机械能守恒中速度关联问题的求解方法
2020年高考物理素养提升专题06 机械能守恒定律及其应用(解析版)
素养提升微突破06 机械能守恒定律及其应用——建立能量间的转化概念机械能守恒定律能量观念和守恒思维在守恒定律中得到了充分体现，分析综合及模型构建是解决守能定律在实际生活应用中的重要手段。
机械能守恒定律应用时要明确只有重力和弹簧弹力做功并不是只受重力和弹簧弹力，可能受其他力，其他力不做功或做功代数和为零。
【2019·浙江选考】如图所示为某一游戏的局部简化示意图。
D 为弹射装置，AB 是长为21 m 的水平轨道，倾斜直轨道BC 固定在竖直放置的半径为R =10 m 的圆形支架上，B 为圆形的最低点，轨道AB 与BC 平滑连接，且在同一竖直平面内。
某次游戏中，无动力小车在弹射装置D 的作用下，以v 0=10 m/s 的速度滑上轨道AB ，并恰好能冲到轨道BC 的最高点。
已知小车在轨道AB 上受到的摩擦力为其重量的0.2倍，轨道BC 光滑，则小车从A 到C 的运动时间是A ．5 sB ．4.8 sC ．4.4 sD ．3 s【答案】A【解析】设小车的质量为m ，小车在AB 段所匀减速直线运动，加速度10.20.2f mga g m m===22m/s =，在AB 段，根据动能定理可得2201122AB B fx mv mv -=-，解得4m/s B v =，故1104s 3s 2t -==；小车在BC 段，根据机械能守恒可得212B CD mv mgh =，解得0.8m CD h =，过圆形支架的圆心O 点作BC的垂线，根据几何知识可得12BC BC CDxRx h=，解得4mBCx=，1sin5CDBChxθ==，故小车在BC上运动的加速度为22sin2m/sa gθ==，故小车在BC段的运动时间为224s2s2Bvta===，所以小车运动的总时间为125st t t=+=，A正确。
【素养解读】本题考查动能定理、机械能守恒定律、数学知识的综合应用等。
能量观念和综合分析思维能力在本题中得到充分体现。
两个物体组成的系统机械能守恒的求解方法
两个物体组成的系统机械能守恒的求解方法作者：雷显宁李选涛来源：《读写算·基础教育研究》2016年第10期高考对机械能守恒定律的应用多数情况下考查的是两个物体组成的系统，这两个物体一般由细绳或轻杆连接在一起。
解决这类问题的关键从以下两个方面着手：1、判断机械能是否守恒（1）用做功来判断：分析物体或系统受力情况（包括内力和外力），明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹簧弹力做功，没有其它力做功或其他力做功的代数和为零则机械能守恒。
（2）用能量转化来判定：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒。
（3）对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等问题，除非题目特别说明，机械能必定不守恒。
【关键点拨】系统所受的合外力为零时，系统机械能不一定守恒。
如当物体在做竖直向上、向下等各方向匀速直线运动时，所受的合外力为零，但机械能不守恒。
2、求解方法求解这类问题的方法首先是找到两物体的速度关系从而确定系统动能的变化，其次找到两物体上升或下降的高度关系从而确定系统重力势能的变化，然后按照系统动能的变化等于重力势能的变化列方程求解，其中寻找两物体的速度关系是求解问题的关键，按两物体连接方式和速度关系一般可以分为以下三种：（1）速率相等的连接体：如图甲所示，A、B在运动过程中速度大小相等，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。
（2）角速度相等的连接体：如图乙所示，一轻质细杆的两端分别固定着A、B两小球，O 点是一垂直纸面的光滑水平轴，A、B在运动过程中角速度相等，其线速度的大小与半径成正比，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。
（3）某一方向分速度相等的连接体：如图丙所示，A放在光滑斜面上，B穿过竖直光滑杆PQ下滑，将B的速度v沿绳子和垂直绳子方向分解，如图丁所示，其中绳子的分速度vx 与A的速度大小相等，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。
高考物理全国卷专题04 曲线运动常考模型(原卷版)
2020年高考物理二轮复习热点题型与提分秘籍专题04 曲线运动常考模型题型一曲线运动和运动的合成与分解【题型解码】1．曲线运动的理解(1)曲线运动是变速运动，速度方向沿切线方向；(2)合力方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在速度方向与合力方向之间，合力的方向指向曲线的“凹”侧．2．曲线运动的分析(1)物体的实际运动是合运动，明确是在哪两个方向上的分运动的合成．(2)根据合外力与合初速度的方向关系判断合运动的性质．(3)运动的合成与分解就是速度、位移、加速度等的合成与分解，遵守平行四边形定则．【典例分析1】(多选)如图所示，质量为m的物块A和质量为M的重物B由跨过定滑轮O的轻绳连接，A 可在竖直杆上自由滑动。
当A从与定滑轮O等高的位置无初速释放，下落至最低点时，轻绳与杆夹角为37°。
已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计一切摩擦，下列说法正确的是()A．物块A下落过程中，A与B速率始终相同B．物块A释放时的加速度为gC．M＝2m D．A下落过程中，轻绳上的拉力大小始终等于Mg【典例分析2】(2019·江西宜春市第一学期期末)如图所示是物体在相互垂直的x方向和y方向运动的v－t 图象．以下判断正确的是()A．在0～1 s内，物体做匀速直线运动B．在0～1 s内，物体做匀变速直线运动C．在1～2 s内，物体做匀变速直线运动D．在1～2 s内，物体做匀变速曲线运动【提分秘籍】1.解决运动的合成和分解的一般思路(1)明确合运动和分运动的运动性质。
(2)明确是在哪两个方向上的合成或分解。
(3)找出各个方向上已知的物理量(速度、位移、加速度)。
(4)运用力与速度的方向关系或矢量的运算法则进行分析求解。
2．关联速度问题的解题方法把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。
常见的模型如图所示。
系统机械能守恒的三类“连接体模型”
系统机械能守恒的三类“连接体模型”摘要：研究与连接体模型相关的机械能守恒问题，是物理教学的重点内容。
有助于提高学生分析问题和物理模型建构能力。
文章通过分析两物体速度大小相等的连接体模型；角速度相等的连接体模型；分速度数值相等的连接体模型，从能量守恒的角度分析相关情境，解决物理问题。
关键词：连接体模型；能量守恒；机械能守恒；为了研究实际情境中各物体的运动规律，科学家往往把复杂的、具体的物体或过程，用简化的模型或过程来代替。
连接体模型就是我们在教学中被简化的一类物理模型。
研究“连接体模型”的能量守恒问题，有助于提高学生分析问题和物理模型建构能力。
连接体模型是两个或两个以上物体相互作用，或通过轻绳、轻弹簧、轻杆连接的物理模型。
为了更好的分析连接体模型，先要通过受力分析，运用牛顿运动定律，明确各个力的关系。
[例1]如图1，在光滑的水平桌面上，一根拉直的轻绳通过定滑轮将物块A与物块B连接起来，物块A 的质量大于物块B的质量，分别设为M和m，将A、B静止释放。
分析A、B运动过程中，轻绳的拉力T为多少？解析：分别对A、B受力分析对A：对B：当在受力分析的基础上，借助牛顿运动定律，分析连接体模型各个物体的运动过程和运动特点。
教师可以进一步引导学生从能量守恒的角度分析相关情境，解决问题。
文章通过分析三类连接体模型，帮助学生了解连接体模型的特点，掌握分析连接体问题的方法。
一、速率相等的连接体模型如图2所示，由物体A和B通过细绳组成的四种连接体模型，A B连接体的初速度为零，细绳拉力不为零。
若静止释放A、B，物体B将通过细绳拉着A一起做加速运动。
请分析A、B的速度方向，以及比较它们速度的大小（不计空气阻力以及各接触面的摩擦力）。
结合模型，分析A、B运动过程， A、B的速度均沿着绳子的方向，则两物体的速率相等。
不计空气阻力和摩擦力，系统只有动能和重力势能相互转化，从能量转化的角度，系统的机械能守恒。
[例2] 如图3所示长度均为L，质量为m的甲、乙、丙三根链条，链条的一半悬空放置。
机械能守恒定律解题技巧
机械能守恒定律解题技巧什么是机械能守恒定律？机械能守恒定律是物理学中的一个重要定律，它描述了一个封闭系统中机械能的总量保持不变。
在没有外力做功和无能量损失的情况下，系统的总机械能保持不变。
机械能由两部分组成：动能和势能。
动能是由物体的运动状态决定的，而势能则是与物体所处位置相关联的。
根据这个定律，当一个系统中只有重力做功时，动能和势能可以相互转换，但其总量保持不变。
机械能守恒定律的数学表达式根据机械能守恒定律，我们可以得到以下数学表达式：E₁ = E₂其中，E₁表示系统在初始状态下的总机械能，E₂表示系统在最终状态下的总机械能。
系统的总机械能可以表示为：E = K + U其中，K表示系统中所有物体的动能之和，U表示系统中所有物体的势能之和。
