嵌入式离散裂缝模型的多尺度模拟有限差分模拟方法

(10)
其中，Tmfi [Tmfi ] 表示第 i 条裂缝与基岩窜流系数矩阵； ，Tff [Tff ] 表示裂缝之间的窜流系数矩阵；
Tfi 和 pfi 分别表示第 i 条裂缝的有限差分传导系数矩阵和裂缝单元压力列阵。
4 裂缝性介质的多尺度模拟有限差分法
多尺度网格系统包括一套粗网格和一套细网格。多尺度方法首先对裂缝介质进行细网格划分， 包括基岩网格和裂缝网格，细网格单元包含基岩和裂缝的岩体性质等。粗网格由相互连接的细网格 单元组成，如图（2）所示。该方法在粗网格上求解流动方程，因而计算效率高，并通过在粗网格上 求解局部流动问题计算多尺度基函数以捕捉裂缝与基岩间的流动关系，反映单元内的非均质性，因 此这种方法在保证计算精度的同时极大地提高了计算效率。
(a) 基岩网格 图2 裂缝性介质多尺度网格示意图
(b) 裂缝网格
Fig.2 Schematic of multiscale grids in multiscale mimetic method
考虑两个相邻的粗网格单元 i 和 j ，如图（3）所示。令 ij 为包含 i 和 j 的局部区域。ij 表示压力基函数， ij 表示速度基函数。如果局部区域内仅包含基岩单元，速度基函数和压力基函数 满足下面局部流动问题：
(4)
ˆ x dS / S 表示基岩网格与裂缝段的等效距离， k 为调和平均渗透 其中， Tmf kmf Amf / d ， d mf n


率， Amf 表示基岩与裂缝接触面积， pm 为基岩单元压力， pf 为裂缝单元压力。 当裂缝相交时，如图（1）所示，裂缝与裂缝间窜流量[21]可以写为：
，
dj
l j2 1 1 l j1 l j2 。 l j1 l j 2 2 l j1 l j 2 2
3
l j1
li1 lj1
lj2 li2
图1 嵌入式离散裂缝模型裂缝段相交示意图 Fig.1 Schematic of the intersecting fractures in embedded discrete fracture model
其中， N e 为网格单元总数； I i Em 。 裂缝系统采用隐式差分求解，由方程（3）可得
T
i
1 2
p
fi 1
pfi T
i
1 2
p
fi
pfi 1 f fi qmfi qffi ffi
(9)
式中， T
1 i 2

kf
0.5 i 1 i
Bm C m Dm vm 0 T 0 pm f m Qmf C m 0 DT 0 0 m 0 m
f e f 其中，vm vmk ， pm pmk ， f m f mi ， f mi pmi ， m
mf
1 ，基岩网格有裂缝嵌入 0 ，基岩网格没有裂缝嵌入
，
ff
1 ， 裂缝单元与另一裂缝单元相交 0 ， 裂缝单元不与其它裂缝单元相交
； qmf 表示基岩与裂缝之间的窜流量； qff 表示相交裂缝
单元之间的窜流量。 裂缝与基岩间的窜流量可以写为：
qmf Tmf pm pf
dfi
， ffi Vfi qfi 。
将基岩系统和裂缝系统耦合在一起可以得到嵌入式离散裂缝模型的模拟有限差分数值计算格 式：
4
wenku.baidu.com
Bm T C m DT m 0 0
Cm Tmf 1 Tmf 2 0 Tmf 1 Tmf 2
Dm 0 0 0
0 Tmf 1 0 Tff
第一作者：张庆福，男，1990年5月生，研究方向为油藏数值模拟和裂缝性介质渗流理论。 通讯作者：黄朝琴（1981.8-） ，男，博士，研究方向复杂介质渗流理论及油藏数值模拟，Email：emc.group.upc@gmail.com。 基金项目：国家自然科学基金（51404292、51234007, 51490654） 、山东省自然科学基金（ZR2014EEQ010）中央高校基本科研业务费专项资 金（编号：15CX05037A）资助项目、中国石油大学创新工程资助项目（YCXJ2016015） 。
(7)

