第三章 关系代数与关系运算
第3章 关系数据库
3）用户定义的完整性 ） 由用户自己根据情况， 由用户自己根据情况，对数据库中数据所做的规定称 为用户定义的完整性规则，也称为域完整性规则。 为用户定义的完整性规则，也称为域完整性规则。通 过这些规则来限制数据库中只能接受符合用户定义完 整性约束条件的数据值， 整性约束条件的数据值，从而保证了数据的正确性和 有效性。 有效性。
关系模型的主要特点有： 关系模型的主要特点有： （1）关系中每一分量不可再分，是最基本的数据单位，即不 ）关系中每一分量不可再分，是最基本的数据单位， 允许有表中表。 允许有表中表。 （2）每一竖列的分量是同属性的，列数根据需要而定，且各 ）每一竖列的分量是同属性的，列数根据需要而定， 列的顺序是任意的。 列的顺序是任意的。 （3）每一横行由一个个体事物的诸多属性构成，且各行的顺 ）每一横行由一个个体事物的诸多属性构成， 序是任意的。 序是任意的。 （4）一个关系是一张二维表，不允许有相同的属性名，也不 ）一个关系是一张二维表，不允许有相同的属性名， 允许有相同的元组。 允许有相同的元组。
（6）关系模式：对关系的描述，一般表示为：关系名 （属性1，属性2，…，属性n） （7）关键字或码（Key）：表中用来唯一确定（标识） 一个元组的某个属性或属性组合。 关键字必须唯一，但它的唯一性不是只对关系的当前元 组构成来确定的。(，)还要考Байду номын сангаас元组构成的将来可能性。 一个关系中，关键字的值不能为空，即关键字的值为空 的元组在关系中是不允许存在的。
3.2.1 传统的集合运算
传统的集合运算，包括并、 传统的集合运算，包括并、差、交、广义笛卡尔积 四种运算。 四种运算。 1、并（Union） 、 ） 关系R与关系 的并记作 关系 与关系S的并记作： 与关系 的并记作： R∪S = { t | t∈R ∨ t∈S } ∪ ∈ ∈ 其结果仍为关系，由属于 或属于 的元组组成。 或属于S的元组组成 其结果仍为关系，由属于R或属于 的元组组成。 2、交（ Intersection） 、 ） 关系R与关系 的交记作 关系 与关系S的交记作： 与关系 的交记作： R∩S = { t | t∈R ∧t∈S } ∈ ∈ 其结果关系仍为关系，由既属于 又属于 的元组组成。 又属于S的元组组成 其结果关系仍为关系，由既属于R又属于 的元组组成。
数据库关系运算
第3章 关系运算及关系系统
除法的性质：
（1） R÷S的结果属性是由属于R但不属于S的所有属性
构成的。
（2） R÷S的任一元组都是R中某元组的一部分。 （3） R（X，Y）÷S（Y，Z）≡R（X，Y）÷πY（S）
或构造临时关系T={P2，P4}， 再求
πE＃， P＃（EP）÷T
第3章 关系运算及关系系统
⑧ 检索参与全部项目职工姓名。
πEN（（（πE＃， P＃（EP））÷πP＃（P）） πE＃， P＃（EP）÷πP＃（σE＃=′E3′（EP）） E）
⑨ 检索参与项目包含职工E3参与项目的职工号，
或参与项目不包含职工E3所参与项目的职工号及姓名。
第3章 关系运算及关系系统
R÷S=πX（R）－πX（（πX（R）×S）－R）
（4） R÷S的计算过程如下：
① T=πX（R）;
② W=（T×S）－R;
③ V=πX（W）;
④ R÷S=T－V。
【例3.3】 给定关系R和S， 求R÷S。
第3章 关系运算及关系系统
图3.5 除法操作举例
第3章 关系运算及关系系统
然连接。 为了保留更多信息， 还有外连接、 半连接、 外部并-----扩充的关系代数运算。
第3章 关系运算及关系系统
1． 外连接（Outer join） 两个关系 R和 S 作自然连接时， 两个关系
公共属性上值不相等的元组无法进入连接后的
新关系， 造成R和S中部分元组值被舍弃。 有时希望这些该舍弃的元组继续保留在新关系 中-----外连接。
图3.7
S
SC运算结果
第三章-关系代数与关系运算
第三章关系代数与关系运算关系数据语言有三类：1．关系代数语言2．关系演算语言（元组关系演算语言、域关系演算语言）3．具有关系代数和关系演算双重特点的语言如SQL一．关系代数关系代数：一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式。
用对关系的运算来表达查询。
运算：将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果运算三要素：运算符、运算对象、运算结果关系代数的运算对象和结果都是：关系关系代数运算符（四类）：集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符集合运算符：并（U）、差（—）、交（∩）传统的集合运算符——从关系的“水平“方向即行的角度来进行专门的关系运算符：广义笛卡尔积（ⅹ）、选择（σ）、投影（π）、连接、除专门关系运算符不仅涉及行而且涉及列比较运算符：>、<、=、≥、≤、≠逻辑运算符：￢∧∨用来辅助专门的关系运算符二．传统的集合运算符传统集合运算符是二目运算符设关系R和S具有相同的目n(即n个属性),且相应的属性取自同一个域1．并（Union）记作：RUS={t|t∈R∨t∈S}结果仍是n目关系，由属于R或S的元组组成。