如何应用机械能守恒定律解题？在解题过程中，我们可以根据机械能守恒定律来分析系统的初始状态和最终状态，并通过数学计算来求解问题。
下面是一些常见的解题技巧：1. 确定系统边界首先，我们需要确定系统的边界。
系统的边界应该包括所有与问题相关的物体和力。
确定系统边界是解题的关键步骤，它决定了我们应该考虑哪些因素以及它们之间的相互作用。
2. 分析初始状态和最终状态在确定系统边界后，我们需要分析系统在初始状态和最终状态下的机械能。
根据问题描述，我们可以计算出初始状态下的机械能E₁和最终状态下的机械能E₂。
3. 考虑外力做功和能量损失在实际情况中，可能存在外力做功或者能量损失。
如果有外力做功或者能量损失发生，我们需要将其纳入考虑范围，并进行相应的修正。
4. 利用数学关系求解根据机械能守恒定律的数学表达式E₁ = E₂，我们可以利用已知条件进行代入计算，求解未知量。
这通常涉及到物体的质量、速度、高度等参数。
5. 检查答案的合理性在得到答案之后，我们应该检查其合理性。
可以通过比较初始状态和最终状态下的机械能，或者根据问题中给出的其他条件来验证答案的正确性。
实例分析为了更好地理解机械能守恒定律的应用，我们来看一个实例分析：问题描述一个质量为2kg的物体从高度为10m处自由落下，撞击到地面后弹起。
机械能守恒中速度关联问题的求解方法
一
【 摘
要】 力学 中，两个或 两个以上物
、
－
பைடு நூலகம்
２ ．整 体法
（ １ ）含义 ：所谓整体法就是将两个或两 个 以上 物 体 组 成 的整 个 系统 或 整 个 过 程作 为 研 究对 象 进 行分 析 研究 的 方 法 。 （ ２）运用整体法解题的基本步骤 ：① 明 确研究 的系统或运动 的全过程 。② 域出系统 的受力 图和运动全过程 的示 意图。③ 寻找未 知量与 已知量之间的关系 ， 选择适当的物理规 律列方程求解 。 隔离 法与整体法 ，不是相互对立 的，一 般问题的求解 中，随着研究对象 的转 化，往 往 两 种 方 法 交 叉 运 用 ，相 辅 相 成 。所 以 ，两 种 方法的取舍 ，并无绝对的界 限，必须具体 分 析 ，灵 活 运 用 。 无论 哪 种 方 法 都 应 以尽 可 能避免或减少 非待求量 （ 即 中 间 未 知 量 的 出 现， 如非待求 的力 ， 非待求 的中间状态或过程 等） 的出现为原则。正确建立连接体间的速度 关联 关系，是求解 连接体有关速度问题的切 入 点，也是求解有 关连 接体综合问题的关键
之二。
又 由图示 位 置 ｍ 、ｍ ２ 受力 平衡 ，应 有 ：
Ｔ ｃ ｏ ｓ ＡＣ Ｂ＝ ｍ２ ｇ ， Ｔ ＝ｍｌ ｇ ｓ ｉ ｎ ３ ０ 。
ｍ ｇ（ ｈ － ｒ ） ＝ ｍ ｖ ＾ ２ ＋ ｍ ｖ Ｂ
①
又 由速 度分 解知 识知 Ｖ １ － Ｖ ２ Ｃ Ｏ Ｓ Ａ Ｃ Ｂ，
机械 能守恒 中速度关联 问题 的求解 方法
３ ２ ５ ２ ０ ４ 浙江省 瑞安 市塘 下 中学 浙 江 瑞 安 竺建 国
机械能守恒定律(学生版)
第三讲机械能守恒定律[人教版必修第二册]1.阅读第八章第2节“重力势能”。
整理出重力做功、弹簧弹力做功的特点，并指出什么是机械能?2.阅读第八章第4节“动能与势能相互转化”中思考与讨论这一部分内容，认识动能与重力势能的变化原因。
3.阅读第八章第4节“机械能守恒定律”，写出机械能守恒的条件及基本表达式。
4. 第八章第2节【拓展学习】中，物体沿曲面滑下时重力做的功的推导过程中应用了什么科学研究方法。
5.第八章第4节【练习与应用】T6，解答该题时用到了哪些思想方法？6.第八章第4节【练习与应用】T4、【复习与提高】B组T6。
结合两题情景总结应用机械能守恒定律解决连接体问题时应注意哪些问题？考点一机械能守恒的条件一、机械能1.重力做功与重力势能(1)重力做功的特点：重力做功与无关，只与初、末位置的有关。
(2)重力做功与重力势能变化的关系：①定性关系：重力对物体做正功，重力势能就；重力对物体做负功，重力势能就。
②定量关系：物体从位置A到位置B时，重力对物体做的功等于物体重力势能的，即W G＝。
③重力势能的变化量是绝对的，与参考面的选取。
2.弹力做功与弹性势能(1)弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系。
(2)对于弹性势能，一般物体的弹性形变量越大，弹性势能。
二、机械能守恒定律1.内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，与可以互相转化，而总的机械能。
2.表达式3.机械能守恒的条件(1)系统只受重力或弹力，不受其他外力。
(2)系统除受重力或弹力外，还受其他内力和外力，但这些力对系统。
(3)系统内除重力或弹力做功外，还有其他力做功，但其他力做功的代数和。
(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内外也没有机械能与其他形式的能发生转化。
(2023·全国甲卷)一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中( )A.机械能一直增加B.加速度保持不变C.速度大小保持不变D.被推出后瞬间动能最大(2022·衡水质检)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一竖直墙壁。
第五章第3讲机械能守恒定律-2025年高考物理一轮复习PPT课件
答案
高考一轮总复习•物理
第13页
解析：当重力和弹簧弹力大小相等时，小球速度最大，此时加速度为零，选项 A、B 错 误；小球、地球、弹簧所组成的系统在此过程中只有重力和弹簧弹力做功，机械能守恒，选 项 C 正确；小球的机械能指动能与重力势能之和，从 A 到 B 过程中，弹力做正功，机械能增 加，脱离弹簧后，小球只受重力，机械能守恒，选项 D 正确．
转化法 与其他形式能的转化，则机械能守恒
高考一轮总复习•物理
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典例 1 (2024·广东广州五地六校模拟)如图所示为“反向蹦极”运动简化示意图．假设 弹性轻绳的上端固定在 O 点，拉长后将下端固定在体验者身上，并通过扣环和地面固定， 打开扣环，人从 A 点静止释放，沿竖直方向经 B 点上升到最高位置 C 点，在 B 点时速度最 大．不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
从 A→O：W 弹>0，Ep↓；从 O→B：W 弹<0，Ep↑
高考一轮总复习•物理
第9页
三、机械能守恒定律 1．机械能：动能 和 势能 统称为机械能，其中势能包括 弹性势能 和 重力势能 ．
2．机械能守恒定律
(1)内容：在只有 重力或弹力 的机械能 保持不变 ．
做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总
A．初速度 v0 越小，ΔF 越大 B．初速度 v0 越大，ΔF 越大 C．绳长 l 越长，ΔF 越大 D．小球的质量 m 越大，ΔF 越大
高考一轮总复习•物理
第8页
2．弹力做功与弹性势能变化的关系
(1)弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表
示：W＝ Ep1－Ep2
.
(2)对于弹性势能，一般物体的弹性形变量越大，弹性势能 越大 .
高三物理一轮复习中的问题式教学法——以“关联速度问题”为例
高三物理一轮复习中的问题式教学法——以“关联速度问题”为例高三物理一轮复习一般经过三个阶段，每个阶段各有侧重点。
一轮复习是以章节按顺序进行复习的，是扫除知识障碍的过程。
复习过程中，由于内容繁琐，各种概念、知识、规律和方法全都杂乱的装在学生的大脑中，学生难免会觉得力不从心。
以问题为线索的情景式教学方法不仅能让学生学习起来倍感轻松，而且能在较短的时间内让学生掌握好课程内容。
本文将以“关联速度问题”为例进行展开。
一.以问题为线索梳理基础知识教师提出问题，学生回忆并作答，前期主要是学生自己在构建思维导图，遇到重要问题的时候，可以以例题的形式加以补充。
比如可以设置如下问题：高中物理中几个基本的运动物理量是什么？哪些是矢量，哪些是标量?矢量的运算遵循什么规则？运动的合成和分解是什么？合运动和分运动有什么关系？【例题】在一光滑水平面内建立平面直角坐标系,一物体从t=0时刻起,由坐标原点O(0,0)开始运动,其沿x轴和y轴方向运动的速度—时间图象分别如图1、图2所示,下列说法中正确的是( )A.前2 s内物体沿x轴做匀加速直线运动B.后2 s内物体继续做匀加速直线运动,但加速度沿y轴方向C.4 s末物体坐标为(4 m,4 m)D.4 s末物体坐标为(6 m,2 m)这一例题是在复习了运动的合成和分解的基本知识的基础上提出的，可以让学生思考：x和y两个方向上物体各做什么运动？这段时间内速度如何变化？如何求物体的合加速度合速度、合位移？这一例题不仅对本节课内容进行了巩固，而且对图像信息的读取进行了一定地复习。
不是教师通篇地讲，而是学生自己思考讨论得来的结果，增加了课堂的趣味性。
二.以问题为线索掌握基本模型例题设置可由浅入深，使学生在不知不觉中逐步提升，从而学会解决问题的能力。
比如连接体中经常会出现的绳模型和杆模型，由此产生的关联速度问题又会经常被嵌入到机械能守恒和多过程的问题中，所以我们有必要对此类问题进行探讨。
