《函数的单调性》人教版优秀课件1

解：
y
1
（x
4 2 )2
4
,
而当 x 1 时， u ( x 2 )2 4
为正数且增函数，
（
x＋
4 2 ）2
4
递减，故原函数
在 ( 1 , ∞）上为减函数。
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例4：设f(x)在定义域A上是减函数，试判断y ＝3－2f(x)在A上的单调性，并说明理由。
当 a 0 时 f(x 1 ) f(x 2 )
此时f（x）为减函数.
当a>0时， f(x1)<f(x2)，此时f(x)为增函数.
题型二：图象法
例3：指出下列函数的单调区间：
(1)y x2 1
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例4：指出下列函数的单调区间：
(2)y x2 2 x 3
f ( x)x1x6在[ 24,]上 单 调 递 减 。
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如何应用函数
f(xx )1x在 6 [42],和 ， 1[04] 上的单调性求其最大值 ？
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解：f(x)x1x6在 [24,]上 单 调递
函数的单调性
习题课
复习
1、函数单调性的定义是什么？ 对于给定区间D上的函数f(x)，若
对于D上的任意两个值x1,x2，当x1<x2 时，都有f(x1)<(>)f(x2),则称f(x)是 D上的增（减）函数，区间D称为f(x) 的增（减）区间。
若 f (x1) f (x2) ＞0，则说明 什 么？ x1 x2
•
8.特点就是这件事物不同于其他的地 方，每 种物品 都有自 己明显 的特点 ，比如 外形、 用途等 ，所以 ，如果 要想让 自己的 物品与 众不同 ，就一 定要抓 住它的 特点。
•
9.有的时候，我遇到的字只知道拼音 ，可不 知道它 的写法 ，我就 用音序 查字法 从字典 里寻出 它的芳 踪，有 时候看 到不会 读的字 ，我就 用部首 查字法 在字典 中找到 它的倩 影。
题型五：复合函数单调区间的求法
例1：设y=f(x)的单增区间是(2,6)，求函 数y=f(2－x)的单调区间。
解：令t( x) 2 x,则由已知得 f (t)在t∈（2，6）上是增函数， 而t( x) 2 x∈（2，6） x∈（－4，0） 又t( x) 2 x在x∈(4,0)上是单减的， 由复合函数单调性可知
当x 1时，ymax 2
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利用函数的单调性求函数的值域， 这是求函数值域和最值的又一种方法。
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例3：已知：f(x)是定义在[－1,1]上的增函数， 且f(x－1)<f(x2－1),求x的取值范围。
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己 知 a,b,c∈R, 且 a<0,6a+b<0. 设 f(x)=ax2+bx+c,试比较f(3)、与f(π)的大小.
解：由 6aa0b0得2ba3. 即抛物线顶点横坐标<3，又开口向下，
所以二次函数f（x）在 3) 上递增.
3 , 3 , ) , 且 3 . f ( 3 ) f ( )
f(2x)的单减区间是4， （ 0）－
f (2 x) f [t( x)]在x∈（，－4，0）上是单调递减的。
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如何判断函数
f(x)x16,x[2,10]的 单 调 区 间 x
证明：设 2x1x24,
f (1)xf (2) x( x1 1x16)( x2 1x26)
解：依题f(意 x1， ) f(x21)
可转化为不等式组
1 x11 0 x 2
1
x2
1
1
0 x2 2
1x 2
x 1 x 2 1 x 0或 x 1
注： 在利用函数的单调性解不等式的时候，
一定要注意定义域的限制。保证实施的是等 价转化
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例3.求证：2n＞2n＋1（n为自然数， 且n≥3）。
解：构造函数f(x)=2x－2x; 对任意的x≥3；∵f(x+1)－f(x)=
2x+1－2(x+1)－2x+2x=2x－2, 而x≥3，∴f(x+1)－f(x)＞0， 可 知 f(x) （ x≥3 ） 是 递 增 函 数 ， ∵f(3)=23－2×3=2＞1， 故有2n＞2n＋1.
解：y x2 2ax a2 1 的减区间是（－，a], 显然，（－ ，1) （－，a], 即a 1
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练习：如果f(x)=x2－(a-1)x+5在区间 （0.5，1）上是增函数，那么f(2)的 取值范围是什么？
[7,＋∞）
解此类由二次函数单调性求参数范围 的题，最好将二次函数的图象画出来， 通过图象进行分析，可以将抽象的问 题形象化。
f(x)在 4][上 2,最大)值 1为 0; f(
fff((x(x)1[)x在 40f11x,)60(在 上 ]2 ， [)最 4 ,大 1 0值 ]递 上 为 增 55单 f8.(,调 1 0
函 数 f(xx1)x6， x[ 2 , 1 0 ] 的 最
为 f ( 1 0)558.