例：（a）（b）2.差关系R与S的差记作：R-S={t|t∈R∧t∈S} 结果仍是n目，由属于R而不属于S的所有元组组成。
如图E3.交关系R与S的交记作：R∩S = { t | t∈R∧t∈S }结果仍是n目，由即属于R又属于S的所有元组组成。
如图D 可以用差来表示R∩S=R-(R-S)4．广义笛卡尔积两个分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个（m+n）列的元组的集合。
元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。
若R有k1个元组，S有k2个元组，那么关系R与S的广义笛卡尔积有k1 x k2个元组，记作R×S = { t r t s | t r∈R∧t s∈S } 结果是m+n目如图例总结：集合运算符主要研究的是元组，即对表中的行进行研究、操作。
第3章 关系代数
关系代数
第3章 关系代数 章
2.1 关系代数概述 2.2 传统的集合运算 2.3 专门的关系运算
第2章
关系代数
2.1 关系代数概述
关系操作采用集合操作方式，即操作的对象和结果都是集合。 这种操作方式也称为一次一集合的方式 。 关系模型中常用的关系操作 关系操作包括： 关系操作 选择、投影、连接、 增加、 选择、投影、连接、除、并、交、差等查询操作和增加、删除、 增加 删除、 修改等。 修改 关系数据语言可以分为三类： 关系数据语言可以分为三类：
第2章
关系代数
三、连接（Join） 连接（ ） 连接也称为θ连接。 连接也称为 连接。它是从两个关系的笛卡尔积中 连接 选取属性间满足一定条件的元组。记作： 选取属性间满足一定条件的元组。记作：
其中A和 分别为 分别为R和 上度数相等且可比的属性组 上度数相等且可比的属性组。 其中 和B分别为 和S上度数相等且可比的属性组。 θ是比较运算符。连接运算从 和S的笛卡尔积 ×S中选 是比较运算符。 的笛卡尔积R× 中选 是比较运算符 连接运算从R和 的笛卡尔积 关系） 属性组上的值与（ 关系 关系） 取（R关系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组 关系 属性组上的值与 属性组 上值满足比较关系θ的元组 的元组。 上值满足比较关系 的元组。 连接运算中有两种最为重要也最为常用的连接，一 种是等值连接（equi-join）， 等值连接（ ），另一种是自然连接 自然连接 等值连接 ）， （Natural join）。 ）。
tr ts表示由两元组tr和ts前后有序连接而成的一个元 组。 任取元组tr和ts,当且仅当tr属于R且ts属于S时,tr和ts的 有序连接即为R×S的一个元组。
第2章
关系代数
数据库——关系运算
3.1 集合运算 刘鹤年编写
（属于R而且也属于S）
第3章 关系代数
喜欢跳舞的学生关系R
Sname
Sex
李敬
女
高全英
女
吴秋娟
女
穆金华
男
张欣欣
女
王婷
女
喜欢唱歌的学生关系S 刘鹤年编写
Sname
Sex
赵成刚
男
张峰
男
吴秋娟
女
穆金华
男
孙政先
男
王婷
女
吕文昆
男
孙炜
女
既喜欢跳舞也喜欢唱歌的学生R∩S
Sname
Sex
有相同的域。
则关系R和S的交，将产生一个包含所有既属于R
也属于S的元组的新关系。记作：R∩S。
由于R∩S =R–(R-S),或者R∩S =S–(S-R),
所以R∩S 运算是一个复合运算。
第3章 关系代数
3.1.3 交运算（续）
交操作的示意图，如图3-3所示。
刘鹤年编写
第3章 关系代数
3.1.3 交运算(续)
李敬
16020010 C语言程序设计
李敬
16020011 图像处理
李敬
16020012 网页设计
第3章 关系代数
3.2 特殊的关系运算
3.2 特殊的关系运算 刘鹤年编写
关系数据库是用数学方法处理数据的，关系 间可以进行各种运算，以支持对数据库的各种操 作。我们介绍其中最基本的三种运算：
选择（Selection）
从一组集合的笛卡尔积中，抽取能反映现实世界的， 具有实际意义的子集。该子集即为一个关系。
D1×D2×…×Dn的子集叫做在域D1×D2×…×Dn 上的关系，表示为:
第三章 关系运算
3、自然联接(natural join)---特殊的等值连接
将关系R和S中公共属性组满足对应分量相等的元组 联接起来， 并且要在结果中将重复的属性去掉。
R ⋈ S≡πi1,...im(σR.A1=S.A1∧... ∧R.AK=S.AK(R×S))
举例：
第17页，本讲稿共63页
4、 除(division)
A a
B b
abc bcd
a
b
bbf bce c a
cad adb
b
b
关系R
e f g null e
关系S
ABC D
AB
abc d
ab
abc e
ab
cad b
ca
b
b
f null
null e
CD cd ce db f null fg
CD cd ce db fg
第28页，本讲稿共63页