【例题】如图所示,将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端,轻绳的另一端绕过光滑的定滑轮系一质量为m的小环,小环套在竖直固定的光滑直杆上,光滑定滑轮与直杆的距离为d。
2023年人教版高中物理复习第五章第3讲机械能守恒定律
第3讲机械能守恒定律【课程标准】1.理解重力势能,知道重力势能的变化与重力做功的关系。
定性了解弹性势能。
2.通过实验验证机械能守恒定律。
理解机械能守恒定律,体会守恒观念对认识物理规律的重要性。
3.能用机械能守恒定律分析生产生活中的有关问题。
【素养目标】物理观念:理解重力势能和弹力势能的概念,知道机械能守恒定律的内容。
科学思维:会分析机械能守恒的条件,能从机械能守恒的角度分析动力学问题。
一、重力势能与弹性势能重力势能弹性势能定义物体由于被举高而具有的能量发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能大小E p＝mgh，h是相对于参考平面的高度与弹簧的形变量x、劲度系数k有关，x、k越大，弹性势能就越大特点系统性：物体与地球所共有相对性：大小与参考平面的选取有关标矢性：标量，正、负表示大小—力做功的特点重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关—力做功与势能变化的关系1.重力(弹力)对物体做正功，重力(弹性)势能减小；反之则增加；2.重力(弹力)对物体做的功等于重力(弹性)势能的减少量，即W＝E p1－E p2＝－ΔE p3.重力势能的变化量是绝对的，与参考平面的选取无关。
命题·生活情境蹦极是近些年来新兴的一项非常刺激的户外休闲活动。
跳跃者站在约40米以上(相当于10层楼)高度的桥梁、塔顶、高楼、吊车甚至热气球上，把一端固定的一根长长的橡皮绳绑在踝关节处，然后两臂伸开，双腿并拢，头朝下跳下去。
(1)跳跃者从开始跳下至第一次到最低点，经历哪些运动过程？(忽略空气阻力)提示：自由落体运动、加速度减小的加速运动、加速度增大的减速运动。
(2)在上述过程中哪些力做功？对应的能量怎么变化呢？提示：整个过程中重力做正功，跳跃者的重力势能减小；橡皮绳伸直后弹力做负功，弹性势能增大。
二、机械能守恒定律1.内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
“关联速度”模型
建构物理模型，巧于•解决问题太原市第十二中学 姚维明模型建构：【模型】绳子（或杆）牵连物体，研究关联速度【特点】力学问题中经常出现牵连运动：“两个物体用轻绳（或轻杆）相维系着向不同 方向运动且速度不同，但在沿绳或杆方向上的速度分量却相同”。
这种特殊的运动形式与一般意义的动力学连结体运动有很大的差别，通常不宜采用牛顿 运动定律求解，大多可以通过“运动效果分解”或“功能关系分析（标量运算）”也可以用 “微元法（借助三角函数）”来处理，准确地考察两物体之间的速度牵连关系（矢量运算） 往往是求解这类问题的关键。
“绳子（杆）牵连物体”，求解关联速度的问题，是我们将要探究的重点。
由于两个物体 相互关联，一般地我们都要按“运动效果”分解成：沿着绳子（或杆）的速度分量［改变绳 子（或杆）速度的大小］和垂直于绳子（或杆）方向的速度分量［改变绳子（或杆）速度的 方向］。
模型典案:【典案1］如图1所示，汽车以速度V 匀速行驶，当汽车到达图示位苣时，绳子与水平方向的夹角是&，此时物体M 的上升速度大小 为多少？（结果用V 和&表示）K 解析》解法一：运动效果分解法物体M 与右段绳子上升的速率相同，而右段绳子上升的速率与 左段绳子在沿绳长方向运动的速率V.是相等的。
与车相连的端点的实际运动速度就是合速度，且与汽车速度v 相同。
分析左段绳子的运 动可知，它其实同时参与了两个分运动，即沿绳长方向运动和绕滑轮 边缘顺时针转动。
将车速v 分解为沿绳方向的速度V,和垂直绳子方向的速度V2, 图2所示。
根据平行四边形定则可得V! = PCOS^.所以，物体M 上升速度的大小为b=vcos0。
【点评】这是我们处理这类问题常用的方法。
物理意义很明显。
这种方法说明了：①物体的运动一定是合运动；②物体的运 动才能分解成沿绳子（或杆）一一改变绳子速度大小的分量与垂 直于绳子（或杆）一一改变绳子（或杆）运动方向的分量；③改 变物体运动方向的分量是圆周运动向心力的本质。
高三物理例析与绳关联的机械能守恒问题专题辅导
咐呼州鸣咏市呢岸学校例析与绳关联的机械能守恒问题何伟一、关联物体速度大小相、高度变化也相例1．如图1所示两物体质量分别为m 和2m ，通过滑轮连接起来，滑轮的质量和摩擦都不计，开始时用手托住2m 的物体，释放后，当2m 的物体从静止开始下降h 后的速度为多少？解析：当质量为2m 的物体释放后，两物体及绳组成的系统只有重力做功，满足机械能守恒的条件，由机械能守恒律可知ΔE p 减=ΔE k 增，所以 2mgh-mgh=21·2mv 2+21mv 2 解得v=gh 631. 点评：此题是一道最根本、最常见的系统机械能守恒问题，要明确两物体及绳组成的系统机械能是守恒的，而其中任意一个物体的机械能并不守恒。
另外，还注意到此种情形下两物体的速度大小时刻相，高度的变化也是相的。
二、关联物体速度大小相、高度变化不例2．质量为m 1和m 2的两个小物体分别用轻绳连接，绳跨过位于倾角α=30°的光滑斜面顶端的轻滑轮，滑轮与转轴之间的摩擦不计，斜面固在水平桌面上，如图2所示。
第一次，m 1悬空，m 2放在斜面上，用t 表示m 2自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需时间。
第二次，将m 1和m 2位置互换，使m 2悬空，m 1放在斜面上，发现m 1自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需时间为3t ，求m 1与m 2之比。
解析：因斜面光滑，滑轮与转轴的摩擦不计，所以m 1、m 2及绳组成的系统机械能守恒。
设第一个过程两物块的末速度大小为v 1，第二个过程两物块末速度为v 2，斜面长为l ，由机械能守恒律得 第一次：m 1gl- m 2glsin α=211212v m 21v m 21+ ① 第二次：m 2gl- m 1glsin α=221222v m 21v m 21+ ② 又由匀变速直线运动公式有：第一次t 2v 0l 1+= ③ 第二次2v 0l 2+=·3t ④ 联立①②③④式，并将α=30°代入得1911m m 21=. 点评：此题在第一题的根底上稍做变化，把其中的一个物体放在光滑的斜面上，使得两物体在运动过程中高度变化不再相，许多同学因没注意到这点造成错解。
机械能守恒2多物体机械能守恒问题
机械能守恒应用2 多物体机械能守恒问题一、轻杆连接系统机械能守恒 1、模型构建轻杆两端各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动或关联运动，该系统即为机械能守恒中的轻杆模型． 2、模型条件(1)．忽略空气阻力和各种摩擦．(2)．平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等，关联运动时沿杆方向速度相等。
3、模型特点(1)．杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒． (2)．对于杆和球组成的系统，没有外力对系统做功，因此系统的总机械能守恒．例1．[转动]质量分别为m 和2m 的两个小球P 和Q ，中间用轻质杆固定连接，杆长为L ，在离P 球L3处有一个光滑固定轴O ，如图8所示．现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q 球顺时针摆动到最低位置时，求：图8(1)小球P 的速度大小；(2)在此过程中小球P 机械能的变化量． 答案 (1)2gL 3 (2)增加49mgL 解析 (1)两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球Q 摆到最低位置时P 球的速度为v ，由于P 、Q 两球的角速度相等，Q 球运动半径是P 球运动半径的两倍，故Q 球的速度为2v .由机械能守恒定律得 2mg ·23L －mg ·13L ＝12mv 2＋12·2m ·(2v )2，解得v ＝2gL3. (2)小球P 机械能增加量ΔE ＝mg ·13L ＋12mv 2＝49mgL[跟踪训练].如图5－3－7所示，在长为L 的轻杆中点A 和端点B 各固定一质量为m 的球，杆可绕无摩擦的轴O 转动，使杆从水平位置无初速度释放。
求当杆转到竖直位置时，轻杆对A 、B 两球分别做了多少功？图5－3－7解析：设当杆转到竖直位置时，A 球和B 球的速度分别为v A 和v B 。
如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，那么由于杆和球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒。
2017机械能守恒定律在速度关联类问题中的应用.ppt
联立④－⑦解得：
vQ 2
h L h L
2 2
⑦
2 3 gL 3
T
P
Q
T
P
mg
mg
问题3：Q下落过程中离C点的最大距离H.