i
qmi d ，Qmf qmfi mfi 。
矩阵为
1 Tm1 Bm
e1 , Cm 1 Tm Ne
I1 , Dm eNe
I Ne
(8)
ij t K ij
ωi x , x i ij ω j x , x j 0, x ij
5
(11)
(12)
i
j
粗网格
细网格
局部区域
裂缝
图3 多尺度粗网格示意图 Fig.3 Schematic of the intersecting fractures
0 Tf 1 Tmf 1 Tff
vm 0 Tmf 2 pm f m 0 0 m Tff pf 1 f f 1 Tf 2 Tmf 2 Tff p f f2 f2 0
[9]
被广泛用来降低计算量，但是此方法无法充分利用小尺度精细数据信息，模拟精度不高。为此，
需要一种既有尺度升级法的计算效率，又有较高计算精度方法，多尺度方法[10-13]应运而生。 多尺度方法在粗网格上求解控制方程，在细网格上求解局部流动方程获得多尺度基函数，以捕 捉小尺度流动特征。多尺度方法最初被用于求解椭圆方程，因为该方法可以大幅减少计算量，其巨 大的应用潜力被国内外专家重视。其后，多尺度方法被应用于油藏数值模拟领域[14-17] ，并随着多尺 度方法的推广，该方法也逐渐应用于裂缝性油藏数值模拟中[18,19]。最近，多尺度有限体积法[20]被用 于求解嵌入式离散裂缝模型。 但是多尺度有限体积法需要构建双网格结构，小尺度映射过程复杂。 本文在多尺度混合有限元的框架下， 使用模拟有限差分法求解嵌入式离散裂缝模型的多尺度基函数， 避免了使用复杂的双网格结构。文章阐述了多尺度混合有限元的基本原理，建立了嵌入式离散裂缝 模型多尺度基函数的模拟有限差分计算格式，最后通过多尺度解和参考解的对比验证了方法的正确
2
性和程序的鲁棒性。
2 嵌入式离散裂缝流动数学模型
嵌入式离散裂缝模型对基岩直接进行结构化网格划分，然后将裂缝嵌入基岩网格系统中，并根 据裂缝与基岩的相交情况形成裂缝网格。假设流体的等温渗流，基岩和流体不可压缩，不考虑重力 和毛管力的影响。流体在裂缝和基岩中的流动满足 Darcy 定律 ： 基岩系统：
qff Tff pfi pfj
(5) ，
di li1 l 1 1 li1 i 2 li 2 li1 li 2 2 li1 li 2 2
其 中 ，
Tff
TfiTfj Tfi Tfj
，
T fi
kfi d fi
di
，
T fj
kfj d fj
d j
vm
Km

