抽样调查-第6章整群抽样
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抽样调查-第6章整群抽 样
2020年7月13日星期一
二、群的划分
整群抽样中的群大致可分为两类：
一类是根据行政或地域形成的群体，如学校企业 和街道，对此采用整群调查是为了方便调查，节 约费用。 另一类群则是调查人员人为确定的，如将一大块 面积划分若干块较小面积的群，这时就需要考虑 如何划分群，以使在相同调查费用下调查误差最 小。
【例4.11】 在一次对某中学在校生零花钱的调查
中，以宿舍作为群进行整群抽样，每个宿舍都有M=6 名学生。用简单随机抽样在全部N=315间宿舍中抽取 n=8间宿舍。全部48个学生上周每人的零花钱 及 相关计算数据如下表。试估计该学校学生平均每周 的零花钱 ，并给出其95%置信区间。
8个宿舍48名学生每周零花钱支出额
我们先考虑最简单的情形：每个群所包含的单 元数M相等，称为群规模相等。（实际问题中只要 群规模接近，也可视为群规模相等）。
在群规模相等的情况下，整群抽样一般采用简 单随机抽样方法抽取群，这时对总体均值的估计 十分简单。
一、群规模相等时的估计
1、均值估计量 及其方差
若按简单随机抽样,且群的大小相等,都等 于 M ，则对总体 均值的估计为：
此时， 为最大值，
即整群抽样的估计
量方差是简单随机抽样估计量方差的倍。
若群内方差与整体方差相等，即
整群抽样与简单随机抽样估计的效应相当。
若群内方差大于总体方差时，ρ的取值为负， 此时，整群抽样的效率高于简单随机抽样。
因此，要提高整群抽样的效率，就要通过分群 尽可能降低 值。这一点是通过增大群内单元之 间的差异实现的。
四、附号说明
总体群（PSU)数：N
样本群数：n
第i个群中的单元（SSU)数量：
总体第 i 群中第 j个单元的指标值： 样本第 i 群中第 j个单元的观测值：
总体中单元总数：
总体中第i群的群总值： 样本中第i群的群总值： 总体中第i群的个体均值： 样本中第i群的群均值： 总体中的群均值： 样本中的群均值：
解：已知 故
下面计算估计量方差的估计值：
于是置信度为95%的置信区间为98.17±1.96×4.34， 也即[89.66元，106.68元】
2、整群抽样效率分析
在整群抽样中，由于 估计量的方差主要依赖群间的变异性。因此 整群抽样中 较大，则整群抽样就会损失精度。 下面我们用方差分析表来讨论这一问题。
总体中的个体均值： 总体方差： 样本方差：
总体群间方差： 样本群间方差：
总体中第i个群群内方差： 样本第i个群群内方差：
群规模相等时整群抽样总体群内方差： 群规模相等时整群抽样样本群内方差：
§4.2 等概率整群抽样
在N个初级抽样单元中，第i个初级单元含 个二级抽样单元。对于整群抽样而言，被抽中的 群中所有二级单元全部入样。
群规模相等时的整群抽样
总体方差分析表
来源 群间
自由度
平方和
均方
群内
总计
我们将整群抽样与简单随机抽样的效率进行 比较，假设直接从总体中抽取一个样本容量为nM 的简单随机样本，则样本均值的方差为：
但如果该整体被等分为N个规模为M的群，定义 为群内相关系数,描述同一群内成对个体单元之间 的相关程度,其表达式为：
根据组合及平均值的计算， 又可表示为：
事实上，前面提到的 近似表示：
可以用群内相关系数
若采用简单随机抽样，直接从总体中抽取 个个体单元，则 的方差公式为：
由此，可以计算等群抽样的设计效应：
这表明，整群抽样的方差约为简单随机抽样方差的 倍
整群抽样估计效应与群内相关系数 关系密切， 若群内各单元的值都相等，则群内方差
1 58 83 74 82 66 87 75.0 125.6 2 91 83 79 111 101 69 89.0 233.6 3 123 89 94 109 79 80 95.67 299.07 4 99 105 98 107 129 90 104.67 177.87 5 110 99 132 87 99 124 108.50 287.50 6 111 100 116 99 107 105 106.33 42.27 7 120 115 117 99 106 120 112.83 72.57 8 95 80 63 130 105 86 93.33 527.87
定理4.1 是 的无偏估计，即
这样的结果是显然的，因为是按简单随机 方法抽取群，所以样本群均值 是总体群均 值 的无偏估计，因而
定理4.2
的方差为:
证明：因为
所以
定理4.3
的样本估计为：
由于 因而
的无偏估计， 的无偏估计。
总体总值
的估计量为：
总体总值
的估计量的方差为：
下面我们看一个整群抽样的例题
对于自然形成的群而言，无法通过调整群内单元 而控制的 取值。这时，要想减少抽样误差，就只能 增大样本容量。
另外，群内相关系数 也可以用群内方差 和群间方差 表示，并由样本统计量 估计：
【例 4.2】 估计例4.1中以宿舍为群的群内相关系数
与设计效应.
