第3章 杆件的强度、刚度和稳定性

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1 研究梁横截面上正应力的分布规律，还是要先 从观察分析梁的变形入手。由于梁的各横截面上的 内力只有弯矩（其值皆等于M）而无剪力，故该梁
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图3.12 纯弯曲梁的变形分析
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2 取变形后两横截面之间的这一段来进一步分析 横截面上的应力分布规律，如图3.13
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该结论是不难理解的，因为外力越大（即轴力 N越大）或杆原长越长，所产生的变形就会越大， 而当杆越粗（截面面积A越大）时，Δl当然会变小 引入比例常数E，则式（3.21a）变为：
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式中的EA称为杆抗拉（压）的截面刚度。这 一称谓有两层含义：一是对长度相等且受力相同的 拉（压）杆，若EA越大，则Δl越小，故EA的大小 反映了杆抵抗变形即拉伸（压缩）的能力——拉（ 压）刚度；二是A为杆的截面面积，故EA代表截面 式（3.21b）还可变为：
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很明显，长短不一的两橡皮筋，伸长总量Δl虽 相同，但变形程度却差别很大。由此可见，仅靠伸 长总量Δl尚不足以反映杆的变形程度，即还需考虑 杆的长度l的影响。因此，杆的变形程度用纵向应 变或称线应变ε来表示：
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2 如图3.25所示，拉（压）杆在产生纵向变形的 同时，横向也发生变形。若设杆在变形前的原横向 尺寸为a，变形后为a1，则杆的横向总变形量为： 其横向线应变为：
由此得出轴向拉伸杆的横截面上正应力计算公 式，即：
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①对应轴向压缩杆，式（3.1）同样适用，只 不过σ为压应力，取负值。对轴向拉（压）杆，其 ②对于材料相同的等直杆，当轴力N不变时， 如果杆的截面细小，由式（3.1）可知，因A小，则 σ就大。这就是图3.1中较细之杆容易被拉断的原因
应力概念及分布
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日常生活中，人们对应力的感觉并不陌生，而 例如，人的体重W大致是不变的，但人脚下鞋 底的应力，则可随着鞋与地面相接触的面积不同而 改变，如图3.4
图3.4 鞋底的应力变化
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图3.5 椅凳上所提供的应力
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在第2章中，大家已经知道梁的横截面上，在 一般情况下有弯矩M和剪力V，但仅知此内力还不 足以对梁进行设计和强度校核，亦即还需进一步研 究梁横截面上的应力情况。为了方便，我们先研究 梁横截面上只有弯矩的情况，即梁属于纯弯曲。这 样就可排除横截面上剪力的影响，而只考虑由弯矩
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在工程中遇到的梁，属纯弯曲者少，为横力弯 曲者多，亦即实际中梁的横截面上，其内力不但有 弯矩M而且还有剪力V，相应地，也就有正应力σ 和剪应力τ。一般情况下，梁的弯曲正应力是梁强 度计算的主要依据，然而在某些特殊情况之下，比 如，跨度较小的短粗梁、截面高而窄的薄壁梁等， 其剪应力也可能成为支配梁的强度计算的主要因素。
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实验结果表明：当拉（压）杆的应力不超过材 料的比例极限时，ε′与ε之比的绝对值为一常数， 并设该常数为ν，即:
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ν称之为横向变形系数。这是法国物理学家泊 松（S.D.Poisson）发现的，故ν又称为泊松比。它 与材料有关，其值可由实验测定。又因ε′与ε正负 号恒相反，故去掉式（3.20a）中的绝对值符号时， 应写成：
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第3章
杆件的强度、刚度和稳定 性
熟悉拉（压）杆的变形特点和虎克定律，能够计算其 变形量
了解提高压杆稳定性的措施
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第一节 应力与强度 一、应力的概念 描述应力的概念：图3.3表示截面被分割成同 样大小（共25个）的正方形（单位正方形），内
图3.3
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当杆内应力不超过材料的某一极限值（即比例 极限）时，杆的伸长或压缩变形量Δl与轴力N和杆 的原长l成正比，而与杆的截面面积A成反比，即:
这是1676年英国物理学虎克（Robert.Hooke, 1635—1703年）在科学实验基础上首次提出的结
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ຫໍສະໝຸດ Baidu
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在第2章中曾经指出：当外力（荷载与支座反 力）都作用在纵向对称平面内时，梁弯曲之后，其 轴线将变成挠曲线，它仍在此对称平面内，这种弯 曲称之为平面弯曲。下面所研究的梁的变形仍然限
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如图3.29所示为一悬臂梁，在荷载（图中省略） 作用下发生平面弯曲变形。在Axy平面内，原来的 梁的轴线为直线，变形后成为一条连续的光滑曲线 AB′，并称为挠曲线。“挠”有弯折之意，故挠曲 线即为弯曲变形的线段。这是纵观梁的轴线变化的
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一、拉（压）杆的轴向变形· 外力沿着杆的轴线拉伸或压缩，其变形则为伸 长或缩短。若杆为轴向拉伸，如图3.25（a）所示， 杆的纵向尺寸变长时，而横向尺寸变短；倘若杆为 轴向压缩，则纵向尺寸变短，而横向尺寸变长，如 图3.25（b）所示。因此，轴向变形就有了纵、横
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图3.29
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1 如图3.19（a）所示一矩形截面梁受任意横向 荷载作用，矩形截面宽为b、高为h。用一横截面 m—m截取梁，并以左段为研究对象，如图3.19（ b）或(b′)所示。横截面上有弯矩M和剪力V，相应 地横截面上有正应力σ和剪应力τ，如图3.19（c） ，（d）或(c′)，(d′)所示。
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图3.22 判断截面上的最大剪应力
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3 与梁的正应力强度计算一样，为了保证梁的安 全正常工作，梁在荷载作用下所产生的最大剪应力 ，也不能超过材料的容许剪应力，即梁的剪应力强 度条件为：