分析与解： (3)当 Q下落最大距离H 时，P上升的距离为
h H 2 L2 L
⑧
对于三物块和细绳组成的系统，在 Q下落过程中 系统机械能守恒，有
m 图3
④
m
(2）设重物Ｍ下降的最大距离为h '时，重物m 上升高度为 h ，由机械能守恒定律得 ⑤ 2m gh' ' Mgh'
l/2
C
由几何关系有
h，
l 2 l 2 h' ' h' ( ) 2 2 联立⑤⑥解得
⑥
m
O
·
h' 2 R
m
h
m
h
m
【练习2】一轻绳通过无摩擦的定滑轮与在倾 角为30°的光滑斜面上的物体m1连接，另一 端和套在竖直光滑杆上的物体m2连接.已知定 滑轮到杆的距离为 3 m，物体m2由静止从AB 连线为水平的位置开始下滑1m时，m1、m2恰 受力平衡 受力平衡如图所示.试求： 最大速度. (1)m2在下滑过程中的最大速度 最大距离. (2)m2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离
已知定滑轮到杆的距离为m物体m由静止从ab连线为水平的位置开始下滑1m时m最大速度最大距离成的系统应用机械能守恒可得由几何关系得30sinabac由力的平衡得tcosacbmgsin30由速度分解知识知cosacb联立并代入数值解得下滑至距离最大的过程中对系统应用机械能守恒定律得上升高度由题1可得联立得mabab1对物体系统受变力作用时可优先考虑能否从能量观点如机械能守恒定律解决问题如速度关联?2应用机械能守恒定律列方程式时应灵活选取em的小球连接另一端与套在光滑直杆上质量mm的小物块连接已知直杆两端固定与两定滑轮在同一竖直平面内与水平面的夹角60直杆上c点与两定滑轮均在同一高度c点到定滑轮o的距离为l重力加速度为g设直杆足够长小球运动过程中不会与其他物体相碰
巧用机械能守恒定律求解连接体问题
高中生·高考指导文"汪志杰若干个物体通过一定的方式连接在一起，就构成了连接体，其连接方式一般是通过细绳、轻杆或轻弹簧等物体来实现的．连接体问题涉及多个物体，具有较强的综合性，是力学中能力考查的重要内容，在高考中也经常出现．连接体问题的解题关键是寻找连接体之间的内在联系．解决连接体问题的有效方法，除常用的整体法与隔离法外，还可利用机械能守恒定律求解．一、轻绳连接模型解答此类问题应注意：连接体运动过程中，与绳子连接的物体沿着绳子方向的速度大小一定相等；轻绳内部张力处处相等，且与运动状态无关．因此，此类模型中的单个物体机械能一般不守恒，但系统机械能守恒．例１如图１所示，质量分别为ｍ和Ｍ的物块Ａ和Ｂ用不可伸长的细绳连接，Ａ放在倾角为α的固定斜面上，Ｂ能沿杆在竖直方向上自由滑动．杆到滑轮中心的距离为Ｌ，开始时将Ｂ抬高到使细绳水平．求当Ｂ由静止开始下落ｈ时的速度．（滑轮和绳的质量及各种摩擦均不计）解析设Ｂ下降ｈ时速度为ｖ１，此时Ａ上升的速度为ｖ２，沿斜面上升的距离为ｓ．选Ａ、Ｂ和地球组成的系统为研究对象，由于系统在运动过程中只有重力做功，系统机械能守恒，其重力势能的减少量等于其动能的增加量，即有Ｍｇｈ－ｍｇｓ·ｓｉｎα＝１２Ｍｖ２１＋１２ｍｖ２２．①由于Ｂ下落，使杆与滑轮之间的一段绳子既沿其自身方向运动，又绕滑轮转动，故ｖ１可分解为图２所示的两个分速度．由图２知ｖ２＝ｖ１ｃｏｓθ＝ｖ１·ｈＬ２＋ｈ２!．②由几何关系知ｓ＝Ｌ２＋ｈ２!－Ｌ．③联立①、②、③三式可解得ｖ１＝２（Ｌ２＋ｈ２）［Ｍｇｈ－ｍｇｓｉｎα（Ｌ２＋ｈ２!－Ｌ）］ＭＬ２＋（Ｍ＋ｍ）ｈ２!．小结若系统内的物体通过不可伸长的轻绳相连接，则系统的机械能守恒．本题还需结合相关物体的速度关系式才能求解．例２如图３所示，质量均为ｍ的小球Ａ、Ｂ、Ｃ，用两条长均为Ｌ的细线相连，置于高为ｈ的光滑水平桌面上．Ｌ＞ｈ，Ａ球由静止状态从桌面边缘落下．若Ａ球、Ｂ球下落着地后均不再反弹，则Ｃ球离开桌面边缘时的速度大小是多少？（不计摩擦）解析本题的物理过程如下：Ａ球下落带动Ｂ球和Ｃ球运动．Ａ球着地前瞬间，Ａ、Ｂ、Ｃ三球速率相等，且Ｂ、Ｃ两球均在桌面上．因Ａ球着地后不反弹，故Ａ、Ｂ两球间细线松弛，Ｂ球继续运动并下落，带动小球Ｃ，在Ｂ球着地前瞬间，Ｂ、Ｃ两球速率相等．故本题的物理过程应划分为两个阶段：第一个阶段，从Ａ球开始下落到Ａ球着地瞬间；第二个阶段，从Ａ球着地后到Ｂ球着地瞬间．在第一个阶段，选三个球及地球为系统，根据机械能守恒定律有ｍｇｈ＝１２×３ｍ×ｖ２１．①在第二个阶段，选Ｂ、Ｃ两球及地球为系统，根据机械能守恒定律有ｍｇｈ＝１２×２ｍ×ｖ２２－１２×２ｍ×ｖ２１．②由①、②解得ｖ２＝１５ｇｈ!３．小结要重视对物体运动过程的分析，明确运动过程中有无机械能和其他形式能量之间的转换，对有能量形式转换的部分不能应用机械能守恒定律．二、轻杆连接模型由于轻杆不可伸长和压缩，所以沿杆方向速度相同．若轻杆一端固定，则杆转动时，杆上各点具有相同的角速度．求解此类问题需注意重力势能为零的位置的选择及重力势能的变化．例３如图４所示，一轻杆上有质量均为ｍ的小球ａ和ｂ，轻杆可绕Ｏ点在竖直平面内自由转动，Ｏａ＝ａｂ＝Ｌ．将杆拉成水平后，由静止开始释放，求轻杆转动到竖直方向时ａ、ｂ两球的速度．◎高考题库◎巧用机械能守恒定律求解连接体问题５１高中生·高考指导解析设杆转到竖直方向时，ａ、ｂ的速度大小分别为ｖａ、ｖｂ，规定ｂ球到达的最低点所在的水平面为零势面，由机械能守恒定律得ｍｇＬ＋ｍｇ·２Ｌ＝１２ｍｖ２ａ＋１２ｍｖ２ｂ．又ｖｂ＝２ｖａ，由此可得ｖａ＝３０ｇＬ!５，ｖｂ＝２５３０ｇＬ!．小结此题易误认为ａ、ｂ两小球在下摆过程中各自机械能守恒，而事实上重力和轻杆对ａ、ｂ均做功，并使其机械能不守恒，但是ａ、ｂ组成的系统与外界没有能量交换，系统机械能还是守恒的．例４如图５所示，长为ｌ的轻质杆两端有质量均为ｍ的两个相同的小球Ａ和Ｂ，Ａ靠在竖直墙壁上，Ｂ与地面接触，两处均不计摩擦．开始时杆与水平面成６０°角，放手后Ａ下滑、Ｂ右滑．当杆与水平夹角θ为多大时，Ａ刚好脱离墙壁？此时Ｂ球速度为多大？解析设Ａ刚好脱离墙壁时Ａ、Ｂ的速度分别为ｖＡ、ｖＢ，Ａ下滑、Ｂ右滑的过程中，系统机械能守恒，有ｍｇｌ（ｓｉｎ６０°－ｓｉｎθ）＝１２ｍｖ２Ａ＋１２ｍｖ２Ｂ．①又Ａ下滑、Ｂ右滑的过程中，两小球沿杆方向的速度相同，即ｖＡｓｉｎθ＝ｖＢｃｏｓθ．②由①、②两式解得ｖＢ＝２ｇｌ（ｓｉｎ６０°－ｓｉｎθ）ｓｉｎ２θ!．③令ａ＝２ｓｉｎ６０°－２ｓｉｎθ，ｂ＝ｓｉｎθ，ｃ＝ｓｉｎθ，则ａ＋ｂ＋ｃ＝３!．因为ａ＋ｂ＋ｃ３≥ａｂｃ３!，所以当ａ＝ｂ＝ｃ时，ａｂｃ有最大值，此时ｖＢ＝ｇｌａｂｃ!有最大值．由２ｓｉｎ６０°－２ｓｉｎθ＝ｓｉｎθ解得ｓｉｎθ＝３!３，则θ＝ａｒｃｓｉｎ３!３．将ｓｉｎθ＝３!３代入③式得ｖＢ＝１３３!ｇｌ!．此时Ａ受墙壁的水平作用力减小到零，刚好脱离竖直墙壁．故当θ＝ａｒｃｓｉｎ３!３时，Ａ刚好脱离竖直墙壁，此时ｖＢ＝１３３!ｇｌ!．小结运用机械能守恒定律，应注意研究对象的选取和定律守恒的条件．本题中Ａ下滑、Ｂ右滑的过程中，整个系统机械能守恒，但是系统的某一部分的机械能并不守恒．意识到Ａ、Ｂ组成的系统机械能守恒并找出Ａ、Ｂ之间的速度关系是解本题的关键．三、轻弹簧连接模型求解此类问题的关键在于分析物体的运动过程，认清弹簧的状态及不同能量之间的转化关系．由两个（或两个以上）物体与弹簧组成的系统，应注意弹簧伸长或压缩到最大程度时弹簧两端连接的物体具有相同的速度，弹簧处于自然长度时弹性势能最小（为零）等隐含条件．例５如图６所示，质量为ｍ１的物体Ａ经一轻质弹簧与其正下方地面上的质量为ｍ２的物体Ｂ相连，弹簧的劲度系数为ｋ，Ａ、Ｂ都处于静止状态．一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体Ａ，另一端连一轻挂钩．开始时各段绳都处于伸直状态，Ａ上方的一段绳沿竖直方向．在挂钩上挂一质量为ｍ３的物体Ｃ并从静止状态释放，已知它恰好能使Ｂ离开地面但不继续上升．若将Ｃ换成另一个质量为（ｍ１＋ｍ３）的物体Ｄ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次Ｂ刚离地面时Ｄ的速度的大小是多少？（重力加速度为ｇ）解析开始时，Ａ、Ｂ静止，设弹簧压缩量为ｘ１，有ｋｘ１＝ｍ１ｇ．①挂上Ｃ并释放后，Ｃ向下运动，Ａ向上运动．设Ｂ刚要离地时弹簧伸长量为ｘ２，有ｋｘ２＝ｍ２ｇ．②Ｂ不再上升，表示此时Ａ和Ｃ的速度为零，Ｃ已降到最低点．根据机械能守恒定律，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为$Ｅ＝ｍ３ｇ（ｘ１＋ｘ２）－ｍ１ｇ（ｘ１＋ｘ２）．③Ｃ换成Ｄ后，当Ｂ刚离地时弹簧弹性势能的增量与前一次相同，由能量关系得１２（ｍ１＋ｍ３）ｖ２＋１２ｍ１ｖ２＝（ｍ１＋ｍ３）ｇ（ｘ１＋ｘ２）－ｍ１ｇ（ｘ１＋ｘ２）－$Ｅ．④由③、④两式得１２（２ｍ１＋ｍ３）ｖ２＝ｍ１ｇ（ｘ１＋ｘ２）．⑤由①、②、⑤三式得ｖ＝２ｍ１（ｍ１＋ｍ２）ｇ２（２ｍ１＋ｍ３）ｋ!．小结此题考查的知识点有胡克定律、共点力作用下物体的平衡、机械能守恒定律及其应用，其难点是系统弹性势能的增加量的计算和隐含条件（两种情况下弹簧弹性势能的增加量相等）的挖掘．四、轻盘连接模型求解这类问题应注意在运动过程中各个物体之间角速度和线速度的关系．例６如图７所示，半径为ｒ、质量不计的圆盘盘面与地面垂直，◎高考题库◎５２圆心处有一个垂直于盘面的光滑水平固定轴Ｏ，在盘的最右边固定一个质量为ｍ的小球Ａ，在Ｏ点的正下方离Ｏ点ｒ２处固定一个质量也为ｍ的小球Ｂ．放开盘，让其自由转动，求：（１）Ａ转到最低点时的线速度是多少？（２）在转动过程中半径ＯＡ向左偏离竖直方向的最大角度是多少？解析（１）该系统在自由转动过程中，只有重力做功，机械能守恒．设Ａ球转到最低点时的线速度为ｖＡ，此时Ｂ球的线速度为ｖＢ，则根据机械能守恒定律可得ｍｇｒ－ｍｇ·１２ｒ＝１２ｍｖ２Ａ＋１２ｍｖ２Ｂ．由圆周运动的知识可知ｖＡ＝２ｖＢ．由上述两式可求得ｖＡ＝２５５ｇｒ!．设在转动过程中半径ＯＡ向左偏离竖直方向的最大角度为θ（如图８所示），则由机械能守恒定律可得３２ｍｇｒ＝ｍｇｒ（１－ｃｏｓθ）＋ｍｇｒ（１＋１２ｓｉｎθ），易求得θ＝ａｒｃｓｉｎ３５．五、轻支架连接模型求解这类问题应注意在运动过程中各个物体之间的角速度、线速度的关系和重力势能为零的位置的选择．