2.1 传输线分布参数、传输线方程及解

(2-9)
四、无耗传输线的边界条件
对于终端边界条件场合，我们常喜欢采用z’(终端出 发)坐标系z’，计及Euler公式
jz ' e cos z ' j sin z ' jz ' cos z ' j sin z ' e
最后得到
U ( z ') U (l )cos z' jZ0 I (l )sin z ' U (l ) I ( z ') j sin z ' I (l )cos z' Z0
(2-3)
式(2-3)是均匀传输线方程或电报方程。
二、传输线方程
如果我们着重研究时谐(正弦或余弦)的变化情况，有
u( z , t ) Re U ( z )e jt jt i ( z , t ) R I ( z ) e e



(2-4)
(2-4)式中，U(z)、I(z)只与z有关，表示在传输线z处 的电压或电流的有效复值。
I JS Er02 V Edl
同时考虑Ohm定律
Edl V l 1 R0 I Er02 r02 58 . 10 7 (2 10 3 )2 137 . 10 3 / m
代入铜材料 5.8 10 7
一、低频传输线和微波传输线
du ( R jL) I ZI dz dI (G jC )U YU dz
(2-5)
三、无耗传输线方程
无耗传输线是我们所研究的最重要条件之一，可表 示为：R=0，G=0这时方程写出
dU jLI dz dI jCU dz
dE jH dz dH jE dz
u u( z , t ) i i( z , t )
(2-1)
二、传输线方程
i(z) u(z) z L z i(z+ z) u(z+ z) z+ z R z
C z
G z
图 2-5
长线效应
二、传输线方程
利用基尔霍夫定律，有

u i Ri L z t i u Gu C z t
一、低频传输线和微波传输线
Ohm定律解决即可，无须用电磁理论。不论导线怎样 弯曲，能流都在导体内部和表面附近。 (这是因为场 的平方反比定律)。 J ,
＋ £
E2= J Et E1 H S V
－
图 2-1
低频传输线
一、低频传输线和微波传输线
［例1］计算半径r0=2mm=2×10-3m的铜导线单位长度 的直流线耗R0 计及 J E
(2-10)
四、无耗传输线的边界条件
2. 源端边界条件(已知
U 0 , I0
)
U ( 0) U 0 I ( 0) I 0
在求解时，用 l 0 代入，形式与终端边界条件相同
1 A1 (U 0 Z0 I0 ) 2 1 A2 (U 0 Z0 I0 ) 2
(2-11)
四、无耗传输线的边界条件
1 1 jz jz U ( z ) ( U Z I ) e ( U Z I ) e 0 0 0 0 0 0 2 2 1 1 I( z ) (U 0 Z0 I0 )e jz (U 0 Z0 I 0 )e jz 2Z0 2Z0
U l A1e jl A2 e jl 1 jl jl I ( A e A e ) 1 2 l Z 0
四、无耗传输线的边界条件
图 2-6
边界条件坐标系( ( z z ' 1) )
四、无耗传输线的边界条件
代入通解，为
A1 U l Z 0 I l j l e 2
低频电路有很多课程，唯独没有传输线课程。理 由很简单：只有两根线有什么理论可言？这里却要 深入研究这个问题。
1、低频传输线
在低频中，我们中要研究一条线(因为另一条线是作 为回路出现的)。电流几乎均匀地分布在导线内。电 流和电荷可等效地集中在轴线上，见图(2-1)。 由分析可知， Poynting 矢量集中在导体内部传播， 外部极少。事实上，对于低频，我们只须用I，V和
三、无耗传输线方程
很易得到
I( z )
C ( A1e jz A2 e jz ) ( A1e jz A2 e jz ) L L
1 ( A1e jz A2 e jz ) z0
L 其中，特性阻抗 Z 0 C

均匀平面波中波阻抗
。式(2-8)称为传输线方程之通解。而
第2章
2.1 传输线方程
Transmission Line Equation
上面讨论了微波基本概念，并且指出了工程中 所关心的微波传输问题。微波传输的最明显特征是 别树一帜的微波传输线，例如，双导线、同轴线、 带线和微带等等。我们很容易提出一个问题：微波 传输线为什么不采用50Hz电明线呢?
一、低频传输线和微波传输线
0
2


