集合论与图论试卷4
哈工大2005年秋季学期《集合论与图论》试题
集合论与图论计算机学院05年秋季一、 解答下列问题，要求只给出答案（每题2分，共16分）1.设A B 、为集合，试求一个集合X ，合得A X B ∆=。
（ A B ∆ ）2.设{}1,2,3,4A =，{}1,2B =，试求从A 到B 的满射的个数。
（42214-=）3.设{}1,2,,10A = ，试求A 上反自反二无关系的个数。
（29022n n -=）4.设{}12,,,p A u u u = ，()112q p p ≤-。
试求以V 为顶点集具有条边的无向图的个数。
（ ⎝⎛-2/)1(p p q）5.设T 是一个有P 个顶点的正则二元树，试求下的叶子数，其中P 是奇数。
（12P +）6.正整数m 和n 为什么值时,Km n 为欧拉图？（m n 和为偶数）7.设(),G V E =为无向图，,V P E P ==。
如果G 是边通图，那么G 至少有几个生成树？ （3个）8. 具有p 个顶点q 条边的平面连通图中，p 和q 应满足什么样的关系式？(36q p ≤-)二、以下各题要求只给出答案（每题2分，共14分）１.设{}()()(){},,,,,,,,,X a b c d R a b b c c a ==，试求R 的传递闭包。
（()()()()()()()()(),,,,,,,,,,a a b b c c a b b c c a a c b a c b ，，，，，，，）2.将置换（123456789791652348）分解为循环置换的乘积，然后分解成对换的乘积()()()()()()()()()173298465171329282426=。
3.设0000010110100000010000000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12345110000210110310100410110500001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 如果A 4.设{}{}0,1,,,,,,,B E a b c x y z == 。
(完整word版)离散数学集合论部分测试题
离散数学集合论部分综合练习本课程综合练习共分3次，分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，这3次综合练习基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合练习，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。
本次是集合论部分的综合练习。
一、单项选择题1．若集合A={a，b}，B={ a，b，{ a，b }}，则（）．A．A⊂B，且A∈B B．A∈B，但A⊄BC．A⊂B，但A∉B D．A⊄B，且A∉B2．若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )．A．{a，{ a }}∈A B．{ a }⊆AC．{2}∈A D．∅∈A3．若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A．{a，{a}}∈A B．{2}⊆AC．{a}⊆A D．∅∈A4．若集合A={a，b，{1，2 }}，B={1，2}，则（）．A．B⊂ A，且B∈A B．B∈ A，但B⊄AC．B ⊂ A，但B∉A D．B⊄ A，且B∉A5．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．A．{{1}, {a}} B．{∅,{1}, {a}}C．{∅,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }}6．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．A．1024 B．10 C．100 D．17．集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={<x，y>|x+y=10且x, y∈A}，则R 的性质为（）．A．自反的B．对称的C．传递且对称的D．反自反且传递的8．设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={<a , b>⎢a , b∈A , 且a +b = 8}，则R具有的性质为（）．A．自反的B．对称的C．对称和传递的D．反自反和传递的9．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（）个．A．0 B．2 C．1 D．310．设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<4 , 4>}，S = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<3 , 2>，<4 , 4>}，则S 是R 的（ ）闭包．A ．自反B ．传递C ．对称D ．以上都不对11．设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系 的哈斯图如图一所示，若A 的子集B = {3 , 4 , 5}，则元素3为B 的（ ）．A ．下界B ．最大下界C ．最小上界D ．以上答案都不对12．