数的开方与二次根式的性质

第1讲数的开方与二次根式的性质

◆【知识考点梳理】

1、平方根与算术平方根的意义：

数的平方根的运算叫做开平方；

没有平方根；

（3）算术平方根：一个正数的正的平方根叫做它的算术平方根；0的算术平方根是0； 2、算术平方根的性质： ①、)0()(2≥=a a a

②、)0,0(≥≥?=

b a b a ab

③、)0,0(>≥=b a b a b a ④、?

?≤-≥==)0()0(2

a a a a a a 3、算术平方根的非负性：a 具有双重非负性：①、0≥a ；②、0≥a ； 4、无理数的判定---无限不循环小数

注意：带根号的数不一定是无理数，无理数也不一定带根号。判断数看结果。 5、实数的混合运算：

（1=0a ≥，0b ≥）；（2=（0a ≥，0b >）；

（3）合并同类二次根式：(a b =+，0x ≥；

（4）在实数范围内，加法运算律、乘法运算律、乘法公式依然成立。

例如：22x y =-=-

◆【考点聚焦、方法导航】

【考点题型1】----平方根与算术平方根的意义

【例1】1、有意义的x 的取值范围是；x

x 1

+有意义的x 的取值范围是；

2、（易错题）81的算术平方根是（）

A 、9

B 、3

C 、3±

D 、9±

3、一个正数m 的两个平方根分别是1+a 和3-a ，则=a ，=m ；

4、若3.1=a ，则=a ；若62=x ，则=x ；

◆目标训练1： 1、

196

169的算术平方根是；2

)3(-的平方根是；610-的算术平方根是；

2、36的平方根是；2

)4(-的算术平方根的倒数是；

3、一个正数m 的两个平方根分别是1+a 和3-a ，则=a ，=m ；

4、解方程81)1(2=-x ，则=x （）

A 、10

B 、4

C 、10或8-

D 、4或2- ◆ 点拨：弄清符号特征与意义是关键【考点2】---无理数的概念

【例2】在数0.1427，

，π-，0.1010010001（两个1之间依次多一个0），

中，无理数有；分数有； ◆点拨：判断数看结果。无理数是无限不循环小数。

◆◆◆【考点题型3】---算术平方根的性质

【例3】1、计算：2(_________-=；若

(3)92

x -=，则x 的值为；

2、化简：_______=_______=________=；________=；

3、若0

A 、b a

B 、b a -

C 、b a -

D 、b a --

【例4】已知：71=+x x ，求值：①、221

x + ②、x x 1-

◆◆【考点题型4】

【例5】1、

有意义，则x 的取值范围是（）

A 、3x ≠

B 、x ＞3

C 、3x ≥且7x ≠

D 、2x ≠

2、已知04

222

=+-+++-z z z y y x ，求z y x ++的值；

3、若a 满足5a =，求1

a b -的值；

◆点拨：一个方程含有多个未知数，常考虑配方法构造非负数的和为0. ◆目标训练2：

1、计算或化简：①、289±= ；②、16

±= ；③、64

254916?= ； ④、

______5

=；______75=；________48=-； 2、如果2+-y x 与1-+y x 互为相反数，则y x 23-的值为； 3、如果221

,31x

x x x +=-

则的值为； ◆◆【考点题型5】---实数的混合运算

【例6】1、（广东茂名）对于实数a 、b ，给出以下三个判断：

①、若b a =，则b a =；②、若b a <，则b a <；③、若b a -=，则2

2)(b a =-。

其中正确的判断的个数是（）

A 、3

B 、2

C 、1

D 、0

2、能使代数式x

x --

+35

2有意义的x 的范围是（） A 、2x ≥-且3x ≠ B 、3x ≤ C 、23x -≤< D 、23x -≤≤

3、（河南）如图,数轴上表示1

A 、

B ，点B 关于点A 的对称点为

C ，则点C 所表示的数是（）

B 、1

C 、2

4、当10≤≤x 时，化简__________12

=-+x x ；【例7】计算下列各题：

（1）48512739+- （2）)31)(13()324(2-+--

（3）1)2004(125.02)

