2.1 传输线分布参数、传输线方程及解
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2.1 传输线分布参数、传输线方程及解
(2-9)
四、无耗传输线的边界条件
对于终端边界条件场合，我们常喜欢采用z’(终端出 发)坐标系z’，计及Euler公式
jz ' e cos z ' j sin z ' jz ' cos z ' j sin z ' e
最后得到
U ( z ') U (l )cos z' jZ0 I (l )sin z ' U (l ) I ( z ') j sin z ' I (l )cos z' Z0
(2-3)
式(2-3)是均匀传输线方程或电报方程。
二、传输线方程
如果我们着重研究时谐(正弦或余弦)的变化情况，有
u( z , t ) Re U ( z )e jt jt i ( z , t ) R I ( z ) e e
(2-4)
(2-4)式中，U(z)、I(z)只与z有关，表示在传输线z处 的电压或电流的有效复值。
一、低频传输线和微波传输线
这时，使我们更加明确了Guide Line的含义，导线只 是起到引导的作用，而实际上传输的是周围空间 (Space)(但是，没有Guide Line又不行)。D和d是特 征尺寸，对于传输线性质十分重要。
J 传 输 空 间
D
H S E
d
J
图 2-4
双导线
二、传输线方程
传输线方程也称电报方程。在沟通大西洋电缆 (海底电缆)时，开尔芬首先发现了长线效应：电报 信号的反射、传输都与低频有很大的不同。经过仔 细研究，才知道当线长与波长可比拟或超过波长时， 我们必须计及其波动性，这时传输线也称长线。 为了研究无限长传输线的支配方程，定义电压u 和电流i均是距离和时间的函数，即
第二章-传输线理论
第二章 传输线理论
根据传输线上的分布参数是否均匀分布，可将其分为 均匀传输线和不均匀传输线。我们可以把均匀传输线分割
成许多小的微元段dz (dz<<λ)，这样每个微元段可看作集 中参数电路，用一个Γ型网络来等效。于是整个传输线可
等效成无穷多个Γ型网络的级联
第二章 传输线理论
2 - 2 无耗传输线方程及其解 一、传输线方程
即：
( ) I (z) = Ii2e jβ z + Ir2e- jβ z = Ii2 e jβ z + e- jβ z = 2Ii2 cos β z
( ) u(z,t) =
2Ui2
sin
β
z cos ω t
+
φ 2
+π
2
i(z,t) =
2
Ii2
cos β
z cos(ω t
+
φ) 2
第二章 传输线理论
=
-
Ur (z) Ir (z)
=
R0 + jωL1 G0 + jωC1
对于无耗传输线( R0 = 0, G0 = 0 )，则
Z0 =
L1 C1
对于微波传输线 ,也符合。
平行双线 同轴线 特性阻抗
在无耗或低耗情况下，传输线的特性阻抗为一实数， 它仅决定于分布参数L1和C1，与频率无关。
第二章 传输线理论
l = (2n +1) λ (n = 0,1,2,)
4
1.传输线上距负载为半波长整数倍的各点的输入阻抗等于负载阻抗；
2.距负载为四分之一波长奇数倍的各点的输入阻抗等于特性阻抗的
平方与负载阻抗的比值；
3.当Z0为实数，ZL为复数负载时，四分之一波长的传输线具有变换阻 抗性质的作用。
《微波技术与天线》傅文斌 习题答案第2章
第2章 微波传输线2.1什么是长线？如何区分长线和短线？举例说明。
答 长线是指几何长度大于或接近于相波长的传输线。
工程上常将1.0>l 的传输线视为长线，将1.0<l 的传输线视为短线。
例如，以几何长度为1m 的平行双线为例，当传输50Hz 的交流电时是短线，当传输300MHz 的微波时是长线。
2.2传输线的分布参数有哪些？分布参数分别与哪些因素有关？当无耗传输线的长度或工作频率改变时分布参数是否变化？答 长线的分布参数一般有四个：分布电阻R 1、分布电感L 1、分布电容C 1、分布电导G 1。
分布电容C 1(F/m )决定于导线截面尺寸，线间距及介质的介电常数。
分布电感L 1(H/m )决定于导线截面尺寸，线间距及介质的磁导率。
分布电阻R 1(Ω/m )决定于导线材料及导线的截面尺寸。
分布电导G 1(S/m ) 决定于导线周围介质材料的损耗。
当无耗传输线（R 1= 0，G 1= 0）的长度或工作频率改变时，分布参数不变。
2.3传输线电路如图所示。
问：图（a ）中ab 间的阻抗0=ab Z 对吗？图（b ）中问ab 间的阻抗∞=ab Z 对吗？为什么？答 都不对。
因为由于分布参数效应，传输线上的电压、电流随空间位置变化，使图（a ）中ab 间的电压不一定为零，故ab 间的阻抗ab Z 不一定为零；使图（b ）中a 点、b 点处的电流不一定为零，故ab 间的阻抗ab Z 不一定为无穷大。
2.4平行双线的直径为2mm ，间距为10cm ，周围介质为空气，求它的分布电感和分布电容。
解 由表2-1-1，L 1=1.84×10-6（H/m ），C 1=6.03×10-12（F/m ）2.5写出长线方程的的解的几种基本形式。
长线方程的解的物理意义是什么？ 答（1）复数形式()()()z L L z L L I Z U I Z U z U ββj 0j 0e 21e 21--++= ()()()z L L z L L I Z U Z I Z U Z z I ββj 00j 00e 21e 21---+=（2）三角函数形式()z Z I z U z U L L ββsin j cos 0+=()z I z Z U z I L Lββcos sin j+= （3）瞬时形式()()A z t A t z u ϕβω++=cos , ()B z t B ϕβω+-+cos ()()A z t Z A t z i ϕβω++=cos ,0()B z t Z B ϕβω+--cos 0其中，()L L I Z U A 021+=，()L L I Z U B 021-= 物理意义：传输线上的电压、电流以波动的形式存在，合成波等于入射波与反射波的叠加。
第二章 传输线理论总结
当Z0为实数时，电压入射波与电流入射波的相位 相同；电压反射波与电流反射波相位相反。
三、 传输线的特性参数
1、特性阻抗Z0
