第8章 非线性规划
非线性规划
1. 非线性规划我们讨论过线性规划,其目标函数和约束条件都是自变量的线性函数。
如果目标函数是非线性函数或至少有一个约束条件是非线性等式(不等式),则这一类数学规划就称为非线性规划。
在科学管理和其他领域中，很多实际问题可以归结为线性规划，但还有另一些问题属于非线性规划。
由于非线性规划含有深刻的背景和丰富的内容，已发展为运筹学的重要分支，并且在最优设计,管理科学,风险管理,系统控制,求解均衡模型,以及数据拟合等领域得到越来越广泛的应用。
非线性规划的研究始于三十年代末,是由W.卡鲁什首次进行的，40年代后期进入系统研究，1951年.库恩和.塔克提出带约束条件非线性规划最优化的判别条件,从而奠定了非线性规划的理论基础,后来在理论研究和实用算法方面都有很大的发展。
非线性规划求解方法可分为无约束问题和带约束问题来讨论，前者实际上就是多元函数的极值问题，是后一问题的基础。
无约束问题的求解方法有最陡下降法、共轭梯度法、变尺度法和鲍威尔直接法等。
关于带约束非线性规划的情况比较复杂，因为在迭代过程中除了要使目标函数下降外，还要考虑近似解的可行性。
总的原则是设法将约束问题化为无约束问题；把非线性问题化为线性问题从而使复杂问题简单化。
求解方法有可行方向法、约束集法、制约函数法、简约梯度法、约束变尺度法、二次规划法等。
虽然这些方法都有较好的效果，但是尚未找到可以用于解决所有非线性规划的统一算法。
非线性规划举例[库存管理问题] 考虑首都名酒专卖商店关于啤酒库存的年管理策略。
假设该商店啤酒的年销售量为A 箱,每箱啤酒的平均库存成本为H 元,每次订货成本都为F 元。
如果补货方式是可以在瞬间完成的,那么为了降低年库存管理费用,商店必须决定每年需要定多少次货,以及每次订货量。
我们以Q 表示每次定货数量,那么年定货次数可以为QA,年订货成本为Q A F ⨯。
由于平均库存量为2Q,所以,年持有成本为2Q H ⨯,年库存成本可以表示为:Q HQ A F Q C ⨯+⨯=2)( 将它表示为数学规划问题:min Q H Q A F Q C ⋅+⋅=2)( ..t s 0≥Q其中Q 为决策变量,因为目标函数是非线性的,约束条件是非负约束,所以这是带约束条件的非线性规划问题。
非线性规划高考知识点归纳总结
非线性规划高考知识点归纳总结非线性规划是运筹学中的一个重要分支，它主要研究在非线性目标函数和非线性约束条件下的优化问题。
在高考数学中，非线性规划通常不会作为主要考点，但了解其基本概念和简单应用对于提高数学素养和解决实际问题具有重要意义。
首先，非线性规划问题可以定义为：给定一个目标函数 \( f(x_1,x_2, ..., x_n) \) 和一组约束条件 \( g_i(x_1, x_2, ..., x_n) \leq 0 \)（对于 \( i = 1, 2, ..., m \)），以及 \( h_j(x_1,x_2, ..., x_n) = 0 \)（对于 \( j = 1, 2, ..., p \)），求 \( x \) 的值，使得目标函数 \( f \) 达到最大值或最小值。
在高考中，非线性规划的知识点通常包括以下几个方面：1. 目标函数与约束条件：理解目标函数和约束条件在非线性规划中的作用，以及它们如何影响问题的解。
2. 可行域：掌握如何根据约束条件确定可行域，这是求解非线性规划问题的基础。
3. 拉格朗日乘数法：了解拉格朗日乘数法的基本原理，以及如何利用它求解带有等式约束的非线性规划问题。
4. KKT条件：掌握KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件，这是求解非线性规划问题的必要条件。
5. 数值方法：了解一些基本的数值方法，如梯度下降法、牛顿法等，这些方法在实际求解非线性规划问题时非常有用。
6. 实际应用：能够将非线性规划的概念应用到实际问题中，如资源分配、成本最小化等。
在复习非线性规划时，建议从以下几个步骤进行：- 理解概念：首先，要理解非线性规划的基本概念，包括目标函数、约束条件、可行域等。
- 掌握方法：其次，要掌握求解非线性规划问题的基本方法，如拉格朗日乘数法和KKT条件。
- 练习题目：通过大量的练习题目来巩固知识点，提高解题能力。
- 实际应用：尝试将非线性规划的概念应用到实际问题中，提高解决实际问题的能力。
非线性规划
非线性规划非线性规划是一种涉及非线性目标函数和/或非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划可能存在多个局部最优解，而不是全局最优解。
非线性规划在许多领域都有广泛的应用，如经济学、工程学和管理学等。
非线性规划的一般形式可以表示为：最小化或最大化 f(x)，其中 f(x) 是一个非线性函数，x 是决策变量向量。
满足一组约束条件g(x) ≤ 0 和 h(x) = 0，其中 g(x) 和 h(x) 是非线性函数。
