数学物理方程第三章 行波法
2011第三章行波法
t =0
x=0
= ϕ ( x ) 和 ut
=0
= ψ ( x)
达朗贝尔公式是无限长弦的公式。由于自变量限制为x≥0 达朗贝尔公式是无限长弦的公式。由于自变量限制为 ≥
1 1 u( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + 2 2a
x + at x − at
x =0
和
ut
t =0
= ψ ( x)
ux
=0
ϕ ( x ) Φ( x ) = ϕ (− x )
( x ≥ 0) ( x < 0)
ψ ( x ) Ψ( x ) = ψ (− x )
x + at
( x ≥ 0) ( x < 0)
1 1 + u( x , t ) = [Φ( x + at ) + Φ( x − at )] + ∫at Ψ(ξ )dξ 2 2a x −
∂2 ∂2 ( 2 − a2 )u ( x , t ) = 0 2 ∂t ∂x
∂2 u (ξ , η ) = 0 ∂ξ∂η
3
坐标变换
x − at
∂ ∂ 看作如同数一样的算子，可以进行加减乘除： 将 ∂x 和 看作如同数一样的算子，可以进行加减乘除： ∂t ∂ ∂ ∂ ∂ ( +a )( − a )u( x , t ) = 0 ∂t ∂x ∂t ∂x x x + at
x1 ≤ x ≤ x1 + x2 2
x1 + x2 ≤ x ≤ x2 2 x < x1 , x > x2
t4 t3 t2 t1 t=0
ϕ (x)
数学物理方程第三章_行波法和积分变换法
[x − at , x + at ] 上的值,而与其他点上的初始条件无关,这个区间称为点 (x, t ) 的依赖区间,
它是过 ( x, t ) 点分别作斜率为 ±
1 的直线与 x 轴相交所截得的区间,如图 3-2 所示. a
(x,t0)
y
x O x-at0 x+at0
图 3-1
初 始 时 刻 t = 0 时 , 取 x 轴 上 的 一 个 区 间 [x1 , x 2 ] , 过 点 x1 作 斜 率 为
同理可得
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎤ 2⎡∂ u = + a + 2 ⎢ 2 ∂ξ∂η ∂η 2 ⎥ ∂t 2 ⎣ ∂ξ ⎦
将其代入式(3.1.1),得
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
对 ξ 积分,得
∂u = f (η ) ∂η
对此式再关于η 积分,得
u = ∫ f (η )dη + f1 (ξ ) = f1 (ξ ) + f 2 (η )
第三章 行波法与积分变换法 本章我们介绍两个常用的解题方法：行波法和积分变换法。行波法只用于求解无界区 域上的波动方程定解问题， 积分变换法不受方程类型的限制， 一般应用于无界区域的定界问 题，有时也应用于有界域的定解问题.
3.1 达朗贝尔公式及波的传播 在求解常微分方程的特解时,一般先求出方程的通解,然后利用所给的定解条件去解出 通解中含有的任意常数,最后得到了满足所给条件的特解.这个想法能否推广到求解偏微分方 程的过程中呢?一般情况下,随着自变量个数的增加,偏微分方程的通解非常难求,并且偏微分 方程的通解一般都含有任意函数,这种任意函数很难由定解条件确定为具体的函数.所以在求 解数学物理方程时,主要采用通过分析各类具体的定解问题,直接求出符合定解条件的特解的 方法.但事情没有绝对的,在有些情况下,我们可以先求出含任意函数的通解,然后根据定解条 件确定出符合要求的特解.本节我们研究一维波动方程的求解,就采用这种方式. 3.1.1 达朗贝尔公式 如果我们所考察的弦无限长,或者我们只研究弦振动刚一开始的阶段,且距弦的边界较远 的一段,此时可以认为弦的边界,对此端振动的弦不产生影响.这样,定解问题就归结为如下形 式
第三章行波法(2)
显然取 时可以满足边界条件
于是
2．半无限长的杆，其端点受到纵向力 作用，求解杆的纵振动。
解：泛定方程 ，
的初始条件：
边界条件
对 的地方，端点的影响未传到，所以
。
对 的地方，需要考虑端点的影响。对a<0, 和 未定义，现将它们延拓。
其中 和 待定，应用达朗伯公式；
它应满足边界条件
显然，取 而 即可满足条件。
由条件（4）， 。应用衔接条件（5）（6），得
将（8）对t积分，且由于 。
由（7）（9）消去 行
再得 。
所以解为：
反射波
透射波
补充：
4．求解半无限长理想传输线上电报方程的解，端点通过电阻 相接，初始电压分布为 ，初始电流分布 ，在什么条件下端点没有反射（这种情况叫作匹配）？
解：∵是理想传输线，∴ 。因此，定解问题是
球外为零。无论何时，压缩率与速度势的关系为 ，并且速度势满足方程
试对所有的 ，确定压缩率。
解：该问题的定解问题为：
上题的结果有：
讨论：(1)若 点在球外，则 ，所以 ，即 ，此时有
（2）若 点在球内，则 ，
（ⅰ）当 时，更有 ，得
（ⅱ）当当 时，而当 时， ，
（ ）当 ，更有 ，所以， ，此时有：
3．利用泊松公式求解下列定解问题
（1）
故原方程的解为：
补充：
6．应用泊松公式计算下述定解问题的解. ⊿ ，初始速度为零.初始位移在某个单位球内为1，在球外为零。
解：取单位球的球心为坐标原点，则定解问题为：
由泊松公式
（i）当点 （以 为矢径的点简称为点 ，下同）在单位球内时：
a.若 ，球面 完全在单位球内，从而
，
课件：第三章 行波法
0(3 .1)(3.2)
对于上述初值问题，由于微分方程现定解条件都是 线性的，所以叠加原理同样成立，即如果函数和 分
别是下ux述,0初 值utt问x,题aut2uxx,x0 x (3.3)
