2015数学建模国赛论文设计A题
全国大学生数学建模2015年国二a题
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：太阳影子定位摘要本文研究了太阳影子定位问题，基于天球坐标系相关知识、球面几何理论以及相似度理论，对不同情况下的数据，建立了相应的数学模型并得到了最优的匹配地点与日期。
问题1中，利用球面三角形余弦定理给出了太阳高度角公式，并建立了影子长度变化的数学模型，定性的分析了影子长度关于时角、当地纬度以及赤纬角的变化规律：(1). 时角的绝对值越大，影子长度越大；(2). 在同一经度上（即时角一定），当地纬度与此时的太阳赤纬之差越大，影子长度越大；(3). 在同一纬度不同经度上，当地经度和此时太阳直射点所在的经度之差越大，影子长度越大。
用所建的模型，得到了2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2015数学建模A题小论文
太阳影子定位模型摘要“日长影移”是生活中人人熟知的自然现象，这个词说明地面上的影子变化与太阳活动有着密切的联系。
而古代智慧的先民就利用了这个现象制作了日晷是最早且最精确的计时工具之一。
本文主要研究的是太阳影子定位问题，需要确定出太阳影长变化模型，通过逆向思维，借助直杆太阳影子变化建立数学优化模型推算出直杆的位置、日期等信息。
对于问题一，首先从对直杆长度，基于地理坐标，时间这三个影响影子长度的参数，计算出时角，赤纬角，太阳高度角，进而给出了影子长度与三个参数之间的关系式。
结果显示，影长对日期和时刻都呈现出先减小后增大的趋势；对杆长呈正比关系增长；对经度呈现先急剧增长到峰值再突变为0，而后突变到峰值后再急剧下降；对纬度呈缓慢上升趋势。
然后，根据附件 1 中提供的数据，画出了天安门广场上直杆的太阳影子分布曲线图。
对于问题二，使用最小二乘近似法以及遗传算法建立了一个完整的优化模型，将杆长与直杆地理纬度作为变量参数，进行 100 次迭代，得出 20 组可能的解，通过合理性比较得出最可能地点在海南岛东部对于模型的推广，根据物体采集到的太阳地理信息进行计算，可以应用到求建筑物群合理间距问题。
以保证不同楼层，不同地区住户的采光质量。
关键词：正比;峰值;最小二乘法;遗传算法。
一、问题的重述1.1问题的背景现代科技的发展使得人们能够更为方便地记录高质量的视频文件。
在分析视频材料时，有时需要确定视频的拍摄地点及日期，而利用天文学知识，对视频物体中的太阳影子变化进行分析是确定视频拍摄地点及日期的一种方法。
1.2要解决的问题根据题中所给信息，本文将问题细化为以下五个问题，并建立数学模型进行分析和研究。
问题一：以北京 9:00 15:00 为时间，天安门广场（北纬3 9 5 4 2 6，东经1162329）为地点，建立描述影子长度变化的数学模型，分设若干参数分析高 3 米的直杆影子长度的变化规律；问题二：为了确定在水平地面上固定直杆的拍摄地点，以直杆的太阳影子顶点为坐标数据建立数学模型，并将建立的模型应用于附件1，求解出若干可能的拍摄地点；二、问题分析2.1问题一分析题目要求在固定地点，给定日期和杆长的条件下，求解出直杆投影长度的变化曲线。
2015年数学建模国赛A题
因此对于地球来说太阳的曲率可忽略不计，故可将太阳光看作平行光。在太阳高 度角为 时，物体影长如图 1 所示：
太阳光
l
L
地面
图 1 物体影长及太阳高度角示意图 由图可知，物体高度 L 、直杆影长 l 及太阳高度角 满足三角函数关系，故在太 阳光下直杆的影子长度为 L l tan 太阳高度角 的计算公式为 (1) sin =sin sin +cos cos cos w 其中 表示观测地的地理纬度（北纬为正，南纬为负） ， 表示太阳赤纬角(太阳 直射点纬度） ， w 表示地方时时角，太阳高度角随观测地点地理纬度、地方时时 角及观测日期对应太阳赤纬角的变化而变化。 太阳赤纬角是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角， 在地球的 公转运动中，赤纬角在+23 °26′与-23 °26′的范围内移动，其具体值是已知 的且只与 有关，表达式为 0.3723 23.2567sin 0.1149sin 2 0.1712sin 3 (2) 0.758cos 0.3656cos 2 0.0201cos3 式中 称日角，日角满足公式 2 ( N N 0 ) (3) 365.2422 其中 N 表示积日，所谓积日，就是日期在年内的顺序号，例如，1 月 1 日其积日 为 1，平年 12 月 31 日的积日为 365，闰年则为 366，等等。设年份为 T ，则 N 0 可 表示为
表示含义 直杆影子长度 太阳高度角 观测地地理纬度 观测地地理经度 太阳赤纬 积日 地区时角 日角 直杆高度 时间 年份 比例尺
五、 模型建立与求解
在地球上不同地区和不同时间，太阳下物体的影子长度各不相同。根据太阳 影子变化情况，判断物体具体位置和时间在实际生活中有重要意义。通过研究物 体在水平地面上太阳影子随时间变化规律，太阳影子长度与位置、时间的关系， 可根据太阳影子方向及其变化规律了解物体所在的大致位置和时间。 5.1 影子长度变化模型 在不同日期、不同时间，太阳光线照射物体的角度不相同，引起物体影子的 长度和方向随着太阳高度和角度的变化而变化， 因此同一物体在不同时间的太阳 影子长度和方向各不相同。为了建立影子长度变化的模型，根据相关公式，研究 影子长度变化规律。 5.1.1 影长变化模型 物体影子在不同时间的长度和方向均不相同。故假设某物体垂直于水平地 面，高度为 L ，其影子长度为 l 。首先引入太阳高度角，即太阳光的入射方向和 地平面之间的夹角。 太阳半径为 696300 千米， 远大于地球的半径 6371.393 千米，