例７如图９所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在Ａ处固定质量为２ｍ的小球，Ｂ处固定质量为ｍ的小球，支架悬挂在Ｏ点，可绕过Ｏ点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动．开始时ＯＢ与水平面垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是Ａ．Ａ球到达最低点时速度为零Ｂ．Ａ球机械能减少量等于Ｂ球机械能增加量Ｃ．Ｂ球向左摆动所能达到的最高位置应高于Ａ球开始运动时的高度Ｄ．当支架从左向右回摆时，Ａ球一定能回到起始高度解析对三角支架和Ａ、Ｂ球组成的系统，在支架摆动过程中只有重力做功，遵守机械能守恒定律．支架向左摆动时，Ａ球的机械能减少，Ｂ球的机械能增加．根据机械能守恒定律可知Ｂ、Ｄ正确．设三角支架的边长为ｌ，当Ａ球摆到最低点时，Ｂ球向左到达Ａ球开始运动时的高度．因摆动中Ａ、Ｂ两球角速度ω相同，由ｖ＝ωｒ可知，Ａ、Ｂ两球的线速度大小也相同，设为ｖ．由机械能守恒定律得２ｍｇｌｃｏｓ６０°－ｍｇｌｃｏｓ６０°＝１２×２ｍ×ｖ２＋１２ｍｖ２，解得ｖ＝ｇｌ３!≠０．由于Ｂ球到达Ａ球开始运动时的高度时，Ａ、Ｂ两球都有一定的速度ｖ，两球还要继续向左摆动，使Ｂ球所能达到的最高位置高于Ａ球开始运动时的高度，所以选项Ａ错，选项Ｃ对．选Ｂ、Ｃ、Ｄ．小结对系统的机械能守恒，可依照题目采用适当的守恒形式．本题判断Ｂ、Ｄ选项采用的是“系统一部分机械能的减少量等于另一部分机械能的增加量”形式，即!ＥＡ＝!ＥＢ；在判断Ａ、Ｃ选项时，又采用了“系统重力势能的减少量等于系统动能的增加量”形式，即!Ｅｋ＝!Ｅｐ．一般在初、末态总机械能不易简单写出，而机械能的增加或减少部分又较明显时，利用!ＥＡ＝!ＥＢ或!Ｅｋ＝!Ｅｐ求解会更简便些．从上面各例可以看出，在用机械能守恒定律解连接体问题时，要注意下面几个问题：１．准确地选取系统．应用机械能守恒定律必须准确地选择系统．系统选择得当，机械能守恒；系统选择不得当，机械能不守恒．当研究一个问题涉及到的不是一个物体而是两个或两个以上的物体时，应具有整体意识，将不同的物体组成系统，这样往往会化繁为简、化难为易．２．选取具体的物理过程．在运用机械能守恒定律解题时必须选取具体的物理过程，确定初、末状态．选取物理过程必须遵循两个基本原则：一要符合求解要求，二要尽量使求解过程简化．有时可选全过程，而有时则必须将全过程分解成几个阶段，然后再分别应用机械能守恒定律求解．同时，要重视对物体运动过程的分析，把握守恒条件，明确哪些运动过程中系统机械能守恒．３．灵活选取机械能守恒定律的不同表达式来解题．在运用机械能守恒定律Ｅｋ１＋Ｅｐ１＝Ｅｋ２＋Ｅｐ２时，必须选取零势面，而且在分析同一问题时只能选取同一零势面．在某些机械能守恒的问题中，运用Ｅｋ１＋Ｅｐ１＝Ｅｋ２＋Ｅｐ２求解不太方便，而运用!Ｅｋ＋!Ｅｐ＝０则较为简单．运用!Ｅｋ＋!Ｅｐ＝０求解的一个特点是不必选取零势面，只要弄清楚过程中物体重力势能的变化即可．４．对相互关联的多个物体构成的连接体问题一定要搞清各物体速度之间的关系．（责任编校/冯宪ｘｙｘ１２１２１＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｍ．ｃｎ）◎高考题库◎５３高中生·高考指导。
2024届高考一轮复习物理教案(新教材鲁科版)：机械能守恒定律及其应用
第3讲 机械能守恒定律及其应用目标要求 1.知道机械能守恒的条件，理解机械能守恒定律的内容.2.会用机械能守恒定律解决单个物体或系统的机械能守恒问题．考点一 机械能守恒的判断1．重力做功与重力势能的关系 (1)重力做功的特点①重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关． ②重力做功不引起物体机械能的变化． (2)重力势能 ①表达式：E p ＝mgh . ②重力势能的特点重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关． (3)重力做功与重力势能变化的关系重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大．即W G ＝E p1－E p2＝－ΔE p . 2．弹性势能(1)定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能． (2)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增大．即W ＝－ΔE p . 3．机械能守恒定律(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．(2)表达式：mgh 1＋12m v 12＝mgh 2＋12m v 22.1．物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒．( × ) 2．物体做匀速直线运动，其机械能一定守恒．( × )3．物体的速度增大时，其机械能可能减小．(√)机械能是否守恒的三种判断方法(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒．(2)利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功(或做功代数和为0)，则机械能守恒．(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒．例1忽略空气阻力，下列物体运动过程中满足机械能守恒的是()A．电梯匀速下降B．物体由光滑斜面顶端滑到斜面底端C．物体沿着斜面匀速下滑D．拉着物体沿光滑斜面匀速上升答案 B解析电梯匀速下降，说明电梯处于受力平衡状态，并不是只有重力做功，机械能不守恒，所以A错误；物体在光滑斜面上，受重力和支持力的作用，但是支持力的方向和物体位移的方向垂直，支持力不做功，只有重力做功，机械能守恒，所以B正确；物体沿着斜面匀速下滑，物体处于受力平衡状态，摩擦力和重力都要做功，机械能不守恒，所以C错误；拉着物体沿光滑斜面匀速上升，物体处于受力平衡状态，拉力和重力都要做功，机械能不守恒，所以D错误．例2(多选)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是()A．运动员到达最低点前重力势能始终减小B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒D．蹦极过程中，重力势能的改变量与重力势能零点的选取有关答案ABC解析在运动员到达最低点前，运动员一直向下运动，根据重力势能的定义可知重力势能始终减小，故选项A正确；蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力方向向上，而运动员向下运动，所以弹力做负功，弹性势能增加，故选项B正确；对于运动员、地球和蹦极绳所组成的系统，蹦极过程中只有重力和弹力做功，所以系统机械能守恒，故选项C正确；重力做功是重力势能转化的量度，即W G＝－ΔE p，而蹦极过程中重力做功只与初末位置的高度差有关，与重力势能零点的选取无关，所以重力势能的改变量与重力势能零点的选取无关，故选项D错误．例3(多选)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)．现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是()A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒答案BC解析当小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中，小球对半圆形槽的力使半圆形槽向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能不守恒，A、D错误；小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有重力做功，小球的机械能守恒，B正确；小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统只有重力做功，机械能守恒，C正确．考点二单物体机械能守恒问题1．表达式2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤例4 (2023·福建省龙岩第一中学月考)如图所示，轻质弹簧一端固定在墙壁上的O 点，另一端自由伸长到A 点，所有接触面光滑，固定曲面在B 处与水平面平滑连接，AB 之间的距离s ＝1 m ，固定斜面高为h ＝0.8 m ，质量m ＝0.2 kg 的小物块从斜面顶端由静止释放，g 取10 m/s 2，求：(1)物块到达B 点时的速度大小；(2)弹簧被压缩到最短时所具有的弹性势能． 答案 (1)4 m/s (2)1.6 J解析 (1)物块从斜面顶端到达底端时，由机械能守恒定律得mgh ＝12m v B 2解得v B ＝4 m/s(2)由能量关系可知弹簧被压缩到最短时所具有的弹性势能E p ＝mgh ＝1.6 J.例5 (2022·全国乙卷·16)固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P 点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于( )A ．它滑过的弧长B ．它下降的高度C ．它到P 点的距离D ．它与P 点的连线扫过的面积 答案 C解析 如图所示，设小环下降的高度为h ，大圆环的半径为R ，小环到P 点的距离为L ，根据机械能守恒定律得mgh ＝12m v 2，由几何关系可得h ＝L sin θ，sin θ＝L 2R ，联立可得h ＝L 22R ，则v ＝LgR，故C 正确，A 、B 、D 错误．