一元二次不等式及其解法例题分类
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一对一个性化辅导教案
一元二次不等式及其解法
【要点梳理】
要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.比如:
250x x -<.一元二次不等式的一般形式:20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠.
设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <,则不等式20ax bx c ++>的解集为
{}2
1
x x x x x ><或,不等式2
0ax
bx c ++<的解集为{}21x x x x <<
要点诠释:讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ≠成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系
对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤,设ac b 42-=∆,它的解按照
0>∆,0=∆,0<∆可分三种情况,相应地,二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或
20ax bx c ++<(0)a >的解集.
二次函数
c
bx ax y ++=2(0>a )的图象
20(0)ax bx c a ++=>的根
有两相异实
根
)(,2121x x x x <
有两相等实根
a
b x x 221-
== 无实根
的解集
)0(02>>++a c bx ax
{}
2
1
x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-≠a b x x 2
R
的解集
)0(02><++a c bx ax
{}21
x x x
x <<
∅ ∅
要点诠释:
(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值,是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标;
(2)表中不等式的二次系数均为正,如果不等式的二次项系数为负,应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式,然后讨论解决;
(3)解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况,得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集.
要点三、解一元二次不等式的步骤
(1)先看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数; (2)写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >,计算判别式∆:
①0∆>时,求出两根12x x 、,且12x x <②0∆=时,求根a
b
x x 221-
==;
③0
∆<时,方程无解
(3)根据不等式,写出解集.
用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的过程
要点诠释:
1.解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正;若为负,则将其变为正数;
2.若相应方程有实数根,求根时注意灵活运用因式分解和配方法;
3.写不等式的解集时首先应判断两根的大小,若不能判断两根的大小应分类讨论;
4.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根,我们可以利用韦达定理,找到不等式的解集与其系数之间的关系;
5.若所给不等式最高项系数含有字母,还需要讨论最高项的系数. 【典型例题】
类型一:一元二次不等式的解法 例1. 解下列一元二次不等式
(1)250x x -<; (2)2440x x -+>; (3)2450x x -+->
举一反三:
【变式1】已知函数222,0,
()2,0
x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩ 解不等式f (x )>3.
类型二:含字母系数的一元二次不等式的解法 例2.解关于x 的不等式:ax 2-x+1>0
【总结升华】对含字母的二元一次不等式,一般有这样几步:
①定号:对二次项系数大于零和小于零分类,确定了二次曲线的开口方向;
②求根:求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时,要引入讨论,分类求解; ③定解:根据根的情况写出不等式的解集;当无法判断两根的大小时,引入讨论. 举一反三:
【变式1】解关于x 的不等式:)0(01)1
(2≠<++-a x a
a x
【变式2】求不等式12x 2-ax >a 2(a ∈R )的解集. .
例3.解关于x 的不等式:ax 2-(a+1)x+1<0.
举一反三:
【变式1】解关于x的不等式:(ax-1)(x-2)≥0;
【变式2】解关于x 的不等式:ax 2+2x-1<0;
类型三:一元二次不等式的逆向运用
例4. 不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈,求关于x 的不等式210nx mx +->的解集.
举一反三:
【变式1】不等式ax 2+bx+12>0的解集为{x|-3 【变式2】已知220ax x c ++>的解为11 32x -<<,试求a 、c ,并解不等式220cx x a -+->. 【变式3】已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2),求关于x 的不等式210bx ax ++>的解集. 类型四:不等式的恒成立问题 例5.已知关于x 的不等式(m 2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3>0对一切实数x 恒成立,数m 的取值围.