为了求解非线性规划问题，可以使用不同的优化算法，如梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些算法的目标是找到目标函数的最小值或最大值，并满足约束条件。
非线性规划的难点在于寻找全局最优解。
由于非线性函数的复杂性，这些问题通常很难解析地求解。
因此，常常使用迭代算法来逼近最优解。
非线性规划的一个重要应用是在经济学中的生产计划问题。
生产活动通常受到多个因素的限制，如生产能力、原材料和劳动力等。
非线性规划可以帮助确定最佳的生产数量，以最大化利润或最小化成本。
另一个应用是在工程学中的优化设计问题。
例如，优化某个结构的形状、尺寸和材料以满足一组要求。
非线性规划可以帮助找到最佳设计方案，以最大程度地提高性能。
在管理学中，非线性规划可以用于资源分配和风险管理问题。
例如，优化一个公司的广告预算，以最大程度地提高销售额。
非线性规划可以考虑多种因素，如广告投入和市场需求，以找到最佳的广告投放策略。
总之，非线性规划是一种重要的优化方法，用于解决涉及非线性目标函数和约束条件的问题。
它在经济学、工程学和管理学等领域有广泛的应用。
尽管非线性规划的求解难度较大，但通过合适的优化算法，可以找到最佳的解决方案。
非线性规划知识点讲解总结
非线性规划知识点讲解总结1. 非线性规划的基本概念非线性规划是指目标函数和/或约束条件包含非线性项的优化问题。
一般来说，非线性规划问题可以表示为如下形式：\[\min f(x)\]\[s.t. \ g_i(x) \leq 0, \ i=1,2,...,m\]\[h_j(x)=0, \ j=1,2,...,p\]其中，\(x \in R^n\)是优化变量，\(f(x)\)是目标函数，\(g_i(x)\)和\(h_j(x)\)分别表示不等式约束和等式约束。
目标是找到使目标函数取得最小值的\(x\)。
2. 非线性规划的解决方法非线性规划问题的求解是一个复杂的过程，通常需要使用数值优化方法来解决。
目前，常用的非线性规划求解方法主要包括梯度方法、牛顿方法和拟牛顿方法。
（1）梯度方法梯度方法是一种基于目标函数梯度信息的优化方法。
该方法的基本思想是在迭代过程中不断沿着梯度下降的方向更新优化变量，以期望找到最小值点。
梯度方法的优点是简单易实现，但缺点是可能陷入局部最优解，收敛速度慢。
（2）牛顿方法牛顿方法是一种基于目标函数的二阶导数信息的优化方法。
该方法通过构造目标函数的泰勒展开式，并利用二阶导数信息来迭代更新优化变量，以期望找到最小值点。
牛顿方法的优点是收敛速度快，但缺点是计算复杂度高，需要计算目标函数的二阶导数。
（3）拟牛顿方法拟牛顿方法是一种通过近似求解目标函数的Hessian矩阵来更新优化变量的优化方法。
该方法能够克服牛顿方法的计算复杂度高的问题，同时又能保持相对快速的收敛速度。
拟牛顿方法的典型代表包括DFP方法和BFGS方法。
3. 非线性规划的应用非线性规划方法在实际生活和工程问题中都有着广泛的应用。
以下将介绍非线性规划在生产优化、资源分配和风险管理等领域的应用。
（1）生产优化在制造业中，生产线的优化调度问题通常是一个非线性规划问题。
通过对生产线的机器设备、生产工艺和生产速度等因素进行建模，并设置相应的目标函数和约束条件，可以使用非线性规划方法来求解最优的生产调度方案，以最大程度地提高生产效率和减少成本。
非线性规划ppt课件
g3(x) x1 x2 x3 0
;
20
一维搜索方法
目标函数为单变量的非线性
规划问题称为一维搜索问题
min t0 (0ttmax )
其中 t R 。
(t)
➢精确一维搜索方法 0.618法 Newton法
➢非精确一维搜索方法 Goldstein法 Armijo法
;
21
0.618法（近似黄金分割法）
定义 4.1.2 对于非线性规划(MP)，若 x* X ，并且存在 x* 的一个
领域 N ( x* ) x Rn x x* ( 0, R) ，使
f (x* ) f (x), x N (x* ) X ，
则称 x* 是(MP)的局部最优解或局部极小点，称 f ( x* ) 是(MP)的局部
函数(t) 称为在[a,b]上是单谷的，如果存在一个 t * [a, b] ，使得(t) 在[a, t * ]上严格递减，且在[t * , b] 上严格递增。区间[a,b]称为(t) 的单 谷区间。
第 1 步 确定单谷区间[a,b]，给定最后区间精度 0 ;
第 2 步 计算最初两个探索点
t1 a 0.382(b a) b 0.618(b a)
;
22
0.618法例题
• 例4.3.1 用0.618法求解
min(t) t3 2t 1 t0
(t) 的单谷区间为[0,3]， 0.5
解答
例4.3.1解答 • 迭换换代tbtb 过程0311..62..∧✓18可0036145436481由-00下101.2.∧...0✓871110650431表48611 给0-0100.2.∨...0✓1470出2064308168821 --000100...∨...00✓4178376340791868681 01..7140486 a2112a
