运用公式法1
2.3运用公式法
2.3运用公式法课时1 利用平方差公式分解因式课练巩固1.下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）A .x 2＋y 2 B .－x 2－y 2 C .－x 2＋y 2 D .x 2－(－y 2)2下列各项不能用平方差公式分解的是（ ）A .42x －2y B .2x －2yC .162x －2y D .222549y x -+ 3.分解因式－4a 2+9b 2的正确结果是（ ） A .(2a ＋3b)(2a-3b) B . (-2a+3b)(-2a-3b) C .(2a ＋3b)(3b-2a) D . (-2a ＋3b)(2a-3b)4.已知5x y +=，2215x y -=，则y x-的值是（ ）A .3B .-3C .5D .-55.216－1可以被下列哪两个10以内的数整除（ ）A. 2和3B.3和5C.2和5D.3和76.分解因式：a 3－25a ＝7.利用分解因式计算：1.222×9－1.332×4＝_________.8.一个长方形的面积是(x 2－9)平方米，其长为(x ＋3)米，用含有x 的整式表示它的宽为_______米.9.因式分解：（1）16x 2－25y 2；（2）（a ＋2b ）2－（2a －b ）2；（3）xy 2－9x ；（4）81x 4－y 2.10.先分解因式，再求值： （1）xy 3-x 3y ，其中x ＝13，y ＝3. （2）(2x ＋3y )2－(2x －3y )2.其中x ＝16，y ＝18.11.如图，在半径为R 的圆形钢板上，除去半径为r 的四个小圆，利用因式分解计算当R ＝7.8厘米，r ＝1.1厘米时剩余部分的面积.( π取3.14，结果保留三个有效数字)r R12.请用两种不同的方法分解因式:64a a -.比较两种解法,你认为哪种更好一些?从中你能得到什么启示?课时笔记［知识要点］1.把乘法公式（a＋b）（a－b）= a2－b2过来，就得到因式分解的平方差公式：a2－b2 =（a＋b）（a－b）．［温馨提示］平方差公式的特点是：①左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；②右边是两个数的和与这两个数的差的积，而且被减数是左边平方项为正的那个数．[方法技巧]1．观察一个多项式能否用平方差分解因式，首先应把多项式写成两个式子的平方差的形式．2．如果多项式的项两项都含有公因式，要先提取公因式，再看看能否用平方差分解因式．课时2 利用完全平方公式分解因式课练巩固1.下列多项式中，可以用完全平方公式分解因式的是( )A .221x x +-B .221x x -+-C .21x x ++ D .214x +2.把代数式ax 2－4ax +4a 分解因式，下列结果中正确的是（ ）A .a (x －2)2B .a (x ＋2)2C .a (x －4)2D . a (x ＋2)(x －2) 3.如果24x mx ++是一个完全平方式，则m 的值为（ ）A .4B . －4C .±2D .±44.多项式x 2－4x ＋a 可分解为（x ＋b ）2，则a ，b 的值是（ ）．A .a ＝4，b ＝－2B .a ＝－4，b ＝－2C .a ＝4，b ＝2D .a ＝－4，b ＝－2 5.（哈尔滨中考·2010）把多项式2a 2－4ab ＋2b 2分解因式的结果是 .6.已知│x －y │＝3，则222x y xy +- 的值为＿＿＿.7.若222524x kxy y ++可以分解为2(52)x y -，则k 的值是________.8.多项式216ax a -与221632x x -+的公因 式是______________.9.已知正方形的面积为2244x xy y ++（x＜0, y ＜0）,则表示正方形边长的代数式为 .10.把下列各式分解因式： （1）x 2－4xy ＋4y 2； （2）4x 3y ＋4x 2y 2＋xy 3；（3）(x 2＋6x )2＋18(x 2＋6x ) ＋81； （4）(x 2＋y 2)2－4x 2y 2.11.先分解因式，再求值：（1）4x 2－12xy ＋9y 2，其中x=－32，y=－23.（2）a 4－4a 3b ＋4a 2b 2.其中a ＝8，b ＝－2.12.给出三个多项式X =2a 2＋3ab ＋b 2，Y =3a 2＋3ab ，Z = a 2＋ab ，请你任选两个进行加（或减）法运算，再将结果分解因式．课时笔记［知识要点］1.运用公式法：由分解因式与整式乘法的关系可以看出。
因式分解的7种方法
一、提公因式法.：)(c b a m mc mb ma ++=++二、运用公式法.由乘法公式，将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．补充公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是：A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
因式分解之提取公因式法和运用公式法(教师版)
课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ C ）A ．223(2)3x x x x +-=+-； B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（ C ）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ． 例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（ C ）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+． 例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ A ）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（ D ）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ C ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（ A ）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ B ）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-． 