(3.4)
•和
uuxtt,0a20u,xux txf,0x((,33t..650))
的解，则 u u1x,t u2x就,t是 原初值问题 (3.1)(3.2)的解，这
1
2 1
2
x x
1
2a 1
2a
x
x0 x
x0
d d
c
2a c
2a
( 3.17)
把它们代入(3.13) 得初值问题(3.3)(3.4)的解
ux, t
x
at
2
x
at
1 2a
xat(3.1d8) xat
这个公式称为无限长弦自由振动的达朗贝尔公式，或称为达 朗贝尔解。这种求解方法称为达朗贝尔解法。
题大
有有
其局
特限
殊 的 优 点
性
， 但 对
，
内 波 动 方 程 的 定
解 问
题 ，
波 法 只 能 用 于 求
解 无
界 区
波解 法定 ，解 二问 是题 积和 分方
变法 换，
法一 。是
本 章 我 们 将 介
绍 另 外
两 个
引 言
3.2 达朗贝尔（D’Alembert）公式 波的传播
• 本章我们将介绍另外两个求解定解问题和方法， 一是行波法，二是积分变换法。行波法只能用于 求解无界区域内波动方程的定解问题，虽然有很 大有局限性，但对于波动问题有其特殊的优点， 所以该法是数理方程的基本之一。我们只注重解 决问题的思路，导出形式解，不追求分析的条件 与验证。积分变换法不受方程的类型限制，主要 用于无界区域，但对于有界区域也能应用
数学物理方程：第3章 波动问题的行波法
第3章 波动问题的行波法§3.1 二阶线性方程的分类与化简本节讨论：①两个自变量方程的分类与化简，②多个自变量方程的分类与化简⒈ 两个自变量方程的分类与化简二阶方程的一般形式 二阶变系数方程可写为1112220(,)2(,,,,)(,)xx xy yy x y Lu x y a u a u a u x y u u u f x y =+++Φ= (3.1.1)式中：11a 、12a 、22a 为x 、y 的函数，0(,,,,)x y x y u u u Φ为低阶导数项。
公式关于二阶导数项为线性的，即称方程为准线性的。
若0(,,,,)x y x y u u u Φ关于u 及其x u 、y u 为线性的，则称方程为线性的。
方程的变换 为了简化上述方程，作可逆变换：(,)(,)x y x y ξξηη=⎧⎨=⎩， (,)0(,)J x y ξη∂=≠∂， (,)(,)x x y y ξηξη=⎧⎨=⎩(3.1.2) 代入方程中，不难得到：11122212(,,,,)(,)Lu A u A u A u u u u f ξξξηηηξηξηξη=+++Φ= (3.1.3)式中： 22111112222x x y yA a a a ξξξξ=++ (3.1.4) 12111222()x x x y y x y y A a a a ξηξηξηξη=+++ (3.1.5)22221112222x x y yA a a a ηηηη=++ (3.1.6) 我们化简的目的是使得二次项的项数尽量少，并且值尽量为简单（如0ij A =或1ij A =±）。
顾及ij A 的表达式，取关于z 的一阶非线性偏微分方程2211122220x x y y a z a z z a z ++= (3.1.7)若该方程有解),(1y x z ϕ=、),(2y x z ψ=，则110A =及220A =；公式大大简化了。
数学物理方程-3
其中ϕ(x, y, z) 和 ψ (x, y, z) 均为已知函数。
u
3-3 高维波动方程的初值问题
平均值法：不考虑函数 平均值法：不考虑函数 u(x, y, z, t) 本 身，而是研究u(x, y, z, t)在以点 M(x, y, z) 为球心，以r 为球心，以r为半径的球面上的平 均值 u ，当暂时选定 M(x, y, z) 后， u 就是关于r 就是关于r，t的函数。当我们很方 便地求出 u (r, t) 后，令 r →0 则 u(r, t) →u(x, y, z, t) ，问题就得到了 解决。
第3章 行波法与积分变换法
原柯西问题的通解为 u = f1 (x + at) + f2 (x − at) 初始条件代入其中，有 ϕ(x) = f1 (x) + f 2 (x) ′ ψ (x) = af1′(x) − af 2 (x) 无界弦振动的柯西问题的解（达朗贝尔解 无界弦振动的柯西问题的解（达朗贝尔解 ） 1 1 x+at 为： u(x, t) = [ϕ(x + at) +ϕ(x − at)] + ∫ ψ (ξ )dξ
3-2 延拓法求解半无限长振动问题
延拓后的定解问题：
2 ∂2v 2 ∂ v + F(x, t) (−∞ < x < +∞, t > 0) 2 =a 2 ∂x ∂t ∂v v(x,0) = Φ(x), |t=0 = Ψ(x) ∂t v(0, t) = 0
x >0 ϕ(x), Φ(x) = −ϕ(−x), x < 0
x >0 ψ (x), Ψ(x) = −ψ (−x), x < 0
x >0 f (x, t), F(x, t) = − f (−x, t), x < 0
Chapter3.1 行波法
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 例2 − 3 2 = 0, y > 0,−∞ < x < +∞ 2 +2 ∂x ∂x∂y ∂y − x 2 ∂u ( x,0) u ( x,0) = e , = 0, − ∞ < x < +∞ ∂y 解 dy 2 − 2dxdy − 3dx 2 = (dy − 3dx)(dy + dx) = 0 ∂ 2u =0 η 令 ξ = y − 3 x， = y + x ∂ξ∂η
