计数问题竞赛讲义一

计数问题竞赛讲义一

一．分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.分类加法计数原理

完成一件事情，有n 类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法……在第n 类方案中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法.

说明：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.

2.分步乘法计数原理

完成一件事情，需要n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.

说明：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.

3.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点

①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题

②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.

4.运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点：

①首先要确定“完成一件什么事”，然后确定怎样去完成（即需要“分类”还是“分步”）

②分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次要保证分类时做到“不重不漏”。分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次要保证“步骤完整”，即必须并且只需连续完成这n 个步骤，这件事才算完成.

【例题选讲】

例1 .在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种 使其和大于20的不同取法又共有多少种

解:（1）取b a +与取a b +是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,第一类,偶偶相加,由分步计数原理得(10×9)/2=45种取法,第二类,奇奇相加,也有(10×9)/2=45种取法.根据分类计数原理共有45+45=90种不同取法.

（2）分类标准一,固定小加数.小加数为1时,大加数只有20这1种取法;小加数为2时,大加数有19或20两种取法;小加数为3时,大加数为18,19或20共3种取法…小加数为10时,大加数为11,12,…,20共10种取法;小加数为11时,大加数有9种取法…小加数取19时,大加数有1种取法.由分类计数原理,得不同取法共有1+2+…+9+10+9+…+2+1=100种.

分类标准二:固定和的值.有和为21,22,…,39这几类,依次有取法10,9,9,8,8, …,2,2,1,1种.由分类计数原理得不同取法共有10+9+9+…+2+2+1+1=100种.

例2. 如图,共有多少个不同的三角形

解:所有不同的三角形可分为三类”

第一类:其中有两条边是原五边形的边,这样的三角形共有5个

第二类:其中有且只有一条边是原五边形的边,这样的三角形共有5×4=20个

第三类:没有一条边是原五边形的边,即由五条对角线围成的三角形,共有5+5=10由分类计数原理得,不同的三角形共有5+20+10=35个.

图2-1

图2-2图2-3

B

二．排列与组合

1.排列：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

2.排列数：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示。

3. 排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+L =!()!

n n m -，),,(n m N m n ≤∈*且 4.组合：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

5.组合数：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素组合数。

6. 组合数公式：)!(!!!m n m n m A C m n m

n

-==，),,(n m N m n ≤∈*且 7．解排列、组合题的基本策略与方法

（1）合理分类与准确分步 （2）有序排列，无序组合 （3）排列、组合混合问题先选后排

（4）特殊元素、特殊位置优先 （5）正难则反，等价转化 （6）相邻问题捆绑处理

（7）不相邻问题插空处理策略（8）定序问题除法处理（9）分排问题直排处理（10）构造模型的策略

【基础题型选讲】

例1．用数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字。

（1）可以组成多少个六位数 （2）可以组成多少个四位奇数

（3）可以组成至少有一个偶数数字的三位数多少个

（4）可以组成多少个能被3整除的四位数 （5）可以组成多少个大于324105的六位数

解：（1）从特殊元素0入手，0不能排在十万位，0有1

5A 种排法，剩下的5个数字可排在5个数位下，有

55A 种，故可组成6005515=A A 个六位数。

从特殊位置十万位入手，有15A 种排法，剩下的五个位置有55A 种，故可组成6005515=A A 个六位数。 六个数字可组成6

6A 个“六位数”（其中包括0在十万位的情形），而0在最高位上的“六位数”应扣除，

有55A 个，故共有6005566=-A A 个六位数。

（2）从特殊位置入手，个位上有13A 种排法，首位上有14A 种排法，中间两位上有24A 种排法，故共有144241413=A A A 个；

从特殊元素入手，可分为两类，含数字0的有241213A A A 个，不含有数字0的有3

413A A 个，故共有四位奇数144241413=A A A 个。