例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ A ）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0． 例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ．（2-） 例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________.（92） 例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.（2-）例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）-+-41222332m n m n mn ； （2） 3423424281535a b a b a b -+；解：原式222(261)mn mn m n =--+ 解：原式22222(2512)15a b ab b a =-+ （3）322x x x ()()---； （4）412132q p p ()()-+-；解：原式(2)(31)x x =-+ 解：原式22(1)(221)p q pq =--+（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx x a ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y ----- 解：原式23()m ax ax bx c x =--++ 解：原式2(2)(2)[5103(2)]n nx y x y =-----（7）2249x y -； （8）3282(1)a a a -+；解：原式(23)(23)x y x y =+- 解：原式2(31)(1)a a a =+-（9）44116a b -； （10）224()25()x y x y --+； 解：原式22(14)(12)(12)a b ab ab =++- 解：原式(73)(37)x y x y =-++ （11）42241128a b a b -； （12）2233(27)4x x --； 解：原式221(2)(2)8a b a b a b =+- 解：原式9(6)(6)4x x =+- （13）31()7()7x y x y ---； （14）222(4)16x x +-； 解：原式1()(7)(7)7x y x y x y =--+--解：原式22(2)(2)x x =+- （15）29124a a ++； （16）229312554a ab b -+； 解：原式2(32)a =+ 解：原式231()52a b =-（17）2244ab a b --； （18）2318248a a a -+；解：原式2(2)a b =-- 解：原式22(23)a a =-（19）42816x x -+； （20）(6)9a a ++；解：原式22(2)(2)x x =+- 解：原式2(3)a =+（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；解：原式2(5)m n =++ 解：原式24(2)a b =-例14、已知12a b -=，18ab =，求22332a b ab a b -++的值． 解：∵12a b -=，18ab =， ∴2233221112()()8232a b ab a b ab a b -++=-=⨯=例15、应用简便方法计算。
因式分解的常用方法(基本公式法,分拆法,配方法,换元法,待定系数法)
因式分解方法归纳总结第一部分：方法介绍初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，进一步着重换元法，待定系数法的介绍.、提公因式法.：ma+mb=m(a+b)、运用公式法.(1) (a+b)(a -b) = a 2-b2 ---------- a 2-b2=(a+b)(a -b);, 2 2, 2 2 , 2,2(2) (a ± b) = a ± 2ab+b ----------------- a ± 2ab+b =(a ± b);(3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a 3+b3------ a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);2 2、33 3 3 2 2、(4) (a -b)(a +ab+b ) = a -b -------------- a -b =(a -b)(a +ab+b ).F面再补充两个常用的公式：(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2;3,3 3 2,2 2(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca);例.已知a, b, c是ABC的三边，且a2 b2 c2则ABC的形状是()(二)分组后能直接运用公式ab bc ca,A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解: a2 b2 c2 ab bc ca 2 2 22a 2b 2c 2ab 2bc 2ca(a b)2 2 2(b c) (c a)三、，分组分解法例 2、分解因式：2ax 10ay 5by解法一：第、二项为一组；第三、四项为一组。
解:原式=(2ax 10ay) (5by bx)= 2a(x 5y) b(x 5y)=(x 5y)(2a b)bx解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。