非线性规划
1 1 x1 2 1 2 x2 2 0 x1 x 0 2
2
4 x2 6 x2
H=[2 -4; -2 4]; c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
6
n)
G j , I j , Aj 分别表示第j年进入政府，工业界，科学界
为了有根据地衡量这个模型的可靠性，必须了解 进入这三各部门的实际人数G j , I j , A j 与预计人数 G j，， I j A j间的差别，按最小二乘法估计为使得
2 2 2 [( G N ) ( I N ) ( A N ) ], j 1 j j 1 j j 1 j j 1 n
10
非线性规划的基本解法
SUTM外点法
1、罚函数法 SUTM内点法（障碍罚函数法）
2、近似规划法
11
罚函数法 罚函数法基本思想是通过构造罚函数把 约束问题转化为一系列无约束最优化问题，
进而用无约束最优化方法去求解．这类方法
称为序列无约束最小化方法．简称为SUMT
法．
其一为SUMT外点法，其二为SUMT内点 法．
(4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’) (5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)
输出极值点
M文件
迭代的初值
变量上下限
参数说明
非线性规划的基本概念及问题概述
牛顿法在凸优化问题上表现较好，但在非凸问题 上可能陷入局部最优解。
拟牛顿法
01
拟牛顿法是一种改进的牛顿法，通过构造海森矩阵 的近似来降低计算成本。
02
拟牛顿法在每一步迭代中更新搜索方向，并逐渐逼 近最优解。
03
拟牛顿法在处理大规模非线性规划问题时表现较好 ，但仍然需要计算目标函数的二阶导数。
共轭梯度法
共轭梯度法结合了梯度法和牛 顿法的思想，通过迭代更新搜 索方向来寻找最优解。
共轭梯度法的迭代方向是梯度 方向和上一次迭代方向的线性 组合，可以加快收敛速度。
共轭梯度法适用于大规模优化 问题，尤其在约束条件较多或 非凸函数情况下表现较好。
05
非线性规划的挑战与解决方 案
局部最优解问题
局部最优解问题
案例二：生产计划优化问题
总结词
生产计划优化问题旨在通过合理安排生 产计划，降低生产成本并满足市场需求 。
VS
详细描述
生产计划优化问题需要考虑生产过程中的 各种因素，如原材料需求、设备能力、劳 动力成本等。目标函数通常是非线性的， 因为生产成本和产量之间的关系是非线性 的。约束条件可能包括资源限制、交货期 限制等。
例子
最小化成本函数，其中成本是生产量 的函数，生产量受到资源、生产能力 等约束。
最大化问题
最大化目标函数
在给定的约束条件下，找到一组变量 ，使得目标函数达到最大值。
例子
最大化收益函数，其中收益是销售量 的函数，销售量受到市场需求、价格 等约束。
约束条件下的优化问题
01
在满足一系列约束条件下，寻找最优解，使得目标函数达到最 优值。
梯度法适用于目标函数和约束条件比较简单的情况，但对于非凸函数或约束条件复 杂的情况可能不收敛或收敛到局部最优解。
非线性规划
全局极小 global minimum
假设f ( x )为定义在n维欧氏空间E n的某一区域R上 的n元实函数， 若存在x * R使得对所有x R都有 f ( x ) f ( x * ), 则称f ( x * )为f ( x )在R上的全局极小值， x 为f ( x )在R上的全局极小点。
f ( X 0 ) ( f ( X 0 ) f ( X 0 ) f ( X 0 ) T , , , ) x1 x 2 x n
f ( X )是 f ( X )的等值面（线）在 X 处的法线方向
梯度方向是函数值增加最快的方向，负梯度 方向是函数值减少最快的方向。
二阶可微 (second order differentiable)
（3）
图解法(Graphical Solution)
非线性规划二维问题的图解法步骤与线性规划相似，但是 作ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相对比较复杂，也很难求出坐标的值。
例4
Minf ( X ) ( x1 2) 2 ( x 2 1) 2 s.t. x1 x 2 5x 2 0 x1 x 2 5 0 x1 , x 2 0
由向量内积的性质知， 必有 ▽f (X* ) = 0。
满足（3）式的点称为平稳点或驻点，在区
域内部极值点一定是平稳点，而平稳点不 一定是极值点
分析
假设下月玩具的生产量为x个
下个月的利润为： (100 0.5x)x 100x - 0.5x 2
下月原材料消耗为：x 下月需要的人工为：2x
问题的数学模型为
max z 100x 0.5x x 200 s.t.2x 350 x 0
非线性规划
