椭圆标准方程课件动画定义
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第1节 椭圆标准方程和几何性质ppt课件
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 焦点位置
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在x轴上
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上
图形
标准方程
范围 对称性
顶点 性质 轴长
焦距 离心率 a,b,c的
关系
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
-a≤x≤a -b≤y≤b
a5 两个焦点分别为F1(3, 0)和F2 (3, 0), 四个顶点的坐标分别为A1(5, 0), A2 (5, 0), B1(0, 4)和B2 (0, 4).
【变式1-1】(2019新课标II卷,文)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是
椭圆 x2 y2 1的一个焦点,则p=( ) 3p p
A.2
B.3
C.4
D.8
【答案】 D 【解析】 由题意可得:3 p p ( p )2,解得p 8.故选D.
2
【变式1-2】 (2018新课标Ⅰ卷,文)已知椭圆C:
x2 a2
y2 4
1的一
个焦点为(2,0),则C的离心率为 ( )
A. 1
B. 1
C. 2
D. 2 2
3
2
2
3
【答案】 C 【解析】 根据题意,可知c 2,因为b2 4, 所以a2 b2 c2 8, 即a 2 2,所以椭圆C的离心率为e 2 2 ,故选C.
-b≤x≤b -a≤y≤a
对称轴:x轴、y轴; 对称中心:(0,0)
A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)
椭圆及其标准方程ppt课件
依题意有
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
椭圆及其标准方程 课件(共16张PPT)
生活中 的椭圆
问题:
(1)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢? (2) 平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹又 是什么呢？
数学实验
同学们一起观察以下操作： 在图板上，将一根无 弹性细绳的两端用图钉固定，一支铅笔的笔尖沿细绳运 动，能得到什么图形？
圆定义
把平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数
（2a）（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的
距离叫做椭圆的焦距（2c）
>2c |MF1|+|MF2|=2a.
M
F1 O
F2
思 你知道2a=2c和2a<2c时点的轨迹是什么吗？
考
1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
于x轴的直线交椭圆于C、D两点，则∆F2CD的周长
为__2_0_____
C
|CF1|+|CF2|=2a
F1
F2
D
变式：若CD不垂直于x轴，则∆F2CD的周长有改变
吗？为什么？
2.求椭圆的方程：
问题1:(1) 求曲线方程的基本步骤？
（1）建系设点; （2）写出点集； （3）列出方程；
（4）化简方程； （5）证明（可省略）。
(2) 如何建立适当的坐标系？ y
M M
y
F2
F1 O
F2 x
O
x
F1
方案一
方案二
解：如图，以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为x轴，线段 F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系,则F1(-c,0)， F2(c,0).设M(x,y)是椭圆上任意一点，由椭圆定义得：
椭圆的定义及基标准方程带动画演示文稿
a,b,c之间的关系
MF1+MF2=2a (2a>2c>0)
y
M
y
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2
by22
1ab0
ox
F1
y2 a2
bx22
1ab0
F(±c，0)
F(0，±c)
a2=b2+c2
注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中 心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
2 1 0 a 10
又 ∵ c=2 b2a2c21046
∴ 所求的椭圆的标准方程为 y 2 x 2 1
10 6
第十七页，共二十一页。
例2:如图，在圆
x2 y2 4上任取一点P，过P
作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线
段PD的中点M的轨迹是什么？
解：设M(x,y), P(x0,y0)
例3：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点 在y轴上的椭圆，求k的取值范围。
解：由 4x2+ky2=1,可得
x2 1
y2 1
1
4
k
因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭
圆，所以
1 1 即：k<4
k4
又 1 0,k 0 k
所以k的取值范围为0<k<4。
第十九页，共二十一页。
例4、化简：
x2(y3)2x2(y3)210
则a的范围为( a>3 )。 2.方程 x2 y2 1表示焦点在y轴上的椭圆
b9 则b的范围为( 0<b<9 )。
第十四页，共二十一页。
3、已知椭圆的方程为： x2 y 2 ，1 则a=_____ ，b=_5______，c=4_______2，5 焦点136坐标为：