2. 外部并（outer union）
第26页，本讲稿共63页
i、如果R和S做自然联接时，把R中原该舍弃的元组放 到新关系中，那么这种操作称为“左外联接”操作， 用符号: R S表示。
ii、如果R和S做自然联接时，把S中原该舍弃的元组 放到新关系中，那么这种操作称为“右外联接”操作， 用符号: R S表示。
第27页，本讲稿共63页
ABC BCD
举例：
第10页，本讲稿共63页
2. 差(differedce)：设关系R和关系S具有相同的元数，
且相应的属性列具有相同的特征：
R―S≡{t︱t∈R∧tS}
其中：t是元组变量，R和S的元数相同。
举例：
第11页，本讲稿共63页
3. 笛卡儿积（cartesian product）
-数据库原理及应用第二版-第3章关系数据库
自然连接是连接中等值连接的特例，是一种 去掉重复属性的等值连接。连接的条件是两 个关系的同名属性。 记作：R*S 班级（班号，班名，班导师） 学生（学号，姓名，性别，班号） 班级*学生
两个重要的连接： 等值连接 θ为“=”，是从关系R和S的广义笛卡尔积中 选取A，B属性值相等的那些元祖。 自然连接 是一种特殊的等值连接，它要求两个关系 中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且 在结果中把重复的属性列去掉。
A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组。前
连接按连接条件分为：等值连接，大于连接和小于连接。 等值连接：就是指连接条件为等号。 大于连接就是指连接条件为>号 小于连接就是指连接条件为<号。 上述三种不同连接都称为连接，并不去掉重复属性和重复 元组。
R.A=S.A 班级（班号，班名，班导师） 学生（学号，姓名，性别，班号） R和S关系的连接，连接条件是R.A=S.A。运算结果是：
例1：学生实体和专业实体可以用下面的关系表示。
学生（学号，姓名，性别，专业号，出生日期） 专业（专业号，专业名）
例2：学生、课程以及学生与课程之间的选课关系可以用如 下三个关系表示：
学生（学号，姓名，性别，专业号，出生日期）
课程（课程号，课程名，学分） 选课（学号，课程号，成绩）
3.4.3 用户定义的完整性
2、属性 图3-1的学生关系中有学号、姓名、年龄、性别和所在系五 个属性，是一个五元关系。
二维表中的列称为属性（或叫字段），每个属性都有一个名字，称为属性名。 二维表中对应某一列的值称为属性值；二维表中列的个数称为关系的元数。
关系运算----关系代数
R − S = {t | t ∈ R ∧ t ∉ S} 式中“－”为差运算符，t 为元组变量，结果 R-S 为一个新的与 R、S 同类的关系，该 关系是由属于 R 而且不属于 S 的元组构成的集合，即在 R 中减去与 S 中相同的那些元组。
c1
d1
a1
b1
c2
d2
a3
b3
c1
d1
a3
b3
c2
d2
图 2.12 关系 P1×R、P2×R 和 P3×R
3. 关系的联结——广义笛卡尔乘积运算
查询常常需要由多个关系生成一个新的关系。为了有效处理这种情况，引入广义笛卡尔 乘积运算。
设有关系 R、S，其中关系 R 有 r 个属性分量、m 个元组，关系 S 有 s 个属性分量、n 个元组，则二者的广义笛卡尔乘积(Cartesian Product)运算定义为：
2. 关系元组选定——选择运算
为了完成关系元组的选择，引入选择运算。 选择(Selection)也是一元关系运算，用于选取某个关系上我们感兴趣的某些行(满足一定 的条件的行)，并且将它们组成一个新的关系。
Sn
Sa
刘刚
21
Class 2003A
王建
22
张华
21
李倩
20
2003A 2003A 2003A
A
B
C
a1
b1
c1
a1
b2
c2
a1
b2
c2
a2
b2
c1
a2
b2
c1
a2
b2
CH3-1电子课件
元
组
除了关系的标题栏以外，其他各 行统称“元组”。 元组的分量对应于关系的属性。 （090011，李明，19，计算机系）。 通常一个元组表示一个对象，元 组所属的关系表示对象所属的类。
域
关系模型要求每个元组的分量都 是原子的，即必须属于某种基本类 型，这个特定的基本类型称为 “域”，任何元组的每个分量都必 须在对应列的域中取值。
关系的等价表示法
关系的模式和元组都是集合，顺序 无关紧要，可以重新排列关系的行和 列，而关系并不改变。 为关系选择一个标准的属性顺序。 给定关系中元组的集合称为该关系 的“实例”。如下关系：
Student No 0900011 0900548 0900203
Student Name 李明 高亮亮 方平
5678 0463
数据库 操作系统
张明 许来华
实体集Student对应的关系如下所示：
StudentNo
0900011 0900548
StudentName
李明 高亮亮
Age
19 20
Dept
计算机系 自动化系
0900203
方平
18
外语系
E/R联系到关系的转换
E/R图中的联系也可用关系表示： 一、联系R所涉及到的每个实体集的键码 属性（集） 二、R本身的属性.
