高数第十二章常系数齐次线性微分方程
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C1,C2是 任 意 常 数 .
由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通 解的方法称为特征根法.
10
综 上 所 述 ,二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 ypyqy0
的 通 解 结 构 见 表
特 征 方 程 的 根 r1,r2 y p y q y 0 的 通 解
节常系数齐次线性微分方程
常系数齐次线性微分 方程的特征根解法
1
对 于 二 阶 齐 次 线 性 微 分 方 程
y p y q y 0 ( 1 ) 如 果 p ,q 均 为 常 数 ,则 方 程 (1 )称 为 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 . 如 果 p ,q 不 全 为 常 数 ,则 方 程 (1 )称 为 二 阶 变 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 . 要 点 : 只 要 求 出 ( 1 ) 的 两 个 线 性 无 关 的 特 解 y 1 ,y 2,
定 理 erx是 微 分 方 程 ypyqy0 的 解 r是 代 数 方 程 r2prq0 的 根 . 把 代 数 方 程 r2p r q0叫 做 微 分 方 程 (1 )的 特 征 方 程 . 特 征 方 程 的 根 叫 做 特 征 根 .
于 是 求 解 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 问 题 , 就 转 化 为 求 解 一 元 二 次 代 数 方 程 的 根 .
4
二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 解 法
对 于 微 分 方 程 y p y q y 0 特 征 方 程 为 r2 p r q 0
特 征 根
p p24q
r1,2
2
分三种情形: ( 1 ) p 2 4 q 0 ;
(2) p2 4q 0;
12
例 1 求 微 分 方 程 y 2 y 3 y 0 的 通 解 . 解 特征方程为
r2 2r30,
解 得 特 征 根 r 1 1 ,r 2 3 , 故 所 求 方 程 的 通 解 为
yC1exC2e3x. C1,C2是 任 意 常 数 .
13
例 2 求 方 程d2s2dss0满 足 初 始 条 件 dt2 dt
yC1er1xC2er2x
C1,C2是 任 意 常 数 .
6
2 .特 征 根 是 实 重 根 的 情 形
r p (二重), 2
则 y 1 e r x 是 微 分 方 程 的 一 个 解 ,要 求 方 程 的 通 解 , 只 令 需 y y再 1 2 求 u 一 (x 个 ),解 则 y2y ,2 且 y yy 1 21不 u(是 x)常 数 erx .u(x),
y1
1 2 ( y1
y2 )
ex cosx
y2
1 2i ( y1
y2 )
ex sinx
9
y1,y2仍 是 微 分 方 程 的 解 .且
y1 y2
eexxБайду номын сангаасsoinsxxcotx
不是常数. 于 是 微 分 方 程 的 通 解 为
y e x (C 1c o sx C 2s inx )
y 2 r e r x u ( x ) e r x u ( x ) e r x [ u ( x ) r u ( x ) ]
y 2 r e r x [ u ( x ) r u ( x ) ] e r x [ u ( x ) r u ( x ) ] 7
将y2，y2 ，y2代入原方程并化简
r1 r2为实根
yC1er1xC2er2x
r1 r2为实根
y(C1C2x)er1x
r1 i , r2 i
y e x (C 1c o sx C 2sinx )
11
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
y erx
(r为 待 定 常 数 )
将 y r e r x ,y r 2 e r x 代 入 ( 1 ) ,得 r2erx+prerx+qerx0
(r2+pr+q)erx0 3
因erx 0, 所 以 有 r2prq0
反 之 ,如 果 r满 足 方 程 r2p rq0 ,易 知 erx 是 方 程 y''p y'q y0 的 解 .
则 (1 )的 通 解 即 可 求 得 :
yC1y1C2y2
2
分 析 : 一 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程
dy ay 0 dx 有 形 如 y e a x 的 解 ( 通 解 y C e a x 中 C 1 ) ,
猜 想 : 假 如 方 程 ( 1 ) 也 有 指 数 形 式 的 解
u ( 2 r p ) u ( r 2 p r q ) u 0 ,
因 r 是 特 征 方 程 的 二 重 根 , 所 以
r2p r q0 , 2 rp0
于是u0, 取u(x)x,
则 得 另 一 个 与 y 1 线 性 无 关 的 解 y 2 x e r x , 于 是 微 分 方 程 的 通 解 为
(3) p2 4q 0.
5
1 .特 征 根 是 实 单 根 的 情 形
r1
p
p2 2
4q,
r2
p
p24q, 2
( r1
r2 )
则 得 微 分 方 程 的 两 个 线 性 无 关 的 特 解 :
y1 e r1x , y2 er2x
于 是 微 分 方 程 的 通 解 为
y(C1C2x)erx C1,C2是 任 意 常 数 8.
3 .特 征 根 为 一 对 共 轭 复 根 的 情 形
r 1 i,r 2 i,( 0 )
此时
y1e( i)x, y2e( i)x,
是 微 分 方 程 的 两 个 解 .由 欧 拉 公 式 可 得
由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通 解的方法称为特征根法.
