大学 数学专业 空间解析几何第五章 非欧几何简介 PPT

19世纪初，俄罗斯人罗巴切夫斯 基在否定第五公理的同时，假设其 反面之一：“过已知直线外一点， 可作多于一条的直线与已知直线平 行”，得到了一系列定理，并且认 为他得到了一门新的几何学。这是 过去2000年以来的重大突破。
π(α)
罗巴切夫斯基1826年2月11日宣布 自己建立了新的几何学之后，得到 了许多数学大家的嘲笑、讽刺，德 国诗人歌德也出来讽刺他。实际上， 罗巴切夫斯基的理论得到世界的认 可是在他去世几十年后的事了.
平行公理通常以如下的等价形式出现：过直线 外一点有唯一的一条直线与其平行。所谓平行就是 永不相交的意思，这就牵涉到“无穷”——一个不 很自明、无法亲身经验到的观念。 欧几里得不采取 后一种形式的平行公理，也许也是要使平行公理显 得更自明的缘故。
其中第五公理是说：过已知直线外 一点，可作一条也只可作一条直线 与已知直线平行。
A+B+C=π
第五平行公理的研究(公元前3世纪至1800年)
欧பைடு நூலகம்里得
普莱菲尔(苏格兰, 1748-1819) 勒让德(法, 1752-1833)
平行公理
A
这个平行公理在所有公理之中是最不明显的， 所以数学家或是对数学有兴趣的人便想从其他的 公理去推得平行公理。 而这努力延持了两千年， 后来证明这是不可能的，于是有了非欧几何学的 发现，这在人类思想史上是非常特别、有意思的 事实，是西方数学和中国数学不同的地方。
非欧几何的其他发明人
高斯是最先认识到非欧几何是 一种逻辑上相容并且可以描 述物质空间,像欧氏几何一样 正确的新几何,但他未发表过 任何有关非欧几何的论著,主 要是担心世俗的攻击.
另一位对非欧几何有研究的是 匈牙利青年波约，
在罗氏几何产生后的1854年，德国 数学家黎曼把欧氏第五公理改为： “过已知直线外一点，没有与其平 行之直线”，得到的一种新的几何 学——黎曼非欧几何，为非欧几何 的另一翼。
欧氏几何
欧氏几何在公元前300年就已产生。 欧几里德在他的名著《几何原本》中，以5 个基本假设为基础，把当时人类已经掌握的纷杂 的几何知识变成一个演绎系统，使用逻辑推理方 法，一共推出了465个定埋。 这个系统所依据的只是几个虽然没有加以证 明，但是看起来相当明显，并且合乎人类经验的 假设。这几个“不证自明”的事实叫做公理 (axioms)。
这五个公理是
1. 两点间必可连一条直线； 2. 直线可以任意延长； 3. 已知圆心及半径可作一圆； 4. 凡直角皆相等；
5. 两直线 AB，CD 与另一直线交于 E，F， 若 BEF EFD ，则两直线在 BD 侧相交。
A
E
B
C
F
D
平行公理
第五个公理就是有名的平行公理。 它不像前 面的四个公理那么自明，亦即那么简单明了，那么 众所公认。 虽然前人并不怀疑欧氏几何描述物理空 间的真实性，但从有《原本》开始，大家就怀疑平 行公理是否可以由其他的四个公理推出，或者可以 用另一个更自明的公理来代替。
高等院校本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 空间解析几何
第十五讲 非欧几何简介
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非欧几何
1893年，在喀山大学树立起了世界上第
一个为数学家雕塑的塑像。这位数学家 就是俄国的伟大学者、非欧几何的重要 创始人——罗巴切夫期基。罗巴切夫斯 基（Lobachevsky/Lobachevskii） （1792年12月1日—1856年2月24日）， 俄罗斯数学家，非欧几何的早期发现人 之一。
1854年黎曼(德, 1826-1866)《关于 几何基础的假设》
(黎曼非欧几何)

(罗氏几何)
(欧氏几何)
椭圆几何 双曲几何 抛物几何