数学建模竞赛特等奖论文摘要

基于旅行商规划模型的碎纸片拼接复原问题研究
摘要
本文分别针对 RSSTD(Reconstruction of Strip Shredded Text Document） 、 RCCSTD(Reconstruction of cross-cut Shredded Text Document)和 Two-Sides RCCSTD 三种类型的碎纸片拼接复原问题进行了建模与求解算法设计。首先我 们对于 RSSTD 问题，建立了基于二值匹配度的 TSP 模型，并将其转化为线性规 划模型，利用贪心策略复原了该问题的中文和英文碎片；然后对于 RCCSTD 问 题， 由于中英文字的差别， 我们分别建立了基于改进误差评估的汉字拼接模型和 基于文字基线的误差评估的英文字拼接模型，并利用误差评估匹配算法，复原了 该问题的中文和英文碎片；随后我们针对正反两面的 RCCSTD 问题，利用基线 的概念将正反两面分行，转化为 RCCSTD 问题，并复原了该问题的英文碎片。 最后，我们对模型的算法和结果进行了检验和分析。 ◎问题一：我们针对仅纵切的情况，首先将图像进行数字化处理，转换为了 二值图像， 然后得到各图像的边缘， 并计算所有碎片与其他碎片边缘的匹配程度。 然后，根据两两碎片之间的匹配程度建立了 TSP 模型，并将其划归为线性规划 模型。最终，我们根据左边距的信息确定了左边第一碎片，随后设计了基于匹配 度的贪心算法从左向右得到了所有碎片的拼接复原结果。 结果表明我们的方法对 于中英文两种情况适用性均较好，且该过程不需要人工干预。 ◎问题二：我们针对既纵切又横切的情况，由于中英文的差异性，我们在进 行分行聚类时应采用不同的标准。 首先根据左右边距的信息确定了左边和右边的 碎片， 随后分别利用基于改进误差评估的汉字拼接模型和基于文字基线的误差评 估模型， 将剩余的碎片进行分行聚类，然后再利用基于误差评估的行内匹配算法 对行内进行了拼接， 最终利用行间匹配算法对行间的碎片进行了再拼接，最终得 到了拼接复原结果。对于拼接过程中可能出现误判的情况，我们利用 GUI 编写 了人机交互的人工干预界面，用人的直觉判断提高匹配的成功率和完整性。 ◎问题三：我们针对正反两面的情况，首先根据正反基线信息，分别确定了 左右两边的碎片， 然后利用基线差值将其两两聚类， 聚类以后其正反方向也一并 确定， 随后我们将其与剩余碎片进行分行聚类， 最终又利用行内匹配和行间匹配 算法得到了最终拼接复原结果。其中，对于可能出现的误判情况，我们同样在匹 配算法中使用了基于 GUI 的人机交互干预方式，利用人的直觉提高了结果的可 靠性和完整性。 关键字：碎片复原、TSP、误差评估匹配、基线误差、人工干预
关键词：直纹曲面；折叠桌；多目标优化；参数方程
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“互联网+”时代的出租车资源配置模型
摘要
本文通过建立出租车资源“供求匹配”度指标评定出租车资源匹配效率，及 分析补贴方案对打车难指数的影响，而后在现有补贴方案基础上设立增加推动城 市出租车整体分布平稳的补贴方案和降低打车难指数的等车时间补贴方案，同时 论证其合理性。 针对问题一，建立出租车资源“供求匹配”度指标评价模型。首先，建立定 义为出租车需求量和供给量差值绝对值的最大值同出租车需求量和供给量总和比 值的不同时空出租车资源“供求匹配”度指标及评价标准。选择具有代表性的西 安、上海两城市进行具体求解分析，因各城市出租车具体分布情况不同，需要先 运用参数均值聚类法对城市区域进行划分；然后对所查找的日出租车分布及需求 数据进行多项式拟合，但由于数据量过少，需要先运用三次样条插值法及线性插 值法进行插值，而后添入由出租车分布数据确定的各分区的函数参数，得到各分 区具体函数；最后将各分区出租车资源“供求匹配”度加权平均得到该城市整体 出租车资源“供求匹配”度，同时将所得数据与比对表比对得到该城市出租车资 源“供求匹配”度评价。其中西安及上海的出租车资源“供求匹配”度评价如下：
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嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略 摘要
