专项练习分式化简求值常见题型归纳

专项练习分式化简求值常见题型归纳

► 类型一 代入求值型

【一】直接代入型

1．先化简，再求值：⎝ ⎛⎭

⎪⎫a2a －1＋11－a ·1a ，其中a ＝－12. 【二】选择代入型

2．先化简：x2＋x x2－2x ＋1÷⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x －1－1x ，再从－2＜x ＜3的范围内选取一个你喜欢的x 值代入求值． 3．假设a 满足－3≤a ≤3，请你选取一个合适的数a 使得代数式a2－1a ÷⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－1a 的值是一个奇数． 【三】整体代入型

4．x ，y 满足x ＝5y ，求分式x2－2xy ＋3y24x2＋5xy －6y2的值． 5．a ＋b b ＝52，求a －b b 的值． 6．假设1a －1b ＝12，求a －b ab －ab a －b 的值． 7．1x ＋1y ＝5，求2x －3xy ＋2y x ＋2xy ＋y 的值． 8．a 满足a2＋2a －15＝0，求1a ＋1－a ＋2a2－1÷〔a ＋1〕〔a ＋2〕a2－2a ＋1的值． 9．t ＋1t ＝3，求t2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2的值． 10．x ＋1x ＝4，求x2x4＋x2＋1

的值． ► 类型二 设比例系数或用消元法求值 11．2a －3b ＋c ＝0，3a －2b －6c ＝0，abc ≠0，那么a3－2b3＋c3a2b －2b2c ＋3ac2＝________． 12．x 2＝y 3＝z 4≠0，求xy ＋yz ＋zx x2＋y2＋z2

的值． ► 类型三 利用非负数的性质挖掘条件求值

13．x2－4x ＋4与|y －1|互为相反数，那么式子⎝ ⎛⎭

⎪⎫x y －y x ÷(x ＋y)的值为________． 14．⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12x －3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1y ＋42＝0，求32x ＋1－23y －1的值． ► 类型四 值恒不变形 15．y ＝x2＋6x ＋9x2－9÷x ＋3x2－3x

－x ＋3，试说明不论x 为任何使原式有意义的值，y 的值均不变．

详解详析

1．解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2a －1－1a －1·1a ＝a2－1a －1·1a ＝〔a ＋1〕〔a －1〕a －1·1a ＝a ＋1a . 当a ＝－12时，a ＋1a ＝－12＋1－12＝－1. 2．解：原式＝x 〔x ＋1〕〔x －1〕2÷2x －〔x －1〕x 〔x －1〕＝x 〔x ＋1〕〔x －1〕2·x 〔x －1〕x ＋1＝x2x －1. 由题意，可取x ＝2代入上式，得x2x －1＝222－1

＝4.(注意：x 不能为0和±1)

3．解：原式＝a ＋1.由原代数式有意义，得a ≠0且a ≠1，又代数式的值是奇数，且－3≤a ≤3，所以a ＝±2.

4．解：由可得y ≠0，将分式的分子、分母同除以y2，得原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－2·x y ＋34·⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2＋5·x y －6. 又x ＝5y ，变形得x y ＝5，将其代入原式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－2·x y ＋34·⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2＋5·x y －6＝52－2×5＋34×52＋5×5－6＝18119. 5．[解析] 由a －b b ＝a ＋b －2b b ＝a ＋b b －2，再将条件代入该式即可求解． 解：a －b b ＝a ＋b －2b b ＝a ＋b b －2， 又知a ＋b b ＝52，将其代入上式，得 a －b b ＝52－2＝12. 6．解：由1a －1b ＝12， 得b －a ab ＝12， 所以a －b ab ＝－12，ab a －b ＝－2， 所以a －b ab －ab a －b ＝－12＋2＝32. 7．[解析] 由条件1x ＋1y ＝5，通分化简，得x ＋y ＝5xy ，代数式可化为2〔x ＋y 〕－3xy x ＋2xy ＋y ，从而整体代入求值． 解：∵1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝5，

∴x ＋y ＝5xy ， ∴2x －3xy ＋2y x ＋2xy ＋y ＝2〔x ＋y 〕－3xy x ＋2xy ＋y ＝10xy －3xy 5xy ＋2xy

＝1. 8．[解析] 对要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式，最后把a2＋2a －15＝0进行配方，得到a ＋1的值，再把它整体代入即可求出答案．

解：1a ＋1－a ＋2a2－1÷〔a ＋1〕〔a ＋2〕a2－2a ＋1 ＝1a ＋1－a ＋2〔a ＋1〕〔a －1〕·〔a －1〕2〔a ＋1〕〔a ＋2〕 ＝1a ＋1－a －1〔a ＋1〕2＝2〔a ＋1〕2

. ∵a2＋2a －15＝0，∴(a ＋1)2＝16，

∴原式＝216＝18.

9．[解析] 利用t2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－2的形式，将条件整体代入求解． 解：因为t2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－2， 又t ＋1t ＝3，将其代入上式，得原式＝32－2＝7. 10．解：因为x ＋1x ＝4，所以⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋1x 2＝42， 即x2＋2＋1x2＝16，所以x2＋1x2＝14. 因为x4＋x2＋1x2＝x2＋1＋1x2＝x2＋1x2＋1＝14＋1＝15， 所以x2x4＋x2＋1＝115. 11.1142 [解析] 由条件不能求出a ，b ，c 的具体值，但是我们可以把等式组成方程组，用其中一个字母(如c)来表示另两个字母，把分式转化为只含一个字母的分式，再约分． 由，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －3b ＝－c ，3a －2b ＝6c ， 解这个方程组得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4c ，b ＝3c ，代入原式，得a3－2b3＋c3a2b －2b2c ＋3ac2＝ 〔4c 〕3－2·〔3c 〕3＋c3〔4c 〕2·3c －2·〔3c 〕2c ＋3×4c ·c2＝11c342c3＝1142. 12．解：设x 2＝y 3＝z 4＝k ，那么x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，所以xy ＋yz ＋zx x2＋y2＋z2＝6k2＋12k2＋8k24k2＋9k2＋16k2＝2629. 13.12 [解析] 代数式x2－4x ＋4＝(x －2)2.因为x2－4x ＋4与|y －1|互为相反数，所以由非负数的性质，得x －2＝0，y －1＝0，解得x ＝2，y ＝1，

所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －y x ÷(x ＋y)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－12÷(2＋1)＝12. 14．解：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12x －3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1y ＋42＝0，得x －12x －3＝0，3y ＋1y ＋4＝0，所以x ＝1，y ＝－13，

所以原式＝32×1＋1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－1＝2. 15．[解析] 先化简分式，再通过分析化简结果得出结论． 解：y ＝x2＋6x ＋9x2－9÷x ＋3x2－3x －x ＋3 ＝〔x ＋3〕2〔x ＋3〕〔x －3〕·x 〔x －3〕x ＋3

－x ＋3