原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =x(2a b)5y(2a b) =(2a b)(x 5y)练习：分解因式1、a2 ab ac bc 2、xy x y 1例3、分解因式：x2 y2 ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
运用公式法
运用公式法篇一：运用公式法运用公式法平方差公式22(a+b)(a-b)=a-b公式中的字母可以表示任何数、单项式或多项式。
因此，计算时公式中的字母以可以表示任何数、单项式或多项式，只要符合公式特点，就可以运用平方差公式平方差公式多项式必须是两个数（或式）的平方差，能2够指明二项式中，哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于222公式中的b。
并且把给出的多项式经过简单变形，写成a-b的形式，以便于分解，当公式中的字母表示多项式时，分解过程中需要加中括号，但结果中不能含有中括号，在添、去括号时都应注意是否需要变号。
有些题表面看不符合平方差公式的特点，但仔细观察，它们符合平方差公式的特点，可以应用公式计算。
再次鼓励与提倡解决问题策略的多样化，满足不同学生发展的需求，丰富学生的学习经验，提高思维水平，培养创新意识。
通过介绍同一问题的不同解决方法，让学生感受到分解因式中的一些技巧。
篇二：运用公式法数学微格教学教案科目：数学课题：分解因式——运用公式法执教：袁媛训练技能：设计理念：一、教学内容：北师大版初二下册第二章p54-58页内容。
二、教学目标：1、回固因式分解的概念和复习提公因式法；2、复习平方差公式与完全平方公式，并灵活运用到分解因式中；3、结合提公因式法进行分解因式；4、掌握分解因式与整式乘法的关系。
三、教学重点：本章内容是分解因式，分成了三小节。
前两节分别讲的是因式分解的概念和提公因式法进行分解因式。
本节要讲的是用公式法进行因式分解。
其重点是熟记乘法公式中的平方差公式与完全平方公式，并结合前两节知识进行因式分解。
四、教学难点：难点是用公式法结合前一节内容进行因式分解。
教学过程：训练技能执教者教学目标袁媛教学课题教学时间分解因式——运用公式法20XX-9-261、复习巩固因式分解定义和提公因式法；2、复习平方差公式与完全平方公式，并灵活运用到分解因式中；3、结合提公因式法进行分解因式；4、掌握分解因式与整式乘法的关系。
3.运用公式法(一)教学设计
第二章分解因式3．运用公式法（一）学生知识状况分析学生的技能基础：学生在上几节课的基础上，已经基本了解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了平方差公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础。
学生活动经验基础：通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础，本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验。
教学任务分析学生在学习了用提取公因式法进行因式分解的基础上，本节课又安排了用公式法进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。
教学目标：知识与技能：（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用平方差公式进行因式分解；（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式。
过程与方法：（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；（2）培养学生对平方差公式的运用能力。
情感与态度：在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法。
教学过程分析第一环节练一练活动内容：填空：（1）（x+3）（x–3） = ；（2）（4x+y）（4x–y）= ；（3）（1+2x）（1–2x）= ；（4）（3m+2n）（3m–2n）= 。
根据上面式子填空：（1）9m2–4n2= ；（2）16x2–y2= ；（3）x2–9= ；（4）1–4x2= 。
活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力。
注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系。
第二环节 想一想活动内容：观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？结论：a 2–b 2=（a+b ）（a –b ）活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，通过自己的归纳能找到因式分解中平方差公式的特征。
因式分解题型提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法
1.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的 的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。
2．常用的因式分解方法：（1）提公因式法：对于ma mb mc ++， 叫做公因式， 叫做提公因式法。
①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
②公因式的构成：系数：各项系数的 ；字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。
（2）公式法：①常用公式平方差： 完全平方：立方和：3322a b (a+b)(a -ab+b )+= 立方差：②常见的两个二项式幂的变号规律： 22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）（3）十字相乘法①二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。