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}，则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( )．A ．8、2、8、2B ．无、2、无、2C ．6、2、6、2D ．8、1、6、113．设A ={a , b }，B ={1, 2}，R 1，R 2，R 3是A 到B 的二元关系，且R 1={<a ，2>, <b ，2>}，R 2={<a ，1>, <a ，2>, <b ，1>}，R 3={<a ，1>, <b ，2>}，则（ ）不是从A 到B 的函数．A ．R 1和R 2B ．R 2C ．R 3D ．R 1和R 3二、填空题1．设集合A 有n 个元素，那么A 的幂集合P (A )的元素个数为 ．2．设集合A ＝{a ，b }，那么集合A 的幂集是 ． 应该填写：{∅,{a ,b },{a },{b }}3．设集合A ={0, 1, 2, 3}，B ={2, 3, 4, 5}，R 是A 到B 的二元关系， },,{B A y x B y A x y x R ⋂∈∈∈><=且且则R 的有序对集合为 ．4．设集合A ={0, 1, 2}，B ={0, 2, 4},R 是A 到B 的二元关系，},,{B A y x B y A x y x R ⋂∈∈∈><=且且则R 的关系矩阵M R ＝．5．设集合A ={a ,b ,c }，A 上的二元关系R ={<a , b >,<c . a >}，S ={<a , a >,<a , b >,<c , c >}则(R •S )－1= ．6．设集合A =｛a ,b ,c ｝，A 上的二元关系R ={<a , b >, <b , a >, <b , c >, <c , d >}，则二元关系R 具有的性质是 ．7．若A ={1,2}，R ={<x , y >|x ∈A , y ∈A , x +y =10}，则R 的自反闭包为 ．8．设集合A ={1, 2}，B ={a , b }，那么集合A 到B 的双射函数是 ．5 图一9．设A ={a ，b ，c }，B ={1，2}，作f ：A →B ，则不同的函数个数为 ．三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．设A 、B 、C 为任意的三个集合，如果A ∪B =A ∪C ，判断结论B =C 是否成立？并说明理由．2．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，判断结论：“R -11、R 1∪R 2、R 1⋂R 2是自反的” 是否成立？并说明理由．3． 若偏序集<A ，R >的哈斯图如图一所示，则集合A 的最大元为a ，最小元不存在．4．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图二所示，则集合A 的最大元为a ，最小元不存在．5．设N 、R 分别为自然数集与实数集，f ：N→R ，f (x )=x +6，则f 是单射．四、计算题 1．设集合A ＝{a , b , c }，B ={b , d , e }，求（1）B ⋂A ； （2）A ⋃B ； （3）A －B ； （4）B ⊕A ．2．设A ={{a , b }, 1, 2}，B ={ a , b , {1}, 1}，试计算（1）（A -B ） （2）（A ∪B ） （3）（A ∪B ）-（A ∩B ）．3．设集合A ={{1},{2},1,2}，B ={1,2,{1,2}}，试计算（1）（A -B ）； （2）（A ∩B ）； （3）A ×B ．4．设A ={0，1，2，3，4}，R ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y <0}，S ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤3}，试求R ，S ，R •S ，R -1，S -1，r (R )．5．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}．（1）写出关系R 的表示式； （2）画出关系R 的哈斯图；（3）求出集合B 的最大元、最小元．6．设集合A ＝{a , b , c , d }上的二元关系R 的关系图 如图三所示．（1）写出R 的表达式； （2）写出R 的关系矩阵； （3）求出R 2．7．设集合A ={1，2，3，4}，R ={<x , y >|x , y ∈A ；|x -y |=1或x -y =0}，试（1）写出R 的有序对表示； （2）画出R 的关系图；（3）说明R 满足自反性，不满足传递性．五、证明题1．试证明集合等式：A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．2．试证明集合等式A ⋂ (B ⋃C )=(A ⋂B ) ⋃ (A ⋂C )．图一 图二 a d bc 图三3．设R 是集合A 上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意a ∈A ，存在b ∈A ，使得<a , b >∈R ，则R 是等价关系．4．若非空集合A 上的二元关系R 和S 是偏序关系，试证明：S R ⋂也是A 上的偏序关系．参考解答一、单项选择题1．A 2．B 3．C 4．B 5．C 6．A 7．B8．B 9．B 10．C 11．C 12．B 13．B二、填空题1．2n2．{∅,{a ,b },{a },{b }}3．{<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3, 3>4．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0110000115．{<a . c >, <b , c >}6．反自反的7．{<1, 1>, <2, 2>}8．{<1, a >, <2, b >}，{<1, b >, <2, a >}9．8三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．解：错．设A ={1, 2}，B ={1}，C ={2}，则A ∪B =A ∪C ，但B ≠C ．2．解：成立．因为R 1和R 2是A 上的自反关系，即I A ⊆R 1，I A ⊆R 2。
