中考数学易错题专题训练-圆的综合练习题及详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为

4cm，求这个圆形截面的半径．

【答案】10cm

【解析】

分析：先过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D设半径为r，得出AD、OD的长，在

Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．

详解：解：过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，

∵OC⊥AB

∴BD=1

2

AB=

1

2

×16=8cm

由题意可知，CD=4cm

∴设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm

在Rt△BOD中，

由勾股定理得：OD2+BD2=OB2

（x﹣4）2+82=x2

解得：x=10．

答：这个圆形截面的半径为10cm．

点睛：此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解．

2．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧OB上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．

（1）求证：PD2=PE•PF；

（2）当∠BOP=30°，P点为OB的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．

【答案】（1）详见解析；（2）D（﹣

3

4

a，

3

4

a），E（﹣

33

4

a，

3

4

a），F（﹣

3

2

a，

0），P（﹣3

a，

2

a

）；S△DEF=

33

a2．

【解析】

试题分析：（1）连接PB，OP，利用AB切⊙O1于B求证△PBE∽△POD，得

出PB PE

OP PD

=，同理，△OPF∽△BPD，得出

PB PD

OP PF

=，然后利用等量代换即可．

（2）连接O1B，O1P，得出△O1BP和△O1PO为等边三角形，根据直角三角形的性质即可解得D、E、F、P四个点的坐标．再利用三角形的面积公式可直接求出三角形DEF的面积．

试题解析：（1）证明：连接PB，OP，

∵PE⊥AB，PD⊥OB，

∴∠BEP=∠PDO=90°，

∵AB切⊙O1于B，∠ABP=∠BOP，

∴△PBE∽△POD，

∴=，

同理，△OPF∽△BPD

∴=，

∴=，

∴PD2=PE•PF；

（2）连接O1B，O1P，

∵AB切⊙O1于B，∠POB=30°，

∴∠ABP=30°，

∴∠O1BP=90°﹣30°=60°，

∵O1B=O1P，

∴△O1BP为等边三角形，

∴O1B=BP，

∵P为弧BO的中点，

∴BP=OP，

即△O1PO为等边三角形，

∴O1P=OP=a，

∴∠O1OP=60°，

又∵P为弧BO的中点，

∴O1P⊥OB，

在△O1DO中，∵∠O1OP=60°O1O=a，

∴O1D=a，OD=a，

过D作DM⊥OO1于M，∴DM=OD=a，OM=DM=a，

∴D（﹣a， a），

∵∠O1OF=90°，∠O1OP=60°

∴∠POF=30°，

∵PE⊥OA，

∴PF=OP=a，OF=a，

∴P（﹣a，），F（﹣a，0），

∵AB切⊙O1于B，∠POB=30°，

∴∠ABP=∠BOP=30°，

∵PE⊥AB，PB=a，

∴∠EPB=60°

∴PE=a，BE=a，

∵P为弧BO的中点，

∴BP=PO，

∴∠PBO=∠BOP=30°，

∴∠BPO=120°，

∴∠BPE+∠BPO=120°+60°=180°，

即OPE三点共线，

∵OE=a+a=a，

过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA=30°，

∴EM=OE=a，OM=a，

∴E（﹣a， a），

∵E（﹣a， a），D（﹣a， a），

∴DE=﹣a ﹣（﹣a ）=a ，

DE 边上的高为： a ，

∴S △DEF =×a×a=a 2．

故答案为：D （﹣

a ， a ），E （﹣a ， a ），F （﹣a ，0），P （﹣a ，）；S △DEF =a 2．

3．如图，□ABCD 的边AD 是△ABC 外接圆⊙O 的切线，切点为A ，连接AO 并延长交BC 于点E ，交⊙O 于点F ，过点C 作直线CP 交AO 的延长线于点P ，且∠BCP ＝∠ACD ． （1）求证：PC 是⊙O 的切线；

（2）若∠B ＝67.5°，BC ＝2，求线段PC ，PF 与弧CF 所围成的阴影部分的面积S ．

【答案】（1）见解析；（2）14

π-

【解析】 【分析】（1） 过C 点作直径CM ，连接MB ，根据CM 为直径，可得∠M+∠BCM ＝90°，再根据AB ∥DC 可得∠ACD ＝∠BAC ，由圆周角定理可得∠BAC ＝∠M ，∠BCP ＝∠ACD ，从而可推导得出∠PCM ＝90°，根据切线的判定即可得；

（2）连接OB ，由AD 是⊙O 的切线，可得∠PAD ＝90°，再由BC ∥AD ，可得AP ⊥BC ，从而得BE ＝CE ＝ 12

BC ＝1，继而可得到∠ABC ＝∠ACB ＝67.5°，从而得到∠BAC ＝45°，由圆周角定理可得∠BOC=90°，从而可得∠BOE ＝∠COE ＝∠OCE ＝ 45°，根据已知条件可推导得出OE ＝CE ＝1，PC ＝OC 22OE CE 2+部分的面积.

【详解】（1） 过C 点作直径CM ，连接MB ，

∵CM 为直径，

∴∠MBC ＝90°，即∠M+∠BCM ＝90°，