结论：从D`Alembert公式可以看出，前半部分表示由初始 位移激发的行波，t=0时的波形为 ϕ ( x), 以后分成两部 分，独立地以速率a向左右传播；后半部分表示由位移 速度激发的行波， t=0时的速度为ψ ( x), t时刻它将左右 扩散到 [x-at, x+at]的范围，速率为a.
u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at ) f1 ( x + at )表示一个以速度a沿x轴负方向传播的行波，称为左行波 f 2 ( x − at )表示一个以速度a沿x轴正方向传播的行波，称为右行波
f1 (3 x) 由第二式积分可得 − + f 2 ( x) = C 3 9x2 3x2 从 而 可 得 f1 (3 x ) = − C ', f2 ( x) = + C '. 4 4
3x2 x2 即 f1 ( x ) = − C ' , f2 ( x) = + C '. 4 4
1 3 2 从而 u ( x, y ) = (3x − y ) + ( x + y ) 2 =3x 2 + y 2 4 4
行波法
+ c2 e
px +α y − iβ y
(12)
3．1 达朗贝尔公式
本节以行波解法为依据，介绍求解定解问题的达朗贝尔公式.
例子. 一维波动方程的达朗贝尔公式
设有一维无界弦自由振动（即无强迫力）定解问题为
泛定方程 u tt − a 2 u xx = 0 初始条件
(1) (2) (3)
u t =0 = ϕ ( x ), ut
第三章 行波法与积分变换法 3.0 二阶线性偏微分方程的行波解
通解法中有一种特殊的解法―行波法, 即以 自变量的线性组合作变量代换，进行求解 的一种方法，它对波动方程类型的求解十 分有效.
1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程 为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的 简单二阶线性偏微分方程
au xx + bu xy + cu yy = 0
，则
u( x, y) = c1e
2
px+q1 ( p ) y
+ c2e
px+q2 ( p ) y (10)
(ii) b − 4ac = 0, 抛物型，上述方程有相等的实根
q1 ( p ) = q2 ( p )
，则
u(x, y) = c1e
px+q1 ( p) y
+ c2 xe
px+q1 ( p) y
（11）
⎧ 根据(10)得 ⎪0,( x ≤ x1 ) ⎪ x 1 ⎪1 Φ( x) = ∫−∞ψ (ξ )dξ = ⎨ 2a ( x − x1 )ψ 0 ,( x1 ≤ x ≤ x2 ) 2a ⎪ ⎪1 ⎪ 2a ( x2 − x1 )ψ 0 ,,( x ≥ x2 ) ⎩
这里
数学物理方程课件第三章行波法与积分变换法
U (,0)
a 2 2U (, t), (), dU (,0)
dt
(),
t0
U (,t) Acosat Bsin at
U (,0) A ()
B () a
U (,t) () cos at () sin at
a
f(x ) F ()e j
x
f()d
F ()
0
j
数学物理方程与特殊函数
u(x,t) 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
t2
2a xat
t
P( x, t )
依赖区间
x
x at x at
x x1 at
x x2 at
决定区域
x1
x2
x
t
x x1 at
影响区域
x1
x2
x x2 at
x at C 特征线 x at x at 特征变换
第3章行波法与积分变换法
补充作业： 解定解问题
4
2u t 2
25
2u x2
,
u(
x,
0)
sin
x,
u ( x, t
0)
3x,
y 0, x x
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
二 积分变换法
1 傅立叶变换法
傅立叶变换的定义
U (, t) u(x, t)e jxdx
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
u(x,t) 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
2
2a xat
5 达朗贝尔公式的应用
utt
a
u |t0
数学物理方程chpt3_行波法
由达朗贝尔公式（11）可见，解在( x, t )这一点的数值仅仅依赖于 x轴上的区间[x-at,x at]内的初始条件，而与其它点上的初始条件 无关。这个区间[x-at,x at]称为点(x,t)的依赖区间。它是由过(x,t) 的两条斜率分别为 1 的直线在x轴上所围成的区间。如图3所示。
a
t
(x,t)
1
x at
( )d
⑾
2
2a xat
问题：定解问题(Ⅰ)的解在点(x,t)上的值跟初始条件在x轴上哪些点有关？
§3.2 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
三、依赖区间与影响区域
u(x, t) 1 [(x at) (x at)]
1
x at
( )d
2
2a xat
⑾
问题：定解问题(Ⅰ)的解在点(x,t)上的值跟初始条件在x轴上哪些点有关？
在此区域之外的波动不受区间[x1, x2 ]上初始扰动的影响(仍为静止状态)，称这个不等式 确定的区域为区间[x1, x2 ]的影响区域。如图4所示。 在上面的讨论中，平面上的直线x at c(常数)对波动方程的研究起着重要的作用，称
它们为波动方程(Ⅰ)的特征线。 t
影响区域