将传输线上导行波的电压与电流之比定义为传输线的 特性阻抗, 用Z0来表示, 其倒数称为特性导纳, 用Y0来表
示。
由定义得 Z 0
R1 jL1 G1 jC1
可见特性阻抗Z0通常是个复数, 且与工作频率有关。 它由传输 线自身分布参数决定而与负载及信源无关, 故称为特性阻抗。
或者
二、传输线方程
2. 时谐均匀传输线方程
a. 时谐传输线方程
对于时谐电压和电流, 可用复振幅表示为 v(z, t)=Re［V(z)e jωt］ i(z, t)=Re［I(z)e jωt］ 将上式代入（2.1-1）式, 即得时谐传输线方程：
dV ( z ) ( R1 jL1 ) I ( z ) Z1 I ( z ) dz （2.1-3） dI ( z ) (G1 jC1 )V ( z ) Y1V ( z ) dz Z1 R1 jL1 传输线单位长度的串联阻抗 式中 传输线单位长度的并联导纳 Y1 G1 jC1
（2.1-11）
二、传输线方程
2. 时谐均匀传输线方程
c. 电压、电流的定解
V (d ) VL chd I L Z 0 shd VL I (d ) shd I L chd Z0
写成矩阵形式：
（2.1-12）
chd V (d ) I (d ) shd Z0
无耗线 j L1C1
低耗线
0, L1C1
（2.1-22）
R1 G1Z 0 c d 2Z 0 2
（2.1-23）
(优选)第二讲传输线方程及解
（优选）第二讲传输线方程 及解
传输线方程推出I
V (z,t) V (z z,t) V (z,t)
z
z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
方程的复数形式
时谐量与其复数形式的关系是： 把它们代入方程中，即
得到方程的复数形式：无耗传来自线方程的解如果传输线无损耗
R’＝0，G’＝0
传输线方程简化为：
将传输线分成N段后，只要每一段长度l << ，基尔
霍夫定理仍适用。
传输线方程及其解：传输线的特征参数为传播常数k与 特征阻抗Zc（或特征导纳Yc = 1/Zc）。k的实部kr表示 波的传播，虚部ki表示波的衰减，传输线上电压、电 流与位置z有关，可分解为入射波与反射波之和。电压 入射波与电流入射波之比为特征阻抗Zc，电压反射波 与电流反射波相位相差180°。
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。
传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。
从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
复习要点
入射波
反射波
入射波的相速：vi = dz/dt = /k (+z方向) 反射波的相速：vr = dz/dt = -/k （-z方向）
无损耗传传输播线速上度波就的是传填播充速介度质为中：的光速
v p1/ L'C' 1/
无耗解的初步解释I
波长： 2
k 特征阻抗为入射电压波与入射电流波之比：
Zc V i I i 1/ Yc
传输线方程推出I
V (z,t) V (z z,t) V (z,t)
z
z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
方程的复数形式
时谐量与其复数形式的关系是： 把它们代入方程中，即
得到方程的复数形式：无耗传来自线方程的解如果传输线无损耗
R’＝0，G’＝0
传输线方程简化为：
将传输线分成N段后，只要每一段长度l << ，基尔
霍夫定理仍适用。
传输线方程及其解：传输线的特征参数为传播常数k与 特征阻抗Zc（或特征导纳Yc = 1/Zc）。k的实部kr表示 波的传播，虚部ki表示波的衰减，传输线上电压、电 流与位置z有关，可分解为入射波与反射波之和。电压 入射波与电流入射波之比为特征阻抗Zc，电压反射波 与电流反射波相位相差180°。
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。
传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。
从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
复习要点
入射波
反射波
入射波的相速：vi = dz/dt = /k (+z方向) 反射波的相速：vr = dz/dt = -/k （-z方向）
无损耗传传输播线速上度波就的是传填播充速介度质为中：的光速
v p1/ L'C' 1/
无耗解的初步解释I
波长： 2
k 特征阻抗为入射电压波与入射电流波之比：
Zc V i I i 1/ Yc
第二章 传输线理论2.1 2.2(2011完成)1
处处相同的，所以它的V（I）仅仅是时间t的函数，而与空间位置z 处处相同的，所以它的V 仅仅是时间t的函数，而与空间位置z 无关，可以认为，短线与工作波长相比较可以认为是一点。 无关，可以认为，短线与工作波长相比较可以认为是一点。 这样 , 波在传输过程中的相位滞后效应可以忽略 , 而且 , 一般地 电压和电流也都有确定的定义。 也不计趋肤效应和辐射效应的影响 ; 电压和电流也都有确定的定义。 因 此 , 在稳态下 , 系统内各处的电压或电流可近似地认为是同时地 只随时间变化的量 , 而与空 间位置无关 ; 总之，一段线，低频时可以不考虑它的长度（或位置） 、 总之，一段线，低频时可以不考虑它的长度（或位置）对I、V 的影响，微波时要考虑它的长度，因为线上每点有很多效应， 的影响，微波时要考虑它的长度，因为线上每点有很多效应，如有 电感、电容、损耗、辐射效应、趋肤效应等， 电感、电容、损耗、辐射效应、趋肤效应等，这些都会引起信号的 变化。 变化。 3、分布参数效应（以平行双线为例） 分布参数效应（以平行双线为例） 低频时，分布参数效应：（前面的课程曾经给出） ：（前面的课程曾经给出 （1）低频时，分布参数效应：（前面的课程曾经给出） 平行双线单位长度的分布电感（ 平行双线单位长度的分布电感（无论低频高频都存在）为 L = 2 µH / m 无论低频高频都存在） 平行双线单位长度的分布电容（无论低频高频都存在）为 C = 5 pF / m 工作频率f=500Hz, f=500Hz,则它所产生的串联阻抗 工作频率f=500Hz,则它所产生的串联阻抗 X L = ωL = 6.28 × 10 −3 Ω / M 很小， 很小，并联阻抗 X C =