(032

---+?--π （4

◆◆ 【创新思维与能力拓展】

【例8】1、已知c b a ,,在数轴上的位置如图所示：

化简：____________)(3

=++++-++-b c b b a c b a a ；

2、已知a b c ??为ABC ?三边的长，化简|a b c -+________=；

【例9】已知：23-=x ，求4424234++++x x x x 的值；

【例10】1、已知3962-=+-x x x ，化简31___________x x ---=；

2、已知5ab =，则__________+=；

【例11】已知有理数a 、b 、x 、y 满足22131y a x y b =--=--，，试求：

b a y x +++22的值。

家庭作业

校区：科目：数学姓名：作业等级：

第一部分：

1、下列说法中正确的是（）

A 、任何数的平方根有两个；

B 、只有正数才有平方根；

C 、一个正数的平方根的平方仍是这个数；

D 、2

a 的平方根是a ； 2、若数a 在数轴上对应的点的位置在原点的左侧，下列各式中有意义的是（）

A 、a

B 、2a -

C 、a -

D 、3a

3、（怀化）若()2

240a c -+-=，则=+-c b a ；16的算术平方根是；

4、若9,422==b a ，且0

A 、2-

B 、5±

C 、5

D 、5-

5、若51

m ，则m m 1-的平方根是（）

A 、2±

B 、1±

C 、1

D 、2

有意义的实数a 的取值范围是；

第二部分：

7、d c b a ,,,为实数，现规定一种新的运算：c a d b ad bc =-，

那么当)1(2

x - 5

418=时，_______x =；

8、若10x y +=+，且x 为整数，01y <<，则_________x y -=； 9、计算：

1、2011

011(1)

7)()5π----+ 2、011

(1)()52

π--++-

实数的开方与二次根式(总复习)

初中数学总复习 1.3数的开方和二次根式一：【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的。一个正数有个平方根，它们互为；零的平方根是；没有平方根。（2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的。一个正数有一个的立方根；一个负数有一个的立方根；零的立方根是； 2.二次根式（1） ①20,a ≥=若则；③= (0,0)a b ≥≥ ( )()a a a ?==?-?0,0)a b =≥ （2）二次根式的运算 ①加减法：先化为，在合并同类二次根式； 0,0)a b =≥≥； 0,0)a b =≥ ④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。二：【课前练习】 1.填空题

2. 判断题 3. 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（） A 5. ） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 二：【经典考题剖析】 1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －|5|0c -=，试判断△ABC 的形状． 2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义（1；（2 （3 3．当x ≤2时，下列等式一定成立的是（） A 2x =- B 3x =- C 、= D 4. 那么x 取值范围是（）

A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 5. 当a 则实数a 在数轴上的对应点在（） A ．原点的右侧 B ．原点的左侧 C ．原点或原点的右侧 D ．原点或原点的左侧 6. 有下列说法：①有理数和数轴上的点—一对应；②不带根号的数一定是有理数；是17的平方根，其中正确的有（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 7. ______． 8. 当a ≥0= 9.计算（1）（2）、))20032 （3）、(2；（4） 10. 已知：x y 、为实数，3x+4y 的值。

初二数学二次根式及其性质

二次根式及其性质（基础）学习目标 1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由 . 2、理解并掌握下列结论： " _（ *），， " （ ' J ,并利用它们进行计算和化要点梳理要点梳理要点一、二次根式及代数式的概念 1. 二次根式：一般地，我们把形如 Jy （a ≥ 0）?的式子叫做二次根式”称为二次根号. 要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为 2;②被开方数为非负数. S 2. 代数式：形如5, a ，a+b ，ab ，f ，X ，罷 g?这些式子，用基本的运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式 . 要点二、二次根式的性质 1、要点诠释： 1.二次根式LJ r （a ≥ 0）的值是非负数，一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 a =（詬的取值范围不同，、' 中二≥0，中J 为任意值. ≥ 0时，L =Wj ；二＜0时，V .无意义，典型例题 2. I^I i = Ll {a ?0) = ?a 3. G @ > 0) —a 3 < C l ) 2. 要注意区别与联系: 1). 2).

类型一、二次根式的概念 G ■'属二次根式的有【变式】下列式子中二次根式的个数有( (2) y=，，' _、，'；【变式】下列格式中，一定是二次根式的是( 类型二、二次根式的性质 .当乂为实数时，下列各式 I- 【变式】(1) A. 【变式】若整数吩满足条件则叫的值是 (1) ； (2) J ： ; ( 3) W : ; (4) J ; B.3 C.4 D.5 .X 取何值时，下列函数在实数范围内有意义? A. 2 C. '1 ' D. ■- 1