x=x0-at
x=x0+at x
• 齐次波动方程反映了介质经过扰动后，激 发的波一直向前传播，形成行波，故使用
这种原理的方法称为行波法。 • 本章将要介绍的行波法（Travelling wave
method）是求解波动方程初值问题的一种 有效方法，它只能够求解无界区域波动方 程的定解问题。
本章主要内容
• 能够导出并且记住一维波动方程的通解 （达朗贝尔公式）；
§3.2 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
行波法与积分变换法——数学物理方程
1 3 u f1 3 x f1 f2 x f 2 1 3 f1 0 f2 0 C
其解中得f1 , ff21是3两x个二94x次2连34续C可微函数.
于是原方程 f的1 通x 解 为14 x 2
4
4
3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
例 求方程 u x x 2 s in xu x y c o s2x u y y c o sx u y 0
的一般解. 解 特征方程为
d y 2 2 s in x d x d y c o s 2x d x 2 0
dy sinx1 dx
rat 1( )d , r at 0
at)
u
(r,t)
(r
at
)
0
(r
at
)
(at
r
)
0
(at
r
)
2r
1 2ar
atr
atr 1( )d , r at 0
3.2 三维波动方程的泊松公式
二. 一般情况
令
u(r,
t)
f1 x f2 x x ……………①
u t| t 0 a f ' 1 ( x a 0 ) a f 2 ' ( x a 0 )
a '1 x f a '2 x fx ……………②
由第二式得
f1xf2xa10xdC.............③
进一步有
2tu 2 a22ru rr2u 20 2(tr2u)a22(rr2u)0
数学物理方程第三章达朗贝尔公式
例3 用达朗贝尔公式求解下列问题
u tt − a 2 u xx = 0, − ∞ < x < ∞ − x2 − x2 u |t = 0 = e , u t |t = 0 = 2 axe
解：将初始条件代入达朗贝尔公式，有 将初始条件代入达朗贝尔公式，
u ( x, t ) = [e
1 2
1 0.8 0.6 0.4
0.2
0
解的动画演示（ 解的动画演示（my2） ）
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1 -5
0
5
10
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10
1 0.8
1 0.8
t=0.2
0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
t=0.5
0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10
t=1
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-1 -10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10Байду номын сангаас
1
1
1 0.8
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10
t=2
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4
t=4
0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4
《数学物理方程》第3章 行波法与积分变换法
2 2 dS 1 dd
M Cat : ( x ) 2 ( y) 2 ( at ) 2 at dd
(at ) 2 ( x ) 2 ( y ) 2
sin( x at ) sin( x at ) 1 x at cos d sin( x at ) 解 u( x , t ) 2 2 x at
u( x ,0) f ( x ) g ( x ) 3 x 2 u ( x ,0) 1 f ( x ) g ( x ) 0 1 f ( x ) g ( x ) C y 3 3 9 2 3 2 解 出f ( x ) x C , g( x ) x C 4 4
2 2
2a t
wtt a 2 w xx ( t , x ) 设w( x , t , )是 的解 w( x , , ) 0, wt ( x , , ) f ( x , ) t x a( t ) 1 t f (,)d 则 u( x, t ) w( x, t , )d d 0 x a ( t ) 2a 0 2
x at uxx u 2u u 变换 u 0 2 x at utt a (u 2u u ) u h( )d g() f ( ) g() 方程通解 u( x , t ) f ( x at ) g( x at )
M Sat
0
0
积分中x y z是常数
2 ( x at sin cos ) ( y at sin sin ) ( z at cos ) 2 d ( at ) sin d 0 t 0 4a at
数学物理方程教案3行波解
数学物理方程教案3行波解教案标题：3行波解教学目标：1.了解波动现象的基本概念和特性。
2.理解和应用一维行波方程的解法。
3.学会从实际问题中提取并建立行波方程，并求解相关物理量。
教学重点：1.行波的基本概念和特性。
2.一维行波方程的建立与求解。
3.实际问题中的行波解的应用。