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第二节 杆件的变形与刚度 杆件在外力作用下，既要产生内力（应力）， 也会发生变形。杆件是否破坏，取决于强度条件； “刚”有硬之意，与柔相反，故刚度为描述杆 件抵抗变形的能力。所言变形若小，刚度则大，反
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3 和杆的拉（压）应力一样，梁的正应力与截面 形状和尺寸大小（即截面几何性质）也有关。其截 面几何性质由截面惯性矩Iz 惯性矩的单位是m4，可参看表3.2。
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图3.13 梁的微段变形与应力分布
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图3.13（c）：这是梁横截面上正应力分布的 立体图形，它直观形象地描绘出应力的分布规律。 在与中性轴z的距离为y处，假设其应力为σ，则：
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①当y=0时，即在中性轴上，其正应力σ=0； 在距z轴最远的梁的上下边缘，即y=ymax，其压应 ②梁在纯弯曲段内，梁的横截面上的弯矩M为 ③沿梁宽b的各点，其y值若相同，则σ值就不
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图3.25 轴向变形——拉伸与缩短
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1 设拉杆的原长为l，承受一对轴向力P的作用之 后可以伸长也可缩短，其长度变为l1，则杆的纵向 变形（伸长或缩短）为：
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图3.26 拉伸橡皮筋——长短不同，变形不一
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图3.19 矩形截面梁的应力分析
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① τ沿矩形截面高度按二次抛物线规律变化。 在横截面上、下边缘，即y=±h／2处，τ=0；在中 性轴（z轴）上，即y=0处，出现最大剪应力：
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③式（3.13）中的V是梁的某一横截面上的剪 力。实际计算中应关注最大剪应力所在的横截面， 因为在此横截面上V=Vmax。对于矩形截面：
（2）选择杆的截面 在根据荷载求得杆的轴 力，并确定了所用材料，即已知Nmax和［σ］以后， 再根据强度条件，选出杆所需的横截面面积A，此 时把式（3.3）改写为：
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（3）确定杆的容许荷载 若已知杆的尺寸和 材料，即已知A和［σ］，则由强度条件来确定杆 所能承受的最大轴力，并由此求得容许荷载。此时 把式（3.3）改写为：
2）强度条件 即便已求得最大正应力，尚不能判断杆是否会 因强度不足而发生破坏，只有把最大应力和材料强 等截面轴向拉（压）杆的强度条件为
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式中［σ］——材料在拉伸（压缩）时的容许 应力。它是由材料达到破坏时的极限应力σ0并除 以一个大于1的系数K而得，即:
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综上所述，对于等截面梁（Iz不变），梁又是 纯弯曲，其最大正应力应发生在离中性轴最远（y ＝ymax）的边缘处。于是有：
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当梁的横截面形状和尺寸均为已知时，从中性 轴到截面边缘的最大距离ymax也易求得。ymax和Iz 同属于截面几何性质，把两者归类，即令：
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4 如果梁横截面的弯矩M沿梁的轴线x是变化的 ，那么，最大弯矩所在的横截面更应引起关注！因 为此横截面的应力比其他截面的应力都要大，属于
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图3.15 简支梁沿轴线的正应力分布示意图
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故在跨中的横截面上，其应力比其他横截面都 要大，且横截面愈靠近两端支座应力愈小，在支座 处，弯矩为零，正应力σ 于是，式（3.8）就应写成：
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3 针对不同的具体情况，由式（3.3）可解决3种 （1）校核杆的强度 所谓校核强度，就是已 知杆的材料、尺寸（即已知［σ］和A），并由所 承受荷载求得最大轴力Nmax，在此情况下，检验轴 向拉（压）杆是否满足式（3.3）：
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由式（3.10）可解决3种不同类型的强度计算 （1）校核梁的强度 已知Mmax，Wz，［σ］ ，验算三者是否满足式（3.10）。若真则安；若伪 （2）选择梁的截面 将式（3.10）改写为：
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（3）确定梁的容许荷载 将式（3.10）改写 为： 根据Mmax确定容许荷载。
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图3.6
按图钉时所产生的应力分析
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1 取一根等直杆，如图3.7（a）所示。在杆的两 端施加一对轴向拉力P，现在来观察轴向受拉杆的 变形现象，并由此导出应力分布规律。
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图3.7
轴向受拉杆横截面上的应力
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若设横截面的面积为A，则轴力为：
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③当杆作用有几个轴向外力时，可由截面法求 得最大轴力Nmax。对于变截面杆（即杆截面面积A 并非常量），Nmax所在截面其应力并不一定为最大 ，因为还需考虑A ④对于等直杆，其最大正应力发生在Nmax所在 的横截面上，此时式（3.1）变为：
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5 梁是否会被破坏，仍然需要与所用材料的强度 来比较，并由此建立强度条件。实践和分析表明， 对于一般细而长的梁，影响其强度的主要因素是弯 曲正应力。为了保证梁能够安全地工作，必须使梁 横截面上的最大正应力σmax不超过材料的抗弯容许 应力［σ］，故梁的正应力强度条件为：
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2 在工程上常遇到工字形、T形和圆环形等薄壁 截面梁，如图3.21所示。所谓“薄壁”，就是它们 的壁厚比起截面其他尺寸（如宽、高）来要小得多
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图3.21 薄壁截面梁的剪应力分析
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τmax与τmin相差不大，特别是当腹板的厚度（ 即宽度）比较小时，二者相差就更小。此时可近似 地认为腹板上的剪应力是均匀分布的。于是得出近 似公式：