大学物理_振动和波

sin2 (t
),
Ek
1 T
t T
t Ek (t )dt
Ep
1 2
k*
A2
cos2 (t
),
E p
1 T
t T
t E p (t )dt
Ek
Ep
E 2
1 4
k * A2
26
例1：简谐振动物体的位移为振幅的一半时，其动能和势
能之比为： （A） 1：1 ；
（B）1：2 ；
（C） 3：1 ； 正确答案：（C）
31
当t 0 时
A
o
x0 x
x0 Acos
以 o为 原点旋转矢 量A的端点
x 在 轴上的
投影点的运
动为简谐运 动.
t t 时
o
A
t
x
x Acos(t )
以 o为 原点旋转矢 量A的端点
x 在 轴上的
投影点的运
动为简谐运 动.
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
簧的劲度系数 k 0.72N m1，物体的质量 m 20g.
（1）把物体从平衡位置向右拉到 x 0.05m处停
下后再释放，求简谐运动方程； （2）求物体从初位置运动到第一次经过
A 处时的
速度；
2
（3）如果物体在 x 0.05m 处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度 v0 0.30m s，1 求其运动方程.
3.当x=0 时，力 f=0，运动存在一个平衡位置，在 这个位置上物体沿振动方向不受力。
14
简谐振动的判据
1）受力情况 受到线性回复力 F k*x
2）简谐振动动力学方程
d2x dt 2
2x
0
3）简谐振动运动学方程
x Acos t
例：如图, 宽阔水面上的柱形浮 体S试, 平,证质衡明量时它m吃作, 水水简平深谐截度振面h动.面. 积为-(h-Oxx)
B
性变化. K
如图,电荷在LC电路中往复运动. 电磁振荡
微观振动： 如晶格上原子的振动。
4
振动的分类2：
阻尼自由振动
自由振动
无阻尼自由振动
无阻尼自由非谐振动 无阻尼自由谐振动
受迫振动
——(简谐振动)
5
一. 简谐振动（S.H.V.）:
1. 定义：
位置坐标按余弦(或正弦)规律随时间变化。
x(t)=Acos( t+) ——简谐振动的
4
例2 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振
幅为 0.08m，周期为 4s ，起始时刻物体在 x 0.04m
处，向 Ox 轴负方向运动（如图）.试求
（1）t 1.0s 时，物体所处的位置和所受的力；
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
解 A 0.08m
2π π s1
k * / I g / l
mg
13
如果物体受到的力是线性回复力，则可判定物体作简 谐振动，如果不是，那么物体不作简谐振动。线性回 复力f= - kx的特点如下：
1.力 f 与位移 x 的一次方成正比，这个就是“线性” 的含义； 2.式中负号表明力的方向永远与位移方向相反，即 力总是指向平衡位置，这个就是“回复”的含义；
3. 简谐振动特性 •等幅、周期性 •最简单、最基本。其他复杂振动可分解成谐振动 的叠加。
简谐振动被认为是各式周期运动的基本成分，这 有两个根据。
1.数学上： 傅里叶分析 2.物理上： 动力学系统的线性
10
二. 简谐振动动力学方程
弹簧振子(谐振子)在弹性恢复力的 作用下作自由振动——简谐振动
由 Fx kx mx kx
m
12
2. 角谐振动 (定轴转动/小角摆动)
特征方程:
d 2q
dt 2
2q
或 q 2q 0
同乘以I： M I 2q k*q
即：角谐振动 线性回复力矩, 且
k* I
摆： M mglsinq
当q 很小, sinq q 时 单摆
M mglq
ql
k* mgl; I ml 2
T
m
x
A
a
b
A2
o
A
v
π
3
tb
t
x
A 0 A ta A
t π 3 T 1 T 2 2π 6
2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们 间步调上的差异.（解决振动合成问题）
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
(t 2 ) (t 1) 2 1
0同相 x
主要内容
§ 1-1 简谐振动 § 1-2 简谐振动的合成 § 1-3 简谐波 § 1-4 波的叠加和干涉
2
Biblioteka Baidu
1-1 简谐振动
振动： 任何一个物理量随时间的周而复始的变化。
3
振动的分类1：
机械振动： 物体在其平衡位置附近,位移x随时间t 的 周期性变化.
ql
mg
A
LC
电磁振动： 电场、磁场等电磁量随t周期
的周期T.
