数学物理方程第三章 行波法

x at
(1.8)
u( x, t )在x点t时刻的值仅仅依赖于区 间[ x at, x at],
而与其他点t时刻的值无关. 所以[ x at, x at]称作依赖区间 . 1 依赖区间由斜率为 的直线在x轴上截得. a
1 1 过x1点做斜率为 的直线，t ( x x1 ), x at x1 a a 1 1 过x 2点做斜率为 的直线，t ( x x 2 ), x at x 2 a a x1 , x2 对三角区域内任意点 ( x, t )的依赖区间 [ x at, x at]都落在
解 1）确定特征线
(dy) 4dxdy 5(dx) 0
2 2
dy 2 dy ( ) 4 5 0 dx dx
dy dy 5, 1 dx dx
2）作特征变换
dy 5dx, dy dx 5 x y c , x y c 1 2
5 x y, x y
(1.15)
2u 0 (1.16)
3）变换新变量的方程
(1.15) 求导代入（ 1.13 ）
4）求解（1.16） 设其通解为
u( x, t ) f 1 ( ) f 2 ( )
5)由初始条件确定 f 1 ( x ), f 2 ( x )
(1.17)Baidu Nhomakorabea
u y 0 5 x 2 ,
x1
x2
x
达朗贝尔公式的物理意义
1 1 u( x, t ) ( ( x at) ( x at)) ( )d 2 2a x at
x at
(1.8)
受到 [ x1 , x 2 ]初始扰动影响的区域为 x1 at x x 2 at
t
波沿特 征线传 播
f 1 (5 x ) f 2 ( x ) 5 x 2 f 1(5 x ) 5 f 2 ( x ) c 3
5 2 f 2 ( x ) x c5 6
(1.18) (1.19)
f 1 (5 x )
25 2 1 x c 4 (5 x ) 2 c 4 6 6 1 2 f1 ( x ) x c4 6
o
x1
x2
x
u( x, t ) f 1 ( x at) f 2 ( x at) (1.7) x at, x at也称特征变换
达朗贝尔公式的物理意义
1 1 u( x, t ) ( ( x at) ( x at)) ( )d 2 2a x at
1).B 2 4 AC 0, y( x)有两个不同的根，存在 两条实特征曲线
2).B 2 4 AC 0, y( x)无根，不存在特征曲线 . 3).B 2 4 AC 0, y( x)有唯一的根，存在唯一 一条实特征曲线 .
如果（ 1.9） 有 两 条 、 一 条 、 没 特 有征 曲 线 ， 则 相 应 地（ 称 1.9） 为 双 曲 型 、 抛 物 型 、圆 椭型 方 程 .
(1.7)
f 1 ( ), f 2 ( )是待定的任意二次连续 可微函数 .
u( x,0) f 1 ( x) f 2 ( x) ( x)
u ( x) - x (1.2) t t 0
x
1 f ( x ) f ( x ) ( )d 1 2 u( x ,0) a0 af 1( x ) af 2( x ) ( x ) t x 1 1 x f 1 ( x ) ( x ) ( )d 1 2 2a 0 f 1 ( x ) f 2 ( x ) ( )d
(1.8)
（1.8）称作达朗贝尔公式。这种求解方法也称达朗贝尔解法或行波法（特征线法）。 这种方法对一般的偏微分方程来说是十分困难的。因此只适合波动方程定解问题的求解。
1.2 达朗贝尔公式的物理意义
达朗贝尔公式的物理意义
u( x, t ) f 1 ( x at) f 2 ( x at) (1.7) 先考察 u2 ( x, t ) f 2 ( x at) 的意义
2 2u u 2 a 波 动 方 程 ， 双 曲 型 方 .程 2 2 t x 2 u u 2 a 热 传 导 方 程 ， 抛 物 型程 方. 2 t x
2u 2u 2 拉普拉斯方程，椭圆型 方程. 2 x y
但有时方程的定义域使得 B
2
4ac 在此定义域的某一部
(1.4)
u u u u u u u a a a( ) t t t
2u 0
(1.6)
2u u u u u a ( ) a ( ) 2 t t t
u y
0 - x
y 0
(1.14)
u( x,0) f 1 (5 x) f 2 ( x) 5 x 2 (1.18)
u( x ,0) f 1(5 x ) f 2( x ) 0 y (1.19)
积分（ 1.19）得： f 1 (5 x ) 5 f 2 ( x ) c 3
f 2 ( x at) 代表一个一速度 a向右 (沿x轴正向）前进的行波。
u2 t 0时，f 2 ( x ) 的图形如下：
a a
2a
0 .5 a
t 0.5, f 2 ( x at) 的图形如下： u2 t 1, f 2 ( x at) 的图形如下： t 2, f 2 ( x at) 的图形如下：
6)确定u( x , t )
u( x, t ) f 1 (5 x y ) f 2 ( x y )
1 5 2 (5 x y ) ( x y ) 2 5 x 2 y 2 6 6
§2 高维齐次波动方程
考虑下列三维齐次波动方程的初值问题
2 2u 2u 2u 2 u 2 a ( 2 2 2 ) x , y , z , t 0 (2.1) x y z t u u ( x , y , z ), ( x , y , z ) - x , y , z (2.2) t 0 t t 0
x at
(1.8)
1.3 二阶偏微分方程的分类
2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 D E Fu( x, y ) 0 (1.9) xy x y x y
下面的常微分方程的称 作其特征方程 .
