留数定理计算围道积分
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： 两点 ，在 ￡上截下一段 ，在域 Ｄ内截得一段 ，取 ｒ。到 ｒ：的方向为正 向．由于 ｔ。是 ，（ｚ）的 ｎ阶极 点 ，得
屯 ，ｆ＝０ｉＲｅｓ ，ｔ０）．
儿 ｐ
又 由柯 西 定 理 得 ， ｆ ＝０，得 证 ．
定 理 ３ （推广的留数定理 ）设 Ｄ是 由复合 闭路 Ｌ＝ ＋ ＋… ＋ 所围成的有界多连通域 ， ，Ｚ２，… ， ∈Ｄ， ｔ，，ｔ ，… ，ｔⅣ∈Ｌ．设函数，（ ）在 Ｄ 一 ， ２，…， ｝解 析 ，Ｄ一 ， ２，… ， ； ｌ，ｔ２，… ，ｔⅣ｝连续 ｚ）在 ｔｌ，‘２，… ，ｔ 分别有 关 于 Ｄ 的 ｎ ，ｎ：，… ， 阶 的极 点 ，则
【关键词 】解析 函数 ；奇 点；留数 ；留数定理
定理 １ （留数定 理 ）设 Ｄ是复平面上 的一个有界 区 域 ，其 边 界 ＯＤ 是 有 限 条 简 单 闭 曲线 （如 图 所 示 ，其 中 ＯＤ ＝Ｃｏ＋ｃ ＋ ）．设 函数 ）在 Ｄ内除去有 限个孤立 奇 点 ｚ。， ，… ， 外 ，在 闭 区域 Ｄ 内其 余 的每 一点 解析 ，则有
Ｒｅｓ ｆ，ｚｋ）＋ Ｒｅｓ（，， ），
其 中， 为在 处关于 Ｄ的张度 ， ＝ ， 是 处关于 域 Ｄ的张角 ， 取关 于 Ｄ的正 向．
例２ 计算积分，＝［１ ．
解，＝ ”等ｄｘ＝÷ 警ｄｘ＝÷一ｍ 譬 ．
如 图所 示 ，构 造 并 计
Ｊ
算 围道积分 ：
令 Ｒ ＞１，Ｌ，：｛ ＝ ＋ ｙ：一Ｒ≤ ≤ Ｒ，Ｙ＝０｝，
Ｃ，：｛ｚ＝Ｒｅ”：０≤ ｔ≤，－ｆｔ．｝，
奇 点 Ｚ０＝０为 一 阶极
一
一
０ 一Ｊｉ
点 ，Ｒｅｓ（ｆ，Ｚ０） ＝ １．
由推广的留数定理得 （ ＋ ）：卢Ｒｅｓ（，，Ｚｏ），这
里 卢 ＝ ０ ＝ ＝ １
，
ｆ ＝ 一
，
，
，＝ ＝÷ 警
： ÷Ｉ ｒ ：詈．
结论 灵活利用 留数定理 ，可 以帮我们解 决用 数学分 析方法解 决 比较难 算 出来 的实 积 分 ，大大 降低 计 算量 ；同 时 ，灵活利用 推广 的留数定 理 ，在构 造 围道积 分 的时候 ，我
≤ ｆ ｔ ｉ（ｘ＋ｉｙ） ＝
≤
一 ０．
定理 ２ （推广 的留数定理 ）设域 Ｄ 由逐 段光 滑曲线 围成 ，ｔ。∈Ｌ 。）在 Ｄ内解析 ，在 Ｄ 一｛ｔ。｝连续 ，在 ｔ。有关
于Ｄ的ｎ阶极点，则Ｊ／＝ＯｉＲｅｓ（ｆ，ｔ０），其中取￡关于Ｄ的正
向 ，０是 ｔ。处关 于域 Ｄ的张 角． 证 以 ｔ。为 中心 、以充分小 的Ｐ为半径作弧交 ￡于 ｒ ，
它在上半平面仅有 一个 一阶极点 ｚ＝ｉ，由留数定理得
．
．
＋ｒ２＋ｒ３＋
出 ＝２，ｒｒｉＲｅｓ（，，ｉ），
