机械能守恒中速度关联问题的求解方法

机械能守恒中速度关联问题的求解方法

作者：竺建国

来源：《都市家教·下半月》2014年第07期

【摘要】力学中，两个或两个以上物体相互连接参与运动的系统称为连接体。连接体的拟题在高考命题中由来已久，考查考生综合分析能力,起初是多以平衡态下的连接体的题呈现在卷面上，随着高考对能力要求的不断提高，近几年加强了对非平衡态下连接体的考查力度。研究对象多了，涉及到的物理量也多了，有力、速度、能量等，涉及矢量合成和分解、机械能守恒等，学生觉得很头疼。以下是我在具体实践过程中的一些尝试，在此与大家一起探讨。

【关键词】连接体；矢量的合成和分解；机械能守恒定律

一、研究对象的选取问题的方法

1.隔离法

（1）含义：所谓隔离法就是将所研究的对象——包括物体、状态和某些过程，从系统或全过程中隔离出来进行研究的方法。

（2）运用隔离法解题的基本步骤：①明确研究对象或过程、状态，选择隔离对象，选择原则是：一要包含待求量，二是所选隔离对象和所列方程数尽可能少。②将研究对象从系统中隔离出来；或将研究的某状态，某过程从运动的全过程中隔离出来。③对隔离出的研究对象、过程、状态分析研究，画出某状态下的受力图或某阶段的运动过程示意图。④寻找未知量与已知量之间的关系，选择适当的物理规律列方程求解。

2.整体法

（1）含义：所谓整体法就是将两个或两个以上物体组成的整个系统或整个过程作为研究对象进行分析研究的方法。

（2）运用整体法解题的基本步骤：①明确研究的系统或运动的全过程。②画出系统的受力图和运动全过程的示意图。③寻找未知量与已知量之间的关系,选择适当的物理规律列方程求解。

隔离法与整体法，不是相互对立的，一般问题的求解中，随着研究对象的转化，往往两种方法交叉运用，相辅相成。所以，两种方法的取舍，并无绝对的界限，必须具体分析，灵活运用。无论哪种方法都应以尽可能避免或减少非待求量(即中间未知量的出现,如非待求的力,非待求的中间状态或过程等)的出现为原则。正确建立连接体间的速度关联关系，是求解连接体有关速度问题的切入点，也是求解有关连接体综合问题的关键之二。

二、绳系物体的求解方法

对于绳联问题，由于绳的弹力总是沿着绳的方向，所以当绳不可伸长时，绳联物体的速度在绳的方向上的投影相等。求绳联物体的速度关联问题时，首先要明确绳联物体的速度，然后将两物体的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，令两物体沿绳方向的速度相等即可得到两者的速度关系，再根据机械能守恒定律求解相关问题。

例１：一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m2连接。已知定滑轮到杆的距离为m，物体m2由静止从AB连线为水平位置开始下滑1m时，m1、m2恰受力平衡如图１所示。试求：

（1）m2在下滑过程中的最大速度。

（2）m2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离。

图1

解析：（1）由图可知，随m2的下滑，绳子拉力的竖直分量是逐渐增大的，m2在C点受力恰好平衡，因此m2从B到C是加速过程，以后将做减速运动，所以m2的最大速度即出现在图示位置.对m1、m2组成的系统来说，在整个运动过程中只有重力和绳子拉力做功，但绳子拉力做功代数和为零，所以系统机械能守恒.ΔE增=ΔE减，即

1-2 m1v12+1-2 m22v2+m1g（A—C-A—B）sin30°

=m2g·B—C

又由图示位置m1、m2受力平衡，应有：

Tcos∠ACB=m2g,T=m1gsin30°

又由速度分解知识知v1=v2cos∠ACB，代入数值可解得v2=2.15 m/s；

（2）m2下滑距离最大时m1、m2速度为零，在整个过程中应用机械能守恒定律，得：

ΔE增′=ΔE减′

即:m1g（）sin30°=m2gH

利用（1）中质量关系可求得m2下滑的最大距离H=4-3m=2.31 m

二、杆联问题的求解方法

例2：如图2所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦。当杆滑到如图位置时，B球水平速度为vB，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度大小。（提示与答案：将A球竖直向下的速度向沿杆向下和垂直杆斜向下分解，将B球水平向右的速度向沿杆向下和垂直杆斜向上分解。答案：vBtanɑ）

图2

解：速度分解如图所示，B球速度在杆方向的投影与A球速度在杆方向的投影是相等的，所以Vacosα=Vb cos(90°-α)

Va = vbtanɑ

三、接触物体的速度求解方法

求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出两者的速度关系，再根据机械能守恒定律求解相关问题。

例3：如图２-1所示，斜劈B的倾角为30°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个质量与斜劈质量相同、半径为r的球A放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动中：

（1）斜劈的最大速度。

（2）球触地后弹起的最大高度。（球与地面作用中机械能的损失忽略不计）

解析：（1）A加速下落，B加速后退，当A落地时，B速度最大，下落过程中，斜面与球之间弹力对球和斜面做功代数和为零，所以系统机械能守恒。

mg（h-r）=1-2 mvA2+1-2 mvB2 ①

由图中几何知识知：h=cot30°·r=r ②

A、B的运动均可分解为沿斜面和垂直斜面的运动，如图2-2所示。

图2-2

由于两物体在垂直斜面方向不发生相对运动，所以vA2=vB2

即vAcos30°=vBsin30°③

解得vA=

vB=

（2）A球落地后反弹速度vA′=vA

做竖直上抛运动的最大高度：

Hm=

综上所述，复杂的速度关联问题是有解题思路和巧妙的解题方法的，首先明确连接体的速度沿绳、杆、垂直接触面等方向分解的分速度相等，在结合系统机械能守恒，抓住始末状态，就不必考虑中间细节，使问题大大简单。