——称之为集肤深度。
一、低频传输线和微波传输线
I Jds J 0 e a ( r0 r ) ds E0 e a ( r0 r ) rdrd 1 r0 I 2E0 e re dr 2E0 e rde ar 0 a 0 r0 1 ar 1 1 1 ar0 2E0 e re e ar dr 2E0 r0 2 2 e ar0 0 a a a a
U l Z 0 I l j l A2 e 2
得到
1 1 j ( l z ) j ( l z ) U ( z ) ( U Z I ) e ( U Z I ) e l 0 l l 0 l 2 2 1 1 j ( l z ) I( z ) (U l Z0 Il )e (U l Z0 Il )e j ( l z ) 2Z0 2Z0
A1、A2 的确定还需要边界条件。
四、无耗传输线的边界条件
把通解转化为具体解，必须应用边界条件。所讨论的 边界条件有：终端条件、源端条件和电源、阻抗条件。 所建立的也是两套坐标，z从源出发，z'从负载出发。 1. 终端边界条件(已知 U l , I l ) 代入解内，有
U (l ) U l I (l ) Il
一、低频传输线和微波传输线
这时，使我们更加明确了Guide Line的含义，导线只 是起到引导的作用，而实际上传输的是周围空间 (Space)(但是，没有Guide Line又不行)。D和d是特 征尺寸，对于传输线性质十分重要。
J 传 输 空 间
D
H S E
d
J
图 2-4
双导线
二、传输线方程
传输线方程也称电报方程。在沟通大西洋电缆 (海底电缆)时，开尔芬首先发现了长线效应：电报 信号的反射、传输都与低频有很大的不同。经过仔 细研究，才知道当线长与波长可比拟或超过波长时， 我们必须计及其波动性，这时传输线也称长线。 为了研究无限长传输线的支配方程，定义电压u 和电流i均是距离和时间的函数，即
一、低频传输线和微波传输线
看来，微波传输线必须走自己的路。每一种事物都 有自己独特的本质，硬把不适合的情况强加给它， 必然会出现荒唐的结论。刚才讨论的例子正是因为 我们硬设想把微波“关在”铜导线内传播，事实上 也不可能。“满圆春色关不住，一枝红杏出墙来” 微波功率应该 ( 绝大部分 ) 在导线之外的空间传输， 这便是结论。 最简单而实用的微波传输线是双导线，它们与 低频传输线有着本质的不同：功率是通过双导线之 间的空间传输的。
U ( z ) A1e jz A2 e jz I( z ) 1 ( A1e jz A2 e jz ) z0
E ( z ) A1e jz A2 e jz 1 H ( z ) ( A1e jz A2 e jz )

(2-8)
作为注记
dU ( z ) j ( A1e jz A2 e jz ) dz dU ( z ) j ( A1e jz A2 e jz ) jLI ( z ) dz
ar0 r0 ar ar0
计及在微波波段中， 1/ a是一阶小量，对于1 / a 2 及以 上量完全可以忽略。则
I 2E0 r0
而
E0 l l R I 2r0
一、低频传输线和微波传输线
和直流的同样情况比较
5.08 107
0.066 / R f , 若f=1010 Hz , 0Hale Waihona Puke Baidu66 10 6 1 2 2 10 383 . 10
2. 微波传输线 当频率升高出现的第一个问题是导体的集肤效应 (Skin Effect)。导体的电流、电荷和场都集中在导 体表面。 ［例 2 ］研究 f =10GHz=1010Hz、 l =3cm、r0=2mm 导线 的线耗R 这种情况下，J J 0 e a( r r ) 其中, J 0 是r r0 的表面电流密度，a是衰线常数。对 于良导体，由电磁场理论可知 1
(2-2)
当典型Δz→0时，有
i( z , t ) u ( z z , t ) u ( z , t ) Ri ( z , t ) L z t i( z z , t ) i( z , t ) Gu( z , t ) C u( z , t ) z t
(2-6)
二次求导的结果
d 2E k2E 0 2 dz d2H k2H 0 2 dz
d 2U 2 U 0 2 dz d2I 2I 0 2 dz
(2-7)
三、无耗传输线方程
同样，和均匀平面波类比
LC ,
k
k
最后，求解的结果也作了类比.
1 r 303 . m 2R0
一、低频传输线和微波传输线
也即直径是d=6.06 m。这种情况，已不能称为微波 传输线，而应称之为微波传输“柱”比较合适，其 粗度超过人民大会堂的主柱。2米高的实心微波传输 铜柱约514吨重(铜比重是8.9T/m3)，按我国古典名 著《西游记》记载：孙悟空所得的金箍棒是东海龙 王水晶宫的定海神针，重10万8千斤，即54吨。而这 里的微波柱是514吨，约9根金箍棒的重量，估计孙 悟空是无法拿动的! 集肤效应带来的第二个直接效果是：柱内部几 乎无物，并无能量传输。
再考虑终端条件
3
383 . 10
2.07 / m
从直流到1010Hz，损耗要增加1500倍。
r0 R 1515 . 103 R0 2
一、低频传输线和微波传输线
r0
r0
图2-2 直线电流均匀分布
图2-3
微波集肤效应
损耗是传输线的重要指标，如果要将 r0 r ，使损耗 与直流保持相同，易算出
先考虑源条件
U ( 0) A1 A2 Eq I 0 Z g Z0 I ( 0) A1 A2 I 0 Z0 A A2 A1 A2 Wq 1 Zq Z0
四、无耗传输线的边界条件
即
A1e jl A2 e jl Zl ( A1e jl A2 e jl ) Z0
最后得到
U ( z ) U (0)cos z jZ0 I (0)sin z U ( 0) I( z ) j sin z I (0)cos z Z0
(2-12)
四、无耗传输线的边界条件
3. 电源阻抗条件(已知 已知
Eq , Zq 和Zl
)
I ( 0) I 0
U ( 0 ) E q I 0 Zq I (l ) Il U ( l ) I l Zl