2015A题优秀论文
2015年全国大学生数学建模竞赛A题
§ 3 模型的假设
1、所收集的数据资料都是真实可靠的；
2
2、文章所统计的出租车均正常运营； 3、出租车和乘客不会中途中断交易； 4、假设乘客使用打车软件均呼叫出租车； 5、匹配程度只与乘客对打车软件服务平台的需求量与司机对打车软件服务平台的供给 量有关。
§ 4 名词解释与符号说明
一、名词解释 出行强度：每人每天出行次数，它可以反映城市交通服务水平； 出租车使用率：在各种出行方式中，选择出租车出行所占比例； 二、符号说明 序号 符号 含义 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 qij xi λi ci tj pij bj Amn α β y1 y2 te 表示第 i 个城市第 j 个时段出租车的需求量 表示第 i 个城市的人口数 表示第 i 个城市出行强度 表示第 i 个城市出租车使用率 表示第 j 个时段出租车需求比 表示第 i 个城市第 j 时段的匹配程度 表示第 j 个城市出租车总量 表示准则层对方案层的判断矩阵 表示乘客使用打车软件打车意愿 表示司机使用打车软件接单意愿 表示打车软件公司对乘客的补贴金额 表示打车软件公司对司机的补贴金额 表示某一时段出租车需求比
§ 5 模型的建立与求解
问题一的分析与求解 1、匹配程度时间函数模型 日常生活中，当需求与供给越接近，既不会造成需求得不到满足，也不会造成资源
3
浪费，同时表示此时匹配程度较好。由此说明匹配程度由需求和供给共同决定。所以建 立出租车匹配程度时间函数，需要出租车在所有出行方式中的占用率和出租车的总量。 查阅相关文献[1-2]可得以下数据，如表格 1 所示。 表格 1 基本数据 人口数 （万人） 出行强度 （次/人.天） 出 租 车 占 用 率 出租车总量（万 （%） 辆） 北京（1） 1917 2.64 9.01 6.6646 广州（2） 625.33 1.86 6.25 2.0300 成都（3） 533.96 2.56 7.60 1.4898 济南（4） 360 1.88 15.04 0.8043 哈尔滨（5） 495 2.54 18.23 1.4300 人们每日日常生活，相对比较规律，所以在出行规律也存在一定的相似性。我们通 过查阅相关文献[3]，做出每天从早上 6:30 至晚上 22:00 每隔半小时的出租车需求百分比 图，如图 1 所示。
2015年全国研究生数学建模竞赛A题
2015年全国研究生数学建模竞赛A题水面舰艇编队防空和信息化战争评估模型我海军由1艘导弹驱逐舰和4艘导弹护卫舰组成水面舰艇编队在我南海某开阔海域巡逻，其中导弹驱逐舰为指挥舰，重要性最大。
某一时刻t我指挥舰位置位于北纬15度41分7秒，东经112度42分10秒，编队航向200度（以正北为0度，顺时针方向），航速16节（即每小时16海里）。
编队各舰上防空导弹型号相同，数量充足，水平最小射程为10千米，最大射程为80千米，高度影响不必考虑（因敌方导弹超低空来袭），平均速度2.4马赫（即音速340米/秒的2.4倍）。
编队仅依靠自身雷达对空中目标进行探测，但有数据链，所以编队中任意一艘舰发现目标，其余舰都可以共享信息，并由指挥舰统一指挥各舰进行防御。
以我指挥舰为原点的20度至220度扇面内，等可能的有导弹来袭。
来袭导弹的飞行速度0.9马赫，射程230千米，航程近似为直线，一般在离目标30千米时来袭导弹启动末制导雷达，其探测距离为30千米，搜索扇面为30度（即来袭导弹飞行方向向左和向右各15度的扇面内，若指挥舰在扇形内，则认为来袭导弹自动捕捉的目标就是指挥舰），且具有“二次捕捉”能力（即第一个目标丢失后可继续向前飞行，假设来袭导弹接近舰艇时受到电子干扰丢失目标的概率为85%，并搜索和攻击下一个目标，“二次捕捉”的范围是从第一个目标估计位置算起，向前飞行10千米，若仍然没有找到目标，则自动坠海）。
每批来袭导弹的数量小于等于4枚（即由同一架或在一起的一批飞机几乎同时发射，攻击目标和导弹航向都相同的导弹称为一批）。
由于来袭导弹一般采用超低空飞行和地球曲率的原因，各舰发现来袭导弹的随机变量都服从均匀分布，均匀分布的范围是导弹与该舰之间距离在20-30千米。
可以根据发现来袭导弹时的航向航速推算其不同时刻的位置，故不考虑雷达发现目标后可能的目标“丢失”。
编队发现来袭导弹时由指挥舰统一指挥编队内任一舰发射防空导弹进行拦截，进行拦截的准备时间（含发射）均为7秒，拦截的路径为最快相遇。
2015年全国大学生数学建模竞赛A题
太阳影子定位（一）摘要根据影子的形成原理和影子随时间的变化规律，可以建立时间、太阳位置和影子轨迹的数学模型，利用影子轨迹图和时间可以推算出地点等信息，从而进行视频数据分析可以确定视频的拍摄地点。
本文根据此模型求解确定时间地点影子的运动轨迹和对于已知运动求解地点或日期。
直立杆的影子的位置在一天中随太阳的位置不断变化，而其自身的所在的经纬度以及时间都会影响到影子的变化。
但是影子的变化是一个连续的轨迹，可以用一个连续的函数来表达。
我们可以利用这根长直杆顶端的影子的变化轨迹来描述直立杆的影子。