非线性规划（nonlinear programming）1.非线性规划概念非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。
非线性规划研究一个n元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。
目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划。
2.非线性规划发展史公元前500年古希腊在讨论建筑美学中就已发现了长方形长与宽的最佳比例为0.618,称为黄金分割比。
其倒数至今在优选法中仍得到广泛应用。
在微积分出现以前，已有许多学者开始研究用数学方法解决最优化问题。
例如阿基米德证明：给定周长，圆所包围的面积为最大。
这就是欧洲古代城堡几乎都建成圆形的原因。
但是最优化方法真正形成为科学方法则在17世纪以后。
17世纪，I.牛顿和G.W.莱布尼茨在他们所创建的微积分中，提出求解具有多个自变量的实值函数的最大值和最小值的方法。
以后又进一步讨论具有未知函数的函数极值，从而形成变分法。
这一时期的最优化方法可以称为古典最优化方法。
最优化方法不同类型的最优化问题可以有不同的最优化方法，即使同一类型的问题也可有多种最优化方法。
反之,某些最优化方法可适用于不同类型的模型。
最优化问题的求解方法一般可以分成解析法、直接法、数值计算法和其他方法。
(1)解析法：这种方法只适用于目标函数和约束条件有明显的解析表达式的情况。
求解方法是：先求出最优的必要条件，得到一组方程或不等式，再求解这组方程或不等式，一般是用求导数的方法或变分法求出必要条件，通过必要条件将问题简化，因此也称间接法。
(2)直接法：当目标函数较为复杂或者不能用变量显函数描述时，无法用解析法求必要条件。
此时可采用直接搜索的方法经过若干次迭代搜索到最优点。
这种方法常常根据经验或通过试验得到所需结果。
对于一维搜索(单变量极值问题)，主要用消去法或多项式插值法；对于多维搜索问题(多变量极值问题)主要应用爬山法。
数据模型与决策-第八章
16
8.1.3 局部和全局最优
考虑函数f（X,Y）= -X2-Y2。这个函数形状如图8-4所示。 碗型朝下的函数称作凹函数（concave function）。这个特 殊函数的最大值是0，点（0, 0）提供最优值0。点（0, 0） 是局部最大值；但它也是全局最大值，因为没有点能有更 大的函数值了。换句话说，再没有一个X和Y的值能使目 标函数大于0。凹函数，像f（X,Y）= -X2-Y2这种的，有唯 一的局部最大值，这也是全局最大值。这类非线性问题是 相对容易最大化的。
0.00000
图8-2 非线性Par公司问题的求解
9
8.1.2 一个有约束问题
目标函数的最优值是49920.55美元。变量部分显示最优解 是生产459.7166个标准包和308.1984个豪华包。在约束条 件部分，松弛/剩余列的0值意味着最优解使用了切割与印 染部的全部劳力时间；但在第2到第4行的非零值表明了其 他部门可用的松弛时间。 459.7166个标准包和308.1984个豪华包的最优解的图形如 图8-3所示。
替式（8-3）中的PS，标准包的利润是
PSS-70S=(150-1/15S)S-70S=80S-1/15S2 （8-4）
假定生产每种豪华高尔夫包的成本是150美元。同理
可得豪华包的利润是
PDD-150D=(300-1/5D)D-150D-1/5D2 总利润是标准包利润和豪华包利润之和：
总利润=80S-1/15S2+150D-1/5D2
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8.2 建立一个指数化证券投资基金
表8-1显示了4个Vanguard指数化基金的一年期收益，以及 对应市场指数的收益。 表8-1 4个Vanguard指数化基金的一年期收益
非线性规划
非线性规划如果目标函数或约束条件中含有一个或多个是变量的非线性函数，我们称这类规划问题为非线性规划（nonlinear programming ，可简记为NP ）。
一般地，解非线性规划问题要比解线性规划问题困难的多，因为它不像解线性规划问题有单纯形法这一通用的方法，非线性规划目前还没有适合于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的应用范围。
非线性规划的基本概念和基本原理第一节 非线性规划的数学模型例：某金属制品厂要加工一批容积为1米3的长方形容器，按规格要求，上下底的材料为25元/m2，侧面的材料为40元/m2，试确定长、宽、高的尺寸，使这个容器的成本最低。
设容器的长为1x ，宽为2x ，则高为211x x 。
根据题意得：⎪⎩⎪⎨⎧≥++=0,)](1[8050),(min 2121212121x x x x x x x x x x f 例：某公司经营两种设备，第一种设备每件售价30元，第二种设备每件售价为450元，根据统计，售出一件第一种设备所需营业时间平均为0.5小时，第二种设备为()225.02x +时，其中2x 是第二种设备的售出数量，已知该公司在这段时间内的总营业时间为800小时，试决定使其营业额最大的营业计划。