（4）分组分解法①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式或利用公式法，即可达到分解因式的目的。
例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
②原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
《公式法》知识全解
《公式法》知识全解课标要求能．用公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解. 特别说明：原课程标准为“会．用公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解.” 从课程标准的角度来看，新课标提高了对这部分内容的要求，从以前的理解提高到了掌握层面；同时，课标指出用公式法为直接利用．．．．公式，删减了老教材中类如拆项法、凑和法等较高技巧的因式分解方法.使公式法因式分解的目标更为直接，学习本节内容后学生能更好地掌握平方差公式和完全平方公式型的特点，为后续的学习奠定了基础.知识结构因式分解（两种方法） ()()()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧±=+±-+=-222222 b a b ab a b a b a b a 完全平方公式平方差公式公式法提公因式法（说明：提公因式法为上节课内容，本节课在学习公式法后会综合因式分解的这两种方法.） 内容解析1．把乘法公式反过来，就可以得到关于因式分解的公式，本节课结合公式讲授如何运用公式进行多项式的因式分解；2．两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积：()()b a b a b a -+=-22； 3．两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方: ()2222b a b ab a ±=+± 重点难点本节课的教学要求是使学生理解每个公式的意义，掌握公式的特点，并能熟练运用公式将多项式进行因式分解，但是直接用公式不要求超过两次，用公式中字母表示多项式时，不要求超过两项.本节课重点是掌握公式的特点，牢固记住公式（平方差公式较为简单，完全平方公式是一个三项式，分清公式中哪两个数的积的2倍是关键）.本节课难点是熟练运用公式（可以考虑本节课内容为2课时，则第二节课难点为灵活运用公式）.教法导引运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式.在教学中首要要让学生明确公式法分解因式与过去已学知识的联系，知道因式分解与整式乘法的关系，会自觉调用已学知识进行正迁移.其次，在教学过程中，要培养学生的观察、引申、变式能力，鼓励学生的举一反三能力.学法建议通过列举小学运算的学习顺序“学完加法后学习减法，学完乘法后学习除法”到中学的学习过程“从数的运算到式的运算”，让学生明白学习因式分解是学习式的除法运算，而式的除法运算是建立在乘法运算的基础上的，公式法即是用公式对一些具有特殊结构的多项式折成特殊的因式之积.这样的教学有利于使学生形成自己完整的知识体系.知其然而且知其所以然.在学生熟悉公式法的基本公式构型后，要不断挑战学生的认知阈限，从二项式的因式分解到三项式，从公式的项是简单的单项式到多项式，从使用一次公式到还能再分解，从单纯用公式法到综合多种方法分解因式. 让学生明白数学的丰富性，并且在追溯、变式、引申中感受数学的乐趣与魅力.即使对学习能力较浅同学，也能明白数学有径可循.。
4.3公式法(1)平方差公式
C. -(2a +1)(2a+1) D.
2. 把下列各式分解因式：
1）18-2b²
2) x4 –1
1)原式=2(9-b2)=2(3+b)(3-b) 2)原式=(x²+1)(x+1)(x-1)
3.x2-64因式分解为( D ). (A)(x-16)(x+4); (B) (x-32)(x+32); (C) (x+16)(x-4); (D) (x-8)(x+8). 4. 64a8-b2因式分解为( C ). (A) (64a4-b)(a4+b); (B) (16a2-b)(4a2+b); (C) (8a4-b)(8a4+b); (D) (8a2-b)(8a4+b).
⑶在乘法公式中，“平方差”是计算结果； 在因式分解中，“平方差”是要分解的多项式。
引例： 对照平方差公式怎样将下面的多项式分解因式 （1）x2-16 （2）9m2-4n2 解:(1) x2－16 x x ４４ ＝x2 － 42 ＝ ( ＋ ) ( － ) ……① a2 － b2 ＝ (a＋ b) (a － b) (2) 9m2-4n2 3m 3m 2n 2n ＝(3m)2 － (2n)2＝( ＋ ) (
( 4 ) –9x² + 4m
2 4 （5）x y -9
2
=(2m+3x)(2m-3x)
解：2） 4x² - m² n²
原式=(xy2)2-32 =(xy2+3)(xy2-3)
=(2x)² - (mn)²
=（2x+mn)(2x-mn)
下列多项式可否用平方差公式分解 因式，如果可以应分解成什么式 子？如果不可以请说明理由。
数学运用公式法一
(反)
思
逸夫初级中学“三导三学五环节”导学案
年级：八年级科目：数学
课题
2.3运用公式法(一)
主备人
李驰
审核人
李驰
授课人
编号
04
授课
时间
班级
姓名
学习
目标
1、经历通过整式乘法的平方差的逆向得出公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维。
2、：平方差公式分解因式.
难点：观察平方差特点并利用平方差公式分解因式
预习展示
分解下列因式（平方差公式）：
（1）、1-4x2；（2）、m2-4；（3）、x2-4y2；
（4）、3x3-12x；（5）、 。
学
习
流
程
引领探究
1、a2-b2= (a+b)(a-b)中a，b都表示单项式吗？它们可以是多项式吗？
2、(1)9(m+n)2-(m-n)2;（2）4(m+n)2-(m-n)2
有效检测
把下列各式分解因式
（1）-(x+y)2+z2
（2）9（a+b）2-4（a-b）2
（3）m4-16m4
（4）x2－（a+b－c）2
（5）
梳理拓展
1、对于任意的自然数 ， 能被24整除吗?为什么?
