数的开方与二次根式的性质

第1讲 数的开方与二次根式的性质

◆【知识考点梳理】

1、平方根与算术平方根的意义：

数的平方根的运算叫做开平方；

没有平方根；

（3）算术平方根：一个正数的正的平方根叫做它的算术平方根；0的算术平方根是0； 2、算术平方根的性质： ①、)0()(2≥=a a a

②、)0,0(≥≥⋅=

b a b a ab

③、)0,0(>≥=b a b a b a ④、⎩

⎨

⎧≤-≥==)0()0(2

a a a a a a 3、算术平方根的非负性：a 具有双重非负性：①、0≥a ；②、0≥a ； 4、无理数的判定---无限不循环小数

注意：带根号的数不一定是无理数，无理数也不一定带根号。判断数看结果。 5、实数的混合运算：

（1=0a ≥，0b ≥）； （2=（0a ≥，0b >）；

（3）合并同类二次根式：(a b =+，0x ≥；

（4）在实数范围内，加法运算律、乘法运算律、乘法公式依然成立。

例如：22x y =-=-

◆【考点聚焦、方法导航】

【考点题型1】----平方根与算术平方根的意义

【例1】1、有意义的x 的取值范围是 ；x

x 1

+有意义的x 的取值范围是 ；

2、（易错题）81的算术平方根是（ ）

A 、9

B 、3

C 、3±

D 、9±

3、一个正数m 的两个平方根分别是1+a 和3-a ，则=a ，=m ；

4、若3.1=a ，则=a ；若62=x ，则=x ；

◆目标训练1： 1、

196

169的算术平方根是 ；2

)3(-的平方根是 ；610-的算术平方根是 ；

2、36的平方根是 ；2

)4(-的算术平方根的倒数是 ；

3、一个正数m 的两个平方根分别是1+a 和3-a ，则=a ，=m ；

4、解方程81)1(2=-x ，则=x （ ）

A 、10

B 、4

C 、10或8-

D 、4或2- ◆ 点拨：弄清符号特征与意义是关键 【考点2】---无理数的概念

【例2】在数0.1427，

22

7

，π-，0.1010010001（两个1之间依次多一个0），

3

3

中，无理数有 ；分数有 ； ◆点拨：判断数看结果。无理数是无限不循环小数。

◆◆◆【考点题型3】---算术平方根的性质

【例3】1、计算：2(_________-=；若

21

(3)92

x -=，则x 的值为 ；

2、化简：_______=_______=________=；________=；

3、若0

A 、b a

B 、b a -

C 、b a -

D 、b a --

【例4】已知：71=+x x ，求值：①、221

x

x + ②、x x 1-

◆◆【考点题型4】

【例5】1、

有意义，则x 的取值范围是（ ）

A 、3x ≠

B 、x ＞3

C 、3x ≥且7x ≠

D 、2x ≠

2、已知04

1

222

=+-+++-z z z y y x ，求z y x ++的值；

3、若a 满足5a =，求1

a b -的值；

◆点拨：一个方程含有多个未知数，常考虑配方法构造非负数的和为0. ◆目标训练2：

1、计算或化简：①、289±= ；②、16

9

1+

±= ；③、64

254916⨯= ； ④、

______5

1

=；______75=；________48=-； 2、如果2+-y x 与1-+y x 互为相反数，则y x 23-的值为 ； 3、如果221

,31x

x x x +=-

则的值为 ； ◆◆【考点题型5】---实数的混合运算

【例6】1、（广东茂名）对于实数a 、b ，给出以下三个判断：

①、若b a =，则b a =；②、若b a <，则b a <；③、若b a -=，则2

2)(b a =-。

其中正确的判断的个数是（ ）

A 、3

B 、2

C 、1

D 、0

2、能使代数式x

x --

+35

2有意义的x 的范围是（ ） A 、2x ≥-且3x ≠ B 、3x ≤ C 、23x -≤< D 、23x -≤≤

3、（河南）如图,数轴上表示1

A 、

B ，点B 关于点A 的对称点为

C ，则点C 所表示的数是（ ）

A

1

B 、1

C 、2

D

2

4、当10≤≤x 时，化简__________12

=-+x x ； 【例7】计算下列各题：

（1）48512739+- （2）)31)(13()324(2-+--

（3）1)2004(125.02)

2

1

(032

---+⨯--π （4

◆◆ 【创新思维与能力拓展】

【例8】1、已知c b a ,,在数轴上的位置如图所示：

化简：____________)(3

3

2

2

=++++-++-b c b b a c b a a ；