二次根式的概念与性质1

二次根式的概念与性质1 一．选择题（共30小题） 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（） A．5个B．4个C．3个D．2个 2．下列判断正确的是（） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 3．下列各式中①；②；③；④；⑤一定是二次根式的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．下列各式中，二次根式有（） ①②③④ A．1个B．2个C．3个D．4个 5．下列各式中：①；②；③；④．其中，二次根式的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个 6．在式子，，，，（x≤0）中，一定是二次根式的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 7．x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（） A．B．C．D． 8．若有意义，则x满足条件是（） A．x≥﹣3且x≠1B．x＞﹣3且x≠1C．x≥1D．x≥﹣3 9．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A．x＜2B．x≥2C．x=2D．x＜﹣2 10．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（） A．x≠3B．x＜3C．x＞3D．x≥3 11．使二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围在数轴上表示为（）A．B． C．D． 12．二次根式中，字母a的取值范围是（） A．a B．a C．a D．a 13．使式子+成立的x的取值范围是（） A．x≥﹣2B．x＞﹣2C．x＞﹣2，且x≠2D．x≥﹣2，且x≠2 14．若式子有意义，则实数m的取值范围是（） A．m＞﹣2B．m＞﹣2且m≠1C．m≥﹣2D．m≥﹣2且m≠1 15．代数式+中x的取值范围在数轴上表示为（） A．B． C．D． 16．下列说法正确的个数有（） ①代数式的意义是a除以b的商与1的和； ②要使y=有意义，则x应该满足0＜x≤3； ③当2x﹣1=0时，整式2xy﹣8x2y+8x3y的值是0； ④地球上的陆地面积约为14900万km2，用科学计数法表示为1.49×108km2． A．1个B．2个C．3个D．4个 17．使代数式有意义的整数x有（）

数的开方和二次根式

数的开方和二次根式一：【课前预习】（一）：【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的。一个正数有个平方根，它们互为；零的平方根是；没有平方根。（2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的。一个正数有一个的立方根；一个负数有一个的立方根；零的立方根是； 2.二次根式（1）（2）（3）（4）二次根式的性质 ①20,a ≥=若则(a) ；③ab = (0,0)a b ≥≥ ②2()()a a a a ?==?-?；④(0,0)a a a b b b =≥ （5）二次根式的运算 ①加减法：先化为，在合并同类二次根式； ②乘法：应用公式(0,0)a b ab a b ?=≥≥；

③除法：应用公式(0,0)a a a b b b =≥ ④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。（二）：【课前练习】 1.填空题 2. 判断题

3. 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（） A 5. ） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 二：【经典考题剖析】 1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －|5|0c -=，试判断△ABC 的形状． 2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义（1；（2 （3 3.找出下列二次根式中的最简二次根式： 2 2x y + 4.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式： 0),3b b - 5. 化简与计算 2)x ；； 7)2m - ⑤22-； ⑥(+ 三：【课后训练】 1. 当x ≤2时，下列等式一定成立的是（）

二次根式定义与性质

二次根式定义及性质教学内容： 1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简． 2.重点：；，及其运用． 3.难点：利用，，解决具体问题. 知识点一：二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 知识点三：代数式形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).

经典例题透析类型一：二次根式的概念例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)；不是二次根式的有：、、、．例2、当x是多少时，在实数范围内有意义？思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥时，在实数范围内有意义．总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．举一反三【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？ (1)； (2)；解：(1)由≥0，解得：x取任意实数 ∴当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义. (2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1 ∴当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义.

(完整版)中考数学第一章《数的开方与二次根式》复习教案新人教版

章节第一章课题数的开方与二次根式课型复习课教法讲练结合教学目标（知识、能力、教育） 1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根 2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简； 3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。教学重点使学生掌握二次根式的有关概念、性质及根式的化简. 教学难点二次根式的化简与计算. 教学媒体学案教学过程一：【课前预习】（一）：【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的。一个正数有个平方根，它们互为；零的平方根是；没有平方根。（2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的。一个正数有一个的立方根；一个负数有一个的立方根；零的立方根是； 2.二次根式（1）（2）（3）（4）二次根式的性质 ①20,a ≥=若则(a) ；③ab = (0,0)a b ≥≥ ②2( )()a a a a ?==?-?；④(0,0)a a a b b b =≥f （5）二次根式的运算 ①加减法：先化为，在合并同类二次根式；

②乘法：应用公式(0,0)a b ab a b ?=≥≥； ③除法：应用公式(0,0)a a a b b b =≥f ④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。 (二）：【课前练习】 1.填空题 2. 判断题 3. 如果2(x-2)=2-x 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（） A ．225x +1 B.x y C.12 D.0.5 5. 在二次根式：①12, ②32③23 ；④273和是同类二次根式的是（） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 二：【经典考题剖析】 1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －6a+9+4|5|0b c -+-=，试判断△ABC 的形状． 2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义（1）23x -+；（2）211x x -+；（3）14 x - 3.找出下列二次根式中的最简二次根式： 2222 1127,,2,0.1,,21,,,22a x y x x y ab x x a b ++--+ 4.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式：