众所周知，地球是围绕太阳进行公转的，但是我们可以利用相对运动的原理，将地球围绕太阳的运动看成是太阳围绕地球转动。
我们在解决问题一的时候，利用题目中所给出的日期、经纬度和时间，来解出太阳高度角ｈ，太阳方位角Α，赤纬角δ，时角Ω，直杆高度Ｈ和影子端点位置（x0，y o），从而建立数学模型。
影子的端点坐标是属于时间的函数，所以可以借助时间写出参数方程来描述影子轨迹的变化。
问题二中给出了日期和随时间影子端点的坐标变化，可以根据坐标变化求出运用软件拟合出曲线找到在正午时纵坐标最小，横坐标最大，影子最短的北京时间，根据时差与经度的关系，求出测量地点的经度。
根据太阳方位角Α，赤纬角δ，时角Ω，可以求出太阳高度角ｈ。
再结合问题一中的表达式，建立方程求解测量地点的纬度Ф。
我们在求解第三问的思路也是沿用之间的模型，但第三问上需要解出日期。
对于问题四的求解，先获取自然图像序列或者视频帧，并对每一帧图像检测出影子的轨迹点；然后确定多个灭点，并拟合出地平线；拟合互相垂直的灭点，计算出仿射纠正和投影纠正矩阵；进而还原出经过度量纠正的世界坐标；在拟合出经过度量纠正世界坐标中的影子点的轨迹，利用前面几问中的关系求出经纬度。
关键字：太阳影子轨迹Matlab曲线拟合（二）问题重述确定视频拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
太阳影子定位-2015年全国数学建模比赛a题全国二等奖论文
太阳影子定位摘要本文研究的问题是分析直杆在太阳的照射下，影子的角度和长度的变化，再结合相关地理知识和数学几何模型，推算出具体的所在地点和具体日期。
该模型可以用于太阳影子定位技术中，根据物体在阳光照射下影子的变化进行定位。
对于问题一，我们首先根据地球与太阳的位置关系列出太阳赤纬角，太阳高度角，太阳时角的计算式，其中需对较粗略的太阳赤纬角计算式进行修正，得出精准的计算式。
再建立数学几何模型，根据太阳高度角，影长与杆长形成的角边关系，列出影长的计算式。
最后建立一个太阳日照影长模型，该模型以太阳高度角计算式，太阳赤纬角计算式，太阳时角计算式为子函数，以太阳赤纬角，太阳日角，太阳时角，时间初值为中间变量，以当地经纬度，从1月1日到测量日的天数，时间，杆长，年份为自变量的复合函数数学模型。
然后采用由内到外计算法对此复合函数进行求解，计算出从九点到十五点的影长和太阳高度角的变化，得出直杆的太阳影子长度的变化曲线。
对于问题二，我们首先分析因为时间日期已给出，所以根据太阳赤纬角计算式可知太阳赤纬角为已知量，接着我们将影长的计算式进行等式移项变换，得到一个拟合杆长及经纬度的非线性最小二乘模型，该模型将问题一中太阳日照影长模型作为参数拟合对象，以杆长和影长与太阳高度角正切值之积的差值最小误差平方和为目标函数，以太阳高度角计算式，太阳时角计算式为约束条件，以测量时间，天数，影长为已知量。
将该模型在1stopt 软件中运行，采用麦夸尔特算法和通用全局最优化法对该模型进行迭代计算，对实验结果统计分析后得出该直杆相应的北纬为19.29392848度，东经为108.7225248度（海南岛的西海岸）。
对于问题三，除了需要拟合杆长和经纬度以外，还需拟合日期，同样参照影长等式移项变换公式，得到一个拟合杆长、经纬度及日期的非线性最小二乘模型。
同样采用问题二的计算方法得到多组结果，其中附件二最优解地点为新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县(40.0025°N,79.6587°E)，附件三最优解地点为湖北省十堰市郧西县（32.9638°N,110.277°E ）。
2015年全国大学生数学建模竞赛A题全国二等奖优秀论文设计
太阳影子定位摘要如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法，该技术的日益成熟将有利于对视频中的场景进行大致定位和推算出拍摄时间。
可能会对部分案件的破解等事件产生极大的帮助。
为了更精确的计算视频中的拍摄地点和摄影时间，本文主要基于 MATLAB 与Excel处理软件，运用了遗传优化算法与模拟退火算法等，采用了视频数据化法、图片灰度化等处理手法，使计算更简便精确，使模型更完整可靠。
针对问题一，根据权威文献给出的太阳高度角算法建立模型一，先计算出太阳时角和太阳赤纬角后得到太阳高度角，再经过三角函数转换得到直杆的影长。
随后我们还考虑到因地球的大气状态并非真空状态会使到达地球的阳光折射，于是对太阳高度角进行了修正，使结果更加精确。
针对问题二，可以把这个问题当做是第一问的逆过程。
直杆影子的理论值与实际值的最小误差所对应的经纬度即为最优解。
在模型一的基础上，建立模型二并利用遗传算法计算此优化模型。
利用所给的21组坐标数据得到最优的直杆地点若干。
针对问题三，相较于问题二多了一个未知参数，在问题二的模型中加入这个未知参数即可得到模型三，得到最优的直杆地点与日期若干。
针对问题四，第一问中，利用 MATLAB 将视频每隔1min截取一张图片，把图片灰度化，测出影子、直杆底端与顶端的坐标，算得图中影长。
再根据已知图中影长、直杆实际长度与图中直杆长度的比例算出影长，运用模型二并进行优化后得出结果。
第二问中，运用模型三得到最优的视频的拍摄地点与日期若干，再进行优化得到最后结果关键词：遗传算法太阳高度角模拟退火算法最小二乘拟合问题粒子群算法1一、问题重述如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析技术的一个重要方面。
