线圈磁感应强度空间分布及其均匀性分析

Helmholtz 线圈磁感应强度空间分布及其均匀性分析

04004311 李昊鹏

摘要：根据Helmholtz 线圈磁感应强度分布表达式，通过MATLAB 软件对其进行数值计算，对Helmholtz 线圈磁感应强度空间分布图象及匀强特性进行了分析。论文重点讨论了YOZ 平面的磁感应强度匀强特性、匀强磁场区域的三维图象、磁感应强度均匀性要求与准匀强磁场区域关系以及Helmholtz 线圈半径R 对匀强磁场区空间分布的影响。

关键词：Helmholtz 线圈，MATLAB 工具，磁感应强度空间分布，匀强特性

一、 概述

在大学物理实验“用霍尔效应测磁场”中，我们了解到在Helmholtz 线圈轴线上的磁场是近似的匀强磁场。Helmholtz 线圈的结构如图1所示，图中R 为Helmholtz 线圈的半径，I 为线圈中的电流，A1、A2是圆线圈上对称于XOY 平面的任意两点，P （0，y 0，z 0）是YOZ 平面内的一点。由于Helmholtz 线圈具有关于Z 轴的旋转对称性和关于XOY 平面对称性，因此，只需要分析YOZ 平面内的磁场分布。在其空间任意点磁感应强度微积分表达式由式（1）~（5）给出[1]。1r r 、2r r

则为A1、A2处电流元到点P 的位置矢量，B X 、B Y 、B Z 是A1、A2处电流元在P 点产生的磁感应强度在X 、Y 、Z 轴方向的分量。

图1 Helmholtz 线圈结构示意图 [][]()2020212sin cos R z R y R r −+−+=θθ （1） [][]()2020222sin cos R z R y R r ++−+=

θθ （2） ()()θθθπμπd r R z R r R z R I dB B x x ∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++−⋅==

2032031002cos 2cos 4 （3） ()()θθθπμπd r R z R r R z R I dB B y y ∫∫⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛++−⋅==2032031002sin 2sin 4 （4） ()()θθθπμπ

d r y R R r y R R I dB B z z ∫∫⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛−+−⋅==203203100sin sin 4 （5） 其中，X 轴的磁感应强度分量积分为0[1]。

那么，横截Z 轴的各截面匀强磁场的磁感应强度大小是如何分布的，是什么图象呢？

显然，式（4）、（5）的积分是困难的，所以，本文采用MATLAB软件对其进行数值积分，对沿着Z轴的各匀强磁场的截面情况进行了分析。MATLAB工具对空间磁感应强度计算表明：沿着Z轴方向，自下而上的各截面匀强磁场的截面大小并不相同，也就是说，虽然Helmholtz线圈具有关于Z轴的旋转对称性，但其旋转而成的立体图形并不是一个圆柱型。匀强磁场的大小及随Z方向位置变化的特性对于最大程度地利用有效匀强磁场具有重要的应用价值。

本文重点研究了匀强磁场区域特性，讨论了Helmholtz线圈匀强磁场区域的三维图象、磁感应强度均匀性要求与准匀强磁场区域关系以及Helmholtz线圈半径R对匀强磁场区空间分布的影响。论文最后对所做的各类问题进行了小结。

二、Helmholtz线圈匀强磁场区域的三维图象

将YOZ平面上的匀强磁场分布图绕Z轴旋转，可以得到Helmholtz线圈中磁场匀强区的三维图象。图8是均匀度为1%区域的三维图象。为了能够显示立体图象中间的下凹形貌，Z轴的计算步长取为0.025，但这导致了图象边缘呈锯齿状，如果减小Z轴计算步长，则图

象边缘将逐渐光滑。

图2非常直观地显示出Helmholtz线圈内部磁

感应强度的分布，可以看出从两线圈平面开始，有

一管道形匀强磁场区。精度要求不同，可利用的磁

场范围大小也会有一定的变化。下面将以管道形匀

强磁场区域半径尺寸为研究对象，重点研究当均匀

度标准变化时匀强磁场区域的变化情况。

图2 均匀度为1%区域的三维图象

三．磁感应强度均匀性要求与准匀强磁场区域关系分析

为分析均匀度要求对准匀强磁场区域面积的影响，本文对于不同均匀度要求所界定区域大小进行了计算并将计算结果绘制在同一张图上，如图3所示。

从图9可以清楚的看出，当均匀度要求降低后，准匀强磁场区域的面积增加，但在各个方向上均匀度降低增加的面积尺度并不相同，准匀强磁场区域面积并不是跟随均匀度降低而线性增加，随着均匀度要求降低，准匀强磁场区域面积增加的量也在降低。这个特性提示我们：在测量运用中，适当地降低均匀度要求可以增加可用磁场区域，但其增加量是衰减的，当均匀度要求降低到一定数值后，准匀强磁场区域面积几乎没有什么变化，再依靠降低均匀度指标来增加准匀强面积已没有意义。图4为均匀度U和准匀强磁场区域半径r的关系，从这张图上可以很明显地看出随着均匀度要求的将低，准匀强磁场区域半径r变化减缓的趋势。

图3 均匀度U 和准匀强磁场区域面积的关系 图4 均匀度U 和准匀强磁场区域半径r 的关系 四、Helmholtz 线圈半径R 对匀强磁场区空间分布的影响

改变线圈半径R 可以增加匀强磁场或准匀强磁场区域面积。图5显示了不同线圈半径所产生的匀强磁场区域的图象，由内向外所对应的线圈半径分别为0.25、0.5、0.75和1。由图可见，匀强磁场区域的面积随线圈半径的增大呈现几乎线性的变化关系。

以匀强磁场区在Y 轴上的半径r 作为分析对象，可以得到线圈半径R 与r 的关系，如图6所示。

图5 不同线圈半径所对应的匀强磁场区域图象 图6 线圈半径R 与匀强磁场区半径r 的关系

从图13可以看出，R 与r 呈近似线性关系，因此当需要不同尺寸的匀强磁场区时，可以选择不同的线圈半径R 。从图12可以看到线圈半径R 对匀强磁场区的另一个影响是匀强磁场管道的长度，所以，增大线圈的半径可以使匀强磁场区面积变大。

从式（1）~（5）和相关理论可知，电流参数I 与线圈匝数N 是线性参数，它们的改变只会影响磁感应强度的大小，不会影响匀强磁场区的尺寸。

五、与实验数据验证

在“用霍尔效应测磁场”实验中，取参数R=0.067m ，I=0.8A ，N=340，测得B=，通过本文引用的公式（1）—（5），编程算出B=。此结果证明了本文使用方法的正确性与可靠性。

T 31017.3−×T 31021.3−×