数的开方及二次根式

《数的开方及二次根式（复习）》教学设计宜良县第六中学袁志刚教学内容：人教版义务教育实验教科书“数与代数”（八上）第十三章、（九上）第二十一章。课型：复习课课时：1课时教学目标： 1、能够比较熟练应用二次根式的性质进行化简. 2、能够比较熟练进行二次根式的运算. 3、进一步渗透化归思想、分类讨论思想及进行逆向思维训练。教学重点：二次根式的性质的应用，二次根式的运算。教学难点：二次根式的化简及灵活应用公式教具：多媒体课件、《导学案》教法：互动式教学法教学过程（教师寄语：一千个愿望，一千个计划，一千个决心，不如一个行动！）、小试牛刀: 1. 当X _ <3__时，J 3—X 有意义。 2. 3 -8 二-2 ； 3.化简：二 _2j5 ___ 5. 计算屈乂弱-屈二 _屈_ . 6. 把分母中的根号化去（分母有理化）：丄二迺丄二週価二迈（1）匸 ________ . _________ ；（ 2 、、「「 _____ . _________ ；（ 3）二」- ____ - _________ 4 ?比较大小：（1） 13— 3 2 ⑵ _2命 __ 〉 __ —3^/2

7.若：r.有意义，则,'L的取值范围是x>6 匚的结果是（ &化简 D ?以上答案都不对 (A a>0—>0 D .丄■一 10.一一「的值为（B C l 冷-2 11.若代数式「丨有意义，则.［的取值范围是 2 A. 一且 B. 12.计算2* (3—1)2+ 1 + 解：原式= 匕注+ . 2+ 1+ 3 —2 =2—,3+ 2 + 1+ 3— 2 = 3. 5 - 8= 0则以x, y的值为两边长的等腰三角13.［2012攀枝花］已知实数x, y满形的周长是（B A. 20 或16 B .20 C. 16 D .以上答案均不对二、考点聚焦: 考点1 平方根、算术平方根与立方根一个数x的平方—等于a,那么x叫做a的平方根，记作一个正数x的平方.等于a,则x叫做a的算术平方根，记作.a , 0的算术平方根是0 一个数x的_立方等于a,那么x叫做a的立方根

2017年中考真题分类解析数的开方和二次根式

一、选择题 1. （2017山东滨州，4，3分）下列计算：（1）()2＝2，（2）＝2，（3）(-)2＝12，（4） 1=-，其中结果正确的个数为（2.3. 4.古 p ＝12 答案：B ，解析：∵a ＝2，b ＝3，c ＝4，∴p ＝2a b c ++＝2342++＝92，得 4 ． 5. （2017四川成都，3x 的取值范围是

A．x≥1B．x>1 C．x≤1D．x<1 答案：A，解析：由x－1≥0得．x≥1. 10+的值应在（） 6.（2017重庆，5，4分）估计1 A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间答案：B解析：先找出与10相邻的两个完全平方数，然后开方，可以确定10在被夹的这两个数之间， 7. 8. 9. 10. A B C D 答案：A12中含有开得尽方的因数42a中含有开得尽方的因式2a的

被开方数 1a 中含有分母a ，不是最简二次根式． 11. （2017山东潍坊，9，3分）若代数式12 --x x 有意义，则实数x 的取值范围是（） A ．x ≥1 B ．x ≥2 C ．x ＞1 D ．x ＞2 答案：B ，解析：由题意，得?? ?>-≥-,01,02x x 解得x ≥2． 12. 4．（2017浙江温州，4，4分）下列选项中的整数，与最接近的是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案：B ，解析： ∵4.1<<4.2， ∴ 最接近的是4． 13. 3．（2017甘肃酒泉，3，3分）4的平方根是( ) A.16 B.2 C.2± D.2± 答案：C ，解析：根据平方根的定义，求数a 的平方根，也就是求一个数x ，使得2x =a ，则x 就是a 的平方根．此题中，∵（±2）2=4，∴4的平方根是±2．故选C ． 14. 7．（2017湖北黄冈，7，3分）16的算术平方根是．答案：4，解析：16的算术平方根是164=． 15. 2．(2017湖北荆门，2，3分)在函数y ＝ 25 x -中，自变量x 的取值范围是( ) A ．x ＞5 B ．x ≥5 C ．x ≠5 D ．x ＜5 答案：A ，解析：这里自变量的取值范围应满足：(1)分母不为0；(2)被开方数不能是负数．所以x －5＞．解得x ＞5．故选A ． 16.1．（2017江苏泰州，1，3分）2的算术平方根是( ) A.2± B.2 C.2- D.2 答案：B ，解析：根据算术平方根的定义可知，22． 17. 6．（2017山东烟台，6，3分）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：

