分段函数连续性讨论书写格式

讨论分段函数在分段点的连续性与可导性涉及分段函数概念、连续概念、导数概念，既是重点，又是难点。建议同学们认真模仿以下3道题的解答过程，注意讨论的函数是整个分段函数()f x ，而不是其中的某段函数（以下解答中标红的不要省了）；务必精准写出连续、导数定义；答题过程较长时最后要加以总结．

例1：讨论20,1,()0

1,x x e f x x ≠⎧-=⎨=⎩在0x =的连续性与可导性．

解： (0)1f =．

020

li l m im (1)()0x x x f x e →→=-=． 因0

lim ()(0)x f x f →=，故 ()f x 在0x =不连续，从而也不可导． 例2：讨论20,1,()0sin ,

x x e f x x x ≤⎧-=⎨>⎩在0x =的连续性与可导性． 解：先讨论连续性．

(0)0f =．

因020li l m(1im )0()x x x f x e --→→=-=，且00

lim l s i m ()n 0i x x x f x ++→→==， 得0

lim ()0x f x →=． 因0

lim ()(0)x f x f →=，故 ()f x 在0x =连续． 再讨论可导性． 因021()(0)(01lim )lim 02x x x f x f f x e x

--→-→-'=--==， 但00sin l ()(0)(0)im l 1im x x f x f x f x x

++

+→→==-='， 得1()(0) (1)lim 0x f x f f x →-'=-不存在，故 ()f x 在0x =不可导． 总之， ()f x 在0x =连续，但不可导．

例3：讨论20,1,()0

sin 2,x x e f x x x ≤⎧-=⎨>⎩在0x =的连续性与可导性． 解：先讨论连续性．

(0)0f =．

因020li l m(1im )0()x x x f x e --→→=-=，且00lim sin 2l m ()0i x x f x x ++→→==， 得0

lim ()0x f x →=． 因0

lim ()(0)x f x f →=，故 ()f x 在0x =连续． 再讨论可导性． 因021()(0)(01lim )lim 02x x x f x f f x e x

--→-→-'=--==， 且00()(0)sin (0)lim 2lim 2x x f x f f x x x

+

++→→-='==， 得1()(0)(1)li 2m 0x f x f f x →-=-='存在，故 ()f x 在0x =可导． 总之， ()f x 在0x =连续，且可导．