2.2 传输线波动方程和它的解
2.2.1 传输线波动方程
以平行双线为例讨论传输线方程及其解，如图示传输线系统。 以平行双线为例讨论传输线方程及其解，如图示传输线系统。
传输线方程
egz
V + = A1e-
gz
表示向+z方向传播的波，即自源到 1 + I = A e 1 负载方向的入射波，用V+或I +表示. Z0
V - = A2 e g z
gz
表示向-z方向传播的波，即自负载 到源方向的反射波，用V-或I -表示。 I - = - 1 A e g z 2 Z0 电压电流解为
j wt j y v ( z ) j wt 轾 v( z , t ) = V0 cos(wt + y v ( z )) = Re 轾 V e e = Re V ( z ) e 0 犏 犏 臌 臌 j wt j y I ( z ) j wt 轾 i ( z , t ) = I 0 cos(wt + y I ( z )) = Re 轾 I e e = Re I ( z ) e 0 犏 犏 臌 臌
③TEM波传输线的长度为10cm，当信号频率为 10GHz （ λ
=3cm)时。
l /λ ①短线(0.00167)；②长线(3.33)；③长线(3.33)。
2. 传输线的分布参数 (Distributed parameter)
低频传输线在低频电路中只起连接线的作用，因频率低， 其本身分布参数所引起的效应可以忽略不计，所以在低频电路 中只考虑时间因子而忽略空间效应，因而把传输线当作集总参 数电路来处理是允许的。 而对于微波传输线，因为频率很高，此时分布参数效应不 能再忽视了，传输线不能仅当作连接线，它将形成分布参数电 路，参与整个电路的工作。因而传输线在电路中所引起的效应 必须用传输线理论来研究。 亦即，在微波传输线上处处存在分布电阻、分布电感，线 间处处存在分布电容和漏电电导。用R1、L1、G1、C1分别表 示传输线单位长度的电阻、电感、电导和电容，它们的数值 与传输线截面尺寸、导体材料、填充介质以及工作频率有关。
V + = A1e-
gz
表示向+z方向传播的波，即自源到 1 + I = A e 1 负载方向的入射波，用V+或I +表示. Z0
V - = A2 e g z
gz
表示向-z方向传播的波，即自负载 到源方向的反射波，用V-或I -表示。 I - = - 1 A e g z 2 Z0 电压电流解为
j wt j y v ( z ) j wt 轾 v( z , t ) = V0 cos(wt + y v ( z )) = Re 轾 V e e = Re V ( z ) e 0 犏 犏 臌 臌 j wt j y I ( z ) j wt 轾 i ( z , t ) = I 0 cos(wt + y I ( z )) = Re 轾 I e e = Re I ( z ) e 0 犏 犏 臌 臌
③TEM波传输线的长度为10cm，当信号频率为 10GHz （ λ
=3cm)时。
l /λ ①短线(0.00167)；②长线(3.33)；③长线(3.33)。
2. 传输线的分布参数 (Distributed parameter)
低频传输线在低频电路中只起连接线的作用，因频率低， 其本身分布参数所引起的效应可以忽略不计，所以在低频电路 中只考虑时间因子而忽略空间效应，因而把传输线当作集总参 数电路来处理是允许的。 而对于微波传输线，因为频率很高，此时分布参数效应不 能再忽视了，传输线不能仅当作连接线，它将形成分布参数电 路，参与整个电路的工作。因而传输线在电路中所引起的效应 必须用传输线理论来研究。 亦即，在微波传输线上处处存在分布电阻、分布电感，线 间处处存在分布电容和漏电电导。用R1、L1、G1、C1分别表 示传输线单位长度的电阻、电感、电导和电容，它们的数值 与传输线截面尺寸、导体材料、填充介质以及工作频率有关。
2_传输线理论(2)
V ( z + Δz ) − V ( z ) ⎧ = −( R + jω L) I ( z ) ⎪lim Δz ⎪ Δz →0 ⎨ I ( z + Δz ) − I ( z ) ⎪ = −(G + jωC )V ( z ) lim z Δ ⎪ Δz →0 ⎩
(1)
有
⎧ dV ( z ) ⎪ dz = −( R + jω L) I ( z ) ⎪ ⎨ ⎪ dI ( z ) = −(G + jωC )V ( z ) ⎪ dz ⎩
1 2
vp λp = f
2.3.4 输入阻抗
传输线上任意点z′处的电压与电流之比称为该点的输入阻抗
1 1 (VL + Z 0 I L )eγ z′ + (VL − Z 0 I L )e −γ z′ V ( z ') 2 Z in ( z ') = = 2 1 1 I ( z ') (VL + Z 0 I L )eγ z′ − (VL − Z 0 I L )e −γ z′ 2Z 0 2Z 0
(7)
2.2.4 传输线方程定解
对于终端边界条件场合， 常采用z′(终端出发)坐标系， 即
z′ = L − z,
可表示为
1 1 ⎧ ′) = (VL + Z 0 I L )eγ z′ + (VL − Z 0 I L )e −γ z′ = Vi ( z ′) + Vr ( z ′) ⎪V ( z 2 2 ⎪ (8) ⎨ 1 1 γ z′ ⎪ I ( z ′) = (VL + Z 0 I L )e − (VL − Z 0 I L )e −γ z′ = I i ( z ′) + I r ( z ′) 2Z 0 2Z 0 ⎪ ⎩
(1)
有
⎧ dV ( z ) ⎪ dz = −( R + jω L) I ( z ) ⎪ ⎨ ⎪ dI ( z ) = −(G + jωC )V ( z ) ⎪ dz ⎩
1 2
vp λp = f
2.3.4 输入阻抗
传输线上任意点z′处的电压与电流之比称为该点的输入阻抗
1 1 (VL + Z 0 I L )eγ z′ + (VL − Z 0 I L )e −γ z′ V ( z ') 2 Z in ( z ') = = 2 1 1 I ( z ') (VL + Z 0 I L )eγ z′ − (VL − Z 0 I L )e −γ z′ 2Z 0 2Z 0
(7)