解：设该公司计划经营第一种设备为错误！未找到引用源。
件，第二种设备为错误！未找到引用源。
件，根据题意得：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+++=0,800)25.02(5.045030),(max 212212121x x x x x x x x x f 由这两个例子可以看出，这两个例子在高等数学中代表了两类不同类型的极值问题。
例1是无条件极值；例2是有条件极值。
如果令),,,(21n x x x X =是n 维空间)(n E上的点，则一般非线性的数学模型为：⎪⎩⎪⎨⎧=≥==l j X g m i X h X f ji ,,2,1 ,0)(,,2,1 ,0)()(min)(X f 为目标函数，)()(X g X h j i ，为约束条件，X 为自变量。
非线性规划
非线性规划什么是非线性规划？非线性规划（Nonlinear Programming，简称NLP）是一种数学优化方法，用于求解包含非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划中的目标函数和约束条件都可以是非线性的。
非线性规划的数学表达式一般来说，非线性规划可以表示为以下数学模型：minimize f(x)subject to g_i(x) <= 0, i = 1, 2, ..., mh_j(x) = 0, j = 1, 2, ..., px ∈ R^n其中，f(x)是目标函数，g_i(x)和h_j(x)分别是m个不等式约束和p个等式约束，x是优化变量，属于n维实数空间。
非线性规划的解法由于非线性规划问题比线性规划问题更为复杂，因此解决非线性规划问题的方法也更多样。
以下列举了几种常用的非线性规划求解方法：1. 数值方法数值方法是最常用的非线性规划求解方法之一。
它基于迭代的思想，通过不断优化目标函数的近似解来逼近问题的最优解。
常见的数值方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
2. 优化软件优化软件是一类针对非线性规划问题开发的专用软件，它集成了各种求解算法和优化工具，可以方便地求解各种类型的非线性规划问题。
常见的优化软件有MATLAB、GAMS、AMPL等。
3. 线性化方法线性化方法是一种将非线性规划问题转化为等价的线性规划问题的求解方法。
它通过线性化目标函数和约束条件，将非线性规划问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划的求解方法求解得到最优解。
4. 分类方法分类方法是一种将非线性规划问题分解为若干个子问题求解的方法。
它将原始的非线性规划问题分解为多个子问题，然后将每个子问题分别求解，并逐步逼近原始问题的最优解。
以上仅是非线性规划求解方法的一小部分，实际上还有很多其他的方法和技巧可供选择。
在实际应用中，选择合适的方法和工具是非常重要的。
非线性规划的应用非线性规划在实际生活和工程中有着广泛的应用。
非线性规划
: 风险系数； ij : 第i种与第j种股票收益的协方差
max f ( x ) j x j xi x j
j 1 i 1 j 1 n n n
n Pj x j B s.t. j 1 x 0 j
2.模型
min f ( X ) hi ( X ) 0, i 1, , m ( NLP ) s.t. g j ( X ) 0, j 1, , l 其中X [ x1 , , xn ]T 记D { X R n | hi ( X ) 0, g j ( X ) 0} 则（NLP）也可以表示为 min f ( X )
X D
其中D称为（NLP）的约束集或可行域。 当D＝R n时，（NLP）称做无约束极值问题； 当D R n时，（NLP）称做约束极值问题。
二 、模型的解及相关概念
1.可行解与最优解
★可行解：约束集D中的X。 ★最优解：如果有 X * D，对于任意的 X D ， 都有 f ( X * ) f ( X ) ，则称 X *为（NLP）的最优 解，也称为全局最小值点。 ★局部最优解：如果对于 X D ，使得在 X 的邻
因此，本模型是凸规划。
计算
说明 f ( X )是凸函数，g1 ( X )、g 2 ( X )、g3 ( X )是凹函数
第二节 无约束极值问题
★一般模型：
min f ( X )
其中X R n
★求解（f(X)可微）：应用极值条件求解，往往得到一个非线
性的方程组，求解十分困难。因此，求 解无约束问题一般 采用迭代法，称为下降类算法。
几何意义： 梯度是过X 0点且与f ( X )在X 0的切平面垂直的向量， 梯度向量的方向是函数值在该点增加最快的方向。
《非线性规划》课件
非线性规划的约束条件
