第四章 晶体的微观对称性

第四章晶体的微观对称性第一节十四种空间格子第二节晶体的微观对称元素第三节微观对称元素组合原理第四节空间群第五节等效点系第一节十四种空间格子•点阵的对称类型三斜格子：C单斜格子：L2 PC正交格子：3L23PC四方格子：L4 4L25PC三方格子：L3 3L2 3PC六方格子：L6 6L2 7PC立方格子：3L4 4L3 6L2 9PC•空间格子的选取方式•布拉威法则：1、划分出来的平行六面体单位必须充分地反映晶体的固有对称性。

2、在不违背晶体固有对称性的条件下，平行六面体单位的棱间直角数尽量多。

3、在满足条件1和2的前提下，平行六面体单位的体积应为最小。

D6h D2h•十四种空间格子1）三斜晶系：P三斜I = 三斜P三斜C = 三斜P三斜F = 三斜P2）单斜晶系：P，C单斜B = 单斜P，单斜I = 单斜C，单斜F =单斜C 3）正交晶系：P，C，I，F4）四方晶系：P，I四方C = 四方P，四方F = 四方IA或B面加心会破坏四次轴对称性。

5）立方晶系：P，I，F单独在某一面上加心会破坏四个三次轴对称性。

在平行六面体体心或底心位置加阵点会破坏六次轴对称性。

在平行六面体面心位置加阵点会破坏六次轴对称性。

绿色点在c/2置，蓝色点在0或位置。

位置。

黄色点在c/3位置。

六方格子与三方格子的关系六方平面点阵沿垂直于ab 面的c方向平移得到六方晶系的空间点阵。

六方平面点阵平移矢量为：t2a/3 + b/3 + c/3, 得到的空间点阵只有三次轴，为三方晶系的空间点阵。

心复杂格子，它是一个六方三重复格子。

宏观微观第二节晶体的微观对称元素晶体的宏观对称性是晶体结构微观对称性的反映。

晶体的宏观对称元素在微观对称中也同样存在。

晶体结构是由其结构单位（晶胞）在三维空间上的无限排列，晶体的微观对称性还具有宏观对称不能出现的对称元素—平移，平移和旋转或反映的复合对称操作，又产生新的对称元素，螺旋轴和滑移面。

它们是在微观的无限空间中所特有的，称为微观对称元素。

微观对称性和宏观对称性的主要区别：1、宏观对称性对称元素必须相交一点，微观对称性中对称元素不须交于一点，可以在三维空间无限分布。

2、宏观对称性中对称元素只考虑方向，微观对称性中需要考虑对称元素的相互位置关系。

等同点：晶体结构中具有相同的物质环境和几何环境的质点。

等效(质)点：晶体结构中由对称元素联系起来的一组质点，表现为具有相同的物质环境和化学环境的质点。

同一晶体结构中的同一组等效质点可以属于不同的等同点，但同一组等同点必属于同一组等效质点。

同一组等同点的任意两点不存在对映体，但同一组等效质点的某两个质点可以互为对映体。

晶体结构中的等同点的排列规律性，反映了晶体结构的平移周期性。

晶体中的等效质点的排列规律性，形成了晶体的微观对称性。

点阵（平移轴）：对应的对称操作为平移。

点阵反映了晶体结构的周期性，这种周期性也就是点阵的平移复原的特性。

对于点阵，连接任意两个阵点的位置矢量：R= m a+ n b+ p c，进行平移可以使点阵复原，表现在晶体结构上就是使在三维空间无限伸展的相同部分得以重复。

R可以定义为晶体微观结构平移的方向矢量。

十四种空间格子反映了晶体结构中平移对称的组合规律。

任何一种点阵格子，都具有基本平移矢量a, b, c以及a + b, a + c, b + c, a + b + c等。

对于复格子，则增加附加平移矢量:C格子：(a + b)/2, B格子：(a + c)/2, A格子：(b + c)/2I格子：(a + b + c)/2F格子：(a + b)/2, (a + c)/2, (b + c)/2滑移面（glide plane)：晶体结构沿着某一平面进行反映，再平行于该平面平移一定距离，结构中的每个质点均与相同的质点重复。

相应的对称操作为反映和平移的复合操作。

NaCl 结构沿[001]方向的投影m •b =m在晶体的微观对称性中，反映操作等同于反映与点阵某个平移矢量的复合操作。

对于晶体结构中的反映和平移复合操作，如平移分量为点阵平移矢量的分数值，则进行反映操作所依据的平面就是滑移面。

m •b/2 = bCO2分子晶体对于滑移面，为使滑移面的平移分量不与点阵矛盾，经过两次滑移操作，其平移分量和应属于点阵的平移矢量。

点阵格子的平移矢量都有a, b, c及a+b, a+c, b+c, a+b+c,对应的滑移面平移分量可以为：1、a/2, b/2, c/2 –a、b、c滑移面，统称为轴向滑移面。