太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
现需通过数学建模解决以下四个问题。
2015年全国大学生数学建模竞赛A题
太阳影子定位技术问题的数学模型摘要本文涉及的是太阳影子定位技术问题。
在已知视频中物体的太阳影子变化的情况下，要确定视频的拍摄地点和拍摄日期。
首先，分析了文中四个问题的关系，发现前三个问题的已知条件逐步减少，问题难度依次递进。
第四问则给出一个实际问题，该问题需要转化成数学模型利用前三问的方法求解；随后，建立了L-G模型、MinZ-模型等，并应用非线性最小二乘法、遗传算法等算法对模型求解。
得到基于模型的合理结果。
最后，将第四问的实际问题转化数学模型并求解，进而解决问题。
对于问题一，要解决的问题是杆长与影子长度的关系，根据天文、几何知识，我们建立了模型来刻画问题给出的参数之间联系，如赤纬角模型、时角模型、太阳高度角模型、影子长度模型（L-G模型）等；分析了各参数对影子长度的影响；最后运用MATLAB绘制出具体给定参数下的3米高直杆的影子变化曲线；从曲线可以看出在9:00到15:00这段时间里，影子长度先变短后变长，最短为3.627米，最长为7.182米。
问题二提供了一个关于时间、影子坐标的附件1，杆长未知，为了确定直杆所处的地点，本问建立了MinZ-模型，首先将经度、纬度、杆长离散化，搜索出大概的可行解，然后运用非线性最小二乘算法，选取matlab中的lsqcurvefit命令，以可行解为初值，再运用非线性最小二乘算法，选取MATLAB中的lsqcurvefit命令，在控制残差在10−8之内范围的情况下得到了三个可能地点皆在海南省昌江县内，最小误差的地点为海南省江黎族自治县，北纬19.3025°，东经108.6988°，此时对应直杆高度为2.0219m。
同时，将结果代入问题一的模型进行检验，验证了模型的稳定性和算法的合理性。
问题三沿用问题一的模型和问题二的算法，由于一个已知量变成一个变量，根据算法特点，在增加一个变量的情况下，算法搜索影长差时只需要增加一重循环。
关于附件2数据，残差最小对应的位置为北纬39.8926°，东经79.7438°，具体地点在新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县。
2015年全国大学生数学建模竞赛A题优秀论文太阳影子定位模型教程
我们依据太阳位置算法[2]（ SPA）得到太阳位置的几何模型图如图 1 所示：
图 1 太阳位置的几何模型
图中 为高度角， 为方位角， 为纬度角， 为赤纬角， 为太阳时角， 和 能由下列式子计算得到(公式来源:/1GU1iS)：
（1.2）
其中 为一个参数，能通过如下公式得到
2 (d 1) 365
（1.3）
式中， h 为北京时间， 为当地经度， d 为日期，即 1 月 1 日就用 d 1来表
示，假设一年为 365 天，则 d 365表示 12 月 31 日。由式（1.1）可知，相邻两天的赤
纬角 差值几乎为 0，因此当闰年时，我们设定 2 月 28 日的 d 59 ，29 日时 d 59 ，
g( ) (0.006918 - 0.399912 cos( ) 0.070257 sin( ) - 0.006758 cos(2 ) 0.000907 sin(2 ) - 0.002697 cos(3 ) 0.00148 sin(3 ))
（1.1 ）
h15 300
关键词：太阳位置算法 最小二乘法 遗传算法 太阳影子定位模型
一． 问题重述
1.1. 问题背景 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位
技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化来确定视频拍摄的地点和日期的一种方 法。 1.2. 问题提出 1. 建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用建
5.1.2. 模型求解
首先根据问题分析和模型，我们将观测日期代入得到赤纬角 21.8985 ，负号表
示太阳直射点在南半球，然后代入求出太阳时角 和高度角 在不同时刻的值，得到表
2015年数学建模国赛A题全国优秀论文40
三．模型假设
1.假设一天中的太阳赤纬角保持不变； 2.假设附件 4 中视频里的时间为北京时间； 3.假设大气层对太阳光的折射率保持不变； 4.假设影子长度和角度与该点的海拔无关；
四．符号说明
符号
h
表示含义 表示太阳高度角 表示修正后的太阳高度角 表示杆子的长度 表示杆子的影长 表示太阳赤纬角 表示某点的地理纬度 表示某点的地理经度 表示太阳时角 表示大气层的折射率 表示日期 表示某一具体时刻 表示太阳方位角
1
一．问题的背景与重述