MF1+MF2=2a (2a>2c>0)
y
M
y
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2
by22
1ab0
ox
F1
y2 a2
bx22
1ab0
F(±c，0)
F(0，±c)
a2=b2+c2
注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中 心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
2 1 0 a 10
又 ∵ c=2 b2a2c21046
∴ 所求的椭圆的标准方程为 y 2 x 2 1
10 6
第十七页，共二十一页。
例2:如图，在圆
x2 y2 4上任取一点P，过P
作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线
段PD的中点M的轨迹是什么？
解：设M(x,y), P(x0,y0)
例3：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点 在y轴上的椭圆，求k的取值范围。
解：由 4x2+ky2=1,可得
x2 1
y2 1
1
4
k
因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭
圆，所以
1 1 即：k<4
k4
又 1 0,k 0 k
所以k的取值范围为0<k<4。
第十九页，共二十一页。
例4、化简：
x2(y3)2x2(y3)210
则a的范围为( a>3 )。 2.方程 x2 y2 1表示焦点在y轴上的椭圆
b9 则b的范围为( 0<b<9 )。
第十四页，共二十一页。
3、已知椭圆的方程为： x2 y 2 ，1 则a=_____ ，b=_5______，c=4_______2，5 焦点136坐标为：
椭圆的定义及标准方程(动态课件)
02猜想探究 instructional strategies
01 01 教学分析 情景引入
02 02 教学策略 02 猜想探究 教学策略
03 03 教学过程 课堂小结
04 04 教学效果 课后作业
观察：
2. 在画椭圆的过程中，绳子的 长度变了没有？ 说明了什么？？
02猜想探究 instructional strategies
02 02 教学策略 02 猜想探究 教学策略
03 03 教学过程 课堂小结
04 04 教学效果 课后作业
猜想： （2）由观察到的椭圆的特点椭圆 怎么定义？
02猜想探究 instructional strategies
01 01 教学分析 情景引入
02 02 教学策略 02 猜想探究 教学策略
03 03 教学过程 课堂小结
01 01 教学分析 情景引入
02 02 教学策略 02 猜想探究 教学策略
03 03 教学过程 课堂小结
04 04 教学效果 课后作业
观察：
3. 在画椭圆的过程中，绳子长度与两定 点距离大小有怎样的关系？
02猜想探究 instructional strategies
01 01 教学分析 情景引入
03 03 教学过程 课堂小结
04 04 教学效果 课后作业
猜想： （1）椭圆怎么画出来的
02猜想探究 instructional strategies
01 01 教学分析 情景引入
02 02 教学策略 02 猜想探究 教学策略
03 03 教学过程 课堂小结
04 04 教学效果 课后作业
观察：
1. 在画椭圆的过程中，细绳的 两端的位置是固定的还是运动的？
课件椭圆及其标准方程_人教版高中数学选修PPT课件_优秀版
思 考 为什么要求 2a2c?
当绳长等于两定点间
距离即2a=2c 时,
M
轨迹为线段；
F1
F2
当绳长小于两定点
间距离即2a<2c时，
轨迹不存在。
F1
F2
例1：命题甲：动点P到两定点A，B的距离之 和|PA|＋|PB|恒等于一个常数；命题乙：点P 的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
y (x5); AM x5
k 同理，直线BM的斜率
y (x5); BM x5
由已知有 y y 4(x5)
x5 x5 9
化简，得点M的轨迹方程为
x2
y2 1( x 5).
25 100
9 椭圆
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1,1)
D．(－1,0)∪(0,1)
D
例3已：知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P 5 ， 3 ，求它的标准方程.
2 2
y
解：因为椭圆的焦点在 x轴上，设
x2 a2
by22
1(ab0)
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
MFMFa， 为什么要求
已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P
那么，如何求椭圆1的方程呢？ 2
y M ，求它的标准方程.
又设M与F1， F2的距离的和等于2a
a b c， 2 2 又因为 ， 所以
那么，如何求椭圆的方程呢？
2
（1）距离的和2a 大于焦距2c ，即2a>2c>0.
椭圆及其标准方程ppt课件
令b=POI=√a²-c², 那么方程⑤就
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变 形.这样，椭圆上任意一点的坐标(x,y) 都满足方程⑥;反之，以方程⑥的解为 坐标的点(x,y)与椭圆的两个焦点(c,0),(-c,0)的距离之和为2a, 即以方程⑥的 解为坐标的点都在椭圆上.则方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做圆的标准方 程.它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F(-c,0),F₂ (c,0) 的椭圆，这里
所以点M 的轨迹是椭圆.