第三章 关系模型和关系 运算
本章要点
理解关系模型的基本概念。 将用对象定义语言或实体-联系模型 所建模型转换成需要的关系模型。 熟练掌握关系代数语言的使用，并 掌握关系演算语言和关系逻辑语言的 使用。
教学要求
理解：关系模型的基本概念。 熟练掌握:ODL设计转换为关系设计 熟练掌握:E/R图设计转换为关系设计 熟练掌握:用关系代数表达式表达查询 基本掌握:用关系演算表达式表达查询 基本掌握:用关系逻辑表达式 ( 数据逻 辑规则）表达查询要求。
第三章 关系运算2(实例讲解)
五、扩充的关系代数操作 1.外联接（outer join）
⋈ R S≡π i1,...im(σ R.A1=S.A1∧... ∧R.AK=S.AK(R×S))
在R和S做自然联接时，把原该舍弃的元组也保留在新关系中，
零件关系： P(PNO,PNAME,COLOR,WEIGHT)
工程项目关系：J(JNO,JNAME,JCITY,BALANCE)
供应情况关系：SPJ(SNO,PNO,JNO,PRICE,QTY)
SNO S1 S2 S3
SNAME 喜多 多乐士 天奴
SADDR 上海浦东 北京房山 广州汕头
PNO P1 P2 P3 P4 P5
6.检索供应零件给工程J1,且零件颜色为红色的供应商名称和地址。
π SNAME,SADDR(σ JNO=‘J1'∧ COLOR=‘红色’(S⋈SPJ⋈P))
7. 检索使用了零件编号为P3或P5零件的工程情况。
σ PNO =‘P3'∨PNO=‘P5’(SPJ)
8. 检索使用了零件编号为P3或P5零件的工程编号JNO。
PRICE QTY
5
5
S3
P4
J1
15
1
2. 检索供应零件给工程J1的供应商编号SNO与零件编号PNO。
π SN0,PN0(σ JNO=‘J1’ (SPJ))
SNO S1 S1 S3
PNO P3 P5 P4
JNO J1 J2 J1
PRICE QTY
5
5
10
2
15
1
3.检索供应零件给工程J1，且零件编号为P1的供应商记录。
σ JNO =‘J1’∧ PNO=‘P1’（SPJ）
数据库原理与应用_关系数据库理论
22
例：关系
设D1为学生集合= {张山，李斯，王武}； 张山 D2为性别集合= {男，女}； 张山 D3为年龄集合= {19，20} 张山
李斯 张山 男 19
女
男 女 男 女 男 女 男 女 男
19
20 20 19 19 20 20 19 19 20
请用二维表的形式表示关系：学生
张山 李斯 王武 女 男 男 19 20 19
元组（Tuple）
笛卡尔积中每一个元素(d1,d2,…,dn)叫作一个n元组（n-tuple）或简称元 组。
分量（Component）
笛卡尔积元素( d1,d2,…,dn )中的每一个值di叫作一个分量。
表示方法
笛卡尔积可表示为一个二维表。表中的每行对应一个元组，表中 的每列对应一个域。
19
运算对象：代表关系的变量或代表关系实例的常量
运算结果：关系
运算符：
传统的集合运算：在元组的粒度上运算，包括并、差、交、广义 笛卡尔积
专门的关系运算：可在元组与属性列的粒度上运算，包括投影、 选择、连接、除 （比较运算符、逻辑运算符）
45
关系代数的运算符
46
表示记号
第三章 关系数据库理论
回顾
什么是数据库、数据库管理系统、数据库系统 ？ 数据库系统的三层结构、三级模式结构、两级 映射、数据独立性 在数据库系统中，对现实世界客观对象的抽象 过程中，可建立哪三层模型？ 数据模型的三要素是什么？
2
回顾
概念模型
实体、属性、域、关键字、实体型、实体 集、联系
关系代数
4
7
5
8
6
9
R∪S的结果为：
1
4
7 5
5
8 1
6
9 12
② 差（相减）
具有相同属性集的两个关系R1, R2
的求差，是由属于R1而不属于R2的所有
元组t组成的一个新的关系，新关系具 有和R1相同的属性名集合。
运算符：“－”
记为： R1- R2
例如
R
A 1 B 2 C 3 A 7 4 5
它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Y上各 分量的集合。
Y为R中的一个属性组，Y={yi1,yi2…yik}， t[Y]=(t[yi1],t[yi2]…t[yik])表示R中的元 组t在属性组Y上各分量的集合
42
t[Y]
因此，求R÷S的操作步骤如下： (1)将R中属性分为两个集合X和Y， R(X,Y），其中Y就是S中的前半部分
A 1
R
B 2 C 3 A 7 4 5
S
B 8 5 1 C 9 6 12
4
7
5
8
6
9
R∩S的结果为：
A 4
7
B 5
8
C 6
9
⑤ 选择（限制）
从现有关系中选择满足一定条件的元组 组成新的关系。（从行的角度进行运算） 运算符“δ” 记为： δF（R）={t|t ∈R ∧F(t)=true}
其中F为选择条件，是一个逻辑表达式——
25
投影（续）
Sname 李勇 刘晨 王敏 张立 Sdept
CS
IS MA IS
26
投影（续）
[例4] 查询学生关系Student中都有哪些系 πSdept(Student)
数据库原理 第三章：关系数据库标准语言SQL
例5：查询选修全部课程的学生姓名。
RANGE SC X Course CX GET W (Student.SN) : CXSCX (SCX.SNO=Student.SNO∧O=O)
1、除运算÷（Division，亦称商）
用途：除法运算同时从行和列的角度进行运算，在表达某 些查询时有用，适合于包含“全部”之类的短语的查询， 例如“查询已注册选修了所有课程的学生名字”。