二次根式及其性质练习题

12．5二次根式及性质知识回顾:： 1.计算下列各式的值. （1）=449 （2）±=169 121 （3）=256 （4）04.0- 2.求下列各数的算术平方根. （1）100 （2）0.09 （3）26 （4）0 3.分解因式： (1)22y x -; (2)222b ab a +- ; (3)2282y x -. 目标解读:： 1.知道二次根式的意义. 2.掌握二次根式的基本性质. 3.会根据二次根式的基本性质进行有关计算. 基础训练: 一、填空题 1. 当x ______时，x -3有意义． 2. 已知实数a≤0= ． 3当x ______时，4 3--x x 有意义． 7. 当x _____x _____ 5. 当a ______a =；当a ________a =-． 6. 已知2a <= ．

7.x ______时，5 1-x 有意义． 8. 实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2a -+为． 9. 已知27=，则b =_________． 10. =-+)a (a ________． 11. 当a _______ 时，式子3a -有意义． 12. 0=，则a =______，b =________． 13. 已知x y ，为实数，且1y =，则x y y x +的值为________． 14. 若m 的小数部分，则2m m ++= ． 15. ()()200420032323+- ． 16. 当0x y >，时， 17. 若x ≤0 ，则化简1x --的结果是 . 18. 的整数为．二、选择题 19. 若0x ≤ ，则化简1x - ）Ａ．12x - Ｂ．21x - Ｃ．1- Ｄ．1 20. 如果等式0(1)1x += 和23x =-同时成立，那么需要的条件是（）Ａ．1x ≠- Ｂ．23x <且1x ≠- Ｃ．23x ≤或1x ≠- Ｄ．23x ≤且1x ≠-

二次根式的概念及性质

第十六章二次根式 16. 1 二次根式第1课时二次根式的概念和性质：?< 1. 二次根式的概念和应用. 2. 二次根式的非负性. 重点二次根式的概念. 难点二次根式的非负性. 一、情景导入师：(多媒体展示)请同学们看屏幕电视节目信号的传播半径 r/km 与电视塔高h/km 之间有近似关系r = yj 2Rh(R 为地球半径).如果两个电视塔的高分别为 h i km , h 2 km ,那么它们的传播半径之比为多少？同学们能化简这个式子吗？由学生计算、讨论后得出结果，并提问. 生：半径之比为亠2Rh ；,暂时我们还不会对它进行化简. 师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简.如何进行二次根式的运算？如何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容. 二、新课教授活动1：知识迁移，归纳概念 (1) 17的算术平方根是 __________ ； (2) 如图，要做一个两条直角边长分别为 7 cm 和4 cm 的三角形，斜边长应为 ____________ c m ； 2 (3) —个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m ,则它的宽为 _________________ m ; (4) 面积为3的正方形的边长为 ____________ ,面积为a 的正方形的边长为 ___________________ ; (5) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t(单位：s)与开始落下时的高度 h(单位: m)满足关系h = 5『.如果用含有h 的式子表示t ,则t= ______________ . 【答案】(1).17 (2) 65 (3).65 (4) 3 a ⑸- ；'5 活动2:二次根式的非负性 (多媒体展示) _ (1) 式子.a 表示的实际意义是什么？被开方数 a 满足什么条件时，式子."a 才有意义？ (2) 当a >0时，百 ___________ 0；当a = 0时，需 ___________ 0；二次根式是一个 ____________ . 【答案】(1)a 的算术平方根，被开方数a 必须是非负数 (2) > = 非负数老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性. 当a >0时，，a 表示a 的算术平方根，因此a > 0; 当a = 0时，，a 表示0的算术平方根，因此,-/a = 0. 也就是说，当a > 0时，? a 》0. ,这是东方明珠电视塔. (多媒体演示)用含根号的式子填空.

