二次函数的最值问题

典型中考题（有关二次函数的最值）

屠园实验周前猛

一、选择题

1．已知二次函数y=a（x-1）2+b有最小值–1，则a与b之间的大小关( )

A. ab D不能确定

答案：C

2．当－2≤x≤l时，二次函数 y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）

A、- 7

4

B、3或-3

C、2或-3 D2或-3或-

7

4

答案：C

∵当－2≤x≤l时，二次函数 y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，∴二次函数在－2≤x≤l上可能的取值是x=－2或x=1或x=m.

当x=－2时，由y=-（x-m）2+m2+1解得m= - 7

4

，

2

765

y x

416

⎛⎫

=-++

⎪

⎝⎭

此时，

它在－2≤x≤l的最大值是65

16

，与题意不符.

当x=1时，由y=-（x-m）2+m2+1解得m=2 ，此时y=-（x-2）2+5 ，它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符.

当x= m时，由 4=-（x-m）2+m2+1解得m=3m=3y=-（x+3）2+4.它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符；当3，y=-（x-3）2+4它在－2≤x≤l在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符.

综上所述，实数m的值为2或-3.

故选C．

3．已知0≤x≤1

2

，那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是（）

A C . D. -6

答案：C

解：∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大

而增大．又∵0≤x≤1

2

，∴当x=

1

2

时，y取最大值，y最大=-2（

1

2

-2）2+2=．故

选：C．

4、已知关于x的函数.

下列结论：

①存在函数，其图像经过（1,0）点；

②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；

③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；

④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。

真确的个数是（）

A,1个 B、2个 C 3个 D、4个

答案：B

分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；

②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；

③根据二次函数的增减性，即可作出判断；

④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求

出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断.

解：①真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0，

解得：k=0．运用方程思想；

②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；

③假，如k=1，

b5

-=

2a4

，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；

④真，当k=0时，函数无最大、最小值；

k≠0时，y最=

22

4ac-b24k+1

=-

4a8k

，

∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；

当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．

二、填空题：

1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB 上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是

答案：12

2、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是

答案：4、4，8

解：设直角三角形得一直角边为x ，则，另一边长为8-x ；设其面积为S.∴S= x ·(8-x)(0

-8x)

=- (x-4)2

+8 ∴当x=4时，S 最大=8.

及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.

3、函数2y=24x-x （0x 4）

-≤≤的最大值与最小值分别是

答案：2,0

解：24x-x 最小值为0，当4x-x 2

取最大值时24x-x 最大，即x=2时，24x-x 最大为

4，所以，当x=0时，y 最大值为2，当x=2时，y 取最小值为0

4、已知二次函数y=x 2

+2x+a （0≤x ≤1）的最大值是3，那么a 的值为 答案：0

解：二次函数y=x 2

+2x+a 对称轴为x=-1，当0≤x ≤1时y 随x 的增大而增大，当x=1时最大值为3，代入y=x 2+2x+a 得a=0.

5、如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，则这样线段的最小长度 ．

三、解答题：

1某产品第一季度每件成本为50元，第二、第三季度每件产品平均降低成本

的百分率为x

⑴ 请用含x 的代数式表示第二季度每件产品的成本；

⑵ 如果第三季度该产品每件成本比第一季度少9.5元，试求x 的值 ⑶ 该产品第二季度每件的销售价为60元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件产品的销售价不低于48元，设第三季度每件产品获得的利润为y 元，试求y 与x 的函数关系式，并利用函数图象与性质求y 的最大值（注：利润=销售价-成本）

解：（1）()x -150 ⑵

()5.9501502

-=-x 解得1.0=x （3）(),48160≥-x 解得2.0≤x 而0 x ，∴2.00≤x

而()()2

150160x x y ---=

＝1040502

++-x x

＝()184.0502

+--x

∵当4.0≤x 时，利用二次函数的增减性，y 随x 的增大而增大，而2.00≤x ，

∴当2.0=x 时，y 最大值＝18（元）

说明：当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，二次函数的最值应注意下列两种情形：

若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。

若抛物线的顶点不在该区间内，则区间两端点所对应的二次函数的值为该函数的最值。

2、如图，二次函数的图象经过点D(0，397

)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截

得的线段AB 的长为6. ⑴求二次函数的解析式；

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PD 最小，求出点P 的坐标；

⑶在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．