pm
(1)
vm qm
裂缝系统：
qmf mf Vm
(2)
kf 2 pf q qff ff qf mf 2 Vf
(3)
式中， vm 为基岩渗流速度； K m 为基岩渗透率张量； 为流体粘度； pm 和 pf 分别为基岩和裂缝 的压力； kf 为裂缝渗透率； Vf 和 Vm 分别是裂缝单元和基岩单元的体积； qm 和 qf 分别表示基岩和裂 缝的源汇项； 为沿裂缝方向的局部坐标系；
3 数学模型求解
基岩区域使用模拟有限差分法求解[22]，该方法适用于任何复杂网格的计算，而且拥有良好的局 部守恒性。由 Darcy 定律可知，对于任一个网格单元，其边界上的法向速度可以写为：
vi Ti ei pi πi
T T
(6)
其中，Ti 为传导矩阵，vi v1 , , vm ，m 为网格单元界面数，ei 1, ,1 ， pi 为单元压力，πi 为边界面压力。结合方程（1） （2）可得到基岩部分模拟有限差分数值计算格式：
嵌入式离散裂缝模型的多尺度模拟有限差分模拟方法
张庆福，黄朝琴*，姚军，王月英，李阳 （中国石油大学（华东）石油工程学院，山东 青岛，266580） 摘要：天然裂缝性油藏和人工压裂油藏内裂缝形态多样，分布复杂，传统的离散裂缝模型采用非结 构化网格进行网格划分，导致网格划分过程复杂，计算量大。嵌入式离散裂缝模型划分网格时不需 要考虑油藏内的裂缝形态，只需对基岩系统进行简单的网格剖分，可以大大降低网格划分的复杂度， 从而能够提高计算效率。然而，在油藏级别的数值模拟和人工压裂裂缝下的产能分析中，仍然存在 计算量巨大，模拟时间过长的问题。本文提出嵌入式离散裂缝模型的多尺度数值计算格式，使用多 尺度模拟有限差分法研究嵌入式离散裂缝模型渗流问题。该方法在粗网格上求解流动方程，因而计 算效率高，并通过在粗网格上求解局部流动问题计算多尺度基函数，多尺度基函数可以捕捉裂缝与 基岩间的相互关系，反映单元内的非均质性，因此这种方法在保证计算精度的同时极大地提高了计 算效率，数值结果表明这是一种有效的裂缝性油藏数值模拟方法。 关键词：裂缝性油藏，多尺度模拟有限差分法，嵌入式离散裂缝模型，油藏数值模拟 中图分类号：TE319 文献标识码：A
1 引言
多孔介质中精确有效的流动模拟对于了解地下资源的动态，实施有效管理有着重要的意义，例 如地下水，地热能源及页岩气开发项目等。这些大规模的地质构造，除了固有的非均质性，往往还 包含复杂的天然裂缝。据不完全统计，世界上裂缝性油藏约占已探明总储量的一半；在我国，已探 明的裂缝性油藏地质储量超过40亿吨， 占总探明储量的28%以上[1]。 而致密油气和页岩气等非常规油 气资源，需压裂后方可商业开采[2]，压裂后也为裂缝性油气藏。 裂缝对流动形态有着重要影响，因此裂缝的描述直接影响到最终模拟结果的正确性。目前，主 要采用双重介质、等效连续介质和离散裂缝模型作为裂缝性介质的流动模型。双重介质模型[3,4]是目 前广泛应用的流动模型，当裂缝性油藏内裂缝发育程度较高时，其模拟效果较好，当存在数条控制 着流体流动方向和规模的大裂缝时，其计算结果误差较大。离散裂缝模型对介质中的裂缝予以显示 表征，由于其能够精确刻画流体在裂缝中的流动，该模型越来越受到人们的重视。现有的离散裂缝 数值模型都是基于匹配型网格，即把裂缝视为基岩内边界。由于裂缝分布复杂，往往基于非结构网 格划分，其剖分过程繁琐，计算量大。尤其当裂缝相距较近时网格剖分质量较差，导致计算误差。 对此，Lee[5-8]等提出了嵌入式离散裂缝模型，该模型对基岩直接进行结构化网格划分，然后将裂缝 嵌入基岩网格系统中，并根据裂缝与基岩的相交情况形成裂缝网格，避免了上述复杂的非结构化网 格剖分过程，大幅降低了计算复杂度。 但是在规模较大的裂缝性油藏中，裂缝具有强烈多尺度性，为了得到精细的解，我们需要进行 较精细的网格划分，即便采用嵌入式离散裂缝模型，仍然可达数百万甚至数亿个网格单元。如果基 于传统的数值计算方法求解此模型，巨大的计算量将超出当今计算机的计算能力。当前尺度升级法

i
qdx 0 qdx 0
(13)
i
i x 相当于 i 上的加权函数，满足 ωi x ds 1 。为了避免均一化产生的误差，本文选取
i
x / d , i ω x i q x / q d i
其中， x trace K x / d 。