定义：给定关系 R（X，Y），S（Y，Z），X，Y，Z为属 性列，关系R和关系S中的Y出自相同域集，则： R÷S={tr[X]|tr∈R∧Πy(S)Yx} 其中，Yx为x在R中的象集，x= tr[X]。
② 逻辑运算符：∧（与）,∨（或）,┐（非）
③ 表示执行次序的括号：（）
其中，比较运算符的优先级高于逻辑运算符，可以使用（）改
变它们的优先级。
例1：查询所有男学生的姓名。
GET W (Student.Sname) : Student. Ssex = „男’
例2：查询信息系(IS)中年龄小于20岁的学生的学号和年龄
例3：查询S3同学所选课程名
RANGE SC X Course CX GET W (ame):X CX (o=o∧X.Sno=‟S3‟)
此查询涉及两个关系，对两个关系（Course和SC）作用存在 量词，所以用了两个元组变量。
例4：查询至少选修一门其先行课为6号课程的学生名字
操作条件中使用量词时必须用元组变量 例1：查询S3同学所选课程号
第3章 关系代数与数据查询
Sname 李勇
刘晨 王敏 张立
Sdept
软工
软工 计科 网工
Sdept 软工 计科 网工
3. 连接运算
连接也称为θ连接 连接运算的含义
从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组 R S = { tr ts | tr R∧ts S∧tr[A]θts[B] }
RS
AB
C
a1 b1 c1
a1 b2 c2
a2 b2 c1
a1 b3 c2
RS
A
B
C
a1
b2
c2
a2
b2
c1
R-S
A
B
C
a1 b1
c1
R
S
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ａ
ＢＣ
a1
b1
c1 a1
b2
c2
a1
b2
c2 a1
b3
c2
a2
b2
c1 a2
b2
c1
RS R.A R.B
R.C S. A S.B S.C
a1 b1
c1
a1
b2
c2
a1 b1
c1
a1
b3
c2
a1 b1
c1
a2
b2
c1
a1 b2
c2
a1
b2
c2
a1 b2
c2
a1
b3
c2
a1 b2
c2
a2
b2
c1
a2 b2
c1
a1
b2
c2
a2 b2
关-系-代-数
图2.3 连接运算举例
• 4.除 (Division) 运算
给定关系 R(X,Y) 和 S (Y,Z), 其中,X,Y, Z 为属性组，R中的Y与S中的Y可以有不相同的属性 名, 但必须出自相同的域集。 R 与 S 的除运算, 得到一个新的关系P(X), P是R中满足下列条件的 元组在X 属性上的投影:元组在 X 上分量值 x 的 象集 Yx 包含 S 在 Y 上的投影的集合,表示为:
R÷S ={t1[X]|t1∈R∧πY(S)⊆Yx} 其中，Yx 为 x 在 R 中的象集。
除运算是同时从行和列角度进行运算,在进行 运算时,将被除关系 R 的属性分成两部分: 与除 关系相同的部分Y 和不同的部分 X 。在被除关系 R 中,按 X 的值分组,即相同 X 值的元组分为一 组。除法的运算是求包括除关系中全部 Y 值的组, 这些组中的 X 值将作为 除结果的元组。
• 若 R 和 S 具有相同的属性组B, 则自然连 接可表示为:
R⋈S={t1t2|t1∈R∧t2∈S∧t1[A]=t2[B]}
• 例2.13设关系R、S分别为图2.2中的（a） 和 (b)，小于连接RB<C S ，等值连接RB=C S 和自然连接R S的结果分别为图2.3 (a) ,(b),(c)所示。
下面给出几个关系代数综合运算的例子。
• 例2.15 查询考试成绩大于等于90分的学 生的姓名和成绩.
πSname,,Score (σScore >=90(SC) S)
结果为表2.15所示。 表2.15 查询结果
• 例2.16 查询选修了课程名为“操作系统”的学 生姓名。
πSname((σ2=‘操作系统’（C） SC) S)= {徐圣孟，任伟平}
（N+M）列的元组的集合。元组的前N列是关系R的一个元 组，后M列是关系S的一个元组。若R有A1个元组，S有A2个 元组，则关系R和关系S的广义笛卡儿积有A1 × A2个元组。 记作R × S：
关系模型和关系运算
关系逻辑
• 谓词和原子 • 规则和查询 • 从关系代数到数据逻辑（交、并、差、 选择、投影、笛卡儿积、自然连接、θ连 接、复杂的关系代数表达式）
小节
• • • • • 关系模型 模式与实例 ODL类转换为关系 ODL中联系的转换 实体集与联系转换为 关系 •子类结构到关系的 转换 • 关系代数 •关系演算 •关系逻辑
第三章 关系模型和关 系运算
主要内容
• • • • • • 关系模型的基本概念 从ODL设计到关系设计 从E/R图到关系设计 关系代数 关系演算 关系逻辑
关系模型的基本概念
• • • • • • 属性 模式 元组 域 关系的等价表示法 关系的实例
从ODL设计到关系设计
• • • • • • 从ODL属性到关系属性 类中的非原子属性 单值联系的表示 多值联系的表示 联系与反向联系的表示 ODL子类的表示
从E/R图到关系设计
• 实体集到关系的转换 • E/R联系到关系的转换 • “属于”联系到关系的转换
关系代数
• • • • • 关系的集合运算 投影 选择 笛卡儿积 自然连接
•Θ连接 •改名 •复合运算
•基本运算和导出 运算
关系演算
• 元组关系演算（交、并、差、选择、投 影、笛卡儿积、自然连接、θ连接、复杂 的关系代数表达式） • 域关系演算
数据库原理及应用课后习题答案
数据库原理及应⽤课后习题答案第⼀章习题⼀、选择题1.数据库（DB）、数据库系统（DBS）、数据库管理系统（DBMS）之间的关系是（C）。
