l ds s EA EA F Nk FNF l M kMF ds s EI EA
3 -60.0 -60
7 5 (50) 360.0
360.0
(22)
下弦杆
2-4 4-6 6-8 1-3
-56.6 20 28.5
40.0 40.0 40 40 2
1
0
166.6
40kN -0.707
0.707 0.707 -0.707
0.50
20kN 40.0
28.3 28.3 3
4 (36) 166.66 (36) 40kN 166.6 20kN
结构力学
第5章 静定结构位移计算
2、结构位移的种类 （1）某点的线位移 （2）某截面的角位移 （3）两点间的相对线位移 （4）两截面间的相对角移
F
ΔC
A
θC
C
ΔBC
B
ΔB
θB
绝对位移
结构位移 相对位移
B、C 线位移：
角位移： B、C 相对线位移： BC 相对角位移： BC
θ BC
第5章 静定结构位移计算
三、虚力状态设置 应据所求位移不同，设置相应的虚拟力状态。
F k =1 A
m k =1 A
F k =1 A
F k =1 B
A点竖向位移
m k =1 C m k =1
A截面转角位移
Fk = A l 1 Fk = l B 1 l
AB两点相对位移
1 l2 2 1 l2 1 1 l1 1 l1
asinθ a(1-cosθ)
虚力状态 内力方程 M k 1 a(1 cos ) M F F a sin
水平位移 kF
u kF
dθ a
θ
O
M kMF ds s EI
2 0
1 a(1 cos ) F a sin ad EI
F k =1 a(1-cosθ)
3l 4
l
C
2l 3
h
lh A 2
l 3
2l 5
3l 5
三次抛物线
lh A1 4
A 2
l
3lh 4 顶点 切点
C2 C1
4l 5
l 5
l
h
h
2lh 3
C2
A1
lh 3
结构力学
第5章 静定结构位移计算
C
四、简单图形图乘结果
高 底 高 底 yC
高 高 底
C C
C
C
C
yC
1 高高 底 2
2、分段列内力方程
3、计算跨中竖向位移（挠度）
F Qk FQF F Nk FNF M kMF kF ds ds ds s s s EA GA EI l l 2 1 ql 1 2 1 ql q 2 2 ( qx1 )dx1 x1 ( x1 x1 )dx1 0 0 EI 2 2 2 GA 2 2
F k =1
6 8
3、计算位移
kF F Nk FNF l EA
1 2
0.5 2 0
1 2
列表计算
结构力学
杆件
上弦杆 3-5 5-7 1-2
第5章 静定结构位移计算
l (cm) A(cm2 ) F Nk (kN) FNF (kN) F Nk FNF l (kN/cm)
A
300 300 300 300 300 300 424 424 424 424 50 50 36 36 36 36 50 22 22 50 -1.00 -1.00 0.50 0.50 0.50 -60.0
结构力学
第5章 静定结构位移计算
第五章 静定结构位移计算
结构力学
第5章 静定结构位移计算
§5-1 概述 一、杆件结构的位移 工程结构是由可变形的材料做成的，在外部因素作用下，结构 将产生变形和位移。 变形：是指结构原有形状的改变。 位移：是指结构各点的移动和截面的转动。
1、引起结构位移的原因
（1）荷载； （2）温度改变； （3）支座位移； （4）制造误差； （5）材料收缩等。
EI
结构力学
第5章 静定结构位移计算
例题1 求自由端角位移与线位移？EI＝常数
F
ds
解：1、角位移 kF
asinθ a(1-cosθ)
虚力状态 内力方程
角位移
kF
2 0
M k 1 M F F a sin
dθ a
θ
O
kF
M kMF ds s EI
ds ad
(22) (2 2)
解：1、建立虚力状态
0) (5
3m
8
1
0
(22)
-56.6 20 28.5 40 2 40
20kN 40kN
4 (36) 6 (36) 40kN 20kN
2、计算
FNF
F Nk
FNF、 F Nk
3×4＝12m
40kN
7
3 -1.00 5
-0.707
1
0
0.707 0 0.50 4
结构力学
第5章 静定结构位移计算
F k =1 K
K K' K
Δk
m
§5-2 杆件结构位移计算公式 一、杆件结构位移计算一般式
t1 t2
F1 F2
A
m m 1 m
平面杆系结构由 于荷载、温度变 化及支座移动等 因素引起位移。
B'
F Nk F Qk
A
K
Mk
B
FR1k FR 2k
B
求km ?
c1
c2
位移状态（m） 单位荷载法：建立虚力状态 求反力及内力 用k考察m位移协调性
1 km F R1k C1 F R2k C2 F Nk mds F Qk mds M k
s s s
虚力状态（k）
1
km F Nk m ds F Qk m ds M k
M F F a sin
dθ a
θ
O
M kMF ds s EI
F k =1 asinθ
2 0
1 a sin F a sin ad EI
Fa 3
4 EI
( ）
θ
O
结构力学
第5章 静定结构位移计算
例题1 求自由端角位移与线位移？EI＝常数
F
ds
解：3、水平位移 u kF
C
yC
yC
yC
yC
A yC
1 1 1 1 高高 底 高高 底 高高 底 高高 底 3 6 2 4
C C C C
底 yC
C高
底
高
yC
yC
Fa3 ( ） 2 EI
总线位移
θ
2 v 2 kF (u kF ) ( kF )
O
Fa3 2 4 4 EI
例题2
求对称桁架结点4的竖向位移？E＝2100kN/cm ，右半各 杆旁数值为杆横截面面积A(cm2)
3 -60 5 (50) 7
C点左右两截面的
相对转角位移
AB杆的转角位移
1、2杆相对转角位移
结构力学
第5章 静定结构位移计算
四、积分法计算结构的位移 求跨中挠度？ EI=常数 解：1、建立虚力状态
q A K B
x1
l
x2
F k =1
A
K
l l 0 ≤ x ≤ 0≤x1≤ 2 2 2 F Nk 0 FNF 0 F Nk 0 FNF 0 1 ql 1 ql F F qx2 Qk F Qk FQF qx1 QF 2 2 2 2 B 1 ql q 2 1 ql q 2 M x M x x2 k M k x1 M F x1 x1 2 F 2 2 2 2 2 2 2
kF
M kMF ds s EI
二、计算原理 静矩定理 EI＝常数 y
ds dx M k x tan
kF
B
A
x
A
MF
Aω C
1 M kMF ds EI EI