2.2.4 传输线方程定解
对于终端边界条件场合， 常采用z′(终端出发)坐标系， 即
z′ = L − z,
可表示为
1 1 ⎧ ′) = (VL + Z 0 I L )eγ z′ + (VL − Z 0 I L )e −γ z′ = Vi ( z ′) + Vr ( z ′) ⎪V ( z 2 2 ⎪ (8) ⎨ 1 1 γ z′ ⎪ I ( z ′) = (VL + Z 0 I L )e − (VL − Z 0 I L )e −γ z′ = I i ( z ′) + I r ( z ′) 2Z 0 2Z 0 ⎪ ⎩
传输线方程及其解
对于无耗传输线 ， 0 ，此时 j
LC
无耗传输线传播常数为纯虚数 对于损耗很小的传输线 R L G C ，其传播常数为
( R jL) /(G jC ) j LC (1 R / jL)(1 G / jC )
j LC (1 R / 2 jL)(1 G / 2 jC ) j LC (1 R / 2 jL G / 2 jC R C G L R G j LC j LC 2 L 2 C 2 Z 0 2Y0 R G 2 Z 0 2Y0
d 2U ( z ) 2U ( z ) 0 2 2 ZY dz 其中 d 2 I ( z) ( R jL)(G jC ) 2 I ( z) 0 dz 2
入射波 反射波
通解
U z A1ez A2 e z U U I z A1e A2 e
什么叫色散？均匀无耗传输线上的导行波为无色散波，
有耗线的波为色散波，为何？重点掌握四个物理量的意义
微波工程基础
17
微波工程基础
10
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
i ( z, t ) u ( z z, t ) u ( z, t ) Rzi ( z, t ) Lz t u ( z z, t ) i( z z, t ) i ( z, t ) Gzu ( z z, t ) Cz t 将上式整理，并忽略高阶小量，可得： u ( z, t ) i( z, t ) Ri( z, t ) L z t i( z, t ) u ( z, t ) Gu ( z, t ) C z t 对于角频率为 的正弦电源，传输线方程 为
2.1引言2.2传输线方程及其解
瞬时值u, i与复数振幅U, I 的关系为
u z , t Re U z e j t
j t
i z , t Re I z e
dU z ZI z dz dI z YU z dz
R0 j L0 G0 jC0 j
C0 G0 L0 2 L0 c d C0
对于低耗传输线有(无耗传输线 R0 0, G0 0 ）
R0 2
L0 C0
无耗
0 L0 C0
《微波技术》
《微波技术》
Harbin Engineering University
2-2 传输线方程及其解
二、传输线方程的解 将上式两边对z再求一次微分，可得 d 2U z 2U z 0
dz 2 d 2 I z 2 I z 0 2 dz U z A1e z A2 e z
通解为
1 I z A1e z A2 e z Z0
式中， Z 0 R0 j L0
《微波技术》
G0 j C0
2 ZY R0 jL0 G0 jC0
Harbin Engineering University
2-2 传输线方程及其解
Harbin Engineering University
2-1 引 言
一、传输线的种类
(1)TEM波
(2)TE、TM波
(3)表面波
《微波技术》
Harbin Engineering University
2-1 引 言
u z , t Re U z e j t
j t
i z , t Re I z e
dU z ZI z dz dI z YU z dz
R0 j L0 G0 jC0 j
C0 G0 L0 2 L0 c d C0
对于低耗传输线有(无耗传输线 R0 0, G0 0 ）
R0 2
L0 C0
无耗
0 L0 C0
《微波技术》
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2-2 传输线方程及其解
二、传输线方程的解 将上式两边对z再求一次微分，可得 d 2U z 2U z 0
dz 2 d 2 I z 2 I z 0 2 dz U z A1e z A2 e z
通解为
1 I z A1e z A2 e z Z0
式中， Z 0 R0 j L0
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G0 j C0
2 ZY R0 jL0 G0 jC0
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2-2 传输线方程及其解
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2-1 引 言
一、传输线的种类
(1)TEM波
(2)TE、TM波
(3)表面波
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2-1 引 言
第二章传输线理论
(3)传输线上电压和电流的通解： 对(2.1-3)再次取导数有
d 2V ( z ) dI ( z ) ( R1 jL1 ) Z1 (Y1V ( z )) Z1Y1V ( z ) 2 dz dz d 2 I ( z) dV ( z ) (G1 jC1 ) Y1Z1 I ( z（ ) 2.1 6 ） 2 dz dz
(iii)信号源和负载条件解:如图所示已知始信号源的电 动式为EG，内阻为ZG,负载的阻抗为ZL
V ( z ) A1e Z A2 eZ V (0) V0 A1 A2 EG I 0 Z G (1) V (l ) VL A1e l A2 el ( 2) I ( z) 1 ( A1e Z A2 eZ ) Z0 1 ( A1 A2 ) I 0 Z 0 ( A1 A2 )(3) Z0 1 V ( A1e l A2 el ) L ( 4) Z0 ZL
另d l z , 表示从负载端接处向源 方向d处，则该处的电压和电 流可以表示为： VL Z 0 I L d VL Z 0 I L d V (d ) e e 2 2 V Z 0 I L d VL Z 0 I L d I (d ) L e e (2.1 11) 2Z 0 2Z 0