1.1 问题的背景 早在 15 世纪时， 定位技术就已经随着海洋探索的开始而产生。 随着社会和科技的不 断发展，我们对定位的需求已不再局限于航海、航空等领域，对于地球上的精确坐标定 位已逐渐成为人们关注的热点问题。对于地球表面经纬度的精确定位，可利用变化的太 阳影子来进行分析，其作为一种直观简便的定位技术，已受到广泛关注。 1.2 问题的重述 太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和 日期的一种方法，请建立合理的数学模型解决以下问题： 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并根据 建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场 （北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆 所处的地点，并将模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据， 建立数学模型确定直杆 所处的地点和日期，并将模型分别应用于附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据，给出若 干个可能的地点与日期。 4．附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直 杆的高度为 2 米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用该模型给出若干个可能 的拍摄地点。如果拍摄日期未知，是否可以根据视频确定出拍摄地点与日期。
2015年数模A题
2.2问题二的分析
第二个问题根据对竞赛评委有不同的基本素质要求，给出合理的度量评委基本素质的指标体系。我们根据题目附件给出的数据，去发掘测评评委基本素质要求的一些指标体系。测评基本素质指标体系主要三个方面构成：指标一是评委打分的准确度，指标二是评委打分的稳定度，指标三是评委打分的偏差度。为了使指标准确可靠，需要把不同的论文的结果分为两大类，一个是得奖论文，另一个是未得奖论文。为简化问题的复杂度，我们从得奖论文入手，分别找到这三个指标的评价标准：
序号
阅卷号
评委
打分
标准分
1
A1
评委A04
35
46.25937
2
A2
评委A11
53
55.66406
3
A3
评委A06
46
60.54732
……
……
……
……
……
353
A9020
评委A03
62
61.27679
354
A9021
评委A12
28
46.8965
355
A9022
评委A11
30
36.32556
2015研究生数学建模A题优秀论文
关键词：最佳队形 抗饱和攻击 非线性规划 主成分分析 支持向量机
信息化战争评估模型
-2-
一、问题重述
我海军由 1 艘导弹驱逐舰和 4 艘导弹护卫舰组成水面舰艇编队在我南海某开阔海域 巡逻， 导弹驱逐舰为指挥舰， 重要性最大。 某时刻 t 我指挥舰位于北纬 15 度 41 分 7 秒， 东经 112 度 42 分 10 秒，编队航向 200 度，航速 16 节。编队各舰上防空导弹型号相同， 数量充足，水平最小射程为 10 千米，最大射程为 80 千米，高度影响不必考虑，平均速 度 2.4 马赫。各舰仅依靠自身雷达对空中目标进行探测，但各舰之间可以通过数据链共 享信息，并由指挥舰统一指挥各舰进行防御。 以指挥舰为原点的 20 度至 220 度扇面内，等可能的有导弹来袭。来袭导弹的飞行 速度 0.9 马赫，射程 230 千米，航程近似为直线，一般在离目标 30 千米时来袭导弹启 动末制导雷达，其探测距离为 30 千米，搜索扇面为 30 度，（即来袭导弹飞行方向向左 和向右各 15 度，若指挥舰在扇形内，则认为来袭导弹自动捕捉的目标就是指挥舰）， 且具有“二次捕捉”能力（即第一个目标丢失后可继续向前飞行，假设来袭导弹接近舰 艇时受到电子干扰丢失目标的概率为 85%，并搜索和攻击下一个目标，“二次捕捉”的 范围是从第一个目标估计位置算起，向前飞行 10 千米，若仍然没有找到目标，则自动 坠海）。每批来袭导弹的数量小于等于 4 枚。 由于来袭导弹一般采用超低空飞行和地球曲率的原因， 各舰发现来袭导弹的随机变 量都服从均匀分布，均匀分布的范围是导弹与该舰之间距离在 20-30 千米。可以根据发 现来袭导弹时的航向航速推算其不同时刻的位置， 故不考虑雷达发现目标后可能的目标 “丢失” 。 编队发现来袭导弹时由指挥舰统一指挥编队内任一舰发射防空导弹进行拦截， 进行拦截的准备时间（含发射）均为 7 秒，拦截的路径为最快相遇。各舰只有在本次拦 截任务完成后，才可以执行下一个拦截任务。指挥舰对拦截任务的分配原则是，对每批 来袭导弹只使用一艘舰进行拦截。不考虑每次拦截使用的防空导弹数量。 建立数学模型，解决以下几个问题： 一、在未发现敌方目标时，设计编队最佳队形，应对所有可能的突发事件，保护好 指挥舰，使其尽可能免遭敌导弹攻击。 二、当仅使用防空导弹拦截来袭导弹时，分析上述编队的抗饱和攻击能力？ 三、当仅使用防空导弹拦截敌来袭导弹，如果编队得到空中预警机的信息支援，对 距离我指挥舰 200 千米内的所有来袭导弹都可以准确预警， 编队仍然保持上面设计的队 形，分析使用预警机对我指挥舰的抗饱和攻击能力提高多少？ 四、预警机发现前方有 12 批可疑的空中目标，从 t 时刻起，雷达测得的目标位置 信息在附件 1 的表格中，各目标雷达反射面积见表 1。用于判断空中目标的意图的知识 和规则的样本见表 2。请分析识别空中各目标可能的意图。 五、如果我方的预警机和水面舰艇编队的雷达和通信系统遭到敌方强烈的电子干 扰，后果将是极其严重的。建立宏观的战略级信息化战争评估模型，从一般意义上反映 信息化战争的规律和特点，利用模型分析信息系统、指挥对抗、信息优势、信息系统稳 定性，以及其它信息化条件下作战致胜因素的相互关系和影响。并通过信息化战争的经 典案例，对模型加以验证。