例6 (2021·浙江1月选考·20改编)如图所示，竖直平面内由倾角α＝60°的斜面轨道AB 、半径均为R 的半圆形细圆管轨道BCDE 和16圆周细圆管轨道EFG 构成一游戏装置固定于地面，B 、E 两处轨道平滑连接，轨道所在平面与竖直墙面垂直．轨道出口处G 和圆心O 2的连线，以及O 2、E 、O 1和B 等四点连成的直线与水平线间的夹角均为θ＝30°，G 点与竖直墙面的距离d ＝3R .现将质量为m 的小球从斜面的某高度h 处静止释放．小球只有与竖直墙面间的碰撞可视为弹性碰撞，不计小球大小和所受阻力．(1)若释放处高度h ＝h 0，当小球第一次运动到圆管最低点C 时，求速度大小v C ； (2)求小球在圆管内与圆心O 1点等高的D 点所受弹力F N 与h 的关系式； (3)若小球释放后能从原路返回到出发点，高度h 应该满足什么条件？ 答案 见解析解析 (1)从A 到C ，小球的机械能守恒，有 mgh 0＝12m v C 2，可得v C ＝2gh 0(2)小球从A 到D ，由机械能守恒定律有 mg (h －R )＝12m v D 2根据牛顿第二定律有F N ＝m v D 2R联立可得F N ＝2mg (hR －1)满足的条件h ≥R(3)第1种情况：不滑离轨道原路返回，由机械能守恒定律可知，此时h 需满足的条件是 h ≤R ＋3R sin θ＝52R第2种情况：小球与墙面垂直碰撞后原路返回， 小球与墙面碰撞后，进入G 前做平抛运动，则 v x t ＝v x v yg ＝d ，其中v x ＝v G sin θ，v y ＝v G cos θ故有v G sin θ·v G cos θg ＝d ，可得v G ＝2gR由机械能守恒定律有mg (h －52R )＝12m v G 2可得h ＝92R .考点三 系统机械能守恒问题1．解决多物体系统机械能守恒的注意点(1)对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒．一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒．(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔE k ＝－ΔE p 或ΔE A ＝－ΔE B 的形式． 2．几种实际情景的分析 (1)速率相等情景注意分析各个物体在竖直方向的高度变化． (2)角速度相等情景①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．②由v＝ωr知，v与r成正比．(3)某一方向分速度相等情景(关联速度情景)两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等．(4)含弹簧的系统机械能守恒问题①由于弹簧发生形变时会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功，系统机械能守恒.②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大．③对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧的伸长量和压缩量相等时，弹簧的弹性势能相等．考向1速率相等情景例7(多选)(2023·福建省厦门外国语学校月考)如图所示，半径为R的光滑圆环固定在竖直面内，质量均为m的A、B两球用长度为2R的轻杆连接套在圆环上，开始时轻杆竖直并同时由静止释放两球．当A球运动到B的初始位置时，轻杆刚好水平，重力加速度为g，则从开始运动到轻杆水平的过程中，下列说法正确的是()A．小球A、B的机械能均保持守恒B．小球A、B组成的系统机械能守恒C．轻杆水平时小球A的速度大小为2gRD．轻杆水平时小球B的速度大小为2gR答案BD解析由于环是光滑的，因此A、B组成的系统机械能守恒，当杆水平时，设A、B两球的速度大小均为v，由题意可知mg×2R＝12×2m v2，则v＝2gR，因为A球的重力势能转化为了A球和B球的动能，因此从开始到杆水平时，B球的机械能增加，则A球的机械能减少，故B、D正确，A、C错误．多个物体组成的系统，应用机械能守恒时，先确定系统中哪些能量增加、哪些能量减少，再用ΔE增＝ΔE减(系统内一部分增加的机械能和另一部分减少的机械能相等)解决问题．考向2角速度相等情景例8(多选)(2023·安徽滁州市定远县第三中学模拟)轮轴机械是中国古代制陶的主要工具．如图所示，轮轴可绕共同轴线O自由转动，其轮半径R＝20 cm，轴半径r＝10 cm，用轻质绳缠绕在轮和轴上，分别在绳的下端吊起质量为2 kg、1 kg的物块P和Q，将两物块由静止释放，释放后两物块均做初速度为0的匀加速直线运动，不计轮轴的质量及轴线O处的摩擦，重力加速度g取10 m/s2.在P从静止下降1.2 m的过程中，下列说法正确的是()A．P、Q速度大小始终相等B．Q上升的距离为0.6 mC．P下降1.2 m时Q的速度大小为2 3 m/sD．P下降1.2 m时的速度大小为4 m/s答案BD解析由题意知轮半径R＝20 cm，轴半径r＝10 cm，根据线速度与角速度关系可知v Pv Q ＝ωR ωr＝2 1，故A项错误；在P从静止下降1.2 m的过程中，由题意得h Ph Q＝v P t vQt＝21，解得h Q＝0.6 m，故B 项正确；根据机械能守恒得m P gh P ＝12m P v P 2＋12m Q v Q 2＋m Q gh Q ，由A 项和B 项知v P v Q ＝21，h Q ＝0.6 m ，解得v Q ＝2 m/s ，v P ＝4 m/s ，故C 项错误，D 项正确．考向3 关联速度情景例9 (多选)(2023·福建厦门市湖滨中学月考)如图所示，将质量为2m 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m 的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d .现将小环从与定滑轮等高的A 处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d 时(图中B 处)，下列说法正确的是(重力加速度为g )( )A ．小环到达B 处时，重物上升的高度也为d B ．小环在B 处的速度与重物上升的速度大小之比等于22C ．小环从A 运动至B 点过程中，小环减少的重力势能大于重物增加的机械能D ．小环在B 处时，小环速度大小为(3－22)gd 答案 CD解析 小环到达B 处时，重物上升的高度应为绳子缩短的长度，即h ＝2d －d ＝(2－1)d ，故A 错误；沿绳子方向的速度大小相等，将小环速度沿绳子方向与垂直于绳子方向正交分解，应满足v 环cos θ＝v 物，即v 环v 物＝1cos θ＝2，故B 错误；环下滑过程中无摩擦力做功，只有重力和系统内的弹力做功，故系统机械能守恒，环减小的机械能等于重物增加的机械能，所以小环减少的重力势能减去小环增加的动能等于重物增加的机械能，故小环减少的重力势能大于重物增加的机械能，故C 正确；小环和重物组成的系统机械能守恒，故mgd －12m v环2＝12×2m v 物2＋2mgh ，联立解得v 环＝()3－22gd ，故D 正确．考向4 含弹簧的系统机械能守恒问题例10(多选)如图所示，一根轻弹簧一端固定在O点，另一端固定一个带有孔的小球，小球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于原长，现将小球从A点由静止释放，小球向下运动，经过与A点关于B点对称的C点后，小球能运动到最低点D点，OB垂直于杆，则下列结论正确的是()A．小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度gB．小球从B点运动到C点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和可能增大C．小球运动到C点时，重力对其做功的功率最大D．小球在D点时弹簧的弹性势能一定最大答案AD解析在B点时，小球的加速度为g，在BC间弹簧处于压缩状态，小球在竖直方向除受重力外还有弹簧弹力沿竖直方向向下的分力，所以小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g，故A正确；由机械能守恒定律可知，小球从B点运动到C点的过程，小球做加速运动，即动能增大，所以小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和一定减小，故B错误；小球运动到C点时，由于弹簧的弹力为零，合力为重力G，所以小球从C点往下还会加速一段，所以小球在C点的速度不是最大，即重力的功率不是最大，故C错误；D点为小球运动的最低点，速度为零，小球机械能最小，由小球和弹簧组成的系统运动过程中只有重力做功，系统机械能守恒，所以小球在D点时弹簧的弹性势能最大，故D正确．例11如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上．现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计．开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面．求：(1)斜面的倾角α；(2)A球获得的最大速度v m的大小．答案(1)30°(2)2g m 5k解析(1)由题意可知，当A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面，A的加速度此时为零．由牛顿第二定律得4mg sin α－2mg＝0则sin α＝12，α＝30°.(2)初始时系统静止且细线无拉力，弹簧处于压缩状态，设弹簧压缩量为Δx，对B：kΔx＝mg 因α＝30°，则C球离开地面时，弹簧伸长量也为Δx，故弹簧弹性势能变化量为零，A、B、C三小球和弹簧组成的系统机械能守恒，有4mg·2Δx·sin α－mg·2Δx＝12(5m)v m2联立解得v m＝2g m5k.课时精练1.如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止在水平面上．