本文研究的是嫦娥三号探测器在月球表面的软着陆问题。分析着陆轨道的特点， 设计探测器的着陆轨道与各阶段的控制策略，对我国太空探测计划具有重要意义。本 文主要采用微分动力学方程、最优控制策略等方法对问题进行分析和解决。 针对问题一，首先根据近月点和远月点的已知高度，利用角动量守恒和机械能守恒 定律求得嫦娥三号在两点处的速度大小及方向。其次，由于嫦娥三号的着陆轨迹尚未 确定，仅根据题给的着陆点信息无法确定近月点的精确位置，故通过构造假设：（1） 嫦娥三号在着陆过程中近似于沿着一条经线着陆，运动中仅改变纬度大小；（2）主减 速阶段的水平路程近似为软着陆全程的水平路程。从而求出近月点在理想状态下的近 似位置。最后通过问题二设计的轨道控制策略，进一步修正近月点和远月点的精确位 置。得到嫦娥三号在近月点和远月点处的速度及位置如下表所示： 地点 经度 纬度 高度 速度大小 速度方向 19.51W 29.08N 15 km 1.6927 km/s 近月点 逆时针沿切线方向 远月点 160.49E 29.08S 100 km 1.6144 km/s 逆时针沿切线方向 针对问题二，忽略月球自转及摄动因素，将嫦娥三号的着陆过程近似为在一个平 面内的运动，构建二维坐标系对嫦娥三号 6 个阶段进行控制策略设计。结果如下： 对于着陆准备轨道阶段，以变轨时间最短为目标函数，采用推力最大策略变轨进 入椭圆轨道，得到最短变轨时间为 21.07s。 对于主减速阶段，引入二维极坐标下的微分动力学方程描述运动过程，以燃耗最 小为优化目标，采用推力大小恒为最大值 7500N 且角度线性变化的控制策略，求得推 进剂质量消耗的最小值为 1242.3kg；对于快速调整阶段，以最小燃耗为目标，以在降 至 2.4km 高度前水平速度达到零为约束条件，建立非线性规划模型，采用与水平速度 反向的变推力为控制策略，得到推进剂质量消耗为 20kg。 对于粗避障阶段，将着陆的控制策略分为最优着陆区域的查找和着陆过程的控制 两方面。在着陆区域的查找阶段，通过图像高程值众数 4 高程值定义平地，将高程图 划分为若干个 10 10 像素的单元格，以各单元格高程方差最小，平移距离最近为目标 函数，以 7：3 的权重对每个单元格求加权得分，从而选取最优着陆区。在着陆过程的 控制阶段，对着陆过程进行动力学分析，给出沿直线方向到达着陆区域的控制策略。 对于精避障阶段，控制策略与粗避障相似，但对月面的识别精度及对落地区域的 平稳程度要求远高于粗避障阶段。故将高程图划分为 50 50 像素进行讨论，同时定义 每个像素点与其周围 8 个点的差值平方和为其坡度，用以反映平面的平稳程度，从而 更精确求出最佳落地区域。精避障在着陆过程的控制方案与粗避障相同。 对于缓速下降阶段，由于其时间较短，故认为探测器质量不发生变化。在此基础 上，利用动力学知识，推导出发动机推力与初始速度的关系式即控制策略。 针对问题三，从着陆的初始条件、可调节推力的延时及月球自转三方面考虑误差。 对于初始条件，从月球半径的选取、初始高度的不确定及初始速度的理想计算三个角 度分析系统误差，得到它们对主减速阶段的角速度、线速度及水平路程的影响结果。 对于推力延时误差，通过控制频率及单步推力分辨率，求得推力从 0 增大至 7500N 需 要 1.2s 时间。对于月球自转误差，求得近月点经度的相对误差达 2.42%。其次，针对 嫦娥三号的运行高度、径向速度及水平速度，通过推力、近月点高度和比冲三个变量 以 5%变动进行灵敏度分析，同时联系实际进行稳定性说明。 关键词：最优控制 微分方程 避障规划 灵敏度分析
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创意平板折叠桌的设计加工
摘 要
本文研究可折叠的桌子，通过几何关系建立折叠桌侧面直纹曲面和桌脚边缘线的方 程；建立多目标优化模型确定折叠桌的设计过程中的折叠角度和钢筋位置，进而可以确 定长方形平板材料的长度和折叠桌的最优设计加工参数； 通过多目标优化模型可以完成 客户任意设定的形状参数的创意平板折叠桌的设计. 针对问题一，以长方形平板中心为原点，y 轴沿小木条方向，z 轴指向桌底，建立 空间直角坐标系，引入参数 u 表示直纹曲面上的任一点 P 还原到木板状态下到 x 轴的距 离，参数 v 表示点 P 到 yoz 平面的距离，利用几何关系表示出点 P 的坐标，即得到直纹 曲面的参数方程. 进一步消去参数可得直纹曲面的方程为
5.53(cm).