解：ห้องสมุดไป่ตู้例4.1已计算出样本群间方差
而样本群内方差为：
由相关系数的估计式有
设计效应2.741表明，在这项调查中，为达到 同样的估计精度，整群随机抽样的样本量大约为 简单随机抽样样本量的2.74倍．而此时简单随机 抽样的样本量为:
二、群规模不等时的估计
采用整群抽样,如果各群规模 不等,情况会 复杂一些. 此时,有多种不同的抽样方法.
1、等概抽样，简单估计 此时，不考虑群规模不等的影响，抽样方法与 前节群规模相等时相同，估计方法也相同，即采 用简单 随机抽样。对总体均值 的估计为：
群划分的一般原则 为了提高精度,划分群时应力争使同一群内各单 元之间的差异尽可能大,以避免同一群内各单元提 供重复信息.这个原则与分层抽样中划分层的原则 恰好相反.由此看来,整群抽样和分层抽样是针对不 同总体结构而提出的两种不同抽样方法.
三、群的规模
群的规模是指组成群的单元的数量。 群的规模大，估计的精度差，但费用省； 群的规模小，估计的精度可以提高但费用增大。 实践中，确定群的规模涉及多种因数，如群的具 体 结构、精度、费用、调查实施的组织管理等。 群的规模又有两种情况：一种是总体中的各个群 规模相等；另一种是总体中各个群的规模不相等。
2020年7月13日星期一
二、群的划分
整群抽样中的群大致可分为两类：
一类是根据行政或地域形成的群体，如学校企业 和街道，对此采用整群调查是为了方便调查，节 约费用。 另一类群则是调查人员人为确定的，如将一大块 面积划分若干块较小面积的群，这时就需要考虑 如何划分群，以使在相同调查费用下调查误差最 小。
【例4.11】 在一次对某中学在校生零花钱的调查
中，以宿舍作为群进行整群抽样，每个宿舍都有M=6 名学生。用简单随机抽样在全部N=315间宿舍中抽取 n=8间宿舍。全部48个学生上周每人的零花钱 及 相关计算数据如下表。试估计该学校学生平均每周 的零花钱 ，并给出其95%置信区间。
8个宿舍48名学生每周零花钱支出额
我们先考虑最简单的情形：每个群所包含的单 元数M相等，称为群规模相等。（实际问题中只要 群规模接近，也可视为群规模相等）。
在群规模相等的情况下，整群抽样一般采用简 单随机抽样方法抽取群，这时对总体均值的估计 十分简单。
一、群规模相等时的估计
1、均值估计量 及其方差
若按简单随机抽样,且群的大小相等,都等 于 M ，则对总体 均值的估计为：
此时， 为最大值，
即整群抽样的估计
量方差是简单随机抽样估计量方差的倍。
若群内方差与整体方差相等，即
整群抽样与简单随机抽样估计的效应相当。
若群内方差大于总体方差时，ρ的取值为负， 此时，整群抽样的效率高于简单随机抽样。
因此，要提高整群抽样的效率，就要通过分群 尽可能降低 值。这一点是通过增大群内单元之 间的差异实现的。
四、附号说明
总体群（PSU)数：N
样本群数：n
第i个群中的单元（SSU)数量：
总体第 i 群中第 j个单元的指标值： 样本第 i 群中第 j个单元的观测值：
总体中单元总数：
总体中第i群的群总值： 样本中第i群的群总值： 总体中第i群的个体均值： 样本中第i群的群均值： 总体中的群均值： 样本中的群均值：
解：已知 故
下面计算估计量方差的估计值：
于是置信度为95%的置信区间为98.17±1.96×4.34， 也即[89.66元，106.68元】
2、整群抽样效率分析
在整群抽样中，由于 估计量的方差主要依赖群间的变异性。因此 整群抽样中 较大，则整群抽样就会损失精度。 下面我们用方差分析表来讨论这一问题。
总体中的个体均值： 总体方差： 样本方差：
总体群间方差： 样本群间方差：
