立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

第7节 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

最新考纲 1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理

.

知 识 梳 理

1.直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →

为直线l 的方向向量，与AB

→平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量.

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·

a ＝0，n·

b ＝0.

2.空间位置关系的向量表示

[常用结论与微点提醒]

1.用向量知识证明立体几何问题，仍离不开立体几何中的定理.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.

2.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( )

(2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行，则a ∥α.( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( )

(4)若直线a 的方向向量与平面α的法向量垂直，则a ∥α.( ) 解析 (1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个； (2)a ⊥α；(3)两平面平行或重合；(4)a ∥α或a α.

答案 (1)× (2)× (3)× (4)×

2.(教材练习改编)已知平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，3，5)，n 2＝(－3，1，－4)，则( ) A.α∥β

B.α⊥β

C.α，β相交但不垂直

D.以上均不对

解析 ∵n 1≠λn 2，且n 1·n 2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直. 答案 C

3.若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－4)，则( ) A.l ∥α B.l ⊥α C.l

α

D.l 与α斜交

解析 ∵a ＝(1，0，2)，n ＝(－2，0，－4)， ∴n ＝－2a ，即a ∥n .∴l ⊥α. 答案 B

4.已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( )

A.(－1，1，1)

B.(1，－1，1)

C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33

，－33，－33

D.⎝ ⎛⎭⎪⎫

33

，33，－33

解析 设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，化简得⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，

－x ＋z ＝0，∴x ＝y ＝z .

答案 C

5.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________.

解析 以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1

→所在直线为x ，y ，z

轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A (0，0，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1.AM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1＝0，∴ON 与AM 垂直. 答案 垂直

考点一 利用空间向量证明平行问题

【例1】 (一题多解)如图，在四面体ABCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC . 证明：PQ ∥平面BCD .

证明 法一 如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD ，OP 所在射线分别为y ，

z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz .

由题意知，A (0，2，2)，B (0，－2，0)，D (0，2，0). 设点C 的坐标为(x 0，y 0，0). 因为AQ

→＝3QC →， 所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫34

x 0，24＋34y 0，12.

因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1). 又P 为BM 的中点，故P ⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，0，12，

所以PQ

→＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0. 又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0，0，1)，故PQ →·a ＝0.

又PQ

平面BCD ，

所以PQ ∥平面BCD .

法二 在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC ，连接OF ，同法一建立空间直角坐标系，写出点A ，B ，C 的坐标，设点C 坐标为(x 0，y 0，0). ∵CF →＝14CD →，设点F 坐标为(x ，y ，0)，则 (x －x 0，y －y 0，0)＝1

4(－x 0，2－y 0，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34x 0，y ＝24＋3

4y 0，∴OF

→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0 又由法一知PQ

→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0， ∴OF →＝PQ →，∴PQ ∥OF .

又PQ

平面BCD ，OF

平面BCD ，

∴PQ ∥平面BCD .

规律方法 1.恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.

2.证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.

【训练1】 已知正方体ABCD －A

1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为AB ，AD ，AA 1的中点，求证：平面EFG ∥平面B 1CD 1.

证明 建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则A (1，0，

0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B 1(1，1，1)，D 1(0，0，1).

得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，G ⎝ ⎛

⎭⎪⎫1，0，12， EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，0，EG →＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，－12，12. 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面EFG 的法向量，n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面B 1CD 1的一个