例3如图，设A,B 两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M 的轨迹方程.
事
解 ：设点M 的坐标为(x,y),因为点A 的坐标是(-5,0), 所以直线AM的斜率 同理，直线 BM 的斜率 由已知有
化简得点M 的轨迹方程为
设M(x,y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0), 那么焦点F,F₂ 的 坐 标分别为(-c,0),(c,0) ,根据椭圆的定义，设点M 与焦点F,F₂ 的距离的和等于 2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF₁I+|MF₂I=2a}. 因为IMFI= √ (x+c)²+y²,IMF₂F= √ (x-c)²+y², 所以J(x+c)²+y²+ √ (x-c)²+y²=2a.① 化简得√(x+c)²+y²=2a-√(x-c)²+y².② 对方程②两边平方得(x+c)²+y²=4a²-4aJ(x-c)²+y²+(x-c)²+y². 整理得a²-cx=aJ(x-c)²+y².③
椭圆的定义与标准方程ppt 人教课标版
y B2 y
M M
F2
A2 x
A1
F1
O B1
F1
O
F2Байду номын сангаас
x
（ 1）
（ 2）
椭圆的定义与标准方程
3.探求方程
(1) (2) (3)
(4)
(5) (6)
y
M
F2
以线段 F1F2 的中点为原点， F1 、 F2 所在的
设椭圆上任意 直线为x轴建立直角坐标系，
F1
co c
x
一点的坐标为 M x, y ,
MF1 MF2 2a 2C
M
F1
F2
平面内点M与两个定点F1、F2的距离的和等于常数 （记|MF1|+|MF2|=2a）的点M的轨迹是：
（1）当|MF1|+|MF2|>|F1F2|时点M的轨迹是为 椭圆 （2）当|MF1|+|MF2|=|F1F2|时点的轨迹为 线段F1F2 （3）当|MF1|+|MF2|<|F1F2|时点M的轨迹 不存在
故所求椭圆的标准方程为：
2. 已知椭圆上某点到两定点的距离之和为 6. 两个定点之间的距离为 2 5 ，求椭圆的标准 方程。
解：因为 2a =6 所以 a =3
x2 y2 2 1 2 a b
2c = c =
2 5
5
设焦点在Y轴的椭圆标准方程为
设焦点在X轴的椭圆标准方程为
y2 x2 2 1 2 a b
所以焦点在X轴上
y x 1 16 8
因为 16 8 所以焦点在Y轴上
a 2 = 5, b2 = 4
c a b 1
2 2 2
M M
F2
A2 x
A1
F1
O B1
F1
O
F2Байду номын сангаас
x
（ 1）
（ 2）
椭圆的定义与标准方程
3.探求方程
(1) (2) (3)
(4)
(5) (6)
y
M
F2
以线段 F1F2 的中点为原点， F1 、 F2 所在的
设椭圆上任意 直线为x轴建立直角坐标系，
F1
co c
x
一点的坐标为 M x, y ,
MF1 MF2 2a 2C
M
F1
F2
平面内点M与两个定点F1、F2的距离的和等于常数 （记|MF1|+|MF2|=2a）的点M的轨迹是：
（1）当|MF1|+|MF2|>|F1F2|时点M的轨迹是为 椭圆 （2）当|MF1|+|MF2|=|F1F2|时点的轨迹为 线段F1F2 （3）当|MF1|+|MF2|<|F1F2|时点M的轨迹 不存在
故所求椭圆的标准方程为：
2. 已知椭圆上某点到两定点的距离之和为 6. 两个定点之间的距离为 2 5 ，求椭圆的标准 方程。
解：因为 2a =6 所以 a =3
x2 y2 2 1 2 a b
2c = c =
2 5
5
设焦点在Y轴的椭圆标准方程为
设焦点在X轴的椭圆标准方程为
y2 x2 2 1 2 a b
所以焦点在X轴上
y x 1 16 8
因为 16 8 所以焦点在Y轴上
a 2 = 5, b2 = 4
c a b 1
2 2 2
椭圆的定义及标准方程ppt课件
于两个定点之间的距离
15
（一）椭圆的定义
椭圆定义的文字表述：
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 （2a） （大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。
定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。
椭圆定义的符号表述：
M
(2a>2c)
F2
F1
16
二、椭圆标准方程的推导
24
四 课时小结 1. 学习了椭圆的定义，焦点、焦距， 2. 求出了焦点在X轴上的椭圆标准方程
3 . a、b、c始终满足：a2-b2=c2, a＞b＞0
25
五 堂堂清
1 椭圆 x2 y2 1的焦距是（ B ）
43
A1 B 2 C4 D2 3
F1
2已知焦点F1(-6，0)，F2(6，0)，2a=20的椭圆标准方程
b2 a2 c2 41 3
因此，这个椭圆的标准方程是：x2 y2 1 43
23
1.求适合下列条件的椭圆方程 1.a＝4，b＝3，焦点在x轴上 2.b=1，c 15 焦点在X轴上
小结： 1 先定位(焦点)
根据焦点位置设出恰当的方程
2 再定量(a,b,c) 3 代入标准方程即可求得
x2 y2 1
100 64
26
x2 y2 3 椭圆 100 36 1 上的一点P到焦点F1的距离等于6
14
那么点P到另外的一个焦点F2的距离是_____
27
4已知方程
表示焦点在x轴
上的椭圆，则m的取值范围是 (0,4.)