I (0) I 0
联立求解有： V Z0 I0 V Z0 I0 A1 0 , A2 0 2 2 对于传输线上任意一点 z处的电压和电流可以表 示为： V Z 0 I 0 z V0 Z 0 I 0 z V ( z ) A1e z A2 ez 0 e e 2 2 V Z 0 I 0 z V0 Z 0 I 0 z 1 I ( z) ( A1e z A2 ez ) 0 e e（2.1 14） Z0 2 2
第10讲_传输线方程及其解
dU z R ' j L ' I z dz
dI z G ' j C 'U z dz
成为
dU ( z ) jkZ c I ( z ) dz
dI ( z ) jkYcU ( z ) dz
传输线上电压、电流的解仍取
F/m
说明： 对于同轴线：2b—外导体内直径，2a—内导体外径 对于平行双导线 2a—导线直径，d—两导线中心间距 、、属于填充介质的量， Rs πf c / c ，c、c 属于导体的量 10
电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
传输线方程
利用基尔霍夫电压、电流定律，可得
除以z，并重新排列得到
u z z, t u z, t i z, t R ' i z, t L ' z t i z z, t i z, t u z z, t G ' u z z, t C ' z t
将上式代入传输线方程
i z, t u z, t G ' u z , t C ' z t
u z, t i z, t R ' i z, t L ' z t
就得到复数形式的传输线方程（注意：U(z)、I(z)不是时间t的函数）。
18
电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
第10讲复习
复习要点
– 将传输线分成N段后，只要每一段长度l << ，基尔霍夫定律仍适用。
– 传输线方程及其解：传输线的特征参数为传播常数k与特征阻抗Zc（或特
传输线方程及其解ppt课件
化为只含一个待求函数的方程。
d2U (z) dd2zI2(z)
dz 2
ZYU (z) 0 ZYI(z) 0
一维齐次波动方程
令 2 ZY (R0 jL0 )(G0 jC0 ) ，解式为
U (z)
I(
z)
A1e z B1e z
A2ez B2ez
式中积分常数A1, A2, B1, B2须由传输线始端或终端的电压、
传输线上任意点处的电压，都是这一点上入射波电压与反 射波电压的叠加；传输线上任意点处的电流，也是该点处入射 波电流与反射波电流的叠加。
电磁场、微波技术与天线
2-2 传输线方程及其解
12
霍夫电路定律可写出Δz端口上的电压、电流关系：
u(
z,
t
)
u(
z
z,
t
)
R0zi(
z,
t)ຫໍສະໝຸດ L0zi(z, t
t
)
i(
z,
t
)
i(
z
z,
t
)
G0
zu(
z
z,
t
)
C0
z
u(
z
z, t
t)
电磁场、微波技术与天线
2-2 传输线方程及其解
4
2 传输线电报方程（2/2）
上式可整理为：
u ( z, t )
1 2
ZL Z0
1ILe d
电磁场、微波技术与天线
2-2 传输线方程及其解
10
4 对传输线方程解的讨论（1/2）
为方便分析而假定式中Z0, ZL都为纯阻，代入 =α+jβ，相应
的瞬时值表达式
u(d, t) Re U (d )e jt
传输线理论
➢短线：
几何长度l与工作波长λ相比可以忽略不计传输线， 用集总参数进行描述。应用电路理论分析。
分界线可认为是： l / 0.05
2.1.2 分布参数及传输线等效电路模型
Low frequencies(short line) wavelengths >> wire length current (I) travels down wires easily for efficient power transmission measured voltage and current not dependent on position along wire
集 总 参 数 电 路
分 布 参 数 电 路
2.1.2 分布参数及传输线等效电路模型 例
100Km长的高压线，工作频率50Hz，电长度 l / 0.017
---- 短线
1cm长的传输线，工作频率为3GHz，电长度 l / 0.1
---- 长线
2.1.2 分布参数及传输线等效电路模型 分布参数(distributed parameter)
➢可以从场的角度以某种TEM传输线导出 ➢可以从路的角度，由分布参数得到
采用电路理论分析 对时諧情况求通解
得到一般传输线方程 最后根据传输线端接条 件求出传输线方程定解
2.2.1 传输线方程
a.一般传输线方程
按照泰勒级数展开，并忽略高次项
应用基尔霍夫定律
v(z z,t) v(z,t) v(z,t) z z
第二章 传输线理论
本章学习提要：
❖又称一维分布参数电路理论，是微波电路设计 和计算的理论基础。
❖从路的观点研究传输线在微波运用下的传输特 性，讨论用史密斯圆图进行阻抗计算和阻抗匹 配的方法。
几何长度l与工作波长λ相比可以忽略不计传输线， 用集总参数进行描述。应用电路理论分析。
分界线可认为是： l / 0.05
2.1.2 分布参数及传输线等效电路模型
Low frequencies(short line) wavelengths >> wire length current (I) travels down wires easily for efficient power transmission measured voltage and current not dependent on position along wire
集 总 参 数 电 路
分 布 参 数 电 路
2.1.2 分布参数及传输线等效电路模型 例
100Km长的高压线，工作频率50Hz，电长度 l / 0.017
---- 短线
1cm长的传输线，工作频率为3GHz，电长度 l / 0.1
---- 长线
2.1.2 分布参数及传输线等效电路模型 分布参数(distributed parameter)
➢可以从场的角度以某种TEM传输线导出 ➢可以从路的角度，由分布参数得到