A）DB包含DBS和DBMS B）DBMS包含DBS和DBC）DBS包含DB和DBMS D）没有任何关系2.数据库系统的核⼼是（B）。
A）数据模型 B）数据库管理系统C）数据库 D）数据库管理员3.数据独⽴性是数据库技术的重要特点之⼀，所谓数据独⽴性是指（D）。
A）数据与程序独⽴存放B）不同的数据被存放在不同的⽂件中C）不同的数据只能被队友的应⽤程序所使⽤D）以上三种说法都不对4.⽤树形结构表⽰实体之间联系的模型是（C）。
A）关系模型 B）⽹状模型 C）层次模型 D）以上三个都是5.“商品与顾客”两个实体集之间的联系⼀般是（D）。
A）⼀对⼀ B）⼀对多 C）多对⼀ D）多对多6.在E-R图中，⽤来表⽰实体的图形是（A）。
A）矩形 B）椭圆形 C）菱形 D）三⾓形7.在数据库管理系统提供的数据语⾔中，负责数据的模式定义和数据的物理存取构建的是（A）。
A）数据定义语⾔ B）数据转换语⾔ C）数据操纵语⾔ D）数据控制语⾔8.数据库系统的三级模式结构中，下列不属于三级模式的是（B）。
A）内模式 B）抽象模式 C）外模式 D）概念模式9.在数据库管理系统提供的语⾔中，负责数据的完整性、安全性的定义与检查以及并发控制、故障恢复等功能的是（D）。
A）数据定义语⾔ B）数据转换语⾔ C）数据操纵语⾔ D）数据控制语⾔10.下⾯关于数据库系统叙述正确的是（B）。
A）数据库系统避免了⼀切冗余B）数据库系统减少了数据冗余C）数据库系统⽐⽂件能管理更多的数据D）数据库系统中数据的⼀致性是指数据类型的⼀致11.下列叙述中，错误的是（C）。
A）数据库技术的根本⽬标是要解决数据共享的问题B）数据库设计是指设计⼀个能满⾜⽤户要求，性能良好的数据库C）数据库系统中，数据的物理结构必须与逻辑结构⼀致D）数据库系统是⼀个独⽴的系统，但是需要操作系统的⽀持12.在数据库管理系统提供的数据语⾔中，负责数据的查询及增、删、改等操作的是（D）。
关系代数
投影（续）
Sname Sdept
李勇
刘晨 王敏 张立
CS
IS MA IS
投影（续）
[例] 查询学生关系Student中都有哪些系
πSdept(Student)
π姓名,课程号(S) ÷ π课程号(C)
3. 连接（Join）
1）连接也称为θ连接 2）连接运算的含义
从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组
R
AθB
S = { tr ts | tr R∧ts S∧tr[A]θts[B] }
A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组 θ：比较运算符
刘晨
王敏 张立
女
女 男
19
18 19
IS
MA IS
例
A
B
C
σB=’d’∧C=’e’（R1）
A a B d C e
关系R1
a
a f
b
d d
c
e c
2. 投影（Projection）
投影运算符的含义
从R中选择出若干属性列组成新的关系 πA(R) = { t[A] | t R } A：R中的属性列
19
CS
IS
200215123
200215125
王敏
张立
女
男 (a)
18
19
MA
IS
专门的关系运算(续)
Course
课程号 Cno 1 2 3 4 5 6 7 课程名 Cname 数据库 数学 信息系统 操作系统 数据结构 数据处理 PASCAL语言 6 1 6 7 先行课 Cpno 5 学分 Ccredit 4 2 4 3 4 2 4
软件设计师第三章数据库系统重点总结
第三章数据库系统数据库系统和操作系统一样，高级考试系统架构师和系统分析师也是重点章节。
重要的是这一章在软件设计师下午考试五道大题中，其中一道。
所以要给予足够的重视，没有数据库基础的朋友，要多花一些时间在这一章上。
一、三级模式-两层映射1、重点。
三级模式：内模式、模式（概念模式）和外模式。
三级模式分别对应数据库的文件、表和视图。
两层映射：模式-内模式映射、外模式-模式映射。
2、理解。
物理数据库在计算机上以文件的形式表现。
内模式和物理层次数据库直接关联，管理如何存储一系列数据，将数据存储在物理数据库文件中。
概念模式对应数据库中的表，把数据库分成若干张表，表之间有关联。
外模式对应数据库中视图，对数据控制有更灵活处置方式。
以下为历年真题试题9(2016年上半年试题51)数据的物理独立性和逻辑独立性分别是通过修改（51）来完成的。
D．模式与内模式之间的映像、外模式与模式之间的映像试题分析物理独立性是指的内模式发生变化，只需要调整模式与内模式之间的映像，而不用修改应用程序。
逻辑独立性是指的模式发生变化，只需要调整外模式与模式之间的映像，而不用修改应用程序。
试题13(2015年下半年试题51)数据库系统通常采用三级模式结构：外模式、模式和内模式。
这三级模式分别对应数据库的__(51)__。
B．视图、基本表和存储文件试题分析数据库三级模式的图为：其中外模式对应视图，概念模式对应基本表，内模式对应存储文件。
试题30(2013年上半年试题54)在数据库系统中，视图是一个（）D．虚拟表，查询时可以从一个或者多个基本表或视图中导出试题分析计算机数据库中的视图是一个虚拟表，其内容由查询定义。
同真实的表一样，视图包含一系列带有名称的列和行数据。
但是，视图并不在数据库中以存储的数据值集形式存在。
行和列数据来自由定义视图的查询所引用的表，并且在引用视图时动态生成。
试题答案（54） D二、数据库设计过程1、重点。
数据库设计过程有4个阶段，阶段依次为：需求分析、概念结构设计、逻辑结构设计和物理结构设计。
第3章 关系数据库复习题
A．实体完整性规则
C．参照完整性规则