2、如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，可以得到一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，可以得到一个分解因式的公式，这个公式是怎样的？
学
习
流
程
学 案
导 案
导学预习
1、什么是因式分解？我们已经学过的因式分解的方法有什么？
初一数学_因式分解的常用方法
因式分解的常用方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式分解因式1、bc ac ab a -+-22、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式分解因式：ay ax y x ++-222222c b ab a -+-分解因式：y y x x 3922--- yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
公式法解一元二次方程的例题20道
公式法解一元二次方程的例题20道一元二次方程是中学数学学习中的重要内容，公式法是解一元二次方程的一种常见方法。
通过求根公式，可以解任意形式的一元二次方程，这在代数学习中具有重要意义。
接下来，我将结合公式法解一元二次方程的例题，带你一起深入理解这一知识点。
1. 解题思路在使用公式法解一元二次方程时，我们首先要将方程化为标准形式：$ax^2+bx+c=0$，然后利用求根公式：$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$来求得方程的解。
在实际解题中，我们需要注意判别式$\Delta=b^2-4ac$的正负与零，以确定方程的解的个数及性质。
2. 例题1已知一元二次方程$2x^2-5x+2=0$，求方程的根。
解：根据公式法，首先计算判别式$\Delta=(-5)^2-4\times2\times2=1$，由于$\Delta>0$，则方程有两个不相等的实根。
代入求根公式，得$x_1=\frac{5+\sqrt{1}}{4}=\frac{7}{4}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{1}}{4}=\frac{3}{2}$。
方程的解为$x_1=\frac{7}{4}$，$x_2=\frac{3}{2}$。
3. 例题2求一元二次方程$3x^2-4x+1=0$的根。
解：计算判别式$\Delta=(-4)^2-4\times3\times1=0$，由于$\Delta=0$，则方程有两个相等的实根。
代入求根公式，得$x_1=x_2=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
方程的解为$x_1=x_2=\frac{2}{3}$。
4. 例题3已知一元二次方程$4x^2-12x+9=0$，求方程的根。
解：计算判别式$\Delta=(-12)^2-4\times4\times9=-48$，由于$\Delta<0$，则方程没有实数根，只有一对共轭复数根。
代入求根公式，得$x_1=\frac{12+\sqrt{-48}}{8}=1+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，$x_2=\frac{12-\sqrt{-48}}{8}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}i$。
运用公式法例题课
运用公式法因式分解一、学习指导1、代数中常用的乘法公式有：平方差公式：(a+b)(a －b)＝a 2－b 2完全平方公式：(a±b)2＝a 2±2ab+b 22、因式分解的公式：将上述乘法公式反过来得到的关于因式公解的公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式：平方差公式：a 2－b 2＝(a+b)(a －b)完全平方公式：a 2±2ab+b 2＝(a±b)23、应用公式来分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，也就是要从它们的项数系数，符号等方面掌握它们的特征。
明确公式中字母可以表示任何数，单项式或多项式。
③同时对相似的公式要避免发生混淆，只有牢记公式，才能灵活运用公式。
④运用公式法进行因式分解有一定的局限性，只有符合其公式特点的多项式才能用公式法来分解。
二、例题分析：例1：分解因式：（1）4a 2－9b 2 (2)－25a 2y 4+16b 16解：（1）4a 2－9b 2＝(2a)2－(3b)2＝(2a+3b)(2a －3b)解：（2）－25a 2y 4+16b 16＝16b 16－25a 2y 4＝(4b 8)2－(5ay 2)2＝(4b 8+5ay 2)(4b 8－5ay 2)注：要先将原式写成公式左边的形式，写成(4b 8)2－(5ay 2)2例2:分解因式：（1）36b 4x 8－9c 6y 10 （2）(x+2y)2－(x －2y)2（3）81x 8－y 8 （4）(3a+2b)2－(2a+3b)2分析：（1）题二项式有公因式9应该先提取公因式，再对剩余因式进行分解，符合平方差公式。
（2）题的两项式符合平方差公式，x+2y 和x －2y 分别为公式中的a 和b 。
（3）题也是两项式，9x 4和y 4是公式中的a 和b 。
