第四讲 逻辑函数表示方法转换及最小项最大项

数字电子技术基础
河北科技大学信息学院
内容回顾
逻辑代数的基本公式
1 2 3 4 5
0· A=0 A· 1=A
A A A
11 12 13 14 15
A+1=1 A+0=A
A A A
A A' 1
A A' 0
A• B=B • A
A• (B • C)=(A • B) • C
A(B+C)=A • B+A • C
例如：3变量A、B、C的最大项包括 A' B'C '、A' B C '、
？
A' B C、A B C等。 n 思考： 2 个。 n个变量的最大项有多少个？
三变量（A、B、C）最大项的编号表：
M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
A B C A B C' A B 'C A B 'C ' A' B C A' B C ' A' B 'C A' B 'C '
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
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① ④ 只有一个变量不同的两个最大项的乘 (A 在输入变量的任何取值下，必有一个 B 'C )( A B'C ' ) A B 'C C ' A B' ② 全体最大项之积为 0。
Y ABC ABC ABC
（2）从逻辑式列出真值表
将输入变量取值的所有组合状态逐一 代入逻辑式求出函数值，列成表。
【例】已知逻辑函数 Y A BC ABC 求它对应的真值表。
A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1
？
思考： 2 个。 n个变量的最小项有多少个？
n
三变量（A、B、C）最小项的编号表：
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
相 邻
A' B ' C ' A' B ' C A' BC ' A' BC AB' C ' AB' C ABC' ABC
相 邻
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
AB' C AB' C ' ABC'

Y ( A, B, C ) m5 m4 m6
m(4,5,6)
利用基本公式 A A' 1可以把任何一个逻 辑函数化为最小项之和的标准形式。 【例1】
Y ABC ' BC ABC'( A A' ) BC ABC ' ABC A' BC m(3,6,7)
( A B)
3.波形图与真值表的相互转换 由波形图得到真值表
根据所给的波形，列出各输入变量组合所对应 的输出值
例已知逻辑函数Y的输出波形如图所示，试分析其 逻辑功能。
A
解：由所给的波形 写出输入输出的真 值表，如表所示
O B O Y O
t
t
t
A O B O Y t
t
O
t
A
B
Y
0
1 1 0
③ 任意两个最大项之和为1。 最大项，而且只有一个最大项的值为 积等于各相同变量之和。 0。
最小项和最大项的关系：
m0 A' B' C'、m4 AB' C'
M 0 A B C、M 4 A' B C
m0' ( A' B' C ' )' A B C M0
【例2】 Y
A' BC AC B' C A' BC A( B B' )C ( A A' ) B' C A' BC ABC AB ' C AB ' C A' B' C
m3 m7 m5 m5 m1
m(1,3,5,7)
2. 逻辑函数的最大项之积形式——标准或与式
A+B=B+A
6
7 8 9 10
16
17 18
A+(B+C)=(A+B)+C
A+B • C=(A+B)(A+C)
( A B)' A' B'
( AB)' A' B' ( A' )' A 1' 0;0' 1
逻辑代数的常用公式
内容回顾
(21) A AB A (22) A A' B A B (23) AB AB' A (24) A( A B ) A (25) AB A' C BC AB A' C AB A' C BCD AB A' C (26) A ( AB)' AB' A'( AB)' A'
M (0,2,6)
0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 2 3 4 5 6 7
④ 具有相邻性的两个最小项之和可以合 ①任意两个最小项的乘积为 在输入变量的任何取值下有一个最小 ③ ② 全体最小项和为 1。 0。 并成一项并消去一对不同的因子。 项，而且仅有一个最小项的值为1。
二、最大项
在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之 和，而且这n个变量均以原变量或反变 量的形式在M中出现一次，则称M为该 组变量的最大项。
【例】写出下列真值表对应的函数式。
A 0 0 0 0 1 1 1 1 B C Y 0 0 0 0 0 1 第一步，找出使 第二步，各组合 第三步，各乘积 1 1 Y=1 0 的各组合。 输出 写成乘积项形式。 项相加。 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1
ABC
ABC ABC
(2)逻辑图到逻辑式 从输入端到输出端 逐级写出每个图形符号对应的逻辑式。
先写出符号对应的逻辑式子
( A B )
B
A'
Y (( A B) ( A B)' ) ( A B)( A B) AB AB (( A B) ( A B)') A B
利用基本公式A+BC=(A+B)(A+C)， AA’=0可以把逻辑函数化成最大项之积形式。
【例】
Y AB 'C
解：Y ( A C)(B'C)
( A C BB' )(B'C AA' )
( A C B)( A C B' )(B'C A)(B'C A' ) ( A B C )( A B'C )( A' B'C )
0
0 1 1
1
0 1 0
作业： P59 习题 2.3 (a) 2.4 (a) 2.6 2.8
2.5.3 逻辑函数的两种标准形式 一、最小项 在n个变量逻辑函数中，若m为包含n个 因子的乘积项，而且这n个变量均以原 变量或反变量的形式在m中出现一次， 则称m为该组变量的最小项。
例如：3变量A、B、C的最小项包括 A' B' C '、AB' C '、ABC '、ABC等。
m4' ( AB' C ' )' A' B C M 4
即：
mi ' M i或mi Mi '
三、逻辑函数的两种标准形式
1. 逻辑函数的最小项之和形式——标准与或式
如果在一个与或表达式中，所有与项均为最小项， 则称这种表达式为最小项之和形式，或称为标准与或式、 标准积之和式。 例如： Y ( A, B, C )
BC ABC Y
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0
0
0 0
0 1 1 0 1 1 1 1
2. 逻辑式与逻辑图的相互转换 （1）逻辑式到逻辑图 用图形符号代替逻辑式 中的运算符号，就可将逻辑式转换成逻辑图。 【例】已知逻辑函数为 Y A( B C ) 试画出对应的逻辑图。 解： 将式中所有的与，或，非运算符号用 图形符号代替，并依据运算优先顺序将 它们连接起来。
逻辑代数的基本定理
代入定理 反演定理 对偶定理
内容回顾
内容回顾 逻辑函数的表示方法 逻辑真值表 逻辑函数式 逻辑图 波形图
五、各种表示方法间的互相转换 1. 真值表与逻辑函数式的相互转换
（1）从真值表转换为逻辑函数式， 一般分为下面三步：
首先，找出真值表中使逻辑函数Y=1的输入变 量取值组合； 其次，每组输入变量取值的组合对应一个乘 积项，其中取值为1的写成原变量，取值为0 的写成反变量； 最后，将这些乘积项相加，即得到Y的逻辑函 数式。