2、(a+b)/2, (a+c)/2, (b+c)/2, (a+b+c)/2 –n滑移面，对角线滑移面。

复格子产生附加平移矢量：(a+b)/2, (a+c)/2, (b+c)/2, (a+b+c)/2，对应滑移面的平移分量可以为：3、(a+b)/4, (a+c)/4, (b+c)/4, (a+b+c)/4 –d滑移面，金刚石滑移面金刚石结构沿[001]方向的投影螺旋轴（screw axe）：晶体结构围绕一条直线旋转一定角度后，再沿着该直线方向平移一定距离，结构中的每个质点均与相同质点重复。

相应的对称操作为旋转和平移的复合操作。

4 •c =4在晶体的微观对称性中，旋转操作等同于旋转与点阵平移矢量的复合操作。

对于晶体结构中的旋转和平移复合操作，如平移分量为点阵平移矢量的分数值。

则进行旋转操作所依据的直线即为螺旋轴。

2 •c/2 = 21与旋转轴的轴次类似，螺旋轴的轴次n只能为1，2，3，4，6。

为使螺旋轴作用结果与点阵一致，螺旋轴经过n次作用后的平移分量和应为点阵平移矢量的整数倍，即：n t= m T或t = m T/n其中：n为螺旋轴轴次，t为螺旋轴平移分量，T 为晶体结构的点阵平移矢量，m为小于n的正整数。

对于取定的n，m取小于n的不同整数，可以得到不同的类型的螺旋轴，记为nm，表示平移分量为m T/n的n次螺旋轴。

晶体结构中允许存在的螺旋轴类型为：21, 31, 32, 41, 42,43, 61, 62, 63, 64, 65。

c/23c/4金刚石结构沿[001]方向的投影第三节微观对称元素组合原理•平行反映面（滑移面）的组合•平移与正交反映面（滑移面）的组合•平移与斜交反映面（滑移面）的组合•旋转轴（螺旋轴）与垂直平移的组合•旋转轴（螺旋轴）与斜交平移的组合定理一：两个互相平行反映面的连续操作相当于一个平移操作，其平移距离为反映面间距的二倍。

m1 •m2 = Ta1 •a2 = m1 •a/2 •m2 •a/2 = m1 •m2 •a= t•a= T推论：两个平行滑移面的连续操作相当于一个平移操作，并且该平移操作垂直于滑移面的分量也是一个平移操作。

定理二：平移t 及垂直于平移的反映面的连续操作相当于与该反映面相距t /2处的一个反映面的反映操作。

m •t = m •m1 •m2 = I •m2 = m2推论：平移t 及垂直于平移的滑移面的连续操作相当于与该反映面相距t /2处的一个滑移面的反映平移复合操作。

a •t = m •a /2 •t = m2 •a /2 = a2d •a = m •(b+c)/4 •a •= m a/2•(b+c)/4 = d a/2定理三：平移T 与反映面m 斜交，如T 在垂直于反映面的平移分量为t ，平行于反映面的平移分量为g ，则存在一平行于m 的滑移面G ，它与反映面相距t /2，滑移操作的平移分量为g 。

m •T = m •t •g = m1•g = Gm •(a+b)/2 = m •a/2 •b/2 = m a/4•b/2 = b a/4 NaCl结构沿[001]方向的投影推论：平移T与滑移面G斜交，如滑移面的平移分量为g1, T在垂直于滑移面的平移分量为t，平行于滑移面G 的平移分量为g2，则存在一平行于G的滑移面G’，它与滑移面G’相距t/2，滑移操作的平移分量为g1 + g2。

G •T= m •g1 •t•g2 = m1 •g1 •g2 = G’b •(a+b) = m •b/2 •a•b= m •a•b•b/2 = m a/2•b•b/2= m a/2•b/2 = b a/2NaCl结构沿[001]方向的投影推论：基转角为α的螺旋轴A与垂直于它的平移T连续动作相当于与A平行的螺旋轴B，其基转角也为α，旋转方向和平移分量与A相同，且B位置取决于α和T。

定理五：基转角为α的旋转轴A与平移T斜交，如T垂直于A的平移分量为t，平行于A的平移分量为r，则存在一平行于A的螺旋轴B，它的基转角也为α，旋转方向与A相同，平移分量为r，且B位置取决于α和t。

A •T= A •t •r= B’•r= B推论：基转角为α的螺旋轴A与平移T斜交，如A的平移分量为r1，T垂直于A的平移分量为t，平行于A的平移分量为r2，则存在一平行于A的螺旋轴B，它的基转角也为α，旋转方向与A相同，平移分量为r1+r2，且B位置取决于α和t。

A •T= A’•r1 •t•r2 = A’•t•(r1 •r2) = B’•(r1 •r2) = B第四节空间群•晶体的微观对称元素有以下七类：1、旋转轴：1，2，3，4，62、反映面：m3、对称中心：14、反轴：45、螺旋轴：21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，656、滑移面：a，b，c，n，d7、平移这七类对称元素的在空间的组合所表现出的对称性的集合即为空间群，它反映了晶体微观结构的全部对称性。