2015数学建模A题
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要在整个“嫦娥三号”软着陆过程中发动机的燃耗问题是整个着陆过程的关键问题之一，其利用率直接影响到整个着陆过程的成果与否，本文主要利用数学建模的方法对整个软着陆过程进行分析，使得整个软着陆过程发动机能耗最优。
针对问题一，首先需建立一个三维立体坐标系，根据牛顿第二定律，结合科氏定律整理得到嫦娥三号在月固定坐标系中的运动方程，再以卫星运行轨道切面为基面建立二维平面坐标系，将嫦娥三号软着陆问题简化为平面几何问题，求解出主减速阶段嫦娥三号水平位移的距离。
通过坐标变换求得位置。
最后根据天体运动规律得到近日点与远日点速度分别为s6226.1。
km.1、skm7006针对问题二，通过寻找一个制导律u,来调整推力的大小和方向,使嫦娥三号在月面实现燃耗最优着陆轨道，应用极大值原理设计这个最优制导律。
在障碍规避过程中，将动力学模型进行进一步简化，忽略了月球的自转角速度等相关因素。
再利用双线性插值的方法求取规则的采样点处的高程值，这样有利于方便的建立障碍检测算法并对着陆区表面的障碍进行提取，最后利用基于平面拟合的障碍检测算法取得着陆区域内某局部区域内的地形平面，我们将利用这个地表平面来对障碍物进行识别，达到安全着陆的目的。
针对问题三，影响制导精度的误差源主要有偏离标准飞行轨迹的初始条件误差和导航与控制传感器误差。
初始条件误差由主制动段以前的任务决定，传感器误差则由导航系统和传感器本身决定，通过建立误差模型，可以很好地对初始状态偏差、传感器测量偏差等不同因素造成的误差进行分析。
关键词：月球着陆轨道能耗最优打靶法最优制导律控制策略一问题重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。
嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。
2015全国大学生数学建模竞赛A
5.1.2 直杆太阳影子长度的变化曲线 根据题目条件可得，日期为 2015 年 10 月 22 号，日期序号 n 295 ，时间T 的取值
范围为 9:00-15:00，地理纬度 39 54'26'' ，直杆长度 H 3m 。
图 2 直杆影子长度随时间的变化曲线
由图 2 可以看出：在 9:00——15:00 时间段内，直杆的太阳影子长度先减小后增大。 这种影子长度的变化说明太阳在地平线以上高度的变化。在 9:00——12:00 时间段内，
5.2.1 直杆所处地点经度的确定 已知东八区的经度为120 E 。假设直杆的影子长度最短时为当地时间正午 12:00，与
4．附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直 杆的高度为 2 米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个 可能的拍摄地点。
如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？
二、 问题分析
本文是利用影子的变化轨迹确定视频拍摄的地点和日期。所以要在视频拍摄地点或 者日期缺失的情况下，通过分析直杆的影子的变化轨迹补全缺失的信息。
，计算得出模型预估数据的误
差率为 6.25%，精度为 93.75%，所以问题一建立的影子长度变化模型能够准确的对影子 长度进行预测，反映直杆影子长度变化趋势。
5.2 问题二模型建立及求解 问题二要求根据附件 1 中给出的影子顶点坐标数据确定直杆所处的地点。结合问题
一影子长度变化模型中的赤纬、时角和太阳高度角、太阳方位角之间的数学关系，确定 直杆所处地点的纬度和经度，从而确定直杆所处的地点。
23.45sin
2
284
365
n
(1)
时角表示地球与地球子午圈的角距离，可以通过时间衡量，小时作为计量单位。正
2015数学建模国赛A题论文
太阳影子定位摘要太阳影子定位技术[1]是解决拍摄视频的地点和时间的重要手段，因此对太阳影子定位技术进行定性与定量的研究具有重要的理论和实际价值。
我们建立了直杆的影子长度，北京时间，日期等变量之间的关系模型，并应用模型解决了题目所列的四个问题。
对于问题一我们利用空间几何学建立数学模型，确定了(太阳光线与直杆之间的)夹角、直杆和太阳直射点位置之间的关系。
进一步地，我们得到了直杆影子长度与直杆、太阳直射点[2]位置（经纬度）之间的关系方程。
我们分两种情况进行讨论，一种情况是太阳直射点与直杆同处于南、北半球，另一种情况是太阳直射点与直杆分别处于南、北半球。
最后我们由方程和matlab软件作图得到2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
对于问题二我们根据附件一给出的数据建立了多个关于直杆经度和纬度的非线性方程组，利用基于matlab的遗传算法[3]求解非线性方程组[4]，得到杆子的几个可能的位置。
对于问题三我们根据附件二和三给出的数据建立了多个关于直杆经度、纬度和日期的非线性方程组，利用基于matlab的遗传算法求解非线性方程组，得到若干个可能的地点和日期。
对于问题四我们首先利用图像模拟方法，测得杆子在一些特定时刻的影子的实际长度值，再利用视频给出的数据建立了多个关于直杆经度和纬度的非线性方程组，利用基于matlab的遗传算法求解非线性方程组，得到杆子的几个可能的位置。