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(
x1 x2)1 x61
(2 xx1) x2
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(
x1 x2)(x1 x1 x2
x2
1
6
)
2x1x24,
x1x2 0,
4x1x21 6 ,即1xx 2-1 6 0
f 1 ( ) x f ( 2) x 0, 即f1)(f x(2)x,
•
6.抓住课文中的主要内容和重点句子 ，引导 学生从 “摇花 乐”中 体会到 作者对 童年生 活的和 对家乡 的怀念 之情。
•
7.桂花是没有区别的，问题是母亲不 是在用 嗅觉区 分桂花 ，而是 用情感 在体味 它们。 一亲一 疏，感 觉自然 就泾渭 分明了 。从中 ，我们 不难看 出，家 乡在母 亲心中 的分量 。
•
2.许地山这样说，也是这样做的，他 长大后 埋头苦 干，默 默奉献 ，成为 著名的 教授和 作家， 他也因 此取了 个笔名 叫落花 生，这 就是他 笔名的 由来。
•
3.在伟大庄严的教堂里，从彩色玻璃 窗透进 一股不 很明亮 的光线 ，沉重 的琴声 好像是 把人的 心都洗 淘了一 番似的 ，我感 到了我 自己的 渺小。
2、证明函数单调性的步骤是什么？
第一步：取值 第二步：作差变形 第三步：定号 第四步：判断下结论
题型一：用定义证明函数的单调性
例1、判断函数f(x)=－x3+1在(－∞,0) 上是增函数还是减函数，并证明你的结 论；如果x∈（0，＋∞），函数f(x)是 增函数还是减函数？学.科.网zxxk.组卷网
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结论5：若f(x)(其中f(x)>0)在某个区间上为增 函数，则 nf(x),fn(x) (n1)也是增函数 结论6：复合函数f[g(x)]由f(x)和g(x)的单调性 共同决定。它们之间有如下关系：
f(x) g(x) f[g(x)]
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4.夕阳将下，余晖照映湖面，金光璀 璨，不 可名状 。一是 苏州光 福的石 壁，也 是太湖 的一角 ，更见 得静止 处，已 不是空 阔浩渺 的光景 。而即 小见大 ，可以 使人有 更多的 推想.
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5.桃花源里景美人美，没有纷争。虽 然看似 一个似 有似无 ，亦真 亦幻的 所在， 但它是 陶渊明 心灵酿 出的一 杯美酒 ，是他 留给后 世美好 的向往.
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例4：求函数 y2x 5x的值域；
解：易知函数是单调递增函数，又因 为函数的定义域是x∈( -∞,5]； 所以当x=5时，y最大=10， 故函数的值域为( -∞,10]；
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分析;把此不等式整理变形为关于a的一 元一次不等式：
a(x-2)-x2+6x＞0在a∈ [ 4，5]上恒成立，
由于一次函数是单调的， 若令f(x)= a(x-2)-x2+6x； 只需f(-4)＞0且f(5)＞0即可， 所以x∈(1, 4)；
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1.边塞诗的作者大多一些有切身边塞 生活经 历和军 旅生活 体验的 作家， 以亲历 的见闻 来写作 ；另一 些诗人 用乐府 旧题来 进行翻 新创作 。于是 ，乡村 便改变 成了另 一种模 样。正 是由于 村民们 的到来 ，那些 山山岭 岭、沟 沟坪坪 便也同 时有了 名字， 成为村 民们最 朴素的 方位标 识.
另解：若令 f(x)x3x，3易知 f (x)
在[ 2,2 ]上是递增函数，因为
f(2)f(2)713<0
故有且只有一个 x0 [ 2,2]使 f (x0) 0
，故选（B）。
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例2：对任意a[ 4，5],不等式x2 6x
<a( x-2) 恒成立，求x的取值范围。
例2
讨论函数f(x) = ax
单调性.
x2 1
在(－1,1)上的
解：设
1x 1x2 1 ,f(x 1)f(x2)x 1 a 2 11 x x a 2 2 21 x
a [(x x (2 1 2 x 1 1 ))1 x(2 (2 x1 1x )2) ] 1x1x21 ,
x 2 x 1 0 , 1 x 1 x 2 0 ( x 1 2 1 ) x 2 2 ( 1 ) 0 .
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题型三：利用已知函数单调性判断
例3：判断函数
y
(x x2
2)2 4x
在(1,+∞)上的单调性。
结论1：y＝f(x)(f(x) 恒不为0），与
y＝ 1 的单调性相反。学.科.网
zxxk
f(x)
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f ( x)为R＋上的增函数
x0
x20
x 2 2 x 8
解x得 (2， 4
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函数单调性在解题中的妙用
例1：方程 x3x30在[ 2,2 ]上
解的个数有（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 解：利用数形结合可知解的个数为1个，故 选（B）。
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练习：求函数
f(x) x2x6的单调区间。
答案： (－∞, －3]单减区间 [2,+∞)单增区间
注意：求单调区间时，一定要先看定义域。
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题型四：函数单调性解题应用
例1：已知函数y=x2－2ax＋a2－1在 (－∞,1)上是减函数，求a的取值范围。
学.科结.网 论2：y＝f(x)与y＝kf(x) 当k>0时，单调性相同；当k<0时，单调性 相反。 结论3：若f(x)与g(x)在R上是增函数，则 f(x)+g(x)也是增函数。 结论4：若f(x) 在R上是增函数， g(x)在R上 是减函数，则f(x) －g(x)也是增函数
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例2：已知x∈[0,1],则函数
y 2x21x
的最大值为_______最小值为_________
解：令f ( x) 2x 2 g( x) 1 x则 f ( x)是[0,1]上的增函数， g( x)是[0,1]上的减函数
y f ( x) g( x)是[0,1] 上的增函数， 当x 0时，ymin＝ 2－1
例4：已知f(x)在其定义域R＋上为增函数， f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y).解不等式f(x)+f(x－2) ≤3
解 ：f(xy) f(x) f(y)
f(4) f(2) f(2)2
f(8) f(4) f(2)3 又 f(x ) f(x 2 ) f(x 2 2 x )
由题f(意 x22有 x)f(8)