高一数学概念(上)

第一章 集合和命题
集合
我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。

集合中的各个对象叫做这个集合的元素。

集合常用大写字母表示，集合中的元素用小写字母表示。

如果a 是集合A 的元素，就记作A a ∈，读作“a 属于A ”。

如果a 不是集合A 的元素，就记作A a ∉，读作“a 不属于A ”。

数的集合简称数集，常用大写的字母表示：
全体自然数组成的集合，即自然数集记作N ，不包括零的自然数组成的集合，记作N*；
全体整数组成的集合即整数集，记作Z ；
全体有理数组成的集合即有理数集，记作Q ；
全体实数组成的集合即实数集，记作R 。

含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。

规定空集不含元素，记作φ
集合的表示方法常用列举法和描述法。

将集合中的元素一一列举出来，并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法。

在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即}{p x x A 满足性质|=，这种表示集合的方法叫做描述法。

集合之间的关系
如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么A 叫做集合B 的子集，记作B A ⊆或（A B ⊇），读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”。

对于两个A 和B ，如果B A ⊆且A B ⊇，那么叫做集合A 与集合B 相等，记
作A＝B，读作“集合A等于集合B”。

对于两个集合A、B，如果B
A⊆，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A B或B A，读作“A真包含于B”或“B 真包含A”。

集合的运算
一般地，由集合A和集合B的所有公共元素组成的集合叫做A与B的交集，
A ，读作“A交B”。

集合A、B没有公共元素，即交集为空集。

记作B
由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合叫做集合A、B的并
A ，读作“A并B”。

集，记作B
在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合叫做全集，常用符号U表示。

设U为全集，A是U的子集，则由
C, U中所有不属于A的元素组成的集合叫做集合A在全集U 中的补集。

记作A
U
读作“A补”。

命题的形式及等价关系
可以判断真假的语句叫做命题。

正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。

一个数学命题用条件α，结论β表示就是“如果α，那么β”，如果把结论与条件互相交换，就得到一个新命题：“如果β，那么α”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。

一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定，我们把这样两个命题叫做逆否命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个命题就叫做原命题的否命题。

如果我们把α、β的否定分别记作α、β，那么命题“如果α，那么β”的否命题就是：“如果α，那么β”。

如果A 、B 是两个命题，B ⇒A ，A ⇒B ，那么A 、B 叫做等价命题。

原命题与逆否命题就是等价命题。

充分条件，必要条件
一般地，用α、β分别表示两个命题，如果命题α成立，可以推出命题β也成立，即βα⇒，那么α叫做β的充分条件。

β叫做α的必要条件。

子集与推出关系
设A 、B 是非空集合，A ＝{}α具有性质a a |，B ＝{}β具有性质b b |，则B ⊆A 与βα⇒等价。

第二章 不等式
不等式的基本性质
a>b 的充要条件是a-b>0；
a=b 的充要条件是a-b=0；
a<b 的充要每件是a-b<0。

性质1：如果a>b,b>c ，那么a>c ；
性质2：如果a>b ，那么a+c>b+c ；
性质3：如果a>b,c>0,那么ac>bc ；
如果a>b,c<0，那么ac<bc 。

一元二次不等式的解法
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式。

它的一般形式是：
02>++c bx ax 或02<++c bx ax （0≠a ）
一般地，设一元二次不等式为
02>++c bx ax 或02<++c bx ax （0>a ）
当对应的一元二次方程02=++c bx ax 的根式判别式042>-=∆ac b 时，先求出方程的两个实数根21x x 、（不妨设21x x <），于是不等式02>++c bx ax 的解集为
{}21|x x x x x ><或；
不等式02<++c bx ax 的解集为
{}21|x x x x <<。

设a 、b 都为实数，并且b a <，规定：
（1）集合{}b x a x ≤≤|叫做闭区间，表示为[]b a ,；
（2）集合{}b x a x <<|叫做开区间，表示为()b a ,；
（3）集合{}b x a x <≤|或{}b x a x ≤<|叫做半开半闭区间，分别表示为[)b a ,或(]b a ,。

（4）把实数集R 表示为()+∞∞-,；把集合{}a x x ≥|、{}a x x >|、{}b x x ≤|和{}b x x <|分别用区间[)+∞,a 、()+∞,a 、(]b ,∞-和()b ,∞-表示，与也叫做区间的端点；“∞+”读作“正无穷大”，“∞-”读作“负无穷大”。

当判别式0<∆时，所以不等式02>++c bx ax 的解集为实数集R ；不等式02<++c bx ax 的解集为空集。

当0=∆时，a
b x x 221-==，所以不等式02>++
c bx ax 的解集为⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,22,a b a b ；不等式02<++c bx ax 的解集为空集。

其他不等式的解法 型如0)()(>x x f ϕ或0)
()(<x x f ϕ（其中)(x f 、)(x ϕ为整式且0)(≠x ϕ的不等式称为分式不等式。

基本不等式及其应用
基本不等式1 对任意实数a 和b ，有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时等号成立。

基本不等式2 对任意正数a 、b ，有
ab b a ≥+2
，当且仅当b a =时等号成立。

把
2b a +和ab 分别叫做正数a 、b 的算术平均数和几何平均数。

第三章 函数的基本性质
函数的概念
在某个变化过程中有两个变量x 、y ，如果对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，那么y 就是x 的函数，记作D x x f y ∈=),(，x 叫做自变量，y 叫做因变量，x 的取值范围D 叫做函数的定义域，和x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

当函数的变量之间的对应关系不适合或者难以用解析式刻画时，图或表是有效的表示函数的方法。

当一个函数可用分段的解析式表示时，把这个函数叫做分段函数。

函数关系的建立
当我们要用数学方法解决实际问题时，首先要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式表示出来，通常，这个过程叫做建模。

函数的运算
一般地，已知两个函数))((1D x x f y ∈=，))((2D x x g y ∈=，设21D D D =，
并且D 不是空集，那么当D x ∈时，)(x f y =与)(x g y =都有意义，于是把函数))(()(D x x g x f y ∈+=叫做函数)(x f y =与)(x g y =的和。

函数的基本性质
一般地，如果对于函数)(x f y =的定义域D 内的任意实数x ，都有)()(x f x f =-，那么就把函数)(x f y =叫做偶函数。

函数定义域D 关于原点对称是这个函数为偶函数的必要非充分条件。

如果函数))((D x x f y ∈=是偶函数，那么函数)(x f y =的图像关于y 轴成轴对称图形，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴成轴对称图形，那么这个函数必是偶函数。

如果对于函数)(x f y =的定义域D 内的任意实数x ，都有)()(x f x f -=-，那么就把函数)(x f y =叫做奇函数。

如果函数))((D x x f y ∈=是奇函数，那么函数)(x f y =的图像关于原点成中A B 心对称图形，反过来，如果一个函数的图像关于原点成中心对称图形，那么这个函数必是奇函数。

第四章 幂函数、指数函数和对数函数（上）
幂函数的性质与图像
一般地，函数k x y =（k 为常数，Q k ∈)叫做幂函数。

幂函数的图像都经过点（1，1）
指数函数的图像与性质
一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。

指数函数的性质：
（1）指数函数x a y =的函数值恒大于零。

（2）指数函数x a y =的图像经过点（0，1）。

（3）函数)1(>=a a y x 在),(+∞-∞内是增函数，函数)10(<<=a a y x 在),(+∞-∞内是减函数。