集合论与图论参考答案
℘({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {∅, {∅}} }
这是错误的，记住对任意的集合A，℘(A)中的元素个数总是2的幂，所以不可能是3个元素。注意下面 几个集合的差别：
∅
{∅}
{{∅}}
{{{∅}}}
对于(3)，有些同学没有想到上面的说明方法，对于计算℘℘℘({∅})又没有耐心，所以要么计算错，要 么直接写上了答案（我怀疑是参考别人的答案）。对于(4)，很多同学忘记了 ℘(A) = A这个等式， 而在计算时也有不少同学出错，最多错的答案是：
(1) A ∪ B ∪ C ∪ D = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 21, 24, 27, 30, 32, 64}
(2) A ∩ B ∩ C ∩ D = ∅ (3) B − (A ∪ C) = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 4, 5, }
若 且 ，则 。 (5) A∈B B∈C A∈C
解答：
(1) 该命题为真。因为B ⊆ C意味着对任意的x，若x∈B，则x∈C，因此若A∈B，则A∈C。
该命题为假。例如 ，则 及 ，但 。 的子 (2)
A = {1}, B = {{1}}, C = {{1}, 2} A∈B B ⊆ C A ⊆ C C
由 ， 就得到 。 A∪ ∼ A = E B ∩ E = B, C ∩ E = C
B=C
点评：这一比较简单，类似课堂上举的例子：A ∩ B = A ∩ 且C A ∪ B = A ∪ C蕴含B = C，但有
些同学没有认真听课，而没有想到这一点。
作业1.8 化简下列各式
图论试题及答案解析图片
图论试题及答案解析图片一、选择题1. 图论中，图的基本元素是什么？A. 点和线B. 点和面C. 线和面D. 点和边答案：A2. 在无向图中，如果两个顶点之间存在一条边，则称这两个顶点是：A. 相邻的B. 相连的C. 相等的D. 相异的答案：A3. 在有向图中，如果从顶点A到顶点B有一条有向边，则称顶点A是顶点B的：A. 父顶点B. 子顶点C. 邻接顶点D. 非邻接顶点答案：B4. 一个图的度是指：A. 图中顶点的总数B. 图中边的总数C. 一个顶点的边数D. 图的连通性答案：C5. 一个图是连通的，当且仅当：A. 图中任意两个顶点都是相邻的B. 图中任意两个顶点都可以通过边相连C. 图中任意两个顶点都可以通过路径相连D. 图中任意两个顶点都可以通过子顶点相连答案：C二、填空题1. 在图论中，一个顶点的度数是该顶点的________。
答案：边数2. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过边相连，则称该图为________。
答案：完全图3. 一个图中，如果存在一个顶点到其他所有顶点都有边相连，则称该顶点为________。
答案：中心顶点4. 图论中，最短路径问题是指在图中找到两个顶点之间的________。
答案：最短路径5. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过有向路径相连，则称该图为________。
答案：强连通图三、简答题1. 请简述图论中的欧拉路径和哈密顿路径的定义。
答案：欧拉路径是指在图中经过每条边恰好一次的路径，而哈密顿路径是指在图中经过每个顶点恰好一次的路径。
2. 什么是图的着色问题？答案：图的着色问题是指将图中的顶点用不同的颜色进行标记，使得相邻的两个顶点颜色不同。
四、计算题1. 给定一个无向图G，顶点集为{A, B, C, D, E}，边集为{AB, BC, CD, DE, EA}，请画出该图，并计算其最小生成树的权重。
答案：首先画出图G的示意图，然后使用克鲁斯卡尔算法或普里姆算法计算最小生成树的权重。
北工大-集合与图论选择题
1、在0 Φ之间应填入（ ）符号。
A 、= ；B 、⊂；C 、∈；D 、∉。
2、设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列各式中（ ）是错的。
A 、A ⊆Φ；B 、{6，7，8}∈A ；C 、{{4，5}}⊂A ；D 、{1，2，3}⊂A 。
3、下列结论中，( ) 为正确的。
A 、{Ф}∈{Ф,{{Ф}}} ；B 、{Ф}⊆{Ф,{{Ф}}}；C 、Ф∈{{Ф}}；D 、{a,b}∈{a,b,{a},{b}}。
4、下列结论中，( )是正确的。
A 、所有空集都不相等；B 、{Ф}≠Ф；C 、{Ф}=Ф；D 、若A 为非空集，则A ⊂A 成立。