A(dy) 2 2Bdxdy c(dx) 2 0
其中 ( x), ( x) 均为已知函数。 前面我们已经用傅立叶变换求得该定解问题的解：
1 1 xat u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] ( ( )d 2 2a xat
x at, x at
(1.3)
2 2u u 2 a (1.1) 2 2 t x
u u u u u x x x
2 u u u u u ( ) ( ) 2 x x (1.4),(1.5)代入(1.1)有 x
2u 2u 2u 2u 2 2 2 2 x
a0 f ( x) f ( x) ( x) 2 1
1 1 f 2 ( x ) ( x ) ( )d 2 2a 0
x
1 1 f 1 ( x at) ( x at) 2 2a
1 1 f 2 ( x at) ( x at) 2 2a
第三章 行波法
• • • • • 主要内容 掌握一维弦振动的解 掌握类比方法求三维、二维问题的解 了解偏微分方程的分类 会求偏微分方程的特征线
§1 弦振动的初值问题
无限长均匀细杆的振动问题，就可以表达成如下形式
2 2u 2 u x , t 0 (1.1) 2 a 2 x t u ( x ) - x (1.2) u(0, x ) ( x ), t t 0
(1.10)
常微分方程(1.10) 的积分曲线称作（ 1.9 ）的特征曲线 .
特征曲线仅于该方程中二阶偏导数项的系数有关而与其它低阶项的系数无关。
如果在某个区域有：
dy 2 dy A( ) 2 B c A( y ( x )) 2 2 By ( x ) c 0 dx dx
(1.10' )
o
1 .5 a
3a
x
a
0 .5 a
o
a
1 .5 a
2a
3a
x
f 2 ( x at)为右行波 .
同理f1 ( x at)为左行波 .
达朗贝尔公式的物理意义
1 1 u( x, t ) ( ( x at) ( x at)) ( )d 2 2a x at
分大于零，而在另一部分小于零，我们称这样的方程为混 合型方程。如（特里克米）
u u y 2 2 0 x y
2 2
在上半平面内是椭圆型的，在下半平面是双曲型，在 x 轴 是抛物型的，在包含 轴某些线段的区域内是混合型的。
x
例1 利用特征线法求下列初值问题
2u 2u 2u 5 2 0 x , y 0 (1.13) 2 4 xy y x 2 u u 5 x , 0 - x (1.14) y 0 y y 0
u f ( )
(1.3)
2u 4a 0
2
(1.6)
u( x, t ) f 1 ( x at) f 2 ( x at)
由条件(1.2)确定f 1 , f 2
u( x,0) ( x),
u u( , ) d f ( )d f 1 ( ) f 2 ( )
x x1 at
为 [ x1 , x 2 ]的影响区域 x x 2 at x x 2 at x x1 at
[ x1 , x 2 ]的影响区域 称x t平面上由 x1 at x x 2 at决定的区域 为
由此可以看到x t平面上 1 斜率为 的两族直线x at c称作特征线. a 对一维波动方程的研究 起着重要作用 .
x at
( )d
0
0
x at
1 1 ( )d ( x at) ( )d 2 2a x at 0
u( x, t ) f 1 ( x at) f 2 ( x at) x at 1 1 ( ( x at) ( x at)) ( )d 2 2a x at
1 1 u( x, t ) ( ( x at) ( x at)) ( )d 2 2a x at 在初始时刻 t 0,取[ x1 , x 2 ]
达朗贝尔公式的物理意义
x at
(1.8)
t
x at x1
( x,t )
x at x 2
o
该阴影区域称作 x1 , x 2的决定区域 .
2 2 2 2u u u u 2 a ( 2 2 2 ) (1.5) 2 t 2 2 2u u u 2 2 注意： 2 a 4a 2 t x
2 2u u 2 a (1.1) 2 2 t x
x at, x at