ｆ盘 Ｒｅｓ ，ｉ卜去， ｚ － ｉ
＋
＋
＋ Ｌ 出
＝２￣ｒｉＲｅｓ ，ｉ）＝一詈，
ｆ ； ｉ－ ＝一ｒ ：
＝一盯ｉ，
Ｌ 出＝ｌ ｆ高嚣 Ｉ
≤ ＪＤ Ｉ。 Ｉ ｄ０
。 ●
高 教 视 野
甓 庭瑷诜 遘
◎ 陈灿 培 （华 南师 范 大 学 ，广 东 广 州 ５１００００）
【摘要 】在ຫໍສະໝຸດ Baidu学分 析 以及 实 际问题 中，往 往 要计 算一 些 定 积分或反常积分．而这些积分 中被积 函数 的原 函数 ，有 时 不能用初等 函数表 示出来 ；或者 即使 可 以求 出原 函数 ，计算 也常常 比较复杂．因此 ，需要寻 求新 的计 算方 法．例 如 ，可 以 考虑 把实积分转化为复积分 ，以便 利用复 积分 的理 论 ，而 留 数理 论 正 是 这 方 面 的重 要 工 具 ．
们 不 绕 讨 那 存 仂 界 （围道 ） 卜的奇 点．
【参考文献 】 ［１］陈宗煊 ，孙道椿 ，刘名 生．复变 函数 ［Ｍ］．北京 ：科 学 出版 社 ，２０１０． ［２］路见可 ，钟寿 国 ，刘士 强．复变 函数 ［Ｍ］．武汉 ：武汉 大 学 出版 社 ，２００７．
学 习 与 研 究 ２０１８．７
，＇ ）．
例１ 计算积分，＝上
．
解
＝÷
＝
÷ ｍ
．
构造如 图所示 的围道积分 ：
ｙ
一 Ｒ ｆ 一。 ０ ；
一
ｉ
其 中 ，Ｉ’ｌ：｛ ＝ ：一Ｒ ≤ ≤ 一ｓ｝，１’２：｛ｚ ＝ ｅ“：Ｏ≤
ｔ≤叮ｒ｝，Ｆ３：｛ｚ＝ ：ｓ≤ ≤ Ｒ｝，Ｆ４：｛。＝Ｒｅ ：０≤ ≤ １Ｔ｝．
屯 ，ｆ＝０ｉＲｅｓ ，ｔ０）．
儿 ｐ
又 由柯 西 定 理 得 ， ｆ ＝０，得 证 ．
定 理 ３ （推广的留数定理 ）设 Ｄ是 由复合 闭路 Ｌ＝ ＋ ＋… ＋ 所围成的有界多连通域 ， ，Ｚ２，… ， ∈Ｄ， ｔ，，ｔ ，… ，ｔⅣ∈Ｌ．设函数，（ ）在 Ｄ 一 ， ２，…， ｝解 析 ，Ｄ一 ， ２，… ， ； ｌ，ｔ２，… ，ｔⅣ｝连续 ｚ）在 ｔｌ，‘２，… ，ｔ 分别有 关 于 Ｄ 的 ｎ ，ｎ：，… ， 阶 的极 点 ，则
【关键词 】解析 函数 ；奇 点；留数 ；留数定理
定理 １ （留数定 理 ）设 Ｄ是复平面上 的一个有界 区 域 ，其 边 界 ＯＤ 是 有 限 条 简 单 闭 曲线 （如 图 所 示 ，其 中 ＯＤ ＝Ｃｏ＋ｃ ＋ ）．设 函数 ）在 Ｄ内除去有 限个孤立 奇 点 ｚ。， ，… ， 外 ，在 闭 区域 Ｄ 内其 余 的每 一点 解析 ，则有
Ｒｅｓ ｆ，ｚｋ）＋ Ｒｅｓ（，， ），
其 中， 为在 处关于 Ｄ的张度 ， ＝ ， 是 处关于 域 Ｄ的张角 ， 取关 于 Ｄ的正 向．
例２ 计算积分，＝［１ ．
解，＝ ”等ｄｘ＝÷ 警ｄｘ＝÷一ｍ 譬 ．
如 图所 示 ，构 造 并 计
Ｊ