教学难点：1.提取实际问题中的行波方程。
2.求解一维行波方程。
3.利用行波解求解相关物理量。
教学准备：1.运动方程和波动方程的相关知识。
2.实际问题中的场景和数据。
教学过程：一、导入（10分钟）1.引入波动概念：请学生回顾一下前面学过的波动现象，比如声波、水波等。
2.讨论波动的特点：请学生讨论一下波动的特点，例如传播方式、速度等。
二、讲解行波的概念（10分钟）1.定义行波：行波是一种以恒定速度传播的波动现象，它的波节和波峰保持不变。
2.行波的特点：请学生列举一下行波的特点，例如传播方式、波形保持不变等。
三、推导一维行波方程（15分钟）1. 回顾一维平面波的方程：y(x, t) = A * sin(kx - ωt + φ)，其中A为振幅，k为波数，ω为角频率，φ为初相位。
2. 假设一维行波方程：y(x, t) = A * sin(kx - ωt)。
4. 将角频率和波速关系式代入一维行波方程，得到行波方程：y(x, t) = A * sin(kx - vt)。
四、解一维行波方程（20分钟）1.带入初值条件：请学生根据具体问题给出初值条件。
2.代入一维行波方程，求解未知参数，得到行波解。
五、应用行波解求解相关物理量（25分钟）1.振幅：请学生根据行波解的形式，提取振幅的表达式。
2.波长：请学生根据行波解的形式，提取波长的表达式。
3.频率：请学生根据行波解的形式，提取频率的表达式。
4.速度：请学生根据行波解的形式，提取速度的表达式。
5.将上述参数代入具体问题中，求解相关物理量。
六、小结与拓展（10分钟）1.总结行波解的求解思路和步骤。
第三章 行波法
,那么在 之间呢？我们不能回答这个问题，事实上，当 时， ，取极限就是把不等的部分补上了。不过，要严格证 明这个问题， 需要用到 函数， ， 它相当于(3.1.14)的极限形式。 直接的推导见[23]p206-210，那里也称之为冲量法。
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
，
另一推导见[24] P58-60，[1]p54-57
在唯一解 证明 注意到 Dalembert 公式知道 Cauchy 问题(3.1.13)的解。 初始条件：显然 是
1. 一维波动方程的 Cauchy 问题
1.1 一维齐次波动方程的 Cauchy 问题
1.1.1 DAlembert 公式 考察齐次弦振动方程的 Cauchy 问题 (3.1.1) 为求此问题的解，注意到弦振动方程有两簇特征线 为新的坐标轴，则可将弦振动方程化为第一标准型，为此引进坐标变换 由链式法则可将(3.1.1)的泛定方程化为 (3.1.3) 两边对 积分再对 积分得 (3.1.4) 代回到原变量 可得原方程的一般解 (3.1.5) 其中 与 是两个任意连续可微函数。 为了求 Cauchy 问题(3.1.1)的解，还须适当地选取 使得初始条件成立，但我们实际 做的却是用初值去定出这两个任意可微函数。将初值代入通解(3.1.5)得 (3.1.6) (3.1.7) 对(3.1.7)积分得 ，若以特征线 (3.1.2)
，则
必是半无界问题(3.2.3)的解。
我们将
表为更明确的形式。
(3.2.5) 这样我们求得了半无界问题(3.2.3)的形式解。为了保证形式解(3.2.5)的确是问题(3.2.3) 的解，还须对右端函数加上一定的条件，例如，我们可以证明： 定理 3.5 如果 ， 且适 合如下的相容性条件， ，则半无界问题(3.2.3)的解 ，该解由公式(3.2.5)表出且在有限时间内按最大模一致稳定。 证明 我们只证相容性条件，其余留着习题。 注意到初始条件 ，边界条件 ， 。而 。由 的 ，由 所以 。/// 2.2 再看 的情形 ，则原问题(3.2.1)化为在 ，从而 ，从而 得
第三章-行波法
第三章 行波法§3.1 达朗贝尔法（行波法）考虑无界弦的自由振动问题，有定解问题如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂)()0,()()0,(22222x x u x x u x u a t u tψϕ ∞+<∞-+∞<<∞->+∞<<∞-x x t x 0, 对于上面的标准形方程，它有两族特征曲线1c at x =+，2c at x =-作变换at x +=ξ，at x -=η由上面的方程变为：02=∂∂∂ηξu 求上面偏微分方程的解先对η积分一次得)(1ξηf u =∂∂ 再对ξ积分一次得：⎰+=+=)()()()(2ηξηξξG F f d f u其中G F ,是具有任意连续可微函数，将原自变量代回得原方程的通解为)()(),(at x G at x F t x u -++=下面通过初始条件确定上面的任意函数G F ,∵ )(0x u t ϕ==，)(0x u t t ψ==∴ )()()(x x G x F ϕ=+ （1）)()()(//x x aG x aF ψ=- （2）对（2）从0x 到x 积分得：⎰-+=-x x x G x F d ax G x F 0)()()(1)()(00ααψ （3） （1）+（3）得 )]()([21)(21)(21)(000x G x F d a x x F x x -++=⎰ααψϕ ⎰---=x x x G x F d a x x G 0)]()([21)(21)(21)(00ααψϕ ∴ ⎰+-+++-=at x atx d a at x at x t x u ααψϕϕ)(21)]()([21),( 该公式叫达朗贝尔公式例：确定初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==>∞+<∞∂∂=∂∂-122222)0,( cos )0,(0 e x u x x u ,t x -x u a tu t 解：略。