答案：A
B．属性完整性规则
D．用户定义完整性规则
3．若属性 F 是关系 D 的主属性，同时又是关系 R 的外关键字，则 F 必须和 S 中的关键字
相对应。该规则称为_________。
A．实体完整性规则 B．属性完整性规则
C．参照完整性规则 D．用户定义完整性规则
B．可再分
16．关系数据库用表格来表示实体之间的联系，其任何检索操作的实现都是由_________种
基本操作组合而成的。
A．选择、投影和扫描
C．选择、运算和投影
答案：B
17．设有关系 R，按条件 f 对关系 R 进行选择，正确的是
A．RR
答案：C
B．R R C． f(R)
f
18．________是由数据结构、关系操作集合和完整性约束三部分组成。
A．关系模型 B．关系 C．关系模式 D．关系数据库
答案：A
二、填空题
1．关系操作的特点是______操作。
答案：集合
2．关系代数运算中，传统的集合运算有
和④
。
答案：①笛卡尔积 ②并 ③交 ④差
3．关系代数运算中，专门的关系运算有
。
答案：①选择 ②投影 ③连接
A．投影
答案：C
14．关系模式的任何属性________。
A．不可再分
C．记录
B．选择 C．笛卡儿积 D．除
C．命名和该关系模式中可以不惟一 D．以上都不是
答案：A
15．在关系代数运算中，五种基本运算为
A．并、差、选择、投影、自然连接
B．并、差、交、选择、投影
C．并、差、选择、投影、乘积
D．并、差、交、选择、乘积
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第三章关系代数与关系运算关系数据语言有三类：1．关系代数语言2．关系演算语言（元组关系演算语言、域关系演算语言）3．具有关系代数和关系演算双重特点的语言如SQL一．关系代数关系代数：一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式。
用对关系的运算来表达查询。
运算：将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果运算三要素：运算符、运算对象、运算结果关系代数的运算对象和结果都是：关系关系代数运算符（四类）：集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符集合运算符：并（U）、差（—）、交（∩）传统的集合运算符——从关系的“水平“方向即行的角度来进行专门的关系运算符：广义笛卡尔积（ⅹ）、选择（σ）、投影（π）、连接、除专门关系运算符不仅涉及行而且涉及列比较运算符：>、<、=、≥、≤、≠逻辑运算符：￢∧∨用来辅助专门的关系运算符二．传统的集合运算符传统集合运算符是二目运算符设关系R和S具有相同的目n(即n个属性),且相应的属性取自同一个域1．并（Union）记作：RUS={t|t∈R∨t∈S}结果仍是n目关系，由属于R或S的元组组成。
例：（a）（b）（c）（d） (e)2.差关系R与S的差记作：R-S={t|t∈R∧t∈S} 结果仍是n目，由属于R而不属于S的所有元组组成。
如图E3.交关系R与S的交记作：R∩S = { t | t∈R∧t∈S }结果仍是n目，由即属于R又属于S 的所有元组组成。
如图D 可以用差来表示R∩S=R-(R-S)4．广义笛卡尔积两个分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个（m+n）列的元组的集合。
元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。
若R有k1个元组，S 有k2个元组，那么关系R与S的广义笛卡尔积有k1 x k2个元组，记作R×S = { t r t s | t r∈R∧t s∈S } 结果是m+n目如图例总结：集合运算符主要研究的是元组，即对表中的行进行研究、操作。
三．专门的关系运算符包括选择、投影、连接、除等，为叙述上方便引入几个记号1）设关系模式为R(A1,A2,…，An)。
它的一个关系为R。
t∈R表示t是R的一个元组。
t［A i］则表示元组t中相应于属性A i的一个分量。
例：关系R（A,B,C）中t[B2]=b22）若A={A i1，A i2，…，A ik}，其中A i1，A i2，…，A ik是A1，A2，…，A n中的一部分，则A 称为属性列或域列。
t［A］=（t［A i1］，t［A i2］…，t［A ik］）表示元组t在属性列A上诸分量的集合。
A则表示{A1，A2，…，A n}中去掉{A i1，A i2，…，A ik}后剩余的属性组。
3)R是n目关系，S是m目关系。
t r∈R，t s∈S，t r t s称为元组的连接（Concatenation）。
它是一个n＋m列的元组，前n个分量为R中的一个n元组，后m个分量为S中的一个m 元组。
具体例的后面讲解4）给定一个关系R(X,Z),X和Z为属性组，定义，当t[X]=x时，x在R中的象集为：Z x={ t［Z］ | t∈R，t[X] = x }它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合。
如：Z=(B,C) R=(A,Z), x=a1则 Zx={(b1,c1)(b2,c2)}1.选择（selection）:又称限制，是在关系R中选择满足给定条件的元组记作：бF（R）= { t | t∈R∧ F(t) =’真’ }F：表示选择条件，是一个逻辑表达式，逻辑值只有“真”和“假”，由逻辑运算符连接算术表达式组成。
算术表达式基本形式：X1θY1 ，其中θ表示比较运算符，它可以是＞，≥，＜，≤，=或≠。