数的开方与二次根式讲义

数的开方与二次根式讲义〖知识点〗平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、同类二次根式、二次根式运算、分母有理化〖大纲要求〗 1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）； 2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简； 3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。内容分析 1．二次根式的有关概念 (1)二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O ． (2)最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． (3)同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质 ). 0;0();0;0(); 0(), 0(||); 0()(22>≥=≥≥?=?? ?<-≥==≥=b a b a b a b a b a ab a a a a a a a a a 3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． (2)三次根式的乘法二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥= ?b a ab b a 二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． (3)二次根式的除法二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．

中考数学第4节数的开方与二次根式

第4节数的开方与二次根式命题点一二次根式的概念及性质 1. 下列二次根式中，最简二次根式是() A. － 2 B. 12 C. 1 5 D. a 2 2. 下列二次根式中，与3是同类二次根式的是() A. 18 B. 1 3 C. 2 4 D. 0.3 3. 下列各式化简后的结果为32的是() A. 6 B. 12 C. 18 D. 36 命题点二二次根式有意义的条件 4. 要使二次根式2x－4在实数范围内有意义，则x的取值范围是() A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x＝2 5. 式子 a＋1 a－2 有意义，则实数a的取值范围是______________. 6. 使代数式 1 x＋3 ＋4－3x有意义的整数x有________个．命题点三平方根、算术平方根、立方根 7. 4的平方根是() A. 16 B. 2 C. ±2 D. ± 2 8. 计算36的结果为() A. 6 B. －6 C. 18 D. －18 命题点四二次根式的估值 9. 估计38的值在() A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 10. 下列实数，介于5和6之间的是() A. 21 B. 35 C. 42 D. 3 64 11. 已知M＝2×8＋5，则M的取值范围是()

A. 8＜M＜9 B. 7＜M＜8 C. 6＜M＜7 D. 5＜M＜6 12. 估计7＋3的值在哪两个连续整数之间() A. 3和4 B. 4和5 C. 5和6 D. 6和7 13.若3＜a＜10，则下列结论中正确的是() A. 1＜a＜3 B. 1＜a＜4 C. 2＜a＜3 D. 2＜a＜4 14. 在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在() 第14题图 A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 15. 关于8的叙述正确的是() A. 在数轴上不存在表示8的点 B. 8＝2＋ 6 C. 8＝±2 2 D. 与8最接近的整数是3 命题点五二次根式的运算 16.下列运算正确的是() A. 2＋3＝ 5 B. 22×32＝6 2 C. 8÷2＝2 D. 32－2＝3 17.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋（a－b）2的结果是() A. －2a＋b B. 2a－b C. －b D. b 第17题图 18. 计算27－61 3的结果是________． 19. 计算：418－92＝________. 20. 计算12＋8×6的结果是________．

2019全国中考数学真题分类汇编：数的开方和二次根式

一、选择题 1．（2019 ） A ． B ．4 C D ．【答案】B 。 2．（2019·益阳）下列运算正确的是（） A.2)2(2-=- B.6)32(2= C.532=+ D.632=? 【答案】D 【解析】∵2|2|)2(2 =-=-，∴A 错误； ∵1234)3(2)32(222=?=?=，∴B 错误； ∵32与不是同类二次根式，无法合并，∴C 错误； ∵63232=?=?，∴D 正确. 3．（2019·常德）下列运算正确的是（） A B ＝ C 2 D 【答案】D 【解析】A ＋2，A 选项错误；B ＝，B 选项错误；C 2， C 选项错误；D ，D 选项正确． 4．（2019·武汉）式子1-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（） A ．x ＞0 B ．x ≥－1 C ．x ≥1 D ．x ≤1 【答案】C

5．（2019·陇南）下列整数中，与最接近的整数是（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】A ．【解析】34， ∴与最接近的整数是3，故选：A ． 6. （2019·滨州）若8x m y 与6x 3y n 的和是单项式，则（m +n ）3的平方根为（） A ．4 B ．8 C ．±4 D ．±8 【答案】D 【解析】∵8x m y 与6x 3y n 的和是单项式，∴m=3，n=1，∴（m+n ）3=43=64，∵（±8）2=64，∴（m+n ）3的平方根为±8．故选D ． 7. （2019·济宁）下列计算正确的是（） A 3=- B = C 6=± D ．0.6=- 【答案】D 3=，A ≠，B 6=，C 不对；0.6=-，故D 正确． 8. (2019·聊城)下列各式不成立的是 ( ) = = 5 =+ 【答案】C 【解析】 A.,A 正确； B. ,B 正确； C. ==,C 错误；正确；故选C.

二次根式的概念与性质

二次根式的概念与性质编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨一、目标认知 1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．2.重点：；，及其运用． 3.难点：利用，，解决具体问题. 二、知识要点梳理知识点一：二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 要点诠释：二次根式(a≥0)的值是非负数，其性质可以正用亦可逆用，正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利于在实数范围内进行因式分解.

