高中数学 2.2.2 函数的表示法课件 北师大版必修1

表示出来的方法
体趋势
表达形 式
定义
优点
缺点
用自变量的
_解__析__式___表示两 能较便利地通过 一些实际问题很
解析法
计算等手段研究 难找到它的解析
个变量的对应关
函数的性质 式
系的方法
2．分段函数 (1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范 围，有着不同的对应关系的函数． (2)分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定 义域、值域的并集;任意两段函数的定义域的交集是空集． (3)作分段函数图像时，应分别作出每一段的图像．
2.作出下列函数的图像： (1)y＝x＋2，|x|≤3； (2)y＝x2－2，x∈Z 且|x|≤2. 解：(1)因为|x|≤3，所以函数的图像为线段，而不是直线， 如图(1)； (2)因为 x∈Z 且|x|≤2，所以函数的图像是五个孤立的点，如 图(2)．
探究点三 解析法表示函数 (1)若 f(x＋1)＝x2＋x，则 f(x)＝__x_2_－__x__． (2)若 f(x)是一次函数,且 f(f(x))＝4x－1，则 f(x)＝ _2_x_－__13__或__－__2_x_＋__1_____．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)垂直于 x 轴的直线与函数的图像至多有一个交点．( √ ) (2)任何一个函数都可用解析法表示．( × ) (3)把几个函数合在一起就是分段函数．( × )
2．下列图像中不能作为函数 y＝f(x)的图像的是( B )
解析：对于 B，当 x 取[0，＋∞)中的一个非零值时，对应的 y 值不唯一，故选 B.
(3)已知函数 y＝f(x)满足 2f(x)＋f1x＝2x(x∈R 且 x≠0)，则 f(x)
＝__43_x_－__3_2x___________．
[解析] (1)因为 x∈R， 所以令 t＝x＋1∈R，则 x＝t－1， 代入 f(x＋1)＝x2＋x， 得 f(t)＝(t－1)2＋(t－1)＝t2－t，t∈R， 即 f(x)＝x2－x.
探究点一 列表法表示函数
设函数 f(x)和 g(x)的自变量和函数值的对应关系分别
如下表：
x
1234
f(x) 3 4 2 1
x
1234
g(x) 4 3 1 2
则 f(g(f(3)))＝____2____．
[解析] 由上表可知： f(3)＝2，g(2)＝3， 所以 f(g(f(3)))＝f(g(2))＝f(3)＝2.
(2)标准形式：分段函数的标准形式是
f(x)＝
f1（x），x∈[a，b] f2（x），x∈（b，c]， f3（x），x∈（c，d]， …
写分段函数时，注意其定义域的端点应不重不漏．
(3)定义域、值域：分段函数的定义域是各段上自变量取值的 并集，值域也是各段上函数值组成的集合的并集． (4)图像：分段函数的图像由几部分构成，有的可以是光滑的 曲线，有的也可以是一些孤立的点、线段、射线、直线等． (5)求值关键：求分段函数的某些函数值的关键是“分段归 类”，即自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式， 一定要坚持定义域优先的原则．
第二章 函数
2．2 函数的表示法
1．问题导航 (1)函数有哪三种表示方法？ (2)任一函数都能用解析法表示吗？ (3)分段函数是如何定义的？ (4)分段函数是一个函数吗？
2．例题导读 (1)P29 例 2.通过本例学习，理解画绝对值函数的图像的方法 和步骤． (2)P29 例 3、P30 例 4.通过这两例的学习，掌握求分段函数 的解析式． 试一试：教材 P31－32 练习 T1，T4 你会吗？
(2)因为 y＝2(x－1)2－5，
Biblioteka Baidu
所以当 x＝0 时，y＝－3；
当 x＝3 时，y＝3；当 x＝1 时，y＝－5.
当
y＝0
时，x＝2＋2
10 .
因为 x∈[0，3)，故图像是一段抛物线(如图②)．
由图像可知，值域为[－5，3)．
(1)作函数图像的基本步骤为：列表、描点、连线． (2)画函数图像的三个关注点 ①在定义域内作图． ②图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托 整个图像． ③要标出某些关键点．例如，图像的顶点、端点、与坐标轴 的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点.
列表法能直观地表示函数的自变量和函数值之间的关系，使 用列表法表示函数时，将自变量和其对应的函数值一一列在 表格中，比如例题的表格可以直观地看到函数的定义域与值 域.
1.小明同学计划买 x(x∈{1，2，3，4，5})支 2B
铅笔，每支铅笔的价格为 0.5 元，试用列表法表示购买铅笔
支数 x 与钱数 y 的关系． 解：列表法：
3．已知 f(x)＝2x－1，则 f(x＋1)＝__2_x_＋__1__． 解析：因为 f(x)＝2x－1， 所以 f(x＋1)＝2(x＋1)－1＝2x＋1.
4．函数 f(x)的图像如图所示． 则此函数的定义域为_[_a_1，__a_2_]_∪__[_a_3，__a_4_]__；值域为_[b_4_，__b_3_]_．
1．函数的三种表示法
表达 形式
定义
优点
缺点
列表 用__表__格____的形式 不必计算就能直 只能表示有限个 表示两个变量之间 观看出两变量之 元素间的函数关
法 函数关系的方法 间的对应关系 系
用___图__像__把两个 直观地表示函数
图像
的局部变化规律 不能表示函数的
变量间的函数关系
法
进而预测它的整 整体的变化
铅笔数 x(支)
12345
钱数 y(元)
0.5 1 1.5 2 2.5
探究点二 图像法表示函数
作出下列函数的图像并求其值域． (1)y＝1－x(x∈Z 且|x|≤2)． (2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)． [解] (1)因为 x∈Z 且|x|≤2， 所以 x∈{－2，－1，0，1，2}． 所以图像为一直线上的孤立点(如图①)． 由图像知，值域为{－1，0，1，2，3}．
解析：观察图像知此函数是一个分段函数， 定义域为[a1，a2]∪[a3，a4]， 值域为[b2，b3]∪[b4，b5]＝[b4，b3]．
对分段函数的五点说明
(1)一个函数：分段函数在其解析式形式上尽管会有多于一个
的表达式，但它仍然表示一个函数，不能理解成几个函数的
合并，它的连续与间断完全由对应关系来确定．