达朗贝尔方程的物理定义：先讨论0)(=x ψ （即振动只有初始位移）)]()([21),(at x at x t x u ++-=ϕϕ 先看)(at x -ϕ项：当0=t 时若观察者位于c x =处，此时 )()(c at x ϕϕ=-在x 轴上，若观察者以速度a 沿轴正方向运动，则在t 时刻观察者位于at c x +=处，此时：)()()(c at at c at x ϕϕϕ=-+=-由于t 是任意的，这说明观察者在运动过程中随时可以看到相同的波形，可见，波形和观察者一样，以速度a 沿x 轴正方向传播。
第三章行波解
第三章行波法数理方法研究物理和工程问题的三大步骤：1、写出定解问题2、求解3、分析解答我们已经学会了导出方程和写出定解条件（定解问题）的基本方法，下边的重点是求解和解答过程：各种求解数学物理方程的方法，主要包括：1、行波法2、分离变量法3、积分变换法4、格林函数法5、保角变换法本章问题的引入：1、无限长细弦的抖动（一维）2、投石入水中形成的圆形扩散波（二维）3、灯塔上的灯光（三维）若当研究问题时只关心一端时间某处发生的振动，边界的影响还来不及达到该处，波将一直向前传播，称此为行进波（行波），解决这类行波问题引入了行波法。
中心：用行波法求解无界空间波动问题。
1、掌握达朗贝尔公式的应用和行波法解题步骤；2、有源问题化为无源问题的冲量法；3、三维问题化为一维问题的平均值法。
三、分析解答：1、适定性的证明：（1）解存在：并且满足泛定方程和定解条件；利用公式（2）唯一性：因为f 1和f 2的任意性已经由定解条件确定，所以解是唯一的。
（3）稳定性：不妨设：()()()()110022|, |t t t x x u u x x ϕψϕψ==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩()()()()1212||,||x x x x ϕϕδψψδ−≤−≤2、行波法：（1）它基于波动的特点；（2）引入了坐标变换简化方程；（3）优点：求解方式易于理解，求解波动方程十分方便；（4）缺点：通解不易求，有局限性。
习题 3.12232110, (,0)0, (,0)1;(3) 0, (,0), (,0);8230(,0)3(,0)0tt xx t tt xx t xx xy yy yu a u u x u x u a u u x x u x x u u u u x x u x −===−===+−=⎧⎪=⎨⎪=⎩、确定下列初值问题的解：（）、解下列初值(仅需思考，选作）问题：OXYZ(,,)M x y z 0000(,,)M x y z ϕθ处的解和xyzz ′x ′y ′ϕθ(,,)M x y z ′′′′(,,)M x y z泊松公式的物理意义：定解问题在M 点t 时刻的值与以M 点为中心，以at 为半径的球面上的初值确定的。
第三章 行波法
第三章 行波法§3.1 达朗贝尔法（行波法）考虑无界弦的自由振动问题，有定解问题如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂)()0,()()0,(22222x x u x x u x u a t u tψϕ ∞+<∞-+∞<<∞->+∞<<∞-x x t x 0, 对于上面的标准形方程，它有两族特征曲线1c at x =+，2c at x =-作变换at x +=ξ，at x -=η由上面的方程变为：02=∂∂∂ηξu 求上面偏微分方程的解先对η积分一次得)(1ξηf u =∂∂ 再对ξ积分一次得：⎰+=+=)()()()(2ηξηξξG F f d f u其中G F ,是具有任意连续可微函数，将原自变量代回得原方程的通解为)()(),(at x G at x F t x u -++=下面通过初始条件确定上面的任意函数G F ,∵ )(0x u t ϕ==，)(0x u t t ψ==∴ )()()(x x G x F ϕ=+ （1）)()()(//x x aG x aF ψ=- （2）对（2）从0x 到x 积分得：⎰-+=-x x x G x F d ax G x F 0)()()(1)()(00ααψ （3）（1）+（3）得)]()([21)(21)(21)(000x G x F d a x x F x x -++=⎰ααψϕ ⎰---=x x x G x F d a x x G 0)]()([21)(21)(21)(00ααψϕ ∴ ⎰+-+++-=at x atx d a at x at x t x u ααψϕϕ)(21)]()([21),( 该公式叫达朗贝尔公式例：确定初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==>∞+<∞∂∂=∂∂-122222)0,( cos )0,(0 e x u x x u ,t x -x u a t u t 解：略。
达朗贝尔方程的物理定义：先讨论0)(=x ψ （即振动只有初始位移）)]()([21),(at x at x t x u ++-=ϕϕ 先看)(at x -ϕ项：当0=t 时若观察者位于c x =处，此时 )()(c at x ϕϕ=-在x 轴上，若观察者以速度a 沿轴正方向运动，则在t 时刻观察者位于at c x +=处，此时：)()()(c at at c at x ϕϕϕ=-+=-由于t 是任意的，这说明观察者在运动过程中随时可以看到相同的波形，可见，波形和观察者一样，以速度a 沿x 轴正方向传播。
数学物理方程课件第三章行波法与积分变换法共33页PPT资料