知识点三：代数式形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression). 三、规律方法指导 1.如何判断一个式子是否是二次根式？ (1)必须含有二次根号，即根指数为2； (2)被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的，否则在实数范围内无意义. 2.如何确定二次根式在实数范围内有意义？要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中所含字母的取值范围，可根据题意列出不等式，通过解不等式确定字母的取值范围.当二次根式作为分母时要注意分母不能为零. 经典例题透析类型一：二次根式的概念 1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)；不是二次根式的有：、、、． 2、当x是多少时，在实数范围内有意义？思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥时，在实数范围内有意义．

初三数学总复习教案-数的开方和二次根式

2013初三数学总复习教案数的开方和二次根式一：【课前预习】（一）：【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的。一个正数有个平方根，它们互为；零的平方根是；没有平方根。（2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的。一个正数有一个的立方根；一个负数有一个的立方根；零的立方根是； 2.二次根式（1）（2）（3）（4）二次根式的性质 ①20,a ≥=若则(a) ；③ab = (0,0)a b ≥≥ ②2( )()a a a a ?==?-?；④(0,0)a a a b b b =≥ （5）二次根式的运算 ①加减法：先化为，在合并同类二次根式； ②乘法：应用公式(0,0)a b ab a b ?=≥≥； ③除法：应用公式(0,0)a a a b b b =≥ ④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。（二）：【课前练习】 1.填空题

2. 判断题 3. 如果2(x-2)=2-x 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（） A ．225x +1 B.x y C.12 D.0.5 5. 在二次根式：①12, ②32③23 ；④273和是同类二次根式的是（） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 二：【经典考题剖析】 1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －6a+9+4|5|0b c -+-=，试判断△ABC 的形状． 2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义（1）23x -+；（2） 211x x -+；（3）4 x -

二次根式的概念及性质练习题

二次根式的概念及性质练习题班级姓名一．判断题（对的打“∨”，错的打“×”）（1x 的取值范围是x<0 （）（2中字母x 的取值范围是x ≤3 4 （）（3）当x=-1 （）（4）当a=-4（）（5）2= —12 （）;（6—1 2 （）（7）2= —1 2 （）;（8）（2 =2×1 2=1 （）二、填空题： 1．b ≥3）s ≥0）a （0≥a ）的代数式，叫做_______． 2．当x______ 时， 3 x 的取值范围是_______ ．

4．（7） 2 =________；（8 +（ 2=________．（10 ． 5．当x=-2 _______． 6．当a取______ 时， 7．当x取______ 8．当m=-2 值为________． 9、若直角三角形的两直角边分别是2cm 和acm，则直角三角形的斜边长是_______ 10、若正方形的面积是（b-3）cm2,则正方形的边长是_________。三、选择题： 1．下列各式中，哪一个是二次根式（） A ． ( ( ()( () ( ()( 2 2 3 1_____,2______,3_____, 4_____,5____,6____. === ===

2 ．使代数式2 x +有意义的x 的取值范围是（） A ．x ≠-2; B ．x ≤12且x ≠-2; C ．x<12 且x ≠-2; D ．x ≥1 2且x ≠-2 3．下列各式中一定成立的是（） A =3+4=7 B C ．（ 2 D =1-13=2 3 四、求下列二次根式中字母的取值范围：五、计算：（1 -（12）2; （2）（ 3） 4时x 的值． ( )( )( )123( 4

二次根式的概念及性质练习卷

二次根式的概念及性质练习卷姓名一．判断题（对的打“∨”，错的打“×”）（1 x 的取值范围是x<0 （）（2 中字母x 的取值范围是x ≤34 （）（3）当x=-1 （）（4）当a=-4 （）（5） 2= —12 （）;（6 —12 （）（7））2= —12 （）;（8）（ 2=2×12=1 （）二、填空题： 1． b ≥3） s ≥0） a （0≥a ）的代数式，叫做_______． 2．当x______ 时， 3 x 的取值范围是_______ ． 4．（7） 2 ；（8 （ 2=________．（10 ． 5．当x=-2 _______． 6．当a 取______ 有意义．7．当x 取______ 8．当m=-2 ________． ( ( ()( ()( ( )(2231_____,2______,3_____,4_____,5____,6____. ======