总体中第i个群群内方差： 样本第i个群群内方差：
群规模相等时整群抽样总体群内方差： 群规模相等时整群抽样样本群内方差：
§4.2 等概率整群抽样
在N个初级抽样单元中，第i个初级单元含 个二级抽样单元。对于整群抽样而言，被抽中的 群中所有二级单元全部入样。
群规模相等时的整群抽样
总体方差分析表
来源 群间
自由度
平方和
均方
群内
总计
我们将整群抽样与简单随机抽样的效率进行 比较，假设直接从总体中抽取一个样本容量为nM 的简单随机样本，则样本均值的方差为：
但如果该整体被等分为N个规模为M的群，定义 为群内相关系数,描述同一群内成对个体单元之间 的相关程度,其表达式为：
根据组合及平均值的计算， 又可表示为：
事实上，前面提到的 近似表示：
可以用群内相关系数
若采用简单随机抽样，直接从总体中抽取 个个体单元，则 的方差公式为：
由此，可以计算等群抽样的设计效应：
这表明，整群抽样的方差约为简单随机抽样方差的 倍
整群抽样估计效应与群内相关系数 关系密切， 若群内各单元的值都相等，则群内方差
1 58 83 74 82 66 87 75.0 125.6 2 91 83 79 111 101 69 89.0 233.6 3 123 89 94 109 79 80 95.67 299.07 4 99 105 98 107 129 90 104.67 177.87 5 110 99 132 87 99 124 108.50 287.50 6 111 100 116 99 107 105 106.33 42.27 7 120 115 117 99 106 120 112.83 72.57 8 95 80 63 130 105 86 93.33 527.87
定理4.1 是 的无偏估计，即
这样的结果是显然的，因为是按简单随机 方法抽取群，所以样本群均值 是总体群均 值 的无偏估计，因而
定理4.2
的方差为:
证明：因为
所以
定理4.3
的样本估计为：
由于 因而
的无偏估计， 的无偏估计。
总体总值
的估计量为：
总体总值
的估计量的方差为：
下面我们看一个整群抽样的例题
对于自然形成的群而言，无法通过调整群内单元 而控制的 取值。这时，要想减少抽样误差，就只能 增大样本容量。
另外，群内相关系数 也可以用群内方差 和群间方差 表示，并由样本统计量 估计：
【例 4.2】 估计例4.1中以宿舍为群的群内相关系数
与设计效应.
解：ห้องสมุดไป่ตู้例4.1已计算出样本群间方差
而样本群内方差为：
由相关系数的估计式有
设计效应2.741表明，在这项调查中，为达到 同样的估计精度，整群随机抽样的样本量大约为 简单随机抽样样本量的2.74倍．而此时简单随机 抽样的样本量为:
二、群规模不等时的估计
采用整群抽样,如果各群规模 不等,情况会 复杂一些. 此时,有多种不同的抽样方法.
1、等概抽样，简单估计 此时，不考虑群规模不等的影响，抽样方法与 前节群规模相等时相同，估计方法也相同，即采 用简单 随机抽样。对总体均值 的估计为：
群划分的一般原则 为了提高精度,划分群时应力争使同一群内各单 元之间的差异尽可能大,以避免同一群内各单元提 供重复信息.这个原则与分层抽样中划分层的原则 恰好相反.由此看来,整群抽样和分层抽样是针对不 同总体结构而提出的两种不同抽样方法.
三、群的规模
群的规模是指组成群的单元的数量。 群的规模大，估计的精度差，但费用省； 群的规模小，估计的精度可以提高但费用增大。 实践中，确定群的规模涉及多种因数，如群的具 体 结构、精度、费用、调查实施的组织管理等。 群的规模又有两种情况：一种是总体中的各个群 规模相等；另一种是总体中各个群的规模不相等。