福大高数微积分作业答案6.1多元函数的基本概念
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是错误的写法. 是错误的写法
三、 1. ( x , y ) 沿 y = 0 趋于 (0,0) ，则 xy xy 原式≠ lim = lim = 0, 原式 ( x , y )→ ( 0 , 0 ) x + y x →0 x + y y =0 y=0
别漏！ 别漏！
=
P14
( x , y ) 沿 y = x 2 − x 趋于 (0,0) ，则 2 xy x ( x − 1) lim = lim = −1, 2 ( x , y )→ ( 0 , 0 ) x + y x→0 x 2 2
二、
y + x − 1.
y
1 -1 0
y = x +1
y= x
x
1. {( x, y)| x > 0, y > x +1} U{( x, y)| x < 0, x < y < x +1}.
x+ y 3 x− y 3 1 3 3 2 2.( ) −( ) 或 y + x y. 2 2 4 4
3. (1) 1
x2 + y 2 (| x | + | y |) 2 (2) Q 0 ≤ ≤ =| x | + | y |, |x|+| y| | x|+| y|
又Q
( x , y )→ (0,0)
lim (| x | + | y |) = 0,
由夹逼准则得， ∴ 由夹逼准则得，原式 = 0. x2 + y2 注意： lim 注意 ≤ lim | x | + | y | ( x , y )→ ( 0 , 0 ) | x | + | y | ( x , y )→ ( 0 , 0 )
6.1 多元函数的基本概念 一、1. {( x , y ) | 0 < x 2 + y 2 < 1, 4 x − y 2 ≥ 0 }.
P13
2 xy 1 2. 2 . 4. − ; 0; 0. 2 4 x +y 3. f ( x ) = ( x + 1)3 − 1, z =
或 f ( x ) = x 3 + 3 x 2 + 3 x, 5. {(x, y) | y2 = 2x}.
(2) 0
ln(1 + xy ) P14 二、 3. (1) 原式 = lim ⋅x ( x , y ) → (1,0) xy ln(1 + xy ) ln(1 + u ) = lim lim x = lim lim x = 1. ( x , y ) → (1,0) ( x , y ) →(1,0) u →0 x →1 xy u u = xy
y=x −x
y= x − x
原极限不存在. ∴ 原极限不存在 注意： 沿的路径一定要在定义域内. 注意：(x , y) 沿的路径一定要在定义域内 趋于(0 本题中 (x , y)不能沿 y+x=0 趋于 , 0). 不能沿
2. ( x , y ) 沿 y 2 = kx 趋于 (0,0) ，则
P14 (注:选择路径 注 选择路径 xy 2 kx 2 k lim lim 2 , 时通常要使分 2 4 = 2 = 2 x → 0 x (1 + k ) ( x , y )→( 0 , 0 ) x + y 1+ k 子分母同阶) 子分母同阶 2 y = kx
2 2
原式Baidu Nhomakorabea
=
1 − cos (x 2 + y 2 ) 1 lim ⋅ lim 2 2 (x, y )→ ( 0 ,0 ) (x, y )→ ( 0 ,0 ) x 2 y 2 x +y
原极限不存在. ∵ k 值不同极限不同 ∴ 原极限不存在
1 − cos (x 2 + y 2 ) 1 − cos (x + y ) lim 3 .Q lim (x, y ) → ( 0 ,0 ) (x 2 + y 2 )x 2 y 2 2 2 2 2 (x,y)→( 0 ,0 ) (x + y )x y y= x 1 2 (x + y 2 )2 2 2 2 x4 ≠ lim 1 − cos 2 x = lim (x, y )→ ( 0 ,0 ) (x 2 + y 2 )x 2 y 2 = +∞ , +∞ = lim 6 6 x→0 2 x → x →0 2x 不能直接用无穷小等价！ 不能直接用无穷小等价！ ∴ 原极限不存在. (或 取y=kx) 原极限不存在 或
三、 1. ( x , y ) 沿 y = 0 趋于 (0,0) ，则 xy xy 原式≠ lim = lim = 0, 原式 ( x , y )→ ( 0 , 0 ) x + y x →0 x + y y =0 y=0
别漏！ 别漏！
=
P14
( x , y ) 沿 y = x 2 − x 趋于 (0,0) ，则 2 xy x ( x − 1) lim = lim = −1, 2 ( x , y )→ ( 0 , 0 ) x + y x→0 x 2 2
二、
y + x − 1.
y
1 -1 0
y = x +1
y= x
x
1. {( x, y)| x > 0, y > x +1} U{( x, y)| x < 0, x < y < x +1}.
x+ y 3 x− y 3 1 3 3 2 2.( ) −( ) 或 y + x y. 2 2 4 4
3. (1) 1
x2 + y 2 (| x | + | y |) 2 (2) Q 0 ≤ ≤ =| x | + | y |, |x|+| y| | x|+| y|
又Q
( x , y )→ (0,0)
lim (| x | + | y |) = 0,
由夹逼准则得， ∴ 由夹逼准则得，原式 = 0. x2 + y2 注意： lim 注意 ≤ lim | x | + | y | ( x , y )→ ( 0 , 0 ) | x | + | y | ( x , y )→ ( 0 , 0 )
6.1 多元函数的基本概念 一、1. {( x , y ) | 0 < x 2 + y 2 < 1, 4 x − y 2 ≥ 0 }.
P13
2 xy 1 2. 2 . 4. − ; 0; 0. 2 4 x +y 3. f ( x ) = ( x + 1)3 − 1, z =
或 f ( x ) = x 3 + 3 x 2 + 3 x, 5. {(x, y) | y2 = 2x}.
(2) 0
ln(1 + xy ) P14 二、 3. (1) 原式 = lim ⋅x ( x , y ) → (1,0) xy ln(1 + xy ) ln(1 + u ) = lim lim x = lim lim x = 1. ( x , y ) → (1,0) ( x , y ) →(1,0) u →0 x →1 xy u u = xy
y=x −x
y= x − x
原极限不存在. ∴ 原极限不存在 注意： 沿的路径一定要在定义域内. 注意：(x , y) 沿的路径一定要在定义域内 趋于(0 本题中 (x , y)不能沿 y+x=0 趋于 , 0). 不能沿
2. ( x , y ) 沿 y 2 = kx 趋于 (0,0) ，则
P14 (注:选择路径 注 选择路径 xy 2 kx 2 k lim lim 2 , 时通常要使分 2 4 = 2 = 2 x → 0 x (1 + k ) ( x , y )→( 0 , 0 ) x + y 1+ k 子分母同阶) 子分母同阶 2 y = kx
2 2
原式Baidu Nhomakorabea
=
1 − cos (x 2 + y 2 ) 1 lim ⋅ lim 2 2 (x, y )→ ( 0 ,0 ) (x, y )→ ( 0 ,0 ) x 2 y 2 x +y
原极限不存在. ∵ k 值不同极限不同 ∴ 原极限不存在
1 − cos (x 2 + y 2 ) 1 − cos (x + y ) lim 3 .Q lim (x, y ) → ( 0 ,0 ) (x 2 + y 2 )x 2 y 2 2 2 2 2 (x,y)→( 0 ,0 ) (x + y )x y y= x 1 2 (x + y 2 )2 2 2 2 x4 ≠ lim 1 − cos 2 x = lim (x, y )→ ( 0 ,0 ) (x 2 + y 2 )x 2 y 2 = +∞ , +∞ = lim 6 6 x→0 2 x → x →0 2x 不能直接用无穷小等价！ 不能直接用无穷小等价！ ∴ 原极限不存在. (或 取y=kx) 原极限不存在 或