28
链接高考
x2 y2
1
1、 已知F1，F2 是椭圆 25 9
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2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
设 a -P cx xy +y (=xa ， )c 是椭圆上任意一点
2
P
设F1 F=2 ，则有 F1(-c，0)、 F2(c，0) F1 F1F2 以 F1c 、 F2 所在直线为 x 轴，线段 设 a - c = b b > 0 得 b2x2+a2y2=a2b2 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系． x y + = 1 a > b > 0 即：
4
若动点P到两定点F1(－4,0)，
F2(4,0)的距离之和为8，则动点
P的轨迹为（ A. 椭圆
B ）
B. 线段F1F2
C. 直线F1F2
D. 不存在
求曲线方程的基本步骤？
建系
设点 列式
找等量关系 化简
建式 系 列 化 设 简 点
椭圆上的点满足PF1+PF2 为定值，设为2a，则2a>2c
y
P(2x , y ) 则： x + c 2 + y 2 + x - c + y 2 = 2a
1.求适合下列条件的椭圆方程 1.a＝4，b＝3，焦点在x轴上；
x y 1 16 9 2.b=1， c 15，焦点在y轴上
2
2
a4
2
y 2 x 1 16
3、若椭圆满足: a＝5 , c＝3 ,焦点在x轴上 求它的标准方程。
焦点在x轴上时： 焦点在y轴上时：
y x 1 25 16
x + c
2
2
, 0 2c + O x -F ca , 0+ y 2F= c2 y2 1 -2
x
2
y
F2
O
x + c + y 2 = 4a 2 - 4a
2 2
x - c
2
2
+ y2 x - c + y2
a - c x + a y = a a - c
2 2 2 2
( x c) y ( x c) y 2a
2 2 2 2
y2 x2 2 1 ( a b 0) 2 a b
焦点在x轴上
焦点在y轴上
x2 y2 2 1 (a b 0) 2 a b
y2 x2 2 1 ( a b 0) 2 a b
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
F1 -c , 0 ，F2 c , 0
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a
F1 0,- c ，F2 0,c
a2=b2+c2 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
焦点位置的判断
思考题
MF1 MF2 2a 2c
• 定点F1、F2叫做椭圆
的焦点。
• 两焦点之间的距离叫
做焦距（2c）。
满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？
• [1]平面上 • [2]动点 M 到两个定点 F1、F2 的
距离之和是常数 2a • [3]常数 2a 要大于焦距 2c
MF MF 2 a 2 c 1 2
2 2
x
a2
b2
方程的推导
以直线F1F2为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立坐标系。 y
设P(x,y)为椭圆上的任意一点， ∵F1F2＝2c(c>0), 则：F1(0，-c)、F2(0，c) ∴ PF1+PF2=2a
∴
F2
o
F1
x
( y c ) x ( y c ) x 2a
①椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是 常数1。
2 2 2 ②椭圆的标准方程中三个参数 a, b, c 满足 a b c 。
③由椭圆的标准方程可以求出三个参数 a, b, c 的值。 ④椭圆的标准方程中，焦点的位置由分母的大小来确定，分 母哪个大，焦点就在哪个轴上。 ⑤椭圆的标准方程由三个参数a, b, c 及焦点的位置唯一确定， a,的值就可以写出椭圆的标准方程。 b, c 即只要知道了
椭圆的标准方程
普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修1—1）
椭圆形的尖嘴瓶
椭圆形的餐桌
椭圆形的精品
汽车贮油罐的横截面的 外轮廓线的形状像椭圆.