算 围道积分 ：
令 Ｒ ＞１，Ｌ，：｛ ＝ ＋ ｙ：一Ｒ≤ ≤ Ｒ，Ｙ＝０｝，
Ｃ，：｛ｚ＝Ｒｅ”：０≤ ｔ≤，－ｆｔ．｝，
奇 点 Ｚ０＝０为 一 阶极
一
一
０ 一Ｊｉ
点 ，Ｒｅｓ（ｆ，Ｚ０） ＝ １．
由推广的留数定理得 （ ＋ ）：卢Ｒｅｓ（，，Ｚｏ），这
里 卢 ＝ ０ ＝ ＝ １
，
ｆ ＝ 一
，
，
，＝ ＝÷ 警
： ÷Ｉ ｒ ：詈．
结论 灵活利用 留数定理 ，可 以帮我们解 决用 数学分 析方法解 决 比较难 算 出来 的实 积 分 ，大大 降低 计 算量 ；同 时 ，灵活利用 推广 的留数定 理 ，在构 造 围道积 分 的时候 ，我
≤ ｆ ｔ ｉ（ｘ＋ｉｙ） ＝
≤
一 ０．
定理 ２ （推广 的留数定理 ）设域 Ｄ 由逐 段光 滑曲线 围成 ，ｔ。∈Ｌ 。）在 Ｄ内解析 ，在 Ｄ 一｛ｔ。｝连续 ，在 ｔ。有关
于Ｄ的ｎ阶极点，则Ｊ／＝ＯｉＲｅｓ（ｆ，ｔ０），其中取￡关于Ｄ的正
向 ，０是 ｔ。处关 于域 Ｄ的张 角． 证 以 ｔ。为 中心 、以充分小 的Ｐ为半径作弧交 ￡于 ｒ ，
它在上半平面仅有 一个 一阶极点 ｚ＝ｉ，由留数定理得
．
．
＋ｒ２＋ｒ３＋
出 ＝２，ｒｒｉＲｅｓ（，，ｉ），
ｆ盘 Ｒｅｓ ，ｉ卜去， ｚ － ｉ
＋
＋
＋ Ｌ 出
＝２￣ｒｉＲｅｓ ，ｉ）＝一詈，
ｆ ； ｉ－ ＝一ｒ ：
＝一盯ｉ，
Ｌ 出＝ｌ ｆ高嚣 Ｉ
≤ ＪＤ Ｉ。 Ｉ ｄ０
。 ●
高 教 视 野
甓 庭瑷诜 遘
◎ 陈灿 培 （华 南师 范 大 学 ，广 东 广 州 ５１００００）
【摘要 】在ຫໍສະໝຸດ Baidu学分 析 以及 实 际问题 中，往 往 要计 算一 些 定 积分或反常积分．而这些积分 中被积 函数 的原 函数 ，有 时 不能用初等 函数表 示出来 ；或者 即使 可 以求 出原 函数 ，计算 也常常 比较复杂．因此 ，需要寻 求新 的计 算方 法．例 如 ，可 以 考虑 把实积分转化为复积分 ，以便 利用复 积分 的理 论 ，而 留 数理 论 正 是 这 方 面 的重 要 工 具 ．
们 不 绕 讨 那 存 仂 界 （围道 ） 卜的奇 点．
【参考文献 】 ［１］陈宗煊 ，孙道椿 ，刘名 生．复变 函数 ［Ｍ］．北京 ：科 学 出版 社 ，２０１０． ［２］路见可 ，钟寿 国 ，刘士 强．复变 函数 ［Ｍ］．武汉 ：武汉 大 学 出版 社 ，２００７．
学 习 与 研 究 ２０１８．７
，＇ ）．
例１ 计算积分，＝上
．
解
＝÷
＝
÷ ｍ
．
构造如 图所示 的围道积分 ：
ｙ
一 Ｒ ｆ 一。 ０ ；
一
ｉ
其 中 ，Ｉ’ｌ：｛ ＝ ：一Ｒ ≤ ≤ 一ｓ｝，１’２：｛ｚ ＝ ｅ“：Ｏ≤
ｔ≤叮ｒ｝，Ｆ３：｛ｚ＝ ：ｓ≤ ≤ Ｒ｝，Ｆ４：｛。＝Ｒｅ ：０≤ ≤ １Ｔ｝．