（4）题也是两项式，3a+2b 和2a+3b 是平方差公式中的a 和b 。
解：（1）36b 4x 8－9c 6y 10＝9(4b 4x 8－c 6y 10)＝9[(2b 2x 4)2－(c 3y 5)2]＝9(2b 2x 4+c 3y 5)(2b 2x 4－c 3y 5)注：解题的第二步写成公式的左边形式一定不要丢。
2.3运用公式法
任何一个正奇 你发现了什么规 数都可以表示 律？能用因式分 解来说明你发现 成两个相邻自 的规律吗？ 然数的平方差。 对于正奇数 2n+1(n为自然 2 2 数)，有 n 1 n
1 3 5 7 …
1 12 02
3 22 12
5 32 22
7 42 32
…
ห้องสมุดไป่ตู้
n 1 n n 1 n 2n 1
1.把下列各式分解因式
(1)(a 2 b 2 ) 2 4 a 2 b 2
（1）x -12xy+36y (1)18a2-50 4 2 2 4 (2)16a +24a b +9b (2)-3ax2+3ay4 2 2 (3)-2xy-x -y (3)(a+b)2-4a2 2 (4)4-12(x-y)+9(x-y) (4)-25x2y2+100 2+2a2x+a3; (5) ax 2 2 (5)4(a-b) -9(2a+3b) 2+6xy－3y2. (6) － 3 x 2 2 2 (6)(x +3x) -(x+1)
已知3a+b=10000，3a-b=0.0001， 求 b2-9a2 的值.
3.下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（ ） A、x4+6x2y2+9y4 B、x2n-2xnyn+y2n C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4
4.如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,那么k的值是（ A、20 B、-20 C、10 D、-10 5.如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ A 、6 B、±6 C、3 D、±3 ） ）
2-3-1提公因式、公式法(一).讲义教师版
2-3-1提公因式法、公式法 讲义·教师版 page 1 of 10板块一：因式分解的基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式；③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；③单项式因式写在多项式因式的前面；④每个因式第一项系数一般不为负数；⑤形式相同的因式写成幂的形式.【例1】 判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由.⑴22()()x y x y x y +-=-； ⑵322()x x x x x x +-=+⑶232(3)2x x x x +-=+-； ⑷1(1)(1)xy x y x y +++=++【考点】因式分解【难度】1星【题型】解答 【关键词】【解析】⑴不是，此变形是整式乘法运算；⑵不是，此等式不成立；⑶不是，等式右边不是整式乘积的形式；⑷是.例题精讲提公因式法、公式法。
用公式法求解一元二次方程
CHAPTER 03
使用公式法求解一元二次方 程
求解方程的步骤
1. 写出方程的标准形式
首先，我们要确保方程是一元二次方程的标准形式，即 $ax^2+bx+c=0$。
2. 计算判别式
判别式$\Delta=b^2-4ac$，它可以帮助我们确定方程的 根的类型。
3. 代入求根公式
如果判别式$\Delta\geq0$，则方程有实数根，可以代入 求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$求解；如果 $\Delta<0$，则方程有复数根。
实例解析二：利用公式法解决实际问题
01
02
03
04
05
问题描述：一个自由落 体运动，物体从高度 $h$ 处自由落下，求物 体落地所需时间 $t$。
• 分析：自由落体运动 的位移公式为 $s = \frac{1} 通过公式变换，可得 一元二次方程 $\frac{1}{2}gt^2 - h = 0$。
二次方程的理解和掌握。
学习其他求解一元二次方程的方 法，如因式分解法、配方法等，
提高解题的灵活性和多样性。
在学习的过程中，注重理论与实 践相结合，多做练习和实际应用 ，提高数学素养和解决问题的能
力。
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通用性
公式法可以用于求解所有形式的 一元二次方程，不像配方法或因 式分解法那样依赖于方程的特定
形式。
精确性
只要计算准确，公式法可以给出精 确解，而不会产生近似误差。
系统性
公式法是一种系统性的解题方法， 无需过多的思考和试探，只需按照 公式步骤进行计算即可。
公式法的缺点
计算复杂性
八年级数学知识点分类讲解1因式分解(一)
八年级数学知识点分类讲解第一讲因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．。
2.3.1用公式法解一元二次方程 课件(共20张PPT)
典例精讲
【题型三】公式法的应用
例 4：已知等腰三角形的一腰长为x，周长为 20，则方程x²12x+31=0的根为 6+ 5
.