思考
把一个圆压扁了,也像椭圆
怎样定义椭圆呢?
椭圆的定义
椭圆定义的文字表述： 椭圆定义的符号表述：
• 平面上到两个定点的
距离的和（2a）等于 定长（大于|F1F2 |） 的点的轨迹叫椭圆。
(4) 16x 9 y 144
2 2
(3) x 2 y 4
2,0 , 2 ,0
0, 7 , 0, 7
根据所学知识完成下表
定 义 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
y P
y F2
x
O
点不 同
图
形
F1
O
P x
F2
F1
标准方程 焦点坐标 点相 同 a、b、c 的关系
且过点P (3,2 6 ),
法一: c=2
x2 y2 设椭圆标准方程为: 2 2 1 a b
法二: c=2 2a=PF1+PF2
4、求下列椭圆的焦点坐标
x 2 (1) y 1 9
2
2
2 ,0 , 2 2 ,0
2 2
x y (2) 1 3 12
2
2
(0,3), (0,3)
y x 1 16 25
2 2
2
2
例1：已知一个运油车上的贮油罐横 截面的外轮廓线是一个椭圆，它的 焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两 个焦点距离的和为3m，求这个椭圆 的标准方程。 解：以两焦点F 1, F 2 所 F 1F 2 在直线为X轴，线段 的垂直平分线为y轴,建立 平面直角坐标系xOy。 则这个椭圆的标准方程为 : 2
x y 对于方程 1 满足什么条件时， m n 它表示椭圆？
2 2
m>0,n>0, 且m≠n 怎样判断焦点在哪个轴上? 当m > n > 0时,焦点在x轴上 当n > m > 0时,焦点在y轴上
作业
教材P28习题2.2(1)第2(1)(2)(3)、3 题
x y = 4上的点的横坐标保持不变， 例3 ：将圆 纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程， y 并说明它是什么曲线？ x， 解： 设所的曲线上任一点的坐标为（ x2 y2 y）,圆 ＝４上的对应点的
x y 1(a b 0) a 2 b2
2
y M
F1
0
F2
x
根据题意:2a=3,2c=2.4,
所以：b2=1.52-1.22=0.81 因此，这个椭圆的方程为： 2 2 y x 1 2.25 0.81
例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
两个焦点分别是 F1 (-2，0)， F2 (2，0)，
2 2 2
设 a -P cx xy +y (=xa ， )c 是椭圆上任意一点
2
P
设F1 F=2 ，则有 F1(-c，0)、 F2(c，0) F1 F1F2 以 F1c 、 F2 所在直线为 x 轴，线段 设 a - c = b b > 0 得 b2x2+a2y2=a2b2 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系． x y + = 1 a > b > 0 即：
4
若动点P到两定点F1(－4,0)，
F2(4,0)的距离之和为8，则动点
P的轨迹为（ A. 椭圆
B ）
B. 线段F1F2
C. 直线F1F2
D. 不存在
求曲线方程的基本步骤？
建系
设点 列式
找等量关系 化简
建式 系 列 化 设 简 点
椭圆上的点满足PF1+PF2 为定值，设为2a，则2a>2c
y
P(2x , y ) 则： x + c 2 + y 2 + x - c + y 2 = 2a
1.求适合下列条件的椭圆方程 1.a＝4，b＝3，焦点在x轴上；
x y 1 16 9 2.b=1， c 15，焦点在y轴上
2
2
a4
2
y 2 x 1 16
3、若椭圆满足: a＝5 , c＝3 ,焦点在x轴上 求它的标准方程。
焦点在x轴上时： 焦点在y轴上时：
y x 1 25 16
x + c
2
2
, 0 2c + O x -F ca , 0+ y 2F= c2 y2 1 -2
x
2
y
F2
O
x + c + y 2 = 4a 2 - 4a
2 2
x - c
2
2
+ y2 x - c + y2
a - c x + a y = a a - c
2 2 2 2
( x c) y ( x c) y 2a
2 2 2 2
y2 x2 2 1 ( a b 0) 2 a b
焦点在x轴上
焦点在y轴上
x2 y2 2 1 (a b 0) 2 a b
y2 x2 2 1 ( a b 0) 2 a b
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