5、设P={x|(x+1)2≤4且x ∈R},Q={x|5≤x 2+16且x ∈R}，则结论（ ）正确。
A 、Q ⊂P ；B 、Q ⊆P ；C 、P ⊂Q ；D 、P=Q 。
6、下列各式中， ( ) 是对的。
A 、{a,b}={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0}；B 、{a,b,c} ={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0}；C 、{b,a}={x|x 2-(a+b)x+ab=0}；D 、{b,a}={a,b,c}。
7、设A={1，2，3，4，5}，下面（ ）集合等于A 。
A 、{1，2，3，4，5，6}；B 、}25{2≤x x x 是整数且； C 、}5{≤x x x 是正整数且；D 、}5{≤x x x 是正有理数且。
8、设S 1={1，2，…，8，9}，S 2={2，4，6，8}，S 3={1，3，5，7，9}，S 4={3，4，5}，S 5={5}，在条件31S X S X ⊄⊆且下X 与（ ）集合相等。
A 、S 2或S 5 ；B 、S 4或S 5；C 、S 1，S 2或S 4；D 、X 与S 1，…，S 5中任何集合都不等。
9、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则有（ ）S ⊆。
A 、{{1,2}}；B 、{1,2 }；C 、{1}；D 、{2}。
集合论与图论答案 第四章习题
第四章 无穷集合及其基数习题136P 1.设A 为由序列12,,,,n a a a的所有项组成的集合，则是否市可数的？为什么？解：因为序列是可以重复的，故若A 是由有限个数组成的集合，则A 是有限的集合；若A 是由无限个数组成的集合，则A 是可数的。
故本题A 是至多可数的。
2.证明：直线上互不相交的开区间的全体所构成的集合至多可数。
证：在每个开区间中取一个有理数，则这些有理数构成的集合是整个有理数集合Q 的子集，因此是至多可数的。
3.证明：单调函数的不连续点的集合至多可数。
证：设A 是所有不连续点的集合，f 是一个单调函数，则00,x A x ∀∈对应着一个区间0((0),(0))f x f x -+，于是由上题便得到证明。
4.任一可数集A 的所有有限子集构成的集族是可数集合。
证：设1212{,,,,},{,,,},n i i ik A a a a B a a a ==则B A ⊆且B k =<∞。
令{,}B B A B B =⊆<∞，设:{0,1}A ϕ→，则ϕ是Ａ的子集的特征函数。
,()B B ϕ∀∈B =｛0，1的有穷序列｝，即i a A ∀∈， 若i a B ∈，则对应1；若i a B ∉则对应0。
于是,()B B ϕ∀∈B 就对应着一个由0，1组成的有限序列0，1，1，0，…，0，1。
此序列对应着一个二进制小数，而此小数是有理数。
于是，可数集A 的所有有限子集B 对应着有理数的一个子集。
又121212,,,,B B B B B B ∀∈B ≠对应的小数也不同，故ϕ是单射。
而可数集Ａ的所有有限子集B 是无穷的，故B 是可数的。
5．判断下列命题之真伪：(1)若:f X Y →且f 是满射，则只要X 是可数的，那么Y 是至多可数的；(2)若:f X Y →且f 是单射，那么只要Y 是可数的，则X 也是可数的；(3)可数集在任一映射下的像也是可数的； 答案：对，错，错。
7．设Ａ是有限集，Ｂ是可数集，证明：{|:}A B f f A B =→是可数的。
大学集合论与图论期末考试复习资料
集合论与图论JK211009——在线考试复习资料2021版一、单选题1.设G是简单有向图,可达矩阵P(G)刻画下列关系中的是()A.点与边B.边与点C.点与点D.边与边答案：C2.A.6B.5C.4D.3答案：B3.图中满足以下哪个条件?()A.有欧拉回路和哈密尔顿回路B.有欧拉回路,但无哈密尔顿回路C.无欧拉回路,但有哈密尔顿回路D.既无欧拉回路,又无哈密尔顿回路答案：D4.A.B.C.D.答案：B5.下面不能成为图的度数序列是()A.(1,2,3,4)B.(1,2,3,6)C.(1,3,5,7)D.(1,3,4,9)答案：D6.设简单无向图G有15条边,有3个4度结点,有4个3度结点,其余结点的度数均为2,那么G的结点总数为()A.9B.10C.11D.12答案：B7.如图所示,以下说法正确的是()A.e是割点B.{a,e}是点割集C.{b,e}是点割集D.{d}是点割集答案：A8.图G和G1的结点以及边分别存在一一对应关系,此对应关系是两图同构的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也非必要条件答案：B9.设顶点集为V={a,b,c,d,e},下列几个无向图是简单图的有()A.G1=(V,E1),E1={(a,b),(b,c),(c,b),(a,e)}B.G2=(V,E2),E2={(a,b),(b,c),(c,a),(a,d),(d,e)}C.G3=(V,E3),E3={(a,b),(b,c),(c,d),(e,e)}D.G4=(V,E4),E4={(a,a),(a,b),(c,c),(c,e)}答案：B10.若R是集合A上的等价关系,则下面哪个不一定满足()A.B.R2=RC.t(R)=RD.R-1=R答案：A11.A.B.C.D.答案：A12.A.B.C.D.答案：A13.下列哪个关系矩阵具有反自反性?()A.B.C.D.答案：A14.设集合A={1,2,3,4},A上的等价关系R={<1,3>,<3,1>,<2,4>,<4,2>}∪I A,则对应于R的A划分是()A.B.C.D.