非线性规划的约束条件是指限制问题解的一组方程或不等式。这些约束条件可以包括物理限制、资源约 束和行为限制等。
非线性规划的求解方法
线性化方法
将非线性问题转化为等价的 线性问题，然后使用线性规 划方法求解。
牛顿法
使用牛顿迭代法逐步逼近最 优解。
拟牛顿法
使用近似Hessian矩阵的方法 优化牛顿法。
变尺度法、全局优化方法
1
变尺度法
通过改变尺度，将问题转化为更易求解的形式。
2
全局优化方法
使用启发式算法寻找全局最优解。
非线性规划的应用领域
生产计划问题
优化生产计划，提高效率和利润。
交通运输问题
优化交通网络和运输流程。
优化电力系统
使电力系统运行更加高效和可靠。
决策支持系统
为决策者提供优化建议和决策支持。
医资源分配和治疗方案。
非线性规划的挑战
复杂的问题结构和求解困难。
未来的研究方向
未来的研究方向包括改进算法性能、适用于大规模问题的方法和考虑不确定性的优化模型等。
《非线性规划》PPT课件
在这个《非线性规划》PPT课件中，我们将深入探讨非线性规划的各个方面， 并介绍其在不同领域的应用。让我们一起开启这个激动人心的学习之旅！
什么是非线性规划？
非线性规划是一种在优化问题中寻找最优解的数学方法。它处理的是有非线 性约束条件和目标函数的优化问题。
非线性规划的优化目标
非线性规划课件
②再固定x₂=x₂ (1): 求以x₁为单变量的目标函数的极值点，
得 X(2)=(x,(2),x₂ (1))T ,S(2)=f(X(2))
此时S(2)优于S(1), 且搜索区间缩短为x₁*∈[x,(2),b,],x₂*∈[x₂ (1),b₂] 第二步：如此交替搜索，直至满足给定精度ε为止
否则，继续缩短区间，
直至满足给定的精度为
①f(x₂)≥f(xq), 取[aq=ao,b,=x,]
X₁ =X2
x'2=b₁-λ(b₁-aq) ②f(x₂)<f(x₁), 取[a=x2,b,=b,]
x=aq+λ(b₁-aq)
10
x₂ =x₁
例 求 解 f(x)=-18x²+72x+28 的极大值点，δ≤0.1,起始搜索区间为[0,3] 解：①用间接法：令 f'(x)=-36x+72=0, 得驻点 x=2
xq*∈[aq,b,],x²*∈[a₂ ,b₂ ],.,x*∈[an,b,]
1、原理： ①从起点 X(0) 出发，沿平行于 x, 轴的方向P(1)进行一维搜索，
求得 f(X) 在该方向P(1)上近似极值点 X(1);
②从点 X(1) 出发，沿平行于 x₂ 轴的方向P(2)进行一维搜索，
求得 f(X) 在该方向P(2)上近似极值点 X(2); ③从点 X(2) 出发，照此交替进行下去，直至满足给定的精度ε为止
六、 寻优方法概述：
1、N.L.P.问题分类
① 无约束条件的NLP问题。 ② 有约束条件的NLP问题。 2、寻优方法
① 间接法(解析法):适应于目标函数有简单明确的数学表达式。
非线性规划的基本概念和基本原理优秀课件
解： a1150
5 2 260
2 6
5 2 2
A 2 6 0 800 A负定
2 0 4
17
❖ 例：判定正定性
5 2 2
A
2
6
0
2 0 4
0 1 1 B 1 0 3
1 3 0
解： b11 0
01 1 0
B不 定
10
18
❖ 作业： ❖ P200 4.4（1）
19
7.2 无约束问题的极值条件
gj(X) 0 (j=1,2….l) X En f(X) hi(X) gj(X) 为En上的实函数。 或
mifn(x) 1)( 目标函数 gj(x)0 ,j1,2,,l 2) (约束条件
6
二、基本概念
1、全局极值和局部极值来自f ( X )为目标函数，S 为可行域。若存在 X* S ，XS，都 有 f(X) f(X*)，则称 X * 为该问题的全局极小点，
则称X En 为（P）的一个可行解。 记（P）的所有可行解的集合为D， D称为（P）可行域。
9
定义 X*称为（P）的一个（整体）最优解，如 果X* D，满足
f(X) f(X*)， X D。
定义 X*称为（P）的一个（局部）最优解，如 果X* D，且存在一个X*的邻域 N(X* ,)= X En X- X* < , >0 满足
负定：特征值<0； Ai <0(i为奇）, Ai >0(i为偶）
半负定：特征值≤0； detA=0，Ai ≤0(i为奇）, Ai ≥0(i为偶）
不定：特征值有> 0及< 0；除了上述情况外即为不 定。
16
❖ 例：判定正定性
5 2 2
非线性规划
返回
结束
非线性规划
解：确定决策变量
设 x i 表示第 i个季度的产量 ( i = 1,2,3 )。 约束条件： 1 （）每季度的最大生产能 力为100：x i ≤ 100( i = 1,2,3)
限制： （2 每季度的交货数量的 限制： ） 第一季度： 第一季度： x1 ≥ 40 第二季度： 第二季度：( x 1 − 40 ) + x 2 ≥ 60
料场位置为 ( h j , g j ),日储量为 e j , j = 1, 2 .