【关键字】：直杆影子长度，经纬度，非线性方程一、问题重述太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
本题就是利用物体影子随时间的变化规律来求解拍摄地点与拍摄日期。
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
利用影子确定视频拍摄地点和日期的建模和算法摘要本文研究的问题是如何通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期。
建模整体思路是，先建立一系列分析用到的物理量，设定一些假设和约束条件，使得问题求解有可行性，之后对这些物理量进行演绎。
建模使用的软件平台主要是matlab ，分析用到的主要参量是太阳赤纬、时角、高度角、方位角、纬度，分析过程当中用到的方法有，建立物理概念，明确物理意义，比如引用天球坐标系的概念，在天球坐标系的基础上进行物理分析，通过对建立的参变量进行物理关系的推导，形成公式体系进行求解，对题目所给予的影子坐标数据进行适当变换处理，使用matlab 进行合理的拟合，对于用公式法和方程法没法顺利解决的问题使用穷举法作为解题的补充，对于视频中坐标的取法用到了坐标转换的思想。
其中主要公式有 1.cos sin sin coshA δω= 2.tanh H L= 3. sinh sin sin cos cosh cos A ϕδϕ-= 4. sinh=cos Ωcos φcos δ+sin φsin δ第一问，通过物理量变换，先求出高度角，进而得到影子长度与时间变化关系。
第二问，拟合点求经度，取点套公式求纬度。
第三问，方程思想，过程复杂，采用穷举法近似实现求解。
第四问，难点在于通过视频分析，得到影子端点的变化坐标，进而将问题转化成第二问，已知日期（太阳赤纬），时间（时角），求解经度纬度。
关键词：天球坐标系 物理量演绎分析 matlab 数据拟合分析 二元方程组近似穷举法 坐标转换思想1.问题重述与分析如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
分析：模型的参数有经度（地方时），纬度，日期（太阳赤纬）如果能够根据这三个变量建立相关模型，则地球上任意地点任意时刻的物体影子的形状和方位都能够确定2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。
将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。
分析：这属于一个模型的逆过程，根据已经得到的影子的轨迹形状、日期来推断地点3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。
将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。
分析：第三问与第二问的不同在于第二问有具体的日期，而第三问中并没有具体的日期这就为求解带来了一定的不确定性和难度4．（1）附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。
请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。
（2）如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？分析：根据视频提取某一时刻的影子的长度，视角之间的转换关系，方向的确定都是值得分析的地方2.模型约定与假设本文采用如下假定：1．太阳光线视为平行光2．研究地面上的杆子的时候地面视为平的3．一年365天一天24h 南北回归线纬度为23°26′4.本文采用天球坐标系5.宏观上设地球为光滑标准球体不考虑大气层折射影响6．数据中的时间在处理的时候都应该处理成当地的地方时7.地球的自转和公转都是匀速运动，其中，公转为圆形轨道3.总体模型及相关概念建立1）地平坐标系（天球坐标系之一）过观测者O (天球中心)的铅垂线﹐延伸后与天球交于两点﹐朝上的一点Z 称为天顶﹐朝下的一点Z ’称为天底（右下图）过天顶Z 和天体作一垂直圈﹐它与地平圈交于垂足D 点﹐则天体在地平坐标系中的第一坐标就是大圆弧D 或极距Z 。
D =h 称为地平纬度﹐又称地平高度﹐简称高度﹔而Z= 称为天顶距。
地平高度也可以用平面角OD 来量度﹐而天顶距也可以用平面角OZ 来量度。
天球上与地平圈相平行的小圆称为地平纬圈﹐也称平行圈。
同一地平纬圈上任意点的地平高度都是相同的﹐因此可以称为等高圈。
南点S 与垂足D 之间的大圆弧SD =a ﹐是地平坐标系中的第二坐标﹐称为地平经度或天文方位角﹐简称方位角。
方位角也可以用平面角SOD 来量度﹐天文学中习惯从南点起按顺时针方向量度。
以地平圈为基圈﹑子午圈为主圈﹑南点为主点的坐标系称为地平坐标系。
由于周日视运动﹐天体的地平坐标不断发生变化。
另一方面﹐对不同的观测者﹐由于铅垂线方向的不同﹐就有不同的地平坐标系﹐同一天体也就有不同的地平坐标。
【1】2）首先为了定义阐释诸多物理量，我们可以建立一个以观测者为原点的空间直角坐标系，将地球视为一个完美的球体，在观察者的位置我们可以做一个切面，记为H，y轴经过此面，y轴亦即东西方向，而在此平面内的过观察者的与y轴垂直的直线方向即正南正北，正北方向可以记为p，XOY平面为与赤道面平行的平面，太阳光的方向用l来表示，l与xoy平面的交角记为δ，而O-Z轴的方向，正是地球极轴指向。