例 5：若x²+3xy-2y²=0，则
点拨：方程两边同时乘
=
,得
− ±
.
+ × − = ,
设 = ,则 ² + − = ,
(2)确定 a、b、c的值;
(3)计算b²-4ac的值;
(4)当b²-4ac≥0时，把a、b、c的值代入一元二次方程的求根公式，求得方
程的根;当b²-4ac <0时,方程没有实数根.
注意： 虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非
是最简单的，一定要注意方法的选择.
典例精讲
例 1：
【题型一】公式法解一元二次方程的逆用及根的判别式
典例精讲
【题型二】已知方程根的情况求参数的值或取值范围
例 2：若关于x的一元二次方程 − ² + + = 有两个相
等的实数根，则点P(m-3,-m+4)在第 二
象限.
例3：已知关于x的方程 − ²² + + + =
有实数根，则 k的取值
范围是 k≥ .
3 用公式法求解一元二次方程
第1课时 用公式法解一元二次方程
1.通过阅读课本学生可以利用公式法解数字系数的一元二次方程，
并会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，全面提高
学生解方程的能力.
2.通过阅读课本学生可以用配方法推导求根公式，培养学生推理
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14.3.1运用公式法（1）
【目标导引】
1.分解因式的平方差公式是由整式乘法的哪个公式得到的？是如何得到的？
2.怎样的多项式才能用平方差公式分解？你会用平方差公式分解因式吗？
【学习探究】
一、铺垫导入与自主预习
1.因式分解：
（1）a 4a 22-=________________； （2）)(3)(2y x y x +-+=__________________；
2.填空： （1）)(a 422=； （2）；)(b 9422= （3）)(0.16a 24=；（4）)(a 2
22=b
3.利用平方差公式计算下列各式，
（1）(x ＋5)(x －5)=_____________； 则
))((25x 2=- （2）(3x ＋y )(3x －y )=___________； 则 ）（)
(922x =-y （3）(5＋4x )(5－4x )=____________. 则))((16
-25y 2= 4.观察右边的式子，就可以得到))((22a =-b ，这个公式叫做分解因式的平方差公式.它与平方差公式有什么关系？
二、知识探究与合作学习
5.阅读P116-117例3，
探究一：下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？请把能分解因式的分解因式。
（1）；（ 2）； （3）； （4）；
（5）； （6）； （7）.
归纳：多项式有几项？这几项必须是两项的 ，且符号 .
6.探究二：分解因式。
（1）y 44x - （2）ab b -a 3 （3)x y x 22
28)(--
归纳：分解因式的一般步骤为：1.___________;2.____________;3.观察分解后的式子是否还能继续进行分解。
【当堂演练】
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）.
A.－x 2＋y 2
B.x 2＋y 2
C.a 2＋(－b )2
D. a 3－b 3
2.把多项式4x 2
－4分解因式后结果正确是（ ）.
A.4(x 2－1)
B.(2x ＋2)(2x －2)
C.4(x ＋2)(x －2)
D.4(x ＋1)(x －1)
3.若，且，则 ，m 和n 分别等于_______.
4.把下列多项式分解因式：
（1）y 2225100x
- ； （2）a b 224a -+）（ ；
（3）2a 3b －8ab ； （4）322-x 2
+-）（y ；
【拓展延伸】
一、归纳反思
1.在用平方差公式分解因式时，多项式必须具有或变形后具有 的特征；公式中的字母不仅可以表示 ，还可以表示一个 式或 式.
2.在分解因式时，若多项式各项含有公因式，通常先提出这个公因式，然后再进一步分解因式，直到多项式的每个因式 为止.
二、能力提升
3.把下列多项式分解因式：
（1） 3mx n +2－27mx n y 2； （2）(3x －1)2－4x 2；
（3）16(a －b )2－4(a ＋b )2; (4)1x 4- ； （5）)(x 2
2z y x z y +-++-）（.
4.利用分解因式计算：
（1）1002－992＋982－972＋…＋22－12；。