决策变量：
设 x ij 为从料场 j向工地 i的运送量 , j = 1, 2 .i = 1, 2 ,L ,6
返回 结束
非线性规划
在问题 ( 2)中, 两个新建料场的位置 ( h j , g j )也是决策变量 .
约束条件： (1 )各工地的日用量必须满 足 : ∑ x ij = d i ( i = 1, 2 ,L ,6 ).
一、模型的建立
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结束
非线性规划
[实例 某工厂向用户提供发动机，按合同规定，其交货 实例] 某工厂向用户提供发动机，按合同规定， 实例 数量和日期是：第一季度末交40台 第二季末交60台 数量和日期是：第一季度末交 台，第二季末交 台，第 三季末交80台 工厂的最大生产能力为每季100台，每季 三季末交 台。工厂的最大生产能力为每季 台 ），其中 的生产费用是 f ( x ) = 50 x + 0 .2 x 2 ( 元），其中 x 为该季生
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结束
非线性规划
练习题 飞行管理问题 在约10，000m高空的某边长160km的正方形区域内，经 常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速 度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一 架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后， 要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果 会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞 行的方向角，以避免碰撞。现假定条件如下： 1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km; 2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度； 3）所有飞机飞行速度均为每小时800km;
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股票 1 2 3 预期 风险 收益 （标准差） 21% 30% 8% 25% 45% 5% 投资 组合 1与2 1与3 2与3 交叉风险 （协方差） 0.040 -0.005 -0.010
Excel 2010“规划求解”工具增加了一个新的 搜 索 程 序 （ 算 法 ） ， 称 之 为 Evolutionary Solver（“演化”求解方法）。
Xiang Ye School of Information, Renmin U.1.2 非线性规划的求解方法
第 8章 非 线性规划
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本章内容
8.1 非线性规划的基本概念 8.2 二次规划 8.3 可分离规划
第 8章 非 线性规划
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第 8章 非 线性规划
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8.2.2 运用非线性规划 优化有价证券投资组合
三种股票的投资比例（决策变量）－－投资组合 x1为股票1占总投资的比例 x2为股票2占总投资的比例 x3为股票3占总投资的比例 约束条件：这些比例相加必须等于1： x1+x2+x3=1 根据每种股票的预期收益，计算整个投资组合的总预期收益： 总预期收益＝21％x1＋30％x2＋8％x3 投资者当前选择的最低可接受水平为：最低预期收益＝18％ 运用概率论公式，根据单独（独立）方差和协方差计算投资组合 的总方差。即整个投资组合的风险（总方差）为每种股票的独立 风险（系数为方差＝标准差的平方）＋两种股票交叉风险（系数 为交叉风险＝协方差的2倍），公式为：
8.2.2 运用非线性规划 优化有价证券投资组合
决策变量：三种股票的投资比例（投资组合） x1为股票1占总投资的比例 x2为股票2占总投资的比例 x3为股票3占总投资的比例
第 8章 非 线性规划
这个模型的目标函数 是边际收益递减的。 由于目标函数是二次 的，约束条件又都是 线性的，因此是一个 比较简单的非线性规 目标是整个投资组合的风险（总方差）最小。 划（二次规划）。
例8.2的电子表格模型 （采用“演化”求解方法）
第 8章 非 线性规划
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8.2 二次规划
第 8章 非 线性规划
若某非线性规划的目标函数为决策变量的二次函 数，而且是边际收益递减，约束条件又都是线性的 ，那么就称这种规划为二次规划。 决策变量在有限域内变动的边际收益递减的二次 规划存在最优解，且此最优解与初值无关，即局部 最优解就是全局最优解。
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8.1 非线性规划的基本概念
（1）决策变量 设矩形菜地的长为 x1 米，宽为x2米。 （2）目标函数 菜地的面积最大。 （3）约束条件 ①绳子长度为400米 ②非负
第 8章 非 线性规划
本章主要内容框架图
第 8章 非 线性规划
基本概念：非线性函数 非线性的营销成本问题 非线性规划 二次规划 有价证券投资组合问题 边际收益递减的可分离规划 可分离规划 边际收益递增的可分离规划
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第 8章 非 线性规划