x,t0
u(x,0)(x),u(xt,0)(x), x
利用叠加原理将问题进行分解：u u1 u2
2tu21
a22u1, x2
x,t0
u1(x,0)(x),u1(xt,0)(x), x
2tu22
a2
2u2 x2
f
(x,t),
x,t 0
u2(x,0)0,u2(tx,0)0, x
u 1 (x ,t) 1 2 (x a t)(x a t) 2 1 ax x a a tt ()d
b. 只有初始速度时： u(x,t)1 xat()d 2a xat 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0
u (x ,t)1 (x a t)1 (x a t)
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速 为a波的叠加，故称为行波法。
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
t
2
2 ax a t
t
P (x,t)
依赖区间
x xat xat
x x1 at
x x2 at
决定区域
x1
x2
x
t
x x1 at
影响区域
x1
x2
x x2 at
xatC 特征线 xat
xat 特征变换
x
行波法又叫特征线法
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
7 非齐次问题的处理
2 tu2 a2x2u2f(x,t),
yAx yBx
uuu Au B u x x x
x 2 u 2 A u B u x A u B u xA2 2u22AB 2 uB2 2u2
uyuyuy
u
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(1.7)
f 1 ( ), f 2 ( )是待定的任意二次连续 可微函数 .
u( x,0) f 1 ( x) f 2 ( x) ( x)
u ( x) - x (1.2) t t 0
x
1 f ( x ) f ( x ) ( )d 1 2 u( x ,0) a0 af 1( x ) af 2( x ) ( x ) t x 1 1 x f 1 ( x ) ( x ) ( )d 1 2 2a 0 f 1 ( x ) f 2 ( x ) ( )d
第三章 行波法
• • • • • 主要内容 掌握一维弦振动的解 掌握类比方法求三维、二维问题的解 了解偏微分方程的分类 会求偏微分方程的特征线
§1 弦振动的初值问题
无限长均匀细杆的振动问题，就可以表达成如下形式
2 2u 2 u x , t 0 (1.1) 2 a 2 x t u ( x ) - x (1.2) u(0, x ) ( x ), t t 0
(1.8)
（1.8）称作达朗贝尔公式。这种求解方法也称达朗贝尔解法或行波法（特征线法）。 这种方法对一般的偏微分方程来说是十分困难的。因此只适合波动方程定解问题的求解。
1.2 达朗贝尔公式的物理意义
达朗贝尔公式的物理意义
u( x, t ) f 1 ( x at) f 2 ( x at) (1.7) 先考察 u2 ( x, t ) f 2 ( x at) 的意义
2 2u u 2 a 波 动 方 程 ， 双 曲 型 方 .程 2 2 t x 2 u u 2 a 热 传 导 方 程 ， 抛 物 型程 方. 2 t x
2u 2u 2 拉普拉斯方程，椭圆型 方程. 2 x y
但有时方程的定义域使得 B
2
4ac 在此定义域的某一部
x at
( )d
0
0
x at
1 1 ( )d ( x at) ( )d 2 2a x at 0
u( x, t ) f 1 ( x at) f 2 ( x at) x at 1 1 ( ( x at) ( x at)) ( )d 2 2a x at
(1.10)
常微分方程(1.10) 的积分曲线称作（ 1.9 ）的特征曲线 .
特征曲线仅于该方程中二阶偏导数项的系数有关而与其它低阶项的系数无关。
如果在某个区域有：
dy 2 dy A( ) 2 B c A( y ( x )) 2 2 By ( x ) c 0 dx dx
(1.10' )
f 2 ( x at) 代表一个一速度 a向右 (沿x轴正向）前进的行波。
u2 t 0时，f 2 ( x ) 的图形如下：
a a
2a
0 .5 a
t 0.5, f 2 ( x at) 的图形如下： u2 t 1, f 2 ( x at) 的图形如下： t 2, f 2 ( x at) 的图形如下：
x1
x2
x
达朗贝尔公式的物理意义
1 1 u( x, t ) ( ( x at) ( x at)) ( )d 2 2a x at
x at
(1.8)
受到 [ x1 , x 2 ]初始扰动影响的区域为 x1 at x x 2 at
t
波沿特 征线传 播
其中 ( x), ( x) 均为已知函数。 前面我们已经用傅立叶变换求得该定解问题的解：
1 1 xat u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] ( ( )d 2 2a xat
x at, x at
(1.3)
2 2u u 2 a (1.1) 2 2 t x
x x1 at
为 [ x1 , x 2 ]的影响区域 x x 2 at x x 2 at x x1 at
[ x1 , x 2 ]的影响区域 称x t平面上由 x1 at x x 2 at决定的区域 为
由此可以看到x t平面上 1 斜率为 的两族直线x at c称作特征线. a 对一维波动方程的研究 起着重要作用 .