答案：B15.设集合A={1,2,3,4}上的二元关系,R={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<4,4>},S={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<3,2>,<4,4>},则S是R的()A.自反闭包B.传递闭包C.对称闭包D..不是任何闭包答案：C16.哈密尔顿回路是()A.只是简单回路B.是基本回路,但不是简单回路C.既是基本回路也是简单回路D.既非基本回路也非简单回路答案：C17.设A={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除关系,B={2,4,6},则集合的最大元、最小元、上界、下界依次为()A.8、2、8、2B.无、2、无、2C.6、2、6、2D.8、1、6、1答案：B18.下列各组数中不能构成无向图的度数序列的是()A.(1,1,2,3,5)B.(1,3,1,3,2)C.(1,2,3,4,5)D.(1,2,3,4,6)答案：C19.A.自反的B.对称的C.传递且对称的D.反自反且传递的答案：B20.图中满足以下哪个条件?()A.有欧拉回路和哈密尔顿回路B.有欧拉回路,但无哈密尔顿回路C.无欧拉回路,但有哈密尔顿回路D.既无欧拉回路,又无哈密尔顿回路答案：B21.设A={a,{a}},下列命题错误的是()A.B.C.D.答案：A22.设G1、G2、G3、G4都是(4,3)的简单无向图,则它们之间至少有几个是同构的?()A.2个B.3个C.4个D.可能都不同构答案：B23.若集合A的元素个数为4,则其幂集的元素个数为()A.1个B.4个C.8个D.16个答案：D24.设结点集V={a,b,c,d},则下列与V构成强连通图的边集的是()A.E1={<a,d>,<b,a>,<b,d>,<c,b>,<d,c>}B.E2={<a,d>,<b,a>,<b,c>,<b,d>,<d,c>}C.E3={<a,c>,<b,a>,<b,c>,<d,a>,<d,c>}D.E4={<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>}答案：A25.在0()之间写上正确的符号。
集合论、图论重要习题100
例：1、设A,B是两个集合,B≠¢,试证:若A×B=B×B, 则A=B。
2、设A,B,C,D是任意四个集合，证明：（A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)3、某班30名学生中学英语有7人，学日语有5人，这两科都选有3人，问两科都不选的有多少人？(|AC∩BC|+|A∪B|=30, |AC∩BC|=21人)4、令N={1,2,3,…}，S:N→N，则(1)∀n∈N,S(n)=n+1,Ｓ称为自然数集N上的后继函数。
(2)S(1)=1,∀n∈N,S(n)=n-1,n≥2,Ｓ称为自然数集N 上的前仆函数。
5、设f:N×N →N,f((x,y))=xy。
则（1）说明f是否是单射、满射或双射？（2）求f(N×{1}),f-1({0})。
(1,4)≠(2,2),f((1,4))=f((2,2))=4；∀y∈N,f((1,y))=1·y=y,任一元都有原象；[f不是单射,f是满射]f(N×{1})={n·1|n ∈N}=N；f-1({0})={(x,y)|xy=0}={N×{0}}⋃{{0}×N}。
6、设R、I、N是实数、整数、自然数集合，下面定义映射f1,f2,f3,f4,f5,f6，试确定它们的性质。
（0 ∈N）（1）f1:R→R,f1(x)=2x；（2）f2:I→N,f2(x)=|x|；f1单射，不是满射。
f2不是单射，满射。
（3）f3:N→N,f3(n)=n(mod3)；（4）f4:N→N×N,f4(n)=(n,n+1)；f3不是单射，不是满射；f4单射，不是满射。
（5）f5:R→R,f5(x)=x+2；（6）f6:R→R,f6(x)=x2,x≥0,f6(x)=-2,x<0；f5是双射(单射,满射)；f6不是单射,不是满射。
7、证明：在52个正整数中，必有两个整数，使得这两个整数之和或差能被100整除。
哈工大2006年秋季学期《集合论与图论》试题
哈工大2006年秋季学期《集合论与图论》试题哈工大 2006年秋季学期《集合论与图论》试题本试题满分90，平时作业分满分10分。
一、（10分，每小题1分）判断下列各命题真伪（真命题打“√”号，假命题打“×”号）：1．从{1，2，3}到{4，5}共有9个不同的映射。
（）2．从{1，2，3}到{4，5}共有5个不同的满射。
（）3．从{4，5}到{1，2，3}共3个不同的单射。
（）4．集合{1，2，…，10}上共有2100个不同的二元关系。
（）5．如果A为可数集，则2A也是可数集合。
（）6．欧拉图中没有割点。
（）7．有向图的每一条弧必在某个强支中。
（）8．P为正整数，Kp的顶点连通度为P－1。
（）9．（P，P）连通图至少有2个生成树。
（）10．每个有2个支的不连通图，若每个顶点的度均大于或等于2，则该图至少有2个圈。
（）二、（20分，每小题2分）计算题。
对每一小题给出计算结果：1．{1，2，…，n}上有多少个反自反且对称的二元关系？（）2．把置换123456789579413826分解成循环置换的乘积。
（）3．计算下面两个图G1和G2的色数。
（）G1：G2：（答：G1的色数为，G2的色数为）4．设X为集合，R为X上的偏序关系，计算1iiR ∞=等于什么。
