线性定常系统的稳定性

当且仅当系统全部闭环极点都具有负的实部而 分布在左半s平面时，系统稳定。当系统有一个或一 个以上的正实根时，系统不稳定。如果系统的部分 特征根为纯虚根，位于平面的虚轴上，而其余特征 根均位于左半s平面时，系统临界稳定。
线性系统稳定的充要条件：系统所有闭环特征 根都具有负实部或都位于s的左半平面 ，则系统是稳 定的。
系统的稳定性
(1)若劳斯表第一列元素中的符号有变化，其变化的
次数就等于系统在s右半平面上根的数目，相应
的系统为不稳定。
(2)如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，
则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系
统也属不稳定。
请看例题
例 已知系统的特征方程式为
b1
b2
b3
sn-3
c1
c2
c3
…
…
…
…
s2
e1
e2
s1
f1
s0
g1
劳斯表中的有关系数为
b1
1 a1
a0 a1
a2 a3
b2
1 a1
a0 a1
a4 a5
c1
1 b1
a1 b1
a3 b2
… g1 an
c2
1 b1
a1 b1
a5 b3
a6
…
a7
…ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b4
…
c4
…
…
b3
1 a1
a0 a1
a6 a7
…
c3
1 b1
a0sn a1sn1 a2sn2 an1s an 0
将各项系数，按下面的格式排成劳斯表
sn
a0
a2
a4
a6
sn-1
a1
a3
a5
a7
sn-2
b1
b2
b3
b4
sn-3
c1
c2
c3
c4
……………
s2
e1
e2
s1
f1
s0
g1
(a0 0)
… … … …
sn
a0
a2
a4
sn-1
a1
a3
a5
sn-2
k 1
l 1
式中，0<ζl<1，q+2r=n。
则脉冲响应为
q
r
K (t) Akeskt Blellt sin(dlt l )
k 1
l 1
q
r
K (t) Akeskt Blellt sin(dlt l )
k 1
l 1
式中，dl l
1
2 l
,
l
arccos l
，Ak和Bl为常数。
的。如果劳斯表中第一列出现负元素，第一列元素符号变
化次数就是特征方程式在右半s平面上根的个数，相应的
系统不稳定。
例 3-5 设系统的特征方程式为
s4 2s3 3s2 4s 5 0
试用劳斯判据判别系统的稳定性，若不稳定指出右根数。
解：列劳斯表
s4
1
3
5
s3
2
4
0
s2
1
5
0
s1
-6
0
0
s0
一、稳定的概念和定义
x0
x0 (a) 稳定的
(b) 不稳定的
球
的
平
x0 (c) 大范围稳定的
衡 状 态
x0 (d) 小范围稳定的
x0 (a) 稳定的
x0 (b) 不稳定的
稳定性：系统原处于平衡状态，在受到扰动作 用后都会偏离原来的平衡状态。当扰动作用消失后， 系统经过一段过渡过程后能否回复到原来的平衡状 态或足够准确地回复到原来的平衡状态，这种性能 称为系统的稳定性。当扰动作用消失后，系统能恢 复到原来的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之， 系统是不稳定的。
limk(t) 0
t
线性系统是稳定的
二、线性系统的稳定条件
设n阶系统闭环传递函数为
(s)
M (s) D(s)
b0sm b1sm1 a0sn a1sn1
bm1s bm an1s an
m
(s z j )
K (s) M (s) N (s) b0
D(s)
a0
q
j 1
r
(s sk ) (s2 2 ll s l2 )
x0 (c) 大范围稳定的
x0 (d) 小范围稳定的
系统的稳定性又分为两种：一是大范围稳定， 即起始偏差可以很大，但系统仍稳定，另一种是小 范围稳定，即起始偏差必须在一定范围内系统才稳 定，超出了这个限定值则不稳定。对于线性系统， 如果在小范围内稳定，则它一定也是大范围内稳定 的。而对于非线性系统，在小范围内稳定，在大范 围内就不一定是稳定的。
稳定性是在扰动消失以后，系统自身的一种恢 复能力，因而它是系统的一种固有特性。对线性系 统来说，稳定性只取决于系统的结构和参数，而与 系统的初始条件和外作用信号无关。
一般说来，系统的稳定性表现为其时域响应的 收敛性。线性控制系统的稳定性：若线性控制系统 在扰动δ(t)的作用下，其过渡过程随时间推移而逐 渐衰减并趋向于零，则称该系统为渐进稳定，简称 为稳定；反之，若在扰动δ(t)的作用下，系统的过 渡过程随时间推移而发散，则称该系统为不稳定。
5
0
0
该表第一列元素符号不全为正，因而系统是不稳定 的；且第一列元素符号变化了两次，所以特征方程有二 个根在s的右半平面。
四、劳斯判据的特殊情况
1、劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各 项不等于零或没有其余项。
解决的办法
以一个很小的正数ε来代替为零的这项，据 此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。
a1 b1
a7 b4
…
sn
a0
a2
a4
a6
…
sn-1
a1
a3
a5
a7
…
sn-2
b1
b2
b3
b4
…
sn-3
c1
c2
c3
c4
…
…
…
…
…
…
s2
e1
e2
s1
f1
s0
g1
注意：在排列特征方程式系数时，空位以零填补。在 运算过程中出现空位时，也以零填补。
系统稳定性：如果劳斯表中第一列所有元素均为正值，
则特征方程式的根都在s的左半平面，相应的系统是稳定
三、稳定判据
线性系统稳定的充要条件是系统所有闭环特征 根都具有负实部。但求解高阶闭环特征方程往往是 比较困难的。在工程实践中，人们希望有一种间接 判别系统特征根分布的简单方法，不用直接求解特 征方程的根，就可以给出系统是否稳定的信息。一 些学者提出了通过闭环特征方程各项的系数，间接 分析系统稳定性的方法，统称为判定系统稳定性的 代数稳定判据。
1、线性系统稳定的必要条件
闭环系统特征方程 n
D(s) a0sn a1sn1 a2sn2 an1s an a0 (s si ) 0
i1
式中，a0>0，si(i=1，2，3，…，n)是系统的n个特征根。
根据代数方程的基本理论，下列关系式成立：
a1
a0
n
(1) si
i1
a2
a0
n
sis j
i, j1
i j
……
an
a0
(1)n
n i1
si
从上述关系式可以导出，系统特征根都具有负实部的 必要条件为
ai aj >0， (i，j=1，2，3，…，n)
即，闭环特征方程各项系数都大于零或闭环特征方程各项 系数符号相同且不缺项。
2、劳斯稳定判据(Routh’s stability criterion) 闭环特征方程