_金融期权价值的评估方法(4)

3.多期二叉树模型（了解即可）

如果继续增加分割的期数，就可以使期权价值更接近实际。

期数增加以后带来的主要问题是股价上升与下降的百分比如何确定问题。期数增加以后，要调整价格变化的升降幅度，以保证年报酬率的标准差不变。把年报酬率标准差和升降百分比联系起来的公式是：

u=1+上升百分比=

d=1-下降百分比=1÷u

式中：

e——自然常数，约等于2.7183；

σ——标的资产连续复利报酬率的标准差；

t——以年表示的时段长度。

【教材例7—10】采用的标准差σ=0.4068。

==1.3333

d=1÷1.3333=0.75

【例7-12】沿用【例7-10】中的数据，将半年的时间分为6期，即每月1期。已知：股票价格S0=50元，执行价格为52.08元，年无风险利率为4%，股价波动率（标准差）为0.4068，到期时间为6个月,划分期数为6期（即每期1个月）。（1）确定每期股价变动乘数。

u===1.1246

d=1÷1.1246=0.8892

（2）建立股票价格二叉树（略）。

（3）根据股票价格二叉树和执行价格，构建期权价值的二叉树（略）。

（三）布莱克—斯科尔斯期权定价模型

1.布莱克—斯科尔斯模型的假设

（1）在期权寿命期内，买方期权标的股票不发放股利，也不做其他分配；

（2）股票或期权的买卖没有交易成本；

（3）短期的无风险利率是已知的，并且在期权寿命期内保持不变；

（4）任何证券购买者都能以短期的无风险利率借得任何数量的资金；

（5）允许卖空，卖空者将立即得到所卖空股票当天价格的资金；

（6）看涨期权只能在到期日执行；（欧式期权）

（7）所有证券交易都是连续发生的，股票价格随机游走。

2.布莱克—斯科尔斯模型

布莱克—斯科尔斯模型的公式如下：

=

或=S0PV（X）

d1=

或=

d2=d1-

其中：

C0——看涨期权的当前价值；

S0——标的股票的当前价格；

N（d）——标准正态分布中离差小于d的概率；

X——期权的执行价格；

e——自然对数的底数，约等于2.7183；

r c——连续复利的年度的无风险利率；

t——期权到期日前的时间（年）；

ln（S0÷X）——S0÷X的自然对数；

——连续复利的以年计的股票回报率的方差。

通过该模型可以看出，决定期权价值的因素有五个：股价、股价的标准差、利率、执行价格和到期时间。

3.模型参数的估计

（1）无风险报酬率的估计

①期限要求：无风险利率应当选择与期权到期日相同的政府债券利率。如果没有相同时间的，应选择时间最接近的政府债券利率。

②这里所说的政府债券利率是指其市场利率（根据市场价格计算的到期报酬率），而不是票面利率。

③模型中的无风险报酬率是按连续复利计算的利率，而不是常见的年复利。

由于布莱克—斯科尔斯模型假设套期保值率是连续变化的，因此，利率要使用连续复利。连续复利假定利息是连续支付的，利息支付的频率比每秒1次还要频繁。

如果用F表示终值，P表示现值，r c表示连续复利率，t表示时间（年），则：

F=P×

r c=

式中：ln——求自然对数。

【手写板】

F=P×

F/P=

ln（F/P）=lner c t

=r c t

r c=

【教材例7-14】假设t=1年，F=104元，P=100元，则：

r c=ln（104÷100）÷1

=ln（1.04）÷1

=3.9221%

【提示】

（1）严格说来，期权估值中使用的利率都应当是连续复利，包括二叉树模型和BS模型。

（2）为了简便，手工计算时往往使用分期复利作为连续复利的近似替代。

有两种选择：

①按有效年利率折算。例如，年复利率为4%，则等价的半年复利率应当是-1=1.98%。

②按报价利率折算。例如，报价年利率为4%，则半年期有效复利率为4%÷2=2%。

（2）报酬率标准差的估计。

股票报酬率的标准差可以使用历史报酬率来估计。计算连续复利标准差的公式与年复利相同：

其中：R t指报酬率的连续复利值。

4.看涨期权-看跌期权平价定理

对于欧式期权，假定看涨期权和看跌期权有相同的执行价格和到期日，则下述等式成立：

看涨期权价格C-看跌期权价格P=标的资产的价格S-执行价格的现值PV(X)

这种关系，被称为看涨期权-看跌期权平价定理。

【教材例7-16】两种期权的执行价格均为30元，6个月到期，6个月的无风险利率为4%，股票的现行价格为35元，看涨期权的价格为9.20元，则看跌期权的价格为：

P=-S+C+PV（X）

=-35+9.20+30／（1+4%）

=-35+9.20+28.8

=3（元）

【例题•单选题】某股票的现行价格为20元，以该股票为标的资产的欧式看涨期权和欧式看跌期权的执行价格均为24.96。都在6个月后到期。年无风险报酬率为8%，如果看涨期权的价格为10元，看跌期权的价格为（）元。（2013年）

A.6.89

B.13.11

C.14

D.6

【答案】C

【解析】10-看跌期权价格=20-24.96/（1+4%），所以看跌期权价格=14元。

5.派发股利的期权定价

考虑派发股利的期权定价公式如下：

-

式中：d1=

d2=d1-

表示标的股票的年股利报酬率（假设股利连续支付，而不是离散分期支付）。

如果标的股票的年股利报酬率为零，则与前面介绍的布莱克—斯科尔斯模型相同。

6.美式期权估值

美式期权在到期前的任意时间都可以执行，除享有欧式期权的全部权利之外，还有提前执行的优势。因此，美式期权的价值应当至少等于相应欧式期权的价值，在某种情况下比欧式期权的价值更大。

本章总结

1．了解期权的概念（期权是一种权力、期权的标的资产、到期日、期权的执行）；

2．熟悉期权的类型（买入看涨期权、卖出看涨期权、买入看跌期权、卖出看跌期权）及各自净损益的比较；

3．掌握期权的投资策略（保护性看跌期权、抛补性看涨期权、多头对敲和空头对敲）；

4．掌握金融期权的实值状态、虚值状态和平价状态，期权价值的含义及其比较；

本章总结

5．掌握期权价值的影响因素分析；

6．掌握复制原理、套期保值原理和风险中性原理；

7．了解二叉树期权定价模型，布莱克—斯科尔斯期权定价模型；