(1.15)
2u 0 (1.16)
3）变换新变量的方程
(1.15) 求导代入（ 1.13 ）
4）求解（1.16） 设其通解为
u( x, t ) f 1 ( ) f 2 ( )
5)由初始条件确定 f 1 ( x ), f 2 ( x )
(1.17)
u y 0 5 x 2 ,
u u u u u x x x
2 u u u u u ( ) ( ) 2 x x (1.4),(1.5)代入(1.1)有 x
2u 2u 2u 2u 2 2 2 2 x
分大于零，而在另一部分小于零，我们称这样的方程为混 合型方程。如（特里克米）
u u y 2 2 0 x y
2 2
在上半平面内是椭圆型的，在下半平面是双曲型，在 x 轴 是抛物型的，在包含 轴某些线段的区域内是混合型的。
x
例1 利用特征线法求下列初值问题
2u 2u 2u 5 2 0 x , y 0 (1.13) 2 4 xy y x 2 u u 5 x , 0 - x (1.14) y 0 y y 0
f 1 (5 x ) f 2 ( x ) 5 x 2 f 1(5 x ) 5 f 2 ( x ) c 3
5 2 f 2 ( x ) x c5 6
(1.18) (1.19)
f 1 (5 x )
25 2 1 x c 4 (5 x ) 2 c 4 6 6 1 2 f1 ( x ) x c4 6
a0 f ( x) f ( x) ( x) 2 1
1 1 f 2 ( x ) ( x ) ( )d 2 2a 0
x
1 1 f 1 ( x at) ( x at) 2 2a
1 1 f 2 ( x at) ( x at) 2 2a
u y
0 - x
y 0
(1.14)
u( x,0) f 1 (5 x) f 2 ( x) 5 x 2 (1.18)
u( x ,0) f 1(5 x ) f 2( x ) 0 y (1.19)
积分（ 1.19）得： f 1 (5 x ) 5 f 2 ( x ) c 3
x at
(1.8)
u( x, t )在x点t时刻的值仅仅依赖于区 间[ x at, x at],
而与其他点t时刻的值无关. 所以[ x at, x at]称作依赖区间 . 1 依赖区间由斜率为 的直线在x轴上截得. a
1 1 过x1点做斜率为 的直线，t ( x x1 ), x at x1 a a 1 1 过x 2点做斜率为 的直线，t ( x x 2 ), x at x 2 a a x1 , x2 对三角区域内任意点 ( x, t )的依赖区间 [ x at, x at]都落在
u f ( )
(1.3)
2u 4a 0
2
(1.6)
u( x, t ) f 1 ( x at) f 2 ( x at)
由条件(1.2)确定f 1 , f 2
u( x,0) ( x),
u u( , ) d f ( )d f 1 ( ) f 2 ( )
解 1）确定特征线
(dy) 4dxdy 5(dx) 0
2 2
dy 2 dy ( ) 4 5 0 dx dx
dy dy 5, 1 dx dx
2）作特征变换
dy 5dx, dy dx 5 x y c , x y c 1 2
5 x y, x y
o
1 .5 a
3a
x
a
0 .5 a
o
a
1 .5 a
2a
3a
x
f 2 ( x a波 .
达朗贝尔公式的物理意义
1 1 u( x, t ) ( ( x at) ( x at)) ( )d 2 2a x at
2 2 2 2u u u u 2 a ( 2 2 2 ) (1.5) 2 t 2 2 2u u u 2 2 注意： 2 a 4a 2 t x
2 2u u 2 a (1.1) 2 2 t x
x at, x at
6)确定u( x , t )
u( x, t ) f 1 (5 x y ) f 2 ( x y )
1 5 2 (5 x y ) ( x y ) 2 5 x 2 y 2 6 6
§2 高维齐次波动方程
考虑下列三维齐次波动方程的初值问题
2 2u 2u 2u 2 u 2 a ( 2 2 2 ) x , y , z , t 0 (2.1) x y z t u u ( x , y , z ), ( x , y , z ) - x , y , z (2.2) t 0 t t 0
x at
(1.8)
1.3 二阶偏微分方程的分类
2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 D E Fu( x, y ) 0 (1.9) xy x y x y
下面的常微分方程的称 作其特征方程 .
A(dy) 2 2Bdxdy c(dx) 2 0