北理849量子力学考研真题 2016

第 1 页, 共 1 页
2016 年攻读硕士学位研究生入学考试试题
科目代码：×××
科目名称：量子力学 一、简答题（每题 5 分，共 20 分）
1．简述 Einstein 的量子论，并阐述光电效应。

2．量子力学中，波函数的物理意义是什么？波函数是如何体现物质的波动性和粒子性的？
3．×××
4．阐述 de Broglie 的物质波理论，并与经典力学相比，说说对人们生活的影响。

二、（30 分）质量为 µ 的粒子在 22L x L −≤≤ 的范围内运动，满足边界条件 (2)(2)L L ψψ−=。

（1）求波函数的能量本征值，并求本征函数和简并度；
（2）加入微扰 cos(4)H x L π′=E 后，求基态能量到微扰论二级修正，求基态波函数到一级修正；
（3）求第一激发态的能量到一级修正。

三、（20 分）已知在动量表象中，ˆˆ[,]i x
p = ，ˆi ()x p =∂∂ ，f 是 ˆp 的函数。

求（1）[,]p xfx ；（2）2[,]x fx 。

四、（30 分）系统的 Hamilton 量为 2ˆˆˆ(2)x
H I L ω=+L ，21(0)Y (,)t Y θϕ==。

（1）求在 Heisenberg Picture 下，ˆL
各分量所满足的方程； （2）0t > 时，求 ˆL
的三个分量的平均值； （3）0t > 时，求系统能量的平均值。

五、（20 分）已知 ˆˆˆˆˆˆˆ+(,,)x x y y z z x y z
J J J J J J =+=J e e e ，ˆˆˆi x y J J J ±=±。

（1）证明：ˆˆˆ[,]x J J J −−=− 及 22ˆˆˆˆˆz J J J J +−−
=++−J ； （2）证明：ˆ,,1J j m
c j m −=−，并求常数 c 的值。

六、（30 分）对于自旋为 12 的系统，
（1）写出其 Pauli 矩阵，并设 ˆˆˆ(i )2x y σσσ±=
±，求 ˆˆ[,]σσ+−。

（2）在 z σ 表象中，求 ˆy σ
的本征值和本征矢量，记
10,01 =
αβ 将本征矢量用 α 和 β 表示。

（3）求 z σ 表象到 y σ 表象的变换矩阵，并验证之。