X1，Y1等是属性名，或为常量，或为简单函数；属性名也可以用它的序号来代替。
例：学生—课程数据库，包括学生关系Student（学号、姓名、性别、年龄、所在系），课程关系Course(课程号，课程名，先行课，学分)选修关系SC(成绩)画出上面数据库中的E-R图，先由学生画出，然后给出结果 E-R图结果如下：根据E-R图设计其表如下：（a）（b）（c）下面的例子要现场建立一个数据表,在SQL SERVER中测试查询语句。
例1：查询信息系统（IS系）全体学生σSdept=’IS’(Student) 或σ5=’IS’(Student)其中下角标“ 5”为 Sdept的属性序号。
结果如图对应SQL语句为：SELECT * FROM Student where Sdept=”IS”;例2：查询年龄小于20岁的学生σSage<20 (Student) 或σ4<20(Student) 结果如下图对应的SQL语句为：SELECT * FROM Student WHERE Sage<20;2.投影（从列的角度进行运算）关系R上的投影是从R中选择若干属性列组成新的关系：记作πA（R）= { t[A] | t∈R }，其中A为R中的属性列。
查询结果会取消有重复的列例3：查询学生的姓名和所在系，即求Student关系在学生姓名和系上的投影。
代数式为：πSname,Sdept（Student）或π2,5（Student），结果如图：对应的SQL语句为：SELECT Sname,Sdept FROM Student例4：查询学生关系中有哪些系？代数式为：πSdept（Student）或π5（Student），结果如上图：对应的SQL语句为：SELECT Sdept FROM Student3．连接（又称θ连接）它是从两个关系的笛卡尔积中选取属性间的满足一定条件的元组。
记作：}][][|{||BtAtStRtt tSRsrsrsrBAθθ∧∈∧∈=⨯期中A和B分别为R和S上度数相同且可比的属性组。
θ是比较运算符。
连接运算从R 和S的广义笛卡尔积RxS中选取在A属性祖上的值与在B属性组上值满足比较关系θ的元组。
重要两种的连接：等值连接（equijoin）、自然连接(natural join)1)等值连接：θ为“=“的连接运算，是从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A,B属性值相等的那些元组，即：}][][|{||BtAtStRtt tSRsrsrsrBA=∧∈∧∈=⨯=2）自然连接：一种特殊的等值连接，要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且结果中把重复的属性列去掉。
即若R和S具有相同的属性组B,则自然连接可记作：}][][|{||BtAtStRtt tSRsrsrsrBA=∧∈∧∈=⨯=一般的连接从行的角度，自然连接要取消重复列，是从行和列的角度进行运算。
连接对应后面的SQL语句的嵌套查询等例：有关系关系R和关系 S如图（a）(b) ，则SREC||⨯<如图（c）等值连接S R B S B R ||..⨯=的结果为图（d ），自然连接结果为（e ）（a ） （b ） （c ）（d ） （e ） 4．除——从行和列的角度进行运算给定关系R(X,Y)和S(Y,Z),其中X,Y,Z 为属性组。
R 中的Y 与S 中的Y 可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。
R 与S 的除运算得到一个新的关系P(X),P 是R 中满足下列条件的元组在X 属性列上的投影：元组在X 上分量值x 的象集Yx 包含S 在Y 上投影的集合。
记作：其中Yx 为x 在R 中的象集x=tr[X].例6：关系R 和S 如图(a) (b) (c) 对应概念中有R(A,Y)和S(Y,D)其中， Y 为属性列组（B,C ）关系R 中A 可以取四个值{a1,a2,a3,a4}其中a1的象集为{（b1,c2）,(b2,c3),(b2,c1)}a2的象集为{(b3,c7),(b2,c3)}a3的象集为{(b4,c6)}a4的象集为{(b6,c6)}S在(B,C)上的投影为{(b1,c2),(b2,c1),(b2,c3)}a1的象集(B,C)a1包含了S在(B,C)属性组上的投影，故R÷S={a1}Cno13 综合练习：例7：查询至少选修1号课程和3号课程的学生学号.先建立一个临时关系K，然后求：πSno,Cno(SC)÷K结果为{95001}例8：查询选修了2号课程的学生的学号πSno(бc no=’2’(SC))={ 95001,95002 }例9：查询至少选修了一门其直接先行课为5号课程的学生的姓名分解：先查询先行课为5号课程的课程，然后再查询选修的学生πSname,(бCpno=’5’(Course) |×| SC |×|πSno,Sname(Student))或πSname,( πSno(бCpno=’5’(Course) |×| SC) |×|πSno,Sname(Student)) 例10：查询选修了全部课程的学生学号和姓名πSno,Cno(SC) ÷ πCno(Course) |×| πSno,Sname(Student)课下练习、作业总结：掌握各种运算符的运算规则和使用方法四、关系演算只要给学生讲解概念就可，具体的运算语言不作讲解关系演算以数理逻辑谓词为基础的。
分为：元组关系演算和域关系演算以元组为变量的关系演算称为元组关系演算以域为变量的关系演算称为域关系演算对应的典型语言分别是元组关系演算语言ALPHA、域关系演算语言QBE(Query By Example)作业：80页课后习题5、6。