（）5．求下面的有向图D的邻接矩阵和可达矩阵。
D=-------------------：（）6．一个有向图D=(V，A)满足什么条件是V到V的一个映射的图？（）7．P个顶点的无向连通图G的邻接矩阵中至少有多少个1？（）8．设X为n 个元素的集合，X上有多少个二元运算？（）9．9个学生，每个学生向其他学生中的3个学生各送一张贺年卡。
确定能否使每个学生收到的卡均来自其送过卡的相同人？为什么？（）10．某次会议有100人参加，每人可以是诚实的，也可能是虚伪的。
已经知道下面两项事实：（1）这100人中至少有一人是诚实的；（2）任两人中至少有一人是虚伪的。
北大集合论与图论往年考题.pdf
一、用真值表证明德*摩根律（证明其中一条即可）。
二、设A,B,C是集合，试问在什么条件下(A-B)-C=A-(B-C)？给出证明。
三、设A={a,b,c}，问A上有多少种不同的：二元关系？自反关系？对称关系？传递关系？等价关系？偏序关系？良序关系？四、用花括号和空集来表示1⨯2（注意⨯表示集合的叉乘）.五、设R是实数集，Q是有理数集，试构造出R-Q与R之间的双射.1．简单叙述构造的思路；2．给出双射f：R-Q -> R 或f：R -> R-Q的严格定义。
2008年期末考题：一、在有向图中，如果存在从顶点u到顶点v的有向通路，则说u可达v；如果顶点u和顶点v互相可达，则说u双向可达v。
回答下列问题：1．顶点集上的可达关系是不是等价关系？为什么？2．顶点集上的双向可达关系是不是等价关系？为什么？3．对于上述两个关系，如果是等价关系，其等价类的导出子图称为什么？二、一棵树有13个顶点，除了3个2度顶点和若干个树叶之外，其余顶点都是5度。
1．求出5度顶点的个数（写出计算过程）；2．画出所有互不同构的这种树。
三、计算出右图中v1到v4长度为4的通路数（要写出计算过程的主要步骤），并写出一个最小支配集、一个最大团、一个最小边覆盖、一个最大匹配。
四、如果一个图中所有顶点度数都为k，则称为k正则图。
8阶3正则简单图一定是平面图吗？一定不是平面图吗？为什么？五、证明：如果正则简单图G和补图G都是连通图，则G和G中至少有一个是欧拉图。
六、证明：如果n阶（n≥3）简单图G中，对于任何1≤j<n/2，G中度数不超过j的顶点个数都小于j，则G一定是哈密顿图。
2007年期中考题一、设A,B为集合, P(A)为A的幂集, 证明: P(A)⊆P(B)当且仅当A⊆B.二、设A={1,2,3,4}, R是A上的二元关系且R={<1,2>,<2,3>,<3,2>, <3,4>}.(1) 给出R的矩阵表示, 画出R的关系图;(2) 判断R具有哪些关系性质(自反,反自反,对称,反对称,传递);(3) 求出R的自反闭包r(R), 对称闭包s(R), 传递闭包t(R). (用关系图表示)三、设X,Y,Z是任意集合, 构造下列集合对之间的双射, 并给出是双射的证明.(1) Z(X⨯Y)与(Z X)Y ;(2) P(X⋃Y) 与P(X)⨯P(Y). (假设X⋂Y=∅)四、已知对每个自然数n, 都存在唯一后继n+=n⋃{n}. 证明: 对于每个非零自然数n, 都存在唯一前驱n-, 满足n=(n-)+.五、设f: A→B是单射, g: B→A是单射, 证明: 存在集合C,D,E,F, 使得A=C⋃D, C⋂D=∅, B=E⋃F,E⋂F=∅, 并且f(C)=E, g(F)=D.一、化简自然数的集合表达式（注意所有运算都是集合运算）：⋃⋃(2⨯3).二、证明集合之间的等势关系是等价关系.三、每个奇数阶竞赛图都可既是有向欧拉图又是有向哈密顿图吗？为什么？四、完全图K4在对边进行标定的情况下有多少棵不同的生成树？为什么？画出两棵不同构的生成树，并写出其中一棵对应的基本回路系统和基本割集系统.五、计算出右图中v2到v2长度为5的回路数，并计算出全体极小支配集和全体极小点覆盖集（要写出计算过程的主要步骤）.六、求彼德森图的点色数、边色数、点连通度、边连通度，并说明理由.七、证明简单平面图中至少有一个顶点的度数不超过5.八、证明：在8×8的国际象棋棋盘的一条主对角线上移去两端1×1的方格后，所得棋盘不能用1×2的长方形恰好填满。
图论试题及答案解析图片
图论试题及答案解析图片一、选择题1. 在图论中，一个图的顶点数为n，那么这个图最多有多少条边？A. nB. n(n-1)/2C. n^2D. 2n答案：B解析：在一个无向图中，每个顶点最多与其他n-1个顶点相连，因此最多有n(n-1)/2条边。
2. 什么是连通图？A. 至少有一个环的图B. 任意两个顶点都可以通过路径相连的图C. 没有孤立顶点的图D. 所有顶点度数都大于0的图答案：B解析：连通图是指图中任意两个顶点都可以通过路径相连的图。
3. 在图论中，什么是哈密顿路径？A. 经过图中所有顶点的路径B. 经过图中所有边的路径C. 经过图中所有顶点的回路D. 经过图中所有边的回路答案：A解析：哈密顿路径是指经过图中所有顶点的路径。
4. 什么是二分图？A. 图的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的顶点不相邻B. 图的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的顶点相邻C. 图的边可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的边不相邻D. 图的边可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的边相邻答案：A解析：二分图是指图的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的顶点不相邻。