采用电路理论分析 对时諧情况求通解
得到一般传输线方程 最后根据传输线端接条 件求出传输线方程定解
2.2.1 传输线方程
a.一般传输线方程
按照泰勒级数展开，并忽略高次项
应用基尔霍夫定律
v(z z,t) v(z,t) v(z,t) z z
第二章 传输线理论
本章学习提要：
❖又称一维分布参数电路理论，是微波电路设计 和计算的理论基础。
❖从路的观点研究传输线在微波运用下的传输特 性，讨论用史密斯圆图进行阻抗计算和阻抗匹 配的方法。
2_传输线方程及其解
对于给定激励、给定的传输线，其状态主要由终端负载决定。 Z ( z) Zc ( z ) 因为 u Z ( z) Zc Z Zc 所以 u (0) L | u (0) | e j (0) ZL Zc
2 ZL Zc ( RL Z c ) 2 X L | u (0) | 1 2 2 ZL Zc ( RL Z c ) X L
YL jYc tan kl Y ( z l ) Yc Yc jYL tan kl
13
11120010 · 电磁场与电磁波 · 郑史烈
反射系数沿传输线变换的图示
ZL Zc | u (0) | e j (0) u (0) ZL Zc
2 ZL Zc ( RL Z c ) 2 X L 1 | u (0) | 2 2 ZL Zc ( RL Z c ) X L
11120010 · 电磁场与电磁波 · 郑史烈
无耗传输线方程解的初步解释
i j t kz r j t kz u z, t U e U e
第一项表示入射波。第二项表示反射波。 k称为传播常数。 入射波与反射波的相速 波长
2π / k
有耗传输线方程的解
对于有损耗的情况，如果传播常数k与特征阻抗Zc（或导纳Yc）定义为
jk ( R ' j L ')(G ' j C ')
那么传输线方程
Zc
1 R ' j L ' Yc G ' j C '
dU z R ' j L ' I z dz
1 u 与 1 u 沿等 u
总复习传输线方程及其解
散化的解。
04 传输线方程的应用
长线理论
1 2
描述长距离信号传输的特性
长线理论主要研究长距离信号传输过程中信号的 衰减、延迟和畸变等特性，为通信系统设计提供 理论基础。
传输线方程的推导
基于电磁场理论和分布参数电路理论，推导出传 输线方程，用于描述传输线上电压和电流的分布。
3
传输线参数的确定
通过测量传输线的阻抗、电感和电容等参数，可 以进一步分析信号在传输线上的传播特性。
法等。
时变传输线方程
要点一
总结词
时变传输线方程考虑了时间变量的影响，能够描述传输线 参数随时间变化的动态过程。
要点二
详细描述
时变传输线方程是在传统的传输线方程基础上引入时间变 量，以描述传输线参数随时间变化的动态过程。这种动态 过程可能是由于环境因素、温度变化或机械振动等因素引 起的。求解时变传输线方程需要采用数值方法，如有限差 分法、有限元法等，同时还需要考虑时间步长的选择和稳 定性问题。
有限元法
总结词
有限元法是一种基于变分原理的数值求解偏 微分方程的方法，通过将连续的空间离散化 为有限个小的单元，将偏微分方程转化为有 限元方程进行求解。
详细描述
有限元法的核心是将连续的空间离散化为有 限个小的单元，每个单元选择一个基函数进 行近似，通过变分原理将原方程转化为有限 元方程。在传输线方程的求解中，有限元法 可以用来求解二维或三维波动方程，得到离
有限差分法
总结词
有限差分法是一种数值求解偏微分方程的方 法，通过将连续的空间离散化，用差分近似 代替微分，将偏微分方程转化为差分方程进 行求解。
详细描述
有限差分法的核心是将偏微分方程中的微分 项用离散的差分近似表示，从而将原方程转 化为离散的差分方程。在传输线方程的求解 中，有限差分法可以用来求解一维波动方程， 得到离散化的解。
04 传输线方程的应用
长线理论
1 2
描述长距离信号传输的特性
长线理论主要研究长距离信号传输过程中信号的 衰减、延迟和畸变等特性，为通信系统设计提供 理论基础。
传输线方程的推导
基于电磁场理论和分布参数电路理论，推导出传 输线方程，用于描述传输线上电压和电流的分布。
3
传输线参数的确定
通过测量传输线的阻抗、电感和电容等参数，可 以进一步分析信号在传输线上的传播特性。
法等。
时变传输线方程
要点一
总结词
时变传输线方程考虑了时间变量的影响，能够描述传输线 参数随时间变化的动态过程。
要点二
详细描述
时变传输线方程是在传统的传输线方程基础上引入时间变 量，以描述传输线参数随时间变化的动态过程。这种动态 过程可能是由于环境因素、温度变化或机械振动等因素引 起的。求解时变传输线方程需要采用数值方法，如有限差 分法、有限元法等，同时还需要考虑时间步长的选择和稳 定性问题。
有限元法
总结词
有限元法是一种基于变分原理的数值求解偏 微分方程的方法，通过将连续的空间离散化 为有限个小的单元，将偏微分方程转化为有 限元方程进行求解。
详细描述
有限元法的核心是将连续的空间离散化为有 限个小的单元，每个单元选择一个基函数进 行近似，通过变分原理将原方程转化为有限 元方程。在传输线方程的求解中，有限元法 可以用来求解二维或三维波动方程，得到离
有限差分法
总结词
有限差分法是一种数值求解偏微分方程的方 法，通过将连续的空间离散化，用差分近似 代替微分，将偏微分方程转化为差分方程进 行求解。
详细描述
有限差分法的核心是将偏微分方程中的微分 项用离散的差分近似表示，从而将原方程转 化为离散的差分方程。在传输线方程的求解 中，有限差分法可以用来求解一维波动方程， 得到离散化的解。
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3
383 . 10
2.07 / m
从直流到1010Hz，损耗要增加1500倍。
r0 R 1515 . 103 R0 2
一、低频传输线和微波传输线
r0
r0
图2-2 直线电流均匀分布
图2-3
微波集效应
损耗是传输线的重要指标，如果要将 r0 r ，使损耗 与直流保持相同，易算出
U l Z 0 I l j l A2 e 2
得到
1 1 j ( l z ) j ( l z ) U ( z ) ( U Z I ) e ( U Z I ) e l 0 l l 0 l 2 2 1 1 j ( l z ) I( z ) (U l Z0 Il )e (U l Z0 Il )e j ( l z ) 2Z0 2Z0