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8.1.2 非线性规划的求解方法
例8.2 求解复杂的非线性规划问题。
第 8章 非 线性规划
max y 0.5 x 6 x 24.5 x 39 x 20 x
最小化 风险 约束条件 收益≥最低可接受水平
这个模型关注投资组合的风险和收益之间 的平衡。
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8.2.2 运用非线性规划 优化有价证券投资组合 例8.4 现要投资三种股票（股票1、股票2和
例8.3 考虑非线性营销成本的例1.1。
在例1.1中，增加考虑新产品（门和窗）的营销成本。 原来估计每扇门的营销成本是 75元、每扇窗的营销成本 是 200 元。因此，当时估计的门和窗的单位利润分别是 300 元和 500 元。也就是说，如果不考虑营销成本，每扇 门的毛利润是375元，每扇窗的毛利润是700元。 由于门和窗的营销成本随着销量的增加而呈现非线性 增长，设 x1 为门的每周产量， x2 为窗的每周产量，而门 每周的营销成本为25x12，窗每周的营销成本为60x22。
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8.2.2 运用非线性规划 优化有价证券投资组合
第 8章 非 线性规划
这种方法是将 3.2 节的成本收益平衡问题 非线性化。在这种情况下，成本是与投资有 关的风险，收益是投资组合的预期回报。 因此，该模型的一般表达形式为：
5 4 3 2
x 5 s.t. x 0
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8.1.2 非线性规划的求解方法
例8.2的电子表格模型 （采用“非线性GRG”求解方法）
第 8章 非 线性规划
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max S x1 x2 2 x1 x2） 400 （ s.t. x1 , x2 0
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8.1 非线性规划的基本概念
例8.1的电子表格模型 （采用“非线性GRG” 求解方法）
8.1.2 非线性规划的求解方法
第 8章 非 线性规划
正是由于局部最优解的存在，使得非线性规划问题的求 解要比线性规划问题的求解复杂得多。当求得一个最优解 时，常常无法确定该解是否为全局最优解。 处理复杂的有几个局部极大值的非线性规划问题，有一 个方法就是重复应用Excel规划求解（采用“非线性GRG” 求解方法），用不同的初始值进行测试，然后从这些局部 最优解中挑选出最优的一个。虽然这个方法仍然不能保证 找到全局最优解，但它毕竟提供了一个很好的机会去找到 一个相当好的解。因此，对一些相对较小的问题而言，这 是一个合理的方法。
实际上，二次规划是非线性规划中比较简单的一 种，只要问题不是很复杂，Excel“规划求解”工具 就能求解。
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8.2.1 非线性的营销成本问题
第 8章 非 线性规划
在营销过程中，营销成本往往是非线性的，而且随着 销量的增加，单位营销成本也在增加。也就是说，单位 利润随着销量的增加而减少（边际收益递减）。
第 8章 非 线性规划
实用运筹学（第二版）
－－运用Excel2010建模和求解
第 8章 非线性规划 Nonlinear Programming
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本章内容要点
非线性规划的基本概念 二次规划的建模与应用 可分离规划的建模与应用
8.1 非线性规划的基本概念
第 8章 非 线性规划
在前面几章中，所涉及规划问题的目标函数和 约束条件都是线性的。但在许多实际问题中， 往往会遇到目标函数或约束条件是非线性的情 况，这类规划问题就是非线性规划问题。
在规划问题中，如果目标函数或约束条件中有 一个是决策变量的非线性函数，则这类规划问 题称为非线性规划问题。本章将介绍其中一类 比较简单的情形，即目标函数是决策变量的非 线性函数，而约束条件全是线性的。
max z 375x1 25x 700x2 60x
2 1
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2 2
8.2.1 非线性的营销成本问题
第 8章 非 线性规划
（3）约束条件：还是原有的三个车间每周 可用工时限制和非负约束。 例8.3的二次规划模型为：
max z 375 x1 25 x 700 x2 60 x
2 1
2 2
x1 4 2 x 12 2 s.t. 3x1 2 x2 18 x1 , x2 0 Xiang Ye
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8.2.1 非线性的营销成本问题
例8.3的电子表格模型
第 8章 非 线性规划
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8.2.2 运用非线性规划 优化有价证券投资组合
第 8章 非 线性规划
管理大量证券投资组合的职业经理，现在都习 惯于用部分基于非线性规划的计算机模型来指导 他们的工作。因为投资者不仅关心预期收益，还 关注着投资带来的相应风险，所以非线性规划经 常用来确定投资的组合，该投资组合在一定的假 设下可以获得收益和风险之间的最优平衡。 这 种 方 法 主 要 来 自 于 哈 里 马 克 维 茨 （ Harry Markowitz ）和威廉 夏普（ William Sharpe ）开 创性的研究，他们因为该项研究而获得了 1990年 的诺贝尔经济学奖。