现将一小球从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法中正确的是()A．斜劈对小球的弹力不做功B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒C．斜劈的机械能守恒D．小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量答案 B解析不计一切摩擦，小球下滑时，小球和斜劈组成的系统只有小球的重力做功，系统机械能守恒，B正确；斜劈动能增加，重力势能不变，故斜劈的机械能增加，C错误；由系统机械能守恒可知，小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量和小球动能的增加量之和，D 错误；斜劈对小球的弹力与小球位移的夹角大于90°，故弹力做负功，A 错误．2.(2021·海南卷·2)水上乐园有一末段水平的滑梯，人从滑梯顶端由静止开始滑下后落入水中．如图所示，滑梯顶端到末端的高度H ＝4.0 m ，末端到水面的高度h ＝1.0 m ．取重力加速度g ＝10 m/s 2，将人视为质点，不计摩擦和空气阻力．则人的落水点到滑梯末端的水平距离为( )A ．4.0 mB ．4.5 mC ．5.0 mD ．5.5 m 答案 A解析 设人从滑梯由静止滑到滑梯末端速度为v ，根据机械能守恒定律可知mgH ＝12m v 2，解得v ＝4 5 m/s ，从滑梯末端水平飞出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根据h ＝12gt 2可知t ＝2h g＝2×1.010s ＝15s ，水平方向做匀速直线运动，则人的落水点距离滑梯末端的水平距离为x ＝v t ＝45×15m ＝4.0 m ，故选A. 3．质量为m 的小球从距离水平地面高H 处由静止开始自由落下，取水平地面为参考平面，重力加速度大小为g ，不计空气阻力，当小球的动能等于重力势能的2倍时，经历的时间为( ) A.6H g B ．2H 3g C.2H 3gD.2H g答案 B解析 设下降h 时，动能等于重力势能的2倍，根据机械能守恒：mgH ＝mg (H －h )＋E k 即：mgH ＝3mg (H －h )，解得h ＝23H ，根据h ＝12gt 2解得t ＝2H3g，故选B. 4.(2023·武汉东湖区联考)如图所示，有一条长为L ＝1 m 的均匀金属链条，有一半在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g 取10 m/s 2)( )A ．2.5 m/s B.522 m/sC. 5 m/sD.352m/s 答案 A解析 设链条的质量为2m ，以开始时链条的最高点的重力势能为零，链条的机械能为E ＝－12×2mg ·L 4sin 30°－12×2mg ·L 4＝－38mgL ，链条全部滑出后，动能为E k ′＝12×2m v 2，重力势能为E p ′＝－2mg ·L 2，由机械能守恒定律可得E ＝E k ′＋E p ′，即－38mgL ＝m v 2－mgL ，解得v＝2.5 m/s ，故A 正确，B 、C 、D 错误．5.(多选)如图，一个质量为0.9 kg 的小球以某一初速度从P 点水平抛出，恰好从光滑圆弧ABC 的A 点沿切线方向进入圆弧(不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失)．已知圆弧的半径R ＝0.3 m ，θ＝60°，小球到达A 点时的速度v A ＝4 m/s.(取g ＝10 m/s 2)下列说法正确的是( )A ．小球做平抛运动的初速度v 0＝2 3 m/sB ．P 点和C 点等高C ．小球到达圆弧最高点C 点时对轨道的压力大小为12 ND ．P 点与A 点的竖直高度h ＝0.6 m 答案 CD解析 小球恰好从光滑圆弧ABC 的A 点沿切线方向进入圆弧，则小球到A 点时的速度与水平方向的夹角为θ，所以v 0＝v x ＝v A cos θ＝2 m/s ，选项A 错误；小球到A 点时的竖直分速度v y ＝v A sin θ＝2 3 m/s ，由平抛运动规律得v y 2＝2gh ，解得h ＝0.6 m ，而AC 的竖直距离为R ＋R cos θ＝0.45 m ，可知P 点高于C 点，选项B 错误，D 正确；取A 点的重力势能为零，由机械能守恒定律得12m v A 2＝12m v C 2＋mg (R ＋R cos θ)，代入数据得v C ＝7 m/s ，在C 点时由牛顿第二定律得N C ＋mg ＝m v C 2R，代入数据得N C ＝12 N ，根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小N C ′＝N C ＝12 N ，选项C 正确．6.如图所示，有一光滑轨道ABC ，AB 部分为半径为R 的14圆弧，BC 部分水平，质量均为m的小球a 、b 固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为R ，小球可视为质点，开始时a 球处于圆弧上端A 点，由静止开始释放小球和轻杆，使其沿光滑弧面下滑，重力加速度为g ，下列说法正确的是( )A ．a 球下滑过程中机械能保持不变B ．b 球下滑过程中机械能保持不变C ．a 、b 球都滑到水平轨道上时速度大小均为2gRD ．从释放a 、b 球到a 、b 球都滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a 球做的功为12mgR答案 D解析 对于单个小球来说，杆的弹力做功，小球机械能不守恒，A 、B 错误；两个小球组成的系统只有重力做功，所以系统的机械能守恒，故有mgR ＋mg (2R )＝12·2m v 2，解得v ＝3gR ，C 错误；a 球在下滑过程中，杆对小球做功，重力对小球做功，故根据动能定理可得W ＋mgR ＝12m v 2，v ＝3gR ，联立解得W ＝12mgR ，D 正确．7.(多选)如图所示，质量为M 的小球套在固定倾斜的光滑杆上，原长为l 0的轻质弹簧一端固定于O 点，另一端与小球相连，弹簧与杆在同一竖直平面内．图中AO 水平，BO 间连线长度恰好与弹簧原长相等，且与杆垂直，O ′在O 的正下方，C 是AO ′段的中点，θ＝30°.现让小球从A 处由静止释放，重力加速度为g ，下列说法正确的有( )A ．下滑过程中小球的机械能守恒B ．小球滑到B 点时的加速度大小为32g C ．小球下滑到B 点时速度最大D ．小球下滑到C 点时的速度大小为2gl 0 答案 BD解析 下滑过程中小球的机械能会与弹簧的弹性势能相互转化，因此小球的机械能不守恒，故A 错误；因为在B 点，弹簧恢复原长，因此重力沿杆的分力提供加速度，根据牛顿第二定律可得mg cos 30°＝ma ，解得a ＝32g ，故B 正确；到达B 点时加速度与速度方向相同，因此小球还会加速，故C 错误；因为C 是AO ′段的中点，θ＝30°，由几何关系知当小球到C 点时，弹簧的长度与在A 点时相同，故在A 、C 两位置弹簧弹性势能相等，小球重力做的功全部转化为小球的动能，有mgl 0＝12m v C 2，解得v C ＝2gl 0，故D 正确．8.(2023·广东省深圳实验学校、湖南省长沙一中高三联考)如图所示，一根长为3L 的轻杆可绕水平转轴O 转动，两端固定质量均为m 的小球A 和B, A 到O 的距离为L ，现使杆在竖直平面内转动，B 运动到最高点时，恰好对杆无作用力，两球均视为质点，不计空气阻力和摩擦阻力，重力加速度为g .当B 由最高点第一次转至与O 点等高的过程中，下列说法正确的是( )A ．杆对B 球做正功 B ．B 球的机械能守恒C ．轻杆转至水平时，A 球速度大小为10gL5D ．轻杆转至水平时，B 球速度大小为310gL5答案 D解析 由题知B 运动到最高点时，恰好对杆无作用力，有mg ＝m v 22L ，B 在最高点时速度大小为v ＝2gL ，因为A 、B 角速度相同，A 的转动半径只有B 的一半，所以A 的速度大小为v2，当B 由最高点转至与O 点等高时，取O 点所在水平面的重力势能为零，根据A 、B 机械能守恒，mg ·2L －mgL ＋12m ⎝⎛⎭⎫v 22＋12m v 2＝12m v A 2＋12m v B 2,2v A ＝v B ，解得v A ＝310gL 10，v B ＝310gL5，故C 错误，D 正确；设杆对B 做的功为W ，对B 由动能定理得mg ·2L ＋W ＝12m v B 2－12m v 2，解得W ＝－65mgL ，所以杆对B 做负功，B 机械能不守恒，故A 、B 错误．9.(2023·广东省佛山一中高三月考)如图所示，物块A 套在光滑水平杆上，连接物块A 的轻质细线与水平杆间所成夹角为θ＝53°，细线跨过同一高度上的两光滑定滑轮与质量相等的物块B 相连，定滑轮顶部离水平杆距离为h ＝0.2 m ，现将物块B 由静止释放，物块A 、B 均可视为质点，重力加速度g ＝10 m/s 2，sin 53°＝0.8，不计空气阻力，则( )A ．物块A 与物块B 速度大小始终相等 B ．物块B 下降过程中，重力始终大于细线拉力C ．当物块A 经过左侧定滑轮正下方时，物块B 的速度最大D ．物块A 能达到的最大速度为1 m/s 答案 D解析 根据关联速度得v A cos θ＝v B ，所以二者的速度大小不相等，A 错误；当物块A 经过左侧定滑轮正下方时细线与杆垂直，则根据选项A 可知，物块B 的速度为零，所以B 会经历减速过程，减速过程中重力会小于细线拉力，B 、C 错误；当物块A 经过左侧定滑轮正下方时，物块A 的速度最大，根据系统机械能守恒得mg (h sin θ－h )＝12m v 2，解得v ＝1 m/s ，D 正确．10．(2023·四川省泸县第一中学模拟)如图所示，把质量为0.4 kg 的小球放在竖直放置的弹簧上，并将小球缓慢向下按至图甲所示的位置，松手后弹簧将小球弹起，小球上升至最高位置的过程中其速度的平方随位移的变化图像如图乙所示，其中0.1～0.3 m 的图像为直线，弹簧的质量和空气的阻力均忽略不计，重力加速度g ＝10 m/s 2，则下列说法正确的是( )A ．