连续型随机变量

P(X 1) F(1) 1 (11)e1 1 2e1;
P(1 X 2) F(2) F(1) 1 3e2;
P( X
1) 1 P(X 2
1) 2
1 F(1) 2
1
3
e
1 2
.
2
描述随机变量
分布函数
离散型随机变量
连续型随机变量
分布律
概率密度函数
pk
F ( x)
P( X
x)
xk x x
3.3-1 连续型随机变量
一、概率密度函数概念
定义1 设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在非负函 数 f(x) ,使对任意实数x均有
x
F (x) f (t)dt
则称X为连续型随机变量,其中函数f(x)称为X的概率密 度函数,简称密度函数.
概率密度函数与分布函数均可完整地描述连续型随机 变量的统计规律性.
f (x)dx 1
设有一克金,被碾成沿x轴分布的一片面积为1的金箔
1.概率密度函数的几何解释
[密度函数定义]
x
F (x) f (t)dt
[密度函数求区间概率]
b
P(a X b) f (x)dx a
2.零概率事件与不可能事件是一回事吗？
注: 连续型随机变量取某一确定值的概率为零. 即，不可能事件与零概率事件的关系：
不定积分的基本公式
arcsin x C
arctan x C
sec x C
csc x C
练习：设随机变量X的概率密度函数为
f
(x)
2
1 x2 ,
1 x 1,
0,
其它,
求X的分布函数。
解：概率密度函数f(x)在(-∞,+∞)上为分段函数,其分段 区间为(- ∞,-1],(-1,1],(1,+∞);而分布函数为累积概率和, 故应就x在上述不同区间上积分求F(x).
F(x) f (x)
注：对分布函数分区间求导，得密度函数
例3：设随机变量X的分布函数为
1 (1 x)ex, x 0
F(x)
0,
x0
求概率密度函数。
fБайду номын сангаас
(x)
F ( x)
xex ,
0,
x 0, x 0.
0
Exe.1：设R.V.X的分布函数
F
(
x)
x
2
求概率密度函数。
1
x0 0 x 1
x 1
f (t)dt
pk 分布律 f (t) 概率密度函数
本节小结：
知识点与基本要求：
（1）理解连续型随机变量概率密度函数的概念、性质及其应用 （如确定密度函数中的参数；已知密度函数求分布函数或已知 分布函数求密度函数；求随机变量的区间概率）； （2）掌握连续型随机变量概率密度函数与分布函数间的关系 （例如确定分布函数中的参数；已知随机变量的分布律或密度 函数求分布函数；已知分布函数求分布律或密度函数）； （3）会利用概率密度函数计算随机变量在某区间内取值的概率 问题。
定义：函数 f (x) 在区间[a,b]上连续，
通常称函数
积分上限函数.
定理：若函数 f(x) 在区间[a,b]上连续, 则积分上限函数F(x) 在[a,b]上可导,且
注：连续型R.V.的分布函数是连续函数。
牛顿-莱布尼茨公式：
定积分的简单性质: 设 f(x)和g(x) 都是[a,b] 上的连续函数，k为常数.
性质1: 性质2: 性质3:积分可加性
二、概率密度函数的性质
由定义知,概率密度函数 f(x) 具有以下性质:
1.非负性：f (x) 0( x );
2.归一性： f (x)dx 1; [确定待定参数]※
例1：设随机变量X的概率密度函数为
0, x 0或x 1 f (x) kx, 0 x 1
分布函数 F(x)
定义： F(x) P X x
性质: 0≤F(x)≤1； F(-∞)=0 , F(+∞)=1。
应用：※ (1) P(a X b) F(b) F(a)
(2) P X c 1 F(c)
(3)P X d F(d)
定义：设函数 f (x) 在区间 规定：
上连续,
称此函数为 f (x) 在
A=Φ
P(A)=0
同理：必然事件与1概率事件的关系与此相似。
因此,在计算连续型R.V.取值落在一个区间的概率时, 不分开区间或是闭区间,这与离散型R.V.是不同的.
P(a X b) P(a X b) P(a X b)=P(a X b)
3. 概率密度函数与分布函数关系：※※
[1] 由分布函数求密度函数※
x
x
①当 x 1 时，F(x) f (t)dt 0dt 0;
上的广义积分。
当极限存在时,称广义积分收敛。
牛顿-莱布尼茨公式 广义积分的牛顿-莱布尼茨公式
例3续：设随机变量X的分布函数为
1 (1 x)ex, x 0,
F(x)
0,
x 0,
求区间概率(两种方法) P(X 1), P(1 X 2), P(X 1). 2
解：由分布函数求区间概率公式得：
求常数 k。
练习1：设X为连续型R.V.，其密度函数为
f
(x)
1 2
x2
ax,
, 0 ≤ x 1, 1≤ x 3,
求常数a。
0, 其他
练习2：设 X 是连续型R.V.，其密度函数为
3x, f (x) 0,
0 x A，
其他.
求常数A。
三、概率密度函数的应用
1.概率密度函数的几何解释
[密度函数归一性]
教学重点：连续型随机变量概率密度函数的概念、性 质及其应用，概率密度函数与分布函数间的关系。
基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式
不定积分的基本公式
C
xC
1 x1 C ( 1)
1
ln | x | C
ex C
ax C
ln a
不定积分的基本公式
sin x C
cos x C
tan x C cot x C
例3：设R.V.X的概率密度函数为
0, x 0或x 1 f (x) 2x, 0 x 1 求X的分布函数。
4.区间概率求解
[由密度函数求区间概率] ※
b
P(a X b) f (x)dx F(b) F(a)
a
P(X c)
f (x)dx 1 F(c)
c
d
P(X d) f (x)dx F(d)
0, x 0
Exe.2：设R.V.X的分布函数
F
(x)
x T
,
0≤ x T
求概率密度函数。
1, T ≤ x
3. 概率密度函数与分布函数关系：※※
[2] 由密度函数求分布函数※
x
F(x) f (t)dt ( x )
注：当密度函数为分段函数时，由于分布函数是定 义在整个数轴上的函数，因此，在利用密度函数求 解分布函数时应分区间求解。