5. 在图论中，什么是最小生成树？A. 包含图中所有顶点的最小边数的生成树B. 包含图中所有顶点的最小权重的生成树C. 包含图中所有边的最小权重的生成树D. 包含图中所有边的最小边数的生成树答案：B解析：最小生成树是指包含图中所有顶点的最小权重的生成树。
二、填空题1. 在无向图中，如果一个顶点的度数为n，则该顶点至少有______条边。
答案：n解析：一个顶点的度数是指与该顶点相连的边的数量。
2. 如果一个图是连通的，那么该图至少有______个连通分量。
答案：1解析：连通图的定义是图中任意两个顶点都可以通过路径相连，因此至少有一个连通分量。
3. 在图论中，一个图的色数是指给图的顶点着色，使得相邻顶点颜色不同，所需的最小颜色数。
《集合与图论》习题
第一章习题1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
假设u与v间有两条不同的通道(迹)，那么G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：假设δ(G)≥ 2，那么G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，那么G中有回路；(b)假设q≥p+4，那么G包含两个边不重的回路。
14．证明：假设图G不是连通图，那么G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，假设p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，假设p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的外表上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。
哈工大2004年秋季学期《集合论与图论》试题答案
《集合论与图论》试题 哈工大2004/2005年秋季学期参考答案一、1．｛2，5，6｝ 2． ３．２４ ４．２４ ５．６ ６．５ ７．２162６８． ９． １０．４122164二、１． ２． rq C 222n n+ ３．{( ４． P ＝2n －1 ５．q －p ＋1６．m ＝n ７．４ ８．()９．不存在 １０．没有零因子，若有零因子,),(,)}a c a b (1),, (2),,,a b N a b N r R n N rn N nr N ∀∈−∈∀∈∈∈∈0a ≠，则存在b ≠0，使得，0ab ob ==由消去律有矛盾 0a =三、（1） p ＝6，q ＝9（2）不一定是平面图。
如K 3,3就不是平面图．（3）G 一定是哈密顿图。
因为对任一对不相邻的顶点,u v V ∈，degu ＋degv ≥p ＝6 G 不是平面图。
因为G 的顶点度数不全是偶数。
四、1.解1：a 与a -1，b 与b -1同阶，故ab 与a -1 b -1＝（ba ）-1同阶。
而（ba ）-1与ab 同阶，故ab与ba 同阶。
解2：设a 的阶为n ，则有111111()()()()nn bab bab bab bab ba bbeb e −−−−−−===L =−)nbab e −；反之，设bab 的阶为n ，即(11=，得1n ba b − e =，而1n a b eb −e ==，所以与bab a 1−同阶，而ab 与同阶。
1bab b ba −=2．设G e ，则由3个元素构成的群如表所示{,,}a b =x e a be e a ba ab e b be a3．因为R 为环，故乘法满足分配律左边＝()()na b a a a b n =+++L 1442443)((ab ab ab a b b b a nb n n =++=+++=L L 14424431442443=右边 个 个 个 五、1.因为F 有四个元支，所以（F ，＋）群的阶为4，由Lagrange 定理知，F 中每个元素对加法的阶只能为1，2，4，又因为元素的特征数只能是素数，所以特殊数只能为2。
图论考试题及答案
图论考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 在图论中，如果一个图的任意两个顶点之间都存在路径，则称该图为连通图。
以下哪个图不是连通图？A. 树B. 完全图C. 环图D. 一个孤立的顶点答案：D2. 无向图中，如果存在一条边连接顶点u和顶点v，则称u和v为相邻顶点。
以下哪个选项描述了两个相邻顶点？A. 顶点u和顶点v之间有一条边B. 顶点u和顶点v之间没有边C. 顶点u和顶点v之间有两条边D. 顶点u和顶点v之间有三条边答案：A3. 在图论中，图的遍历是指访问图中的每个顶点恰好一次。
以下哪种遍历算法不能保证访问每个顶点恰好一次？A. 深度优先搜索B. 广度优先搜索C. 欧拉路径D. 迪杰斯特拉算法答案：D4. 图的着色问题是指将图中的顶点着色，使得相邻的两个顶点颜色不同。
以下哪个图的顶点着色数最少？A. 完全图K3B. 环图C4C. 完全二分图K2,2D. 树答案：D5. 图论中的哈密顿路径是一条经过图中每个顶点恰好一次的路径。
以下哪个图一定存在哈密顿路径？A. 完全图K5B. 环图C5C. 完全二分图K3,3D. 树答案：A二、填空题（每题2分，共10分）1. 在无向图中，如果存在一条边连接顶点u和顶点v，则称u和v为________顶点。