小球与弹簧分离时对应的位移小于0.1 mB ．小球的v 2－s 图像中最大的速度为v 1＝2 m/sC ．弹簧弹性势能的最大值为E p ＝1.2 JD ．压缩小球的过程中外力F 对小球所做的功为W F ＝0.6 J 答案 C解析 由于不计空气阻力，则小球与弹簧分离后，小球加速度为g ，说明小球在s ＝0.1 m 时刚好回到弹簧原长位置，小球与弹簧分离，即分离时对应的位移为0.1 m ，A 错误；对直线段有v 22＝2g (0.3 m －0.1 m)，解得v 2＝2 m/s ，由题图可知最大速度v 1>v 2，B 错误；从释放到小球速度为0的过程，弹性势能全部转化为小球的机械能，以最低点为重力势能参考平面，小球的机械能为mgh 0＝0.4×10×0.3 J ＝1.2 J ，故弹簧弹性势能最大值为E p ＝1.2 J ，C 正确；向下按h ＝0.1 m 的过程，根据功能关系有W F ＋mgh ＝E p ，解得W F ＝0.8 J ，D 错误． 11.(2020·江苏卷·15)如图所示，鼓形轮的半径为R ，可绕固定的光滑水平轴O 转动．在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m 的小球，球与O 的距离均为2R .在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M 的重物．重物由静止下落，带动鼓形轮转动．重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω.绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g .求：(1)重物落地后，小球线速度的大小v ；(2)重物落地后一小球转到水平位置A ，此时该球受到杆的作用力的大小F ； (3)重物下落的高度h .答案 (1)2ωR (2)(2mω2R )2＋(mg )2 (3)M ＋16m 2Mg(ωR )2解析 (1)重物落地后，小球线速度大小v ＝ωr ＝2ωR (2)向心力F 向＝2mω2R设F 与水平方向的夹角为α，则F cos α＝F 向 F sin α＝mg 解得F ＝(2mω2R )2＋(mg )2(3)落地时，重物的速度v ′＝ωR。
机械能守恒定律教材分析和教学建议
教学中要尽可能体现好探究性。如果课中能结合 实验开展讨论式教学那效果会更好。
第2节 功
过程与方法 1、通过实例理解功的两个要素和正负功的意思。 2、通过例题的示范掌握公式W=Flcosα的使用和几 个力总功的求法。
①F可以是恒力，也可以是变力
②v可以是瞬时速率,也可以是平均速度大小
③α是F与v的夹角
额定功率和实际功率
1.额定功率:机械或用电器长时间工作时的最 大功率叫额定功率
额定功率是动力机器重要的性能指标,一 个动力机器的额定功率是一定的
2.实际功率: 机器工作时实际输出的功率
实际功率正常应小于或等于额定功率,但可 以短时间大于额定功率,长时间会损坏机器
1.在额定功率下运动：
功率P 速度v
一定 F P v
阻力Ff 牵引力 不变 加速度
F
a F Ff a
m
1.当F=Ff时速度最大 2.先变加速再匀速 3.速度-时间图象
添加到第九节问题与练习
二、教法建议
第1节：追寻守恒量
过程与方法 1．体会伽利略分析问题的精妙，学习他能 分析出事物本质的方法。 2．在列举事例过程中体会费恩曼所说话的 深刻内涵，体会转化与守恒的普遍性。
[引入问题]如图所示为液压机的工作原理图。
使用液压机为什么能够省力？
S2
F1
探究1
h2
h1
S
F
S
α
甲F正,S方两答向案矢的：量夹α键角尾重乙合时答案：π- α
S α
α
S
F
丙 答案： α
F
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机械能守恒中速度关联问题的求解方法
作者：竺建国
来源：《都市家教·下半月》2014年第07期
【摘要】力学中，两个或两个以上物体相互连接参与运动的系统称为连接体。
连接体的拟题在高考命题中由来已久，考查考生综合分析能力,起初是多以平衡态下的连接体的题呈现在卷面上，随着高考对能力要求的不断提高，近几年加强了对非平衡态下连接体的考查力度。
研究对象多了，涉及到的物理量也多了，有力、速度、能量等，涉及矢量合成和分解、机械能守恒等，学生觉得很头疼。
以下是我在具体实践过程中的一些尝试，在此与大家一起探讨。
【关键词】连接体；矢量的合成和分解；机械能守恒定律
一、研究对象的选取问题的方法
1.隔离法
（1）含义：所谓隔离法就是将所研究的对象——包括物体、状态和某些过程，从系统或全过程中隔离出来进行研究的方法。
（2）运用隔离法解题的基本步骤：①明确研究对象或过程、状态，选择隔离对象，选择原则是：一要包含待求量，二是所选隔离对象和所列方程数尽可能少。
②将研究对象从系统中隔离出来；或将研究的某状态，某过程从运动的全过程中隔离出来。
③对隔离出的研究对象、过程、状态分析研究，画出某状态下的受力图或某阶段的运动过程示意图。
④寻找未知量与已知量之间的关系，选择适当的物理规律列方程求解。
2.整体法
（1）含义：所谓整体法就是将两个或两个以上物体组成的整个系统或整个过程作为研究对象进行分析研究的方法。
（2）运用整体法解题的基本步骤：①明确研究的系统或运动的全过程。
②画出系统的受力图和运动全过程的示意图。
③寻找未知量与已知量之间的关系,选择适当的物理规律列方程求解。
隔离法与整体法，不是相互对立的，一般问题的求解中，随着研究对象的转化，往往两种方法交叉运用，相辅相成。
所以，两种方法的取舍，并无绝对的界限，必须具体分析，灵活运用。
无论哪种方法都应以尽可能避免或减少非待求量(即中间未知量的出现,如非待求的力,非待求的中间状态或过程等)的出现为原则。
正确建立连接体间的速度关联关系，是求解连接体有关速度问题的切入点，也是求解有关连接体综合问题的关键之二。
二、绳系物体的求解方法
对于绳联问题，由于绳的弹力总是沿着绳的方向，所以当绳不可伸长时，绳联物体的速度在绳的方向上的投影相等。
求绳联物体的速度关联问题时，首先要明确绳联物体的速度，然后将两物体的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，令两物体沿绳方向的速度相等即可得到两者的速度关系，再根据机械能守恒定律求解相关问题。
例１：一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m2连接。
已知定滑轮到杆的距离为m，物体m2由静止从AB连线为水平位置开始下滑1m时，m1、m2恰受力平衡如图１所示。
试求：
（1）m2在下滑过程中的最大速度。
（2）m2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离。
图1
解析：（1）由图可知，随m2的下滑，绳子拉力的竖直分量是逐渐增大的，m2在C点受力恰好平衡，因此m2从B到C是加速过程，以后将做减速运动，所以m2的最大速度即出现在图示位置.对m1、m2组成的系统来说，在整个运动过程中只有重力和绳子拉力做功，但绳子拉力做功代数和为零，所以系统机械能守恒.ΔE增=ΔE减，即
1-2 m1v12+1-2 m22v2+m1g（A—C-A—B）sin30°
=m2g·B—C
又由图示位置m1、m2受力平衡，应有：
Tcos∠ACB=m2g,T=m1gsin30°
又由速度分解知识知v1=v2cos∠ACB，代入数值可解得v2=2.15 m/s；
（2）m2下滑距离最大时m1、m2速度为零，在整个过程中应用机械能守恒定律，得：
ΔE增′=ΔE减′
即:m1g（）sin30°=m2gH
利用（1）中质量关系可求得m2下滑的最大距离H=4-3m=2.31 m
二、杆联问题的求解方法
例2：如图2所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦。
当杆滑到如图位置时，B球水平速度为vB，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度大小。
（提示与答案：将A球竖直向下的速度向沿杆向下和垂直杆斜向下分解，将B球水平向右的速度向沿杆向下和垂直杆斜向上分解。
答案：vBtanɑ）
图2
解：速度分解如图所示，B球速度在杆方向的投影与A球速度在杆方向的投影是相等的，所以Vacosα=Vb cos(90°-α)
Va = vbtanɑ
三、接触物体的速度求解方法
求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出两者的速度关系，再根据机械能守恒定律求解相关问题。
例3：如图２-1所示，斜劈B的倾角为30°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个质量与斜劈质量相同、半径为r的球A放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动中：
（1）斜劈的最大速度。
（2）球触地后弹起的最大高度。
（球与地面作用中机械能的损失忽略不计）
解析：（1）A加速下落，B加速后退，当A落地时，B速度最大，下落过程中，斜面与球之间弹力对球和斜面做功代数和为零，所以系统机械能守恒。
mg（h-r）=1-2 mvA2+1-2 mvB2 ①
由图中几何知识知：h=cot30°·r=r ②
A、B的运动均可分解为沿斜面和垂直斜面的运动，如图2-2所示。
图2-2
由于两物体在垂直斜面方向不发生相对运动，所以vA2=vB2
即vAcos30°=vBsin30°③
解得vA=
vB=
（2）A球落地后反弹速度vA′=vA
做竖直上抛运动的最大高度：
Hm=
综上所述，复杂的速度关联问题是有解题思路和巧妙的解题方法的，首先明确连接体的速度沿绳、杆、垂直接触面等方向分解的分速度相等，在结合系统机械能守恒，抓住始末状态，就不必考虑中间细节，使问题大大简单。