由地理概念易知，Ω（ω）是时角。
以上都是为了求解太阳的高度角和方位角设置的参变量。
【2】3）δ（太阳赤纬）的计算选取12月22日为基准点，从这一天起到以后某一天，地球在其公转轨道上上走过一个转角，这个转角的大小记为α。
其中由地理学知识容易知道，12月22日这一天太阳赤纬为南纬23°26′将360° 365等分，易得α的计算公式α=0.9863（d2-d1）其中d1是12月22日的日期数，d2-d1的整体含义是待求日期与冬至日的日期差。
【3】4）查资料得太阳赤纬δsin δ=0.39795cos[0.98563(n-173)]（n 为此时与1月1日距离的天数） 【4】5）时角由地理学知识，Ω=15*T+k （其中T 为格林尼治时间，二十四小时制，k 为观测点的时间，东经为正，西经为负） 【5】6）太阳高度角由图片易知，太阳高度角即为向量n 和向量l 的夹角的余角，地理意义上即为太阳光线与地平面的夹角。
如图平面过y 轴，平面与oz 轴的夹角为φ，由解析几何的知识可以知道平面H 在空间中的单位法向量的表达式为n =（cos φ,0,sin φ）,根据太阳的直射纬度（太阳赤纬）以及视角Ω可以得到单位向量l =（cos Ωcos δ,sin Ωsin δ,sin δ），设太阳高度角为h 由余弦公式可以知道sinh=cos ,n l ,综合可以知道sinh=cos Ωcos φcos δ+sin φsin δ【6】7)方位角的定义：太阳光的单位向量在地平面上的投影线与正南方向的射线，按照从正南方向顺时针到投影线的顺序所构成的角成为方位角。
逆时针为负数,顺时针为正. 太阳的方位角A 公式经过推导可知是cos sin sin coshA δω= sinh sin sin cos cosh cos A ϕδϕ-= 【7】若规定东西方向为x方向则，南北方向为y方向，则tanA=x/y从而,太阳下，竹竿影子的端点关于一系列参数的方程就得到了，为接下来的一些工作奠定了基础。
4．具体模型建立与求解4.1第一问建模与求解分析：第一问当中，确定太阳长度的变化曲线即确定太阳影子长度和时间的函数关系，利用高度角、杆长、影子长度的关系，将求解影子长度转化成求高度角，通过太阳赤纬，地理纬度换算，时角换算来得到太阳高度角随时间的变化关系，进而求出影长的变化，同时给出了，影子变化的实际轨迹图，非常直观。
如图，在被投影物体长度一定的情况下，影子长度的变化主要取决于夹角A的值，而夹角A与太阳高度角B相等，于是，决定影子长度的唯一因素就是太阳高度角。
而太阳高度角主要由三个因素影响。
1.太阳赤纬。
2.地理纬度。
3.地方时。
三个因素的求解方法：1.太阳赤纬。
太阳赤纬的变化是由于地球公转所引起的，因此，将公转的一周365等分，并得到此时与12月22日的差值天数，可以计算出此时的公转角α=0.9863∆d,在通过三角关系，可得到太阳赤纬与公转角之间的关系为：sinδ=-sin23.5cosα=-0.39795cosα,以上是我们的初步想法。
而为了方便起见，我们引用他人的资料得：sinδ=0.39795cos[0.98563(n-173)]（n为此时与1月1日距离的天数）2.地理纬度。
给定的坐标，无须计算。
3.地方时与北京时间的换算。
由于经度的不同，每个地区的地方时有差异，而北京时间较为普遍，因此，我们需要通过给定的北京时间来进行当地地方时的换算。
地球自转平均1度需要4分钟，因此，换算成地方时只需要计算与120度地区相差的度数即可。
通过地方时，我们可以确定时角，即以12时为0时角，每小时变化360/24=15度。
已知上述的三个因素，我们可以通过空间向量中夹角公式，得出太阳高度角的表达式：sinh = costcosφcosδ + sinφsinδ（h为太阳高度角，t为时角，δ为太阳赤纬，φ为地理纬度），通过太阳高度角，我们可以进而通过三角函数求解影子的长度。
通过上述分析，我们可以用matlab实现此问题，并得到实现此类问题的程序，以题目中要求的数据为例，1.我们计算太阳赤纬，根据公式需要用到当前日期与元旦的差值2.换算纬度3.根据经度求与北京的时间差4.求解地方时5.换算成时角6.求解太阳高度角7.计算影子长度8.做出图线程序参见程序1得到的图线如图所示：注意，此处的时间是北京时间，而并不是地方时间，所以对于地方时来说，时间并不是关于正午对称的，所以得到的图像并不对称，但是显然，图像的最低点对应的时间正是以北京时间来表示的当地正午时间，为12：14左右。
更进一步，可以得到影子的轨迹图，如下：竹竿影子的轨迹图4.2第二问建模与求解分析：第二问的处理思路是将经度、纬度的求解分开。
对于经度，采用matlab进行数据多项式拟合的方法，得出二次曲线，进而得到当地正午的北京时间，通过两个正午时间差的换算，得到当地的经度。
对于纬度，通过高度角的余弦公式求解。
这里如果运用方程组的思想的话，只需要一个点（正午以外）即可解决，因为加上其他物理量之间的制约关系，刚好可以解决。
1．经度的求算：首先,通过坐标，可以算得影子的长度（22x y），再根据长度与时间的点，进行拟合，由于函数曲线先减后增，考虑二次函数拟合，用matlab拟合得到多项式为：y=0.1489*x^2-3.7519*x+24.1275现在，将此多项式处理，求得最小值时x的值（即正午的北京时间）;12.5987于是，在北京时间12.5987时，当地达到正午。