答案：相邻2. 图的遍历算法中，________算法使用栈来存储待访问的顶点。
答案：深度优先搜索3. 图的顶点着色数是指给图的顶点着色时，使得相邻顶点颜色不同所需的最少颜色数。
在图论中，一个图的顶点着色数不会超过其________数。
答案：最大度数4. 图论中的欧拉路径是指一条经过图中每条边恰好一次的路径，而________路径是指一条经过图中每个顶点恰好一次的路径。
答案：哈密顿5. 在图论中，如果一个图的任意两个顶点之间都存在路径，则称该图为________图。
答案：连通三、简答题（每题10分，共20分）1. 描述图论中的最短路径问题，并给出解决该问题的算法。
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哈工大 2007 年 秋季学期
本试卷满分90分
（06级计算机、信息安全专业、实验学院）
一、判断对错（本题满分10分，每小题各1分）
（ 正确画“√”，错误画“×”）
1．对每个集合A ，A A 2}{∈。
（ ）
2．对集合Q P ,，若∅==Q P Q Q P ,，则P =∅。
（ ）
3．设,,:X A Y X f ⊆→若)()(A f x f ∈，则A x ∈。
（ ）
4．设,,:Y B Y X f ⊆→则有B B f f ⊇-))((1。
( )
5．若R 是集合X 上的等价关系，则2R 也是集合X 上的等价关系。
（ ）
6．若:f X Y →且f 是满射，则只要X 是可数的，那么Y 是至多可数的。
（ ）
7．设G 是有10个顶点的无向图，对于G 中任意两个不邻接的顶点u 和v, 均有9deg deg ≥+v u ，则G 是哈密顿图。
（ ）
8．设)(ij
a A =是p 个顶点的无向图G 的邻接矩阵，则对于G 的顶点i v , 有∑==p
j ij i a v 1deg 成立。
（ ）
9. 设G 是一个),(q p 图，若1-≥p q ，则]/2[)(q p G ≤χ。
（ ）
10．图G 和1G 同构当且仅当G 和1G 的顶点和边分别存在一一对应关系。
( ）
二.填空(本题40分，每空各2分)
1．设}},{,{φφ=S 则=S 2 。
2．设B A ,是任意集合，若B B A =\，则A 与B 关系为 。
3．设1)(,0)()(,:};3,2{},1,0{},,,{===→===c f b f a f Y X f Z Y c b a X , 3)1(,2)0(,:==→g g Z Y g ,则)()(c f g a f g ，分别为 。
4．设X 和Y 是集合且X m =，Y n =，若n m ≤，则从X 到Y 的单射的
个数为 。
5．设}2,1{},,,2,1{==B n X ，则从X 到Y 的满射的个数为 。
6．设)}2,4(),1,3(),3,2{()},4,3(),2,2(),2,1{(},4,3,2,1{===S R X ，则
=)(R S R 。
7． 设⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5123454321,415235432121σσ，则 =21σσ 。
8. 设)},(),,(),,{(},,,,{a c c b b a R d c b a X ==，则 =+R 。
9. 设X 为集合且X n =，则X 上不同的自反或对称的二元关系的个数
为 。
10．设}}{},{},,{{},,,,{d c b a A d c b a X ==是X 的一个划分，则由A 确定的
X 上的等价关系为 。
11．}10,,2,1{ =S ，在偏序关系“整除”下的极大元为 。
12．给出一个初等函数)(x f ，使得它是从)1,0(到实数集合R 的一一对应，
这个函数为 。
13. 设G 是),(p p 连通图，则G 的生成树的个数至多为 。
14．含5个顶点、3条边的不同构的无向图个数为 。
15．设无向图G 有12条边，有6个3度顶点，其余顶点度数均小于3，则G 中
顶点数至少为 。
16．由6个顶点，12条边构成的平面连通图G 中，每个面由 条边围成。
17．若p K 为平面图，则p 的取值为 。
18．包含完全图p K 作为子图的无向图的顶点色数至少为 。
19．有向图的可达矩阵)(ij r R =中，若1==ji ij r r ,则顶点i v 与j v 之间是 。
20．高为h 的)2(≥r r 元正则树至多有 片树叶。
三、证明和计算（本题40分，每小题各5分）
1.设,,A B C 是三个任意集合，证明：(\)()\()A B C A B A C ⨯=⨯⨯。
2.设N n N N g f N ∈∀→=,:,},,2,1,0{ ，()(){}1,max 0,1f n n g n n =+=-。
证明：
(1)f 是单射而不是满射；(2)g 是满射而不是单射；(3)N g f I = ，但N f g I ≠ ；
3．设R 是A 上的一个自反关系，证明：
R 是等价关系⇔若(,)a b R ∈且(,)a c R ∈，则(,)b c R ∈。
4．设G 是一个),(q p 图，证明：G 是树⇔G 连通且1+=q p 。
5．设G 是一个),(q p 无向图，证明:（1）若]2
[)(p G ≥δ，则G 是连通的； （2）若G 是连通的，则是否一定有]2
[)(p G ≥δ成立？请说明理由。
6．证明：每个自补图必有n4或1
n个顶点(n为正整数)。
4+
7．设T是一棵树且k
(，证明：T中至少有k个顶点的度为1。
∆)
T≥
8．证明：一个没有有向回路（圈）的有向图中至少有一个入度为零的顶点。