F1 -c , 0 ，F2 c , 0
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a
F1 0,- c ，F2 0,c
a2=b2+c2 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
焦点位置的判断
思考题
MF1 MF2 2a 2c
• 定点F1、F2叫做椭圆
的焦点。
• 两焦点之间的距离叫
做焦距（2c）。
满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？
• [1]平面上 • [2]动点 M 到两个定点 F1、F2 的
距离之和是常数 2a • [3]常数 2a 要大于焦距 2c
MF MF 2 a 2 c 1 2
2 2
x
a2
b2
方程的推导
以直线F1F2为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立坐标系。 y
设P(x,y)为椭圆上的任意一点， ∵F1F2＝2c(c>0), 则：F1(0，-c)、F2(0，c) ∴ PF1+PF2=2a
∴
F2
o
F1
x
( y c ) x ( y c ) x 2a
①椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是 常数1。
2 2 2 ②椭圆的标准方程中三个参数 a, b, c 满足 a b c 。
③由椭圆的标准方程可以求出三个参数 a, b, c 的值。 ④椭圆的标准方程中，焦点的位置由分母的大小来确定，分 母哪个大，焦点就在哪个轴上。 ⑤椭圆的标准方程由三个参数a, b, c 及焦点的位置唯一确定， a,的值就可以写出椭圆的标准方程。 b, c 即只要知道了
椭圆的标准方程
普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修1—1）
椭圆形的尖嘴瓶
椭圆形的餐桌
椭圆形的精品
汽车贮油罐的横截面的 外轮廓线的形状像椭圆.
思考
把一个圆压扁了,也像椭圆
怎样定义椭圆呢?
椭圆的定义
椭圆定义的文字表述： 椭圆定义的符号表述：
• 平面上到两个定点的
距离的和（2a）等于 定长（大于|F1F2 |） 的点的轨迹叫椭圆。
(4) 16x 9 y 144
2 2
(3) x 2 y 4
2,0 , 2 ,0
0, 7 , 0, 7
根据所学知识完成下表
定 义 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
y P
y F2
x
O
点不 同
图
形
F1
O
P x
F2
F1
标准方程 焦点坐标 点相 同 a、b、c 的关系
且过点P (3,2 6 ),
法一: c=2
x2 y2 设椭圆标准方程为: 2 2 1 a b
法二: c=2 2a=PF1+PF2
4、求下列椭圆的焦点坐标
x 2 (1) y 1 9
2
2
2 ,0 , 2 2 ,0
2 2
x y (2) 1 3 12
2
2
(0,3), (0,3)
y x 1 16 25
2 2
2
2
例1：已知一个运油车上的贮油罐横 截面的外轮廓线是一个椭圆，它的 焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两 个焦点距离的和为3m，求这个椭圆 的标准方程。 解：以两焦点F 1, F 2 所 F 1F 2 在直线为X轴，线段 的垂直平分线为y轴,建立 平面直角坐标系xOy。 则这个椭圆的标准方程为 : 2
x y 对于方程 1 满足什么条件时， m n 它表示椭圆？
2 2
m>0,n>0, 且m≠n 怎样判断焦点在哪个轴上? 当m > n > 0时,焦点在x轴上 当n > m > 0时,焦点在y轴上
作业
教材P28习题2.2(1)第2(1)(2)(3)、3 题
x y = 4上的点的横坐标保持不变， 例3 ：将圆 纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程， y 并说明它是什么曲线？ x， 解： 设所的曲线上任一点的坐标为（ x2 y2 y）,圆 ＝４上的对应点的
x y 1(a b 0) a 2 b2
2
y M
F1
0
F2
x
根据题意:2a=3,2c=2.4,
所以：b2=1.52-1.22=0.81 因此，这个椭圆的方程为： 2 2 y x 1 2.25 0.81
例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
两个焦点分别是 F1 (-2，0)， F2 (2，0)，