10
综 上 所 述 ,二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 ypyqy0
的 通 解 结 构 见 表
特 征 方 程 的 根 r1,r2 y p y q y 0 的 通 解
节常系数齐次线性微分方程
常系数齐次线性微分 方程的特征根解法
1
对 于 二 阶 齐 次 线 性 微 分 方 程
y p y q y 0 ( 1 ) 如 果 p ,q 均 为 常 数 ,则 方 程 (1 )称 为 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 . 如 果 p ,q 不 全 为 常 数 ,则 方 程 (1 )称 为 二 阶 变 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 . 要 点 : 只 要 求 出 ( 1 ) 的 两 个 线 性 无 关 的 特 解 y 1 ,y 2,
定 理 erx是 微 分 方 程 ypyqy0 的 解 r是 代 数 方 程 r2prq0 的 根 . 把 代 数 方 程 r2p r q0叫 做 微 分 方 程 (1 )的 特 征 方 程 . 特 征 方 程 的 根 叫 做 特 征 根 .
于 是 求 解 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 问 题 , 就 转 化 为 求 解 一 元 二 次 代 数 方 程 的 根 .
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二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 解 法
对 于 微 分 方 程 y p y q y 0 特 征 方 程 为 r2 p r q 0
特 征 根
p p24q
r1,2
2
分三种情形: ( 1 ) p 2 4 q 0 ;
(2) p2 4q 0;
12
例 1 求 微 分 方 程 y 2 y 3 y 0 的 通 解 . 解 特征方程为
r2 2r30,
解 得 特 征 根 r 1 1 ,r 2 3 , 故 所 求 方 程 的 通 解 为
yC1exC2e3x. C1,C2是 任 意 常 数 .
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例 2 求 方 程d2s2dss0满 足 初 始 条 件 dt2 dt
yC1er1xC2er2x
C1,C2是 任 意 常 数 .
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2 .特 征 根 是 实 重 根 的 情 形
r p (二重), 2
则 y 1 e r x 是 微 分 方 程 的 一 个 解 ,要 求 方 程 的 通 解 , 只 令 需 y y再 1 2 求 u 一 (x 个 ),解 则 y2y ,2 且 y yy 1 21不 u(是 x)常 数 erx .u(x),
y1
1 2 ( y1
y2 )
ex cosx
y2
1 2i ( y1
y2 )
ex sinx
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y1,y2仍 是 微 分 方 程 的 解 .且
y1 y2
eexxБайду номын сангаасsoinsxxcotx
不是常数. 于 是 微 分 方 程 的 通 解 为
y e x (C 1c o sx C 2s inx )
y 2 r e r x u ( x ) e r x u ( x ) e r x [ u ( x ) r u ( x ) ]
y 2 r e r x [ u ( x ) r u ( x ) ] e r x [ u ( x ) r u ( x ) ] 7
将y2，y2 ，y2代入原方程并化简
r1 r2为实根
yC1er1xC2er2x
r1 r2为实根
y(C1C2x)er1x
r1 i , r2 i
y e x (C 1c o sx C 2sinx )
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二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
y erx
(r为 待 定 常 数 )
将 y r e r x ,y r 2 e r x 代 入 ( 1 ) ,得 r2erx+prerx+qerx0
(r2+pr+q)erx0 3
因erx 0, 所 以 有 r2prq0
反 之 ,如 果 r满 足 方 程 r2p rq0 ,易 知 erx 是 方 程 y''p y'q y0 的 解 .
则 (1 )的 通 解 即 可 求 得 :
yC1y1C2y2
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分 析 : 一 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程
dy ay 0 dx 有 形 如 y e a x 的 解 ( 通 解 y C e a x 中 C 1 ) ,
猜 想 : 假 如 方 程 ( 1 ) 也 有 指 数 形 式 的 解
u ( 2 r p ) u ( r 2 p r q ) u 0 ,
因 r 是 特 征 方 程 的 二 重 根 , 所 以
r2p r q0 , 2 rp0
于是u0, 取u(x)x,
则 得 另 一 个 与 y 1 线 性 无 关 的 解 y 2 x e r x , 于 是 微 分 方 程 的 通 解 为
(3) p2 4q 0.
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1 .特 征 根 是 实 单 根 的 情 形
r1
p
p2 2
4q,
r2
p
p24q, 2
( r1
r2 )
则 得 微 分 方 程 的 两 个 线 性 无 关 的 特 解 :
y1 e r1x , y2 er2x
于 是 微 分 方 程 的 通 解 为
y(C1C2x)erx C1,C2是 任 意 常 数 8.
3 .特 征 根 为 一 对 共 轭 复 根 的 情 形
r 1 i,r 2 i,( 0 )
此时
y1e( i)x, y2e( i)x,
是 微 分 方 程 的 两 个 解 .由 欧 拉 公 式 可 得