9、若直角三角形的两直角边分别是2cm 和acm ，则直角三角形的斜边长是_______ 10、若正方形的面积是（b-3）cm 2,则正方形的边长是_________。三、选择题： 1．下列各式中，哪一个是二次根式（） A B C D 2 x 的取值范围是（） A ．x ≠-2; B ．x ≤12且x ≠-2; C ．x<12且x ≠-2; D ．x ≥12 且x ≠-2 3．下列各式中一定成立的是（） A B C ．（ 2 D 13=23 四、求下列二次根式中字母的取值范围：五、计算：（1 -（12）2; （2）（3） 4时x 的值． x-4│—│7-x │． ( )( )( )123( 4

平方根和立方根、二次根式

教学课题：平方根和立方根、二次根式知识点：平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、同类二次根式、二次根式运算. 1.基本要求：（1）了解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根. （2）了解二次根式概念，会确定二次根式有意义的条件. （3）理解二次根式的加、减、乘、除运算法则. 2.略高要求：（1）会用平方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根. （2）会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求立方根. （3）会利用二次根式的性质进行化简；能根据二次根式的性质对代数式作简单变形，在特定条件下，确定字母系数的值. （4）会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（二次根式的个数不超过三个，不要求分母有理化）一、基础知识(投影片) 1．二次根式的有关概（1）正数有_________个平方根，__________没有平方根，0的平方根是______. （2）二次根式：式子 )0 (≥ a a叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O．（3）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．（4）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质 ). ;0 ( ); ;0 ( ); ( ), ( | | ); ( ) ( 2 2 > ≥ = ≥ ≥ ? = ? ? ? < - ≥ = = ≥ = b a b a b a b a b a ab a a a a a a a a a 3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． (2)二次根式的乘法：二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ). ,0 (≥ ≥ = ?b a ab b a 二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． (3)二次根式的除法：二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．

中考数学习题精选：数的开方和二次根式

一、选择题 1．x 的取值范围是（A ）x ≥0 （B ）x ≠4 （C ）x ≥4 （D ）x ＞4 答案C 2．（2018有意义，则x 的取值范围是 A ．2x >- B ． x ≥2- C ．2x > D ．x ≥2 答案：B 3．（2018北京市朝阳区初二期末）下列各式中，是最简二次根式的是 A ．2.0 B ．18 C ．12+x D ．2x 答案：C 4．（2018北京市东城区初二期末）下列式子为最简二次根式的是 B. C. D. 解：C 5．（2018北京市丰台区初二期末）若二次根式2-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 A ．2x ≥ B ．2x > C ．2x ≤ D ．2x < 答案：A 6．（2018北京市怀柔区初二期末）3的算术平方根是 A B ． D ．9 答案： B 7．（2018北京市怀柔区初二期末）下列代数式能作为二次根式被开方数的是 A ．3 -π B ．a C ．a 2+1 D ． 2x+4 答案： C 8 ．（2018有意义，那么x 的取值范围是 A ．3x ≥ B ．0x ≥ C ．3x ＞ D ．3x ≠ 答案：A 9．（2018北京市石景山区初二期末）9的算术平方根是 A ．3 B ．3- C ．3± D ．45. 答案：A 10.（2018北京市平谷区初二期末）下列二次根式中，与2是同类二次根式的是 A ． B C 答案：B 11．（2018 A ．13x > B ．13x ≥ C ．13x ≤ D ．3x ≤ 答案：B 12．（2018有意义，则x 的取值范围是

A ．1x >-且 1x ≠ B ．1x ≥- C ．1x ≠ D ．x ≥-1且 1x ≠ 答案：D 13.（2018北京大兴区八年级第一学期期末）2．9的平方根是 A ．±3 B ． 3 C ．81 D ．±81 14.（2018北京大兴区八年级第一学期期末）6．下列二次根式中，最简二次根式是 A ．8 B ．23m C ．21 D ．6 15. （2018北京延庆区八年级第一学区期末）实数9的平方根是 A ．3 B ．±3 C ．3± D ．81 答案：B 16、（2018北京市师达中学八年级第一学期第二次月考） 17．（2018北京市门头沟区八年级期末）如果实数a =a 在数轴上对应点的位置如图所示，其中正确的是 A B C D 答案：D 18．（2018北京市平谷区初二期末）9的算术平方根 A ．-3 B ．3 C ．3± D ．81 答案：B 二、填空题 19.（2018北京市门头沟区八年级期末）如果实数a 在数轴上的位置如图所示，=．答案：1 20.（2018北京西城区二模）有意义，那么x 的取值范围是．答案： x ≤2 21．（2018北京市顺义区八年级期末）25的平方根是 . 答案：5± 22．（2018北京市平谷区初二期末）若1-x 有意义，则x 的取值范围是___________. 解： x -1a x -1430a a -1x a 034-1x 1≥x