X
解: 如图, 平衡时右管中液面坐标
x
x = 0, t 时刻为x. 各处水银质元切
O
向加速度相等
Ft
2(Sx )g
m
d2x dt 2
2gS / m
T 2 m 2 gS
30
五. 谐振动的旋转矢量表示 x Acos(t )
旋转
矢量 A的
端点在 x
轴上的投 影点的运 动为简谐 运动.
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常数 A 和 的确定
x Acos(t )
v A sin(t )
初始条件 t 0 x x0 v v0
x0 A cos v0 Asin
A
x02
v02
2
tan v0 x0
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件（两个）决定.
曲线描述
x Acos t
vx
或 x(t)=Asin( t+’)
运动学方程
也可用复数表示：x(t )
Aei t
:
A eit
计算结果一般取实部
x，q
x,q
t
t
6
7
2. 简谐振动的速度、加速度
由x Acos(t ) , 得
x
dx dt
A s in(t
)
Acos (t
2
)
ax
d x
dt
2 Acos(
t
)
2 Acos(
t
)
旋转矢量表示的优越性
直观展示简谐振动各参量的关系，便于确
定的象限
便于对两个或多个简谐振动进行比较 便于处理简谐振动叠加问题
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差 .
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状
态间变化所需的时间.
x Acos(t1 ) (t2 ) (t1 )
x Acos(t2 ) t t2 t1
（2）求物体从初位置运动到第一次经过 A 处时的
速度；
2
解 x Acos(t ) Acos(t)
cos(t) x 1
A2
t π 或 5π
33
由旋转矢量图可知 t π
3
v A sint
A
o A Ax
2
0.26m s1 （负号表示速度沿 Ox轴负方向）
（3）如果物体在 x 0.05m 处时速度不等于零，
X
解：宽阔水面液面不变。取 -h
m
m m'
坐标系如图，
平衡
偏离平衡位置为x 时, 浮体所受合力为
Fx mg 水 S(h x)g 水 Sgx
k* 水 Sg 与x无关. …
d2x m dt 2 k * x
d2x dt 2
2 x
k*/m
得证！
16
三. 简谐振动的参量
相位
x Acos(t )
d 1 m 2 1 m 2 x 2 0
2
2
x Asin( t ) k m 2
1 m 2 1 m 2 x2 1 k * A2 E 常量
2
2
2
动能
弹性势能
简谐振动系统机械能守恒，各时刻的机械能均
等于起始能量E0 (t 0 时输入的能量)。
24
谐振系统中动能、势
E
E
Ep
则 x 2 x 0 2 k / m
Ox
——简谐振动的动力学方程(特征方程)
(加速度与“位移”正比、反向)
11
1. 线谐振动
质点作直线谐振动. 对特征方程
d2x dt 2
2 x
两边同乘以振子质量m, 有
Fx m 2 x k * x
即: 作直线谐振动的质点必受线性回复力.
