关于绝对值的几种题型及解题技巧
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关于绝对值的几种题型及解题技巧 所谓绝对值就是只有单纯的数值而没有负号。即0≥a 。但是,绝对值里面的数值可以是正数也可以是负数。怎么理解呢?绝对值符号就相当于一扇门,我们在家里面的时候可以穿衣服也可以不穿衣服,但是,出门的时候一定要穿上衣服。 所以,0≥a ,而a 则有两种可能:o a 和0 a 。如:5=a ,则
5=a 和5-=a 。
合并写成:5±=a 。
于是我们得到这样一个性质:
a
很多同学无法理解,为什么0 a 时,开出来的时候一定要添加一个“负号”呢?a -。因为此时0 a ,也就是说a 是一个负数,负数乘以符号就是正号了。如2)2(=--。因此,当判断绝对值里面的数是一个负数的时候,一定要在这个式子的前面添加一个负号。
例如:0 b a -,则)(b a b a --=-。
绝对值的题解始终围绕绝对值的性质来展开的。我就绝对值的几种题型进行详细讲解,希望能对你们有所帮助。
绝对值的性质:
(1) 绝对值的非负性,可以用下式表示:|a|≥0,这是绝对值非常重要的性
质;
a (a >0)
(2) |a|= 0 (a=0) (代数意义)
a 0 a 0 0=a a - 0 a
-a (a <0)
(3) 若|a|=a ,则a ≥0;若|a|=-a ,则a ≤0;
(4) 任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数, 即|a|≥a ,且|a|≥-a ;
(5) 若|a|=|b|,则a=b 或a=-b ;(几何意义)
(6) |ab|=|a|·|b|;|b a |=|||
|b a (b ≠0);
(7) |a|2=|a 2|=a 2
;
(8) |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|
一:比较大小
典型题型:
【1】已知a 、b 为有理数,且0 a ,0 b ,b a ,则 ( )
A :a b b a -- ;
B :a b a b -- ;
C :a b b a --;
D :a a b b --
这类题型的关键是画出数轴,然后将点按照题目的条件进行标记。
因为是0 a ,0 b ,b a ,所以我们就在原点的左边标记。
如果你不知道谁在前面,你就自己找一个数字。如:
4=a
,3=b 。34 ,又因为它们都是负数,所以4-=a 。3-=b
当我们把条件都标记好了,并假设了一个数值带入其中,我们就能准确地判断它们的大小了。
二:判断点的位置或者原点的位置
经典题型
【1】不相等的有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ,如果c a c b b a -=-+-,那么,点B 在( )
A :在A 、C 点的右边;
B :在A 、
C 点的左边;
C :在AC 点之间;
D :上述三种均可能 ·
这个题目要求从已知条件入手,判断各自的大小关系。首先将题目进行变形: c a c b b a -=-+-0=---+-c a c b b a
观察一下,三个式子最后的结果是“0”,而三个式子中刚好是2个a ,2个b ,2个c 。只有它们相互抵消了才可能为0.由此得到0 b a -。0 c b -,0 c a - 0
=+--+-=---+-c a c b b a c a c b b a 所以有:b a 。c b ,c
a 。 画出数轴:
由此可以得出B 点在AC 之间。但是原点呢?
c b a 。A 可以是正数也可以是负数。因此原点可以在a 的左边也可以在右边。这样原点可以在AB 之间,也可以在CB 之间,还可以在C 的左边。
三:已知点在数轴上的位置,简化或者计算。
典型题型
【1】实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,那么,化简a b a --的结果是:
A :2a-b ;
B :b ;
C :-b ;
D : -2a+b
从图中我们可以很准确地知道:0 a ,0 b ,而且点b 到原点的距离比点a 到原点的距离还长,所以我们可以判断出0 b a -。如果你不知道自己是否判断对了,就采用数值法。设2=a 。4-=b 。0642)4(2 =+=--=-b a 0 b a -直接开出来。于是,原式a b a --=b a b a -=--
【2】已知b c a 0,且c b ;化简b a c a c a c b c b +-+--++--
虽然条件中没有给出各点所在的位置,但是我们可以通过画数轴来确定各自的位置关系。
甚至你可以标记具体的数值帮助我们分析。如2=b 。4-=c ,5-=a
从数轴上可以看出,0 c b -。0 c b +。0 c a -,0 c a +。0 b a +
。由绝对值
的性质可以得到b
a c a c a c
b
c b +-+--++--[][][])()()()()(b a c a c a c b c b +--+---++---=
b a
c a c a c b c b ++++-+++-= a b 33+=
【3】若31 a ,则=-+-a a 13
这个题目给了a 的取值范围,因此我们要对绝对值中的式子进行判断。 31 a ,所以0
3 a -,而01 a -。如果你怕自己判断错误,不妨设一个数值,2=a 。记住一定是在1和3之间取数值。这样你就能知道自己是否判断正确了。
[]2
13)1()3(13=+--=--+-=-+-a a a a a a
如果没有给定区间,我们应该如何解答呢?
【4】化简1213-++x x 这个题型,首先要在数轴上找出它们的零值点,也就是绝对值里面的式子必须等
于“0”,由此得到:013=+x ,解得31-=x 。012=-x ,解得21=x 。 3
-
画数轴,然后将零值点标出,并延长其线段,再将属于零值点的式子标记上去。以零值点为分界线,数轴右边为正,左边为负。这样数轴就被分割成了三个部分。
第一部分:3
1- x 由图上箭头方向可知:013 +x 。012 -x
[]x
x x x x 5)12()13(1213-=--++-=-++
2 13+x 12-x 正 负 正 负