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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针对问题二，以用料最省(板材最短)、加工方便(总开槽长度最短)为目标，各木条 开槽下界不能超出木条、 桌子状态下桌腿边缘不能相交、 中间所有木条的桌腿不能沾地， 以及桌子的稳固性作为约束条件，建立多目标优化模型. 利用 Matlab 编程,求得最优结 钢筋的初始位置到桌腿底端的距离 s 为 43.80cm， 果为： 折叠桌弯折角 θ 为 1.0605(弧度)， 木板的长度 L 为 158.56cm. 针对问题三， 先将圆形折叠桌的侧面直纹曲面和桌脚边缘线的方程推广到一般形状 桌面和一般形状板材，然后利用多目标优化模型设计了两种特殊形状的折叠桌：非长方 形板材的正方形折叠桌和 8 字形折叠桌. 通过改变木条的旋转角度分别画出了这两种形 状折叠桌的动态变化示意图，并给出了具体的设计加工参数.
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车道被占用对城市道路通行能力的影响
摘
要
车道被占用是指因交通事故、 路边停车、 占道施工等因素， 导致车道或道路横断面通 行能力在单位时间内降低的现象。车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被 占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道 施工、 设计道路渠化方案、 设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。 针对问题一，通过对视频1中交通事故发生至撤离期间,各种数据的采集，确定了事 故横断面实际通行能力，运用Gibbs 抽样仿真方法，通过excel软件解决数据缺失问题，并 用eviews进行ARMA模型拟合， 发现实际通行能力的变化过程为yt = −2.0232+ϵt −0.7243ϵt−1 − 0.2757ϵt−2 。 针对问题二，我们结合视频1，采用与问题一同样的方法对视频2进行数据采集和分 析， 得到了横断面的实际通行能力， 并将视频1和视频2仔细对比， 通过视频1和视频2中对 交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力， 运用SPSS软件进行两独立样本 的曼―惠特尼U检验，再根据路段附近交通设置，车辆流向比例，司机心理，周围地形等 因素， 分析出产生差异的原因是主要是在不同车道车辆流量的比例。 针对问题三， 通过分析视频1塞车情况， 分别建立非稳态排队论模型和分段差分方程 模型，并运用matlab软件编程绘制图像，解释出视频1中路段车辆排队长度与事故横断面 实际通行能力、 事故持续时间、 路段上游车流量间的关系为： 实际通行能力越大交通事故 所影响的路段车辆排队长度越小，或者说路段车辆排队长度增长越慢；路段上游车流量 越大交通事故所影响的路段车辆排队长度越大，或者说路段车辆排队长度增长越快；事 故持续时间越长， 交通事故所影响的路段车辆排队长度越大。 针对问题四，利用问题三所建立的模型和题目所给数据，如果采用非稳态排队论模 型，运用matlab软件求解，得出从事故发生开始，经过6.656分钟，车辆排队长度将到达上 游路口； 如果通过分段差分方程模型， 事故发生时上游路口刚好是绿灯时需要经过6.42分 钟，事故发生时上游路口刚好是红灯时需要经过7.97分钟，与上一模型所得结果相吻合。 说明两模型有很高的合理性和实用性。 【关键词】通行能力 Gibbs抽样仿真 ARMA模型拟合 曼―惠特尼U检验 非稳态 排队论 分段差分方程
d y − r 2 − x 2 sin θ = z d cos θ + w − r 2 − x 2 .
令 u = L / 2 ，就可得到桌脚边缘线的方程(5-12)或(5-13). 进一步可以确定设计加工参数， 如从中间到两边的木条空槽长度分别为 20.09，19.60，18.77，17.59，16.06，14.14，11.81，9.00，