且 k * k* — 有效劲度系数
cos
7.07t
4
28
推导
能量守恒
简谐运动方程
E 1 mv2 1 kx2 常量
2
2
d (1 mv2 1 kx2 ) 0
dt 2
2
mv dv kx dx 0 dt dt
d2x k x 0 dt 2 m
例3: 光滑U型管内装水银, 密度为. 管截面为S, 使
水银偏离平衡位置后任其自由振动. 求其往复振动
A
cos
t
π 2
ax A 2cost π
x xt图
A
o
t
T
A
v vt 图
A
o
Tt
xa
A
A
a a t图
o
A
t A 2
o
Tt
2A T
A 2
四. 谐振系统的能量
1. 谐振系统的动能和势能
由
d2x dt 2
2 x
及
d2x dt 2
d
dt
d
dx
有 d 2 xdx , 同乘以m
x Acos( t )
• a, , x 都是谐振动， 振幅不同，角频率不变
• a, , x 依次超前 /2； a, x 反相（谐振动特点）
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曲线描述
x xt图
x Acos t
vx
A
cos
t
π 2
A
o
t
T
A
v vt 图
ax A 2cost π
A
o
Tt
xa
A
A
a a t图
o
A
t A 2
o
Tt
2A T
A 2
x/m
o 0.05
（1）把物体从平衡位置向右拉到 x 0.05m 处停
下后再释放，求简谐运动方程；
解 （1） k 0.72N m1 6.0s1
m
0.02kg
A
x02
v02
2
x0 0.05m
tan v0 0 x0
0 或π
o Ax
由旋转矢量图可知 0
x Acos(t ) (0.05m) cos[(6.0s1)t]
（D） 2：1。
简谐振动的总能量为：E
Ek
Ep
1 2
k A2
当物体的位移为振幅的一半时
其势能为：
Ep
1 2
k x2
1 2
k
A 2 2
1 4
E
其动能为：
Ek
E Ep
3 4
E
Ek : Ep 3:1
例2: 竖直弹簧谐振子, 平衡后用恒
力F 向下拉0.5m, 撤去F, 此时t = 0, k 已知: k = 200N/m, m = 4.0kg, F =
100N, S = 0.5m, 求振动方程.
O
解: 如图，m作谐振动的圆频率为 m
S
k / m 200 / 4 7.07 rad/s
F
X
对谐振系统(k, m)用功能原理:
FS 1 kA2; A 2FS / k 0.707m
2
由 x0 S
2 A;
2
0 0
得
4
谐振动方程:
x
0.707
个阶段)
如 当
x Acos 时 x
2
;
v
0,
dx
dt
x A
Asin
物体在O点向左运动
当 3 时 x 0, x A 物体在O点向右运动
2
初相： t 0 时的相位
20
谐振动系统特征量的求法： 谐振动系统的角频率取决于系统的弹性元 件和质量元件，因此分析系统的装置情况一 般就可以得到角频率。 振幅和初相位则取决于振动的初始状态 （初始位置和初始速度），因此求振幅和相 位就归结为求初始位置和初始速度。
能间的关系如右图：
Ek
• 由起始能量求振幅：
x
t
A 2E 2E0
k
k
t
2. 谐振系统的平均动能和平均势能 周期函数 f (t T ) f (t)在一个周期内的平均值:
1 tT
f T t f (t )dt
应用于谐振动： x Acos(t )
Asin(t )
25
Ek
1 2
m 2 A2
18
周期： T 完成一次振动的时间(s)
∴ x Acost Acos(t T )
T 2 2 m —— 也称为固有周期
k
频率： 1 ——单位时间内振动的次数(Hz)
T
1 1 k T 2 m
—— 也称为固有频率
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3. 位相和初相
相位(位相): (t) t
描述 t 时刻的振动状态(周期变化的物理量变化到哪
初相
振幅
圆频率(角 频率)
或 x A cos 2 t
T
周期
x Acos(2t )
频率 17
1.振幅：A 质点离开平衡位置的最大距离 xmax
2. 圆频率(角频率) 、周期、频率
描述振动系统的固有属性
圆频率：
k m
—— 也称为固有圆频率
2 2
T
(注意和的区别)(rad/s)
π 反相
x
超前
为其它
落后
x
o
o
o
t
t
t
3） 方便比较不同物理量振动步调
x Acos t
A cos t π
2
a A 2cos t π
A
2A
A
a
x
由图看出：速度超前位移 π 加速度超前速度 2
位移与加速度 Δ π 称两振动反相
若 0 称两振动同相
例1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹
T2
A 0.08m
2π π s1
而是具有向右的初速度 v0 0.30m s，1 求其运动方程.
解
A＇
x02
v02
2
0.0707m
tan＇ v0 1 x0
o π 4 x
＇ π 或 3π
44
A＇
因为 v0 0 ，由旋转矢量图可知 ＇ π 4
x Acos(t ) (0.0707m) cos[(6.0s1)t π ]