最后得到
U ( z ) U (0)cos z jZ0 I (0)sin z U ( 0) I( z ) j sin z I (0)cos z Z0
(2-12)
四、无耗传输线的边界条件
3. 电源阻抗条件(已知 已知
Eq , Zq 和Zl
)
I ( 0) I 0
U ( 0 ) E q I 0 Zq I (l ) Il U ( l ) I l Zl
先考虑源条件
U ( 0) A1 A2 Eq I 0 Z g Z0 I ( 0) A1 A2 I 0 Z0 A A2 A1 A2 Wq 1 Zq Z0
四、无耗传输线的边界条件
即
A1e jl A2 e jl Zl ( A1e jl A2 e jl ) Z0
U l A1e jl A2 e jl 1 jl jl I ( A e A e ) 1 2 l Z 0
四、无耗传输线的边界条件
图 2-6
边界条件坐标系( ( z z ' 1) )
四、无耗传输线的边界条件
代入通解，为
A1 U l Z 0 I l j l e 2
du ( R jL) I ZI dz dI (G jC )U YU dz
(2-5)
三、无耗传输线方程
无耗传输线是我们所研究的最重要条件之一，可表 示为：R=0，G=0这时方程写出
dU jLI dz dI jCU dz
dE jH dz dH jE dz
A1、A2 的确定还需要边界条件。
四、无耗传输线的边界条件
把通解转化为具体解，必须应用边界条件。所讨论的 边界条件有：终端条件、源端条件和电源、阻抗条件。 所建立的也是两套坐标，z从源出发，z'从负载出发。 1. 终端边界条件(已知 U l , I l ) 代入解内，有
U (l ) U l I (l ) Il
(2-2)
当典型Δz→0时，有
i( z , t ) u ( z z , t ) u ( z , t ) Ri ( z , t ) L z t i( z z , t ) i( z , t ) Gu( z , t ) C u( z , t ) z t
四、无耗传输线的边界条件
1 1 jz jz U ( z ) ( U Z I ) e ( U Z I ) e 0 0 0 0 0 0 2 2 1 1 I( z ) (U 0 Z0 I0 )e jz (U 0 Z0 I 0 )e jz 2Z0 2Z0
(2-10)
四、无耗传输线的边界条件
2. 源端边界条件(已知
U 0 , I0
)
U ( 0) U 0 I ( 0) I 0
在求解时，用 l 0 代入，形式与终端边界条件相同
1 A1 (U 0 Z0 I0 ) 2 1 A2 (U 0 Z0 I0 ) 2
(2-11)
一、低频传输线和微波传输线
Ohm定律解决即可，无须用电磁理论。不论导线怎样 弯曲，能流都在导体内部和表面附近。 (这是因为场 的平方反比定律)。 J ,
＋ £
E2= J Et E1 H S V
－
图 2-1
低频传输线
一、低频传输线和微波传输线
［例1］计算半径r0=2mm=2×10-3m的铜导线单位长度 的直流线耗R0 计及 J E
第2章
2.1 传输线方程
Transmission Line Equation
上面讨论了微波基本概念，并且指出了工程中 所关心的微波传输问题。微波传输的最明显特征是 别树一帜的微波传输线，例如，双导线、同轴线、 带线和微带等等。我们很容易提出一个问题：微波 传输线为什么不采用50Hz电明线呢?
一、低频传输线和微波传输线
1 r 303 . m 2R0
一、低频传输线和微波传输线
也即直径是d=6.06 m。这种情况，已不能称为微波 传输线，而应称之为微波传输“柱”比较合适，其 粗度超过人民大会堂的主柱。2米高的实心微波传输 铜柱约514吨重(铜比重是8.9T/m3)，按我国古典名 著《西游记》记载：孙悟空所得的金箍棒是东海龙 王水晶宫的定海神针，重10万8千斤，即54吨。而这 里的微波柱是514吨，约9根金箍棒的重量，估计孙 悟空是无法拿动的! 集肤效应带来的第二个直接效果是：柱内部几 乎无物，并无能量传输。
U ( z ) A1e jz A2 e jz I( z ) 1 ( A1e jz A2 e jz ) z0
E ( z ) A1e jz A2 e jz 1 H ( z ) ( A1e jz A2 e jz )
(2-8)
作为注记
dU ( z ) j ( A1e jz A2 e jz ) dz dU ( z ) j ( A1e jz A2 e jz ) jLI ( z ) dz
一、低频传输线和微波传输线
看来，微波传输线必须走自己的路。每一种事物都 有自己独特的本质，硬把不适合的情况强加给它， 必然会出现荒唐的结论。刚才讨论的例子正是因为 我们硬设想把微波“关在”铜导线内传播，事实上 也不可能。“满圆春色关不住，一枝红杏出墙来” 微波功率应该 ( 绝大部分 ) 在导线之外的空间传输， 这便是结论。 最简单而实用的微波传输线是双导线，它们与 低频传输线有着本质的不同：功率是通过双导线之 间的空间传输的。
一、低频传输线和微波传输线
这时，使我们更加明确了Guide Line的含义，导线只 是起到引导的作用，而实际上传输的是周围空间 (Space)(但是，没有Guide Line又不行)。D和d是特 征尺寸，对于传输线性质十分重要。
J 传 输 空 间
D
H S E
d
J
图 2-4
双导线
二、传输线方程
传输线方程也称电报方程。在沟通大西洋电缆 (海底电缆)时，开尔芬首先发现了长线效应：电报 信号的反射、传输都与低频有很大的不同。经过仔 细研究，才知道当线长与波长可比拟或超过波长时， 我们必须计及其波动性，这时传输线也称长线。 为了研究无限长传输线的支配方程，定义电压u 和电流i均是距离和时间的函数，即
I JS Er02 V Edl
同时考虑Ohm定律
Edl V l 1 R0 I Er02 r02 58 . 10 7 (2 10 3 )2 137 . 10 3 / m
代入铜材料 5.8 10 7
一、低频传输线和微波传输线
(2-9)
四、无耗传输线的边界条件
对于终端边界条件场合，我们常喜欢采用z’(终端出 发)坐标系z’，计及Euler公式
jz ' e cos z ' j sin z ' jz ' cos z ' j sin z ' e
最后得到
U ( z ') U (l )cos z' jZ0 I (l )sin z ' U (l ) I ( z ') j sin z ' I (l )cos z' Z0
0
2
——称之为集肤深度。
一、低频传输线和微波传输线
I Jds J 0 e a ( r0 r ) ds E0 e a ( r0 r ) rdrd 1 r0 I 2E0 e re dr 2E0 e rde ar 0 a 0 r0 1 ar 1 1 1 ar0 2E0 e re e ar dr 2E0 r0 2 2 e ar0 0 a a a a
低频电路有很多课程，唯独没有传输线课程。理 由很简单：只有两根线有什么理论可言？这里却要 深入研究这个问题。
1、低频传输线
在低频中，我们中要研究一条线(因为另一条线是作 为回路出现的)。电流几乎均匀地分布在导线内。电 流和电荷可等效地集中在轴线上，见图(2-1)。 由分析可知， Poynting 矢量集中在导体内部传播， 外部极少。事实上，对于低频，我们只须用I，V和
(2-3)
式(2-3)是均匀传输线方程或电报方程。
二、传输线方程
如果我们着重研究时谐(正弦或余弦)的变化情况，有
u( z , t ) Re U ( z )e jt jt i ( z , t ) R I ( z ) e e
(2-4)
(2-4)式中，U(z)、I(z)只与z有关，表示在传输线z处 的电压或电流的有效复值。
三、无耗传输线方程
很易得到
I( z )
C ( A1e jz A2 e jz ) ( A1e jz A2 e jz ) L L
1 ( A1e jz A2 e jz ) z0
383 . 10
2.07 / m
从直流到1010Hz，损耗要增加1500倍。
r0 R 1515 . 103 R0 2
一、低频传输线和微波传输线
r0
r0
图2-2 直线电流均匀分布
图2-3
微波集效应
损耗是传输线的重要指标，如果要将 r0 r ，使损耗 与直流保持相同，易算出
U l Z 0 I l j l A2 e 2
得到
1 1 j ( l z ) j ( l z ) U ( z ) ( U Z I ) e ( U Z I ) e l 0 l l 0 l 2 2 1 1 j ( l z ) I( z ) (U l Z0 Il )e (U l Z0 Il )e j ( l z ) 2Z0 2Z0
最后得到
U ( z ) U (0)cos z jZ0 I (0)sin z U ( 0) I( z ) j sin z I (0)cos z Z0
(2-12)
四、无耗传输线的边界条件
3. 电源阻抗条件(已知 已知
Eq , Zq 和Zl
)
I ( 0) I 0
U ( 0 ) E q I 0 Zq I (l ) Il U ( l ) I l Zl
先考虑源条件
U ( 0) A1 A2 Eq I 0 Z g Z0 I ( 0) A1 A2 I 0 Z0 A A2 A1 A2 Wq 1 Zq Z0
四、无耗传输线的边界条件
即
A1e jl A2 e jl Zl ( A1e jl A2 e jl ) Z0
U l A1e jl A2 e jl 1 jl jl I ( A e A e ) 1 2 l Z 0
四、无耗传输线的边界条件
图 2-6
边界条件坐标系( ( z z ' 1) )
四、无耗传输线的边界条件
代入通解，为
A1 U l Z 0 I l j l e 2
du ( R jL) I ZI dz dI (G jC )U YU dz
(2-5)
三、无耗传输线方程
无耗传输线是我们所研究的最重要条件之一，可表 示为：R=0，G=0这时方程写出
dU jLI dz dI jCU dz
dE jH dz dH jE dz
A1、A2 的确定还需要边界条件。
四、无耗传输线的边界条件
把通解转化为具体解，必须应用边界条件。所讨论的 边界条件有：终端条件、源端条件和电源、阻抗条件。 所建立的也是两套坐标，z从源出发，z'从负载出发。 1. 终端边界条件(已知 U l , I l ) 代入解内，有
U (l ) U l I (l ) Il
(2-2)
当典型Δz→0时，有
i( z , t ) u ( z z , t ) u ( z , t ) Ri ( z , t ) L z t i( z z , t ) i( z , t ) Gu( z , t ) C u( z , t ) z t
四、无耗传输线的边界条件
1 1 jz jz U ( z ) ( U Z I ) e ( U Z I ) e 0 0 0 0 0 0 2 2 1 1 I( z ) (U 0 Z0 I0 )e jz (U 0 Z0 I 0 )e jz 2Z0 2Z0
(2-10)
四、无耗传输线的边界条件
2. 源端边界条件(已知
U 0 , I0
)
U ( 0) U 0 I ( 0) I 0
在求解时，用 l 0 代入，形式与终端边界条件相同
1 A1 (U 0 Z0 I0 ) 2 1 A2 (U 0 Z0 I0 ) 2
(2-11)
一、低频传输线和微波传输线
Ohm定律解决即可，无须用电磁理论。不论导线怎样 弯曲，能流都在导体内部和表面附近。 (这是因为场 的平方反比定律)。 J ,
＋ £
E2= J Et E1 H S V
－
图 2-1
低频传输线
一、低频传输线和微波传输线
［例1］计算半径r0=2mm=2×10-3m的铜导线单位长度 的直流线耗R0 计及 J E
第2章
2.1 传输线方程
Transmission Line Equation
上面讨论了微波基本概念，并且指出了工程中 所关心的微波传输问题。微波传输的最明显特征是 别树一帜的微波传输线，例如，双导线、同轴线、 带线和微带等等。我们很容易提出一个问题：微波 传输线为什么不采用50Hz电明线呢?
一、低频传输线和微波传输线
1 r 303 . m 2R0
一、低频传输线和微波传输线
也即直径是d=6.06 m。这种情况，已不能称为微波 传输线，而应称之为微波传输“柱”比较合适，其 粗度超过人民大会堂的主柱。2米高的实心微波传输 铜柱约514吨重(铜比重是8.9T/m3)，按我国古典名 著《西游记》记载：孙悟空所得的金箍棒是东海龙 王水晶宫的定海神针，重10万8千斤，即54吨。而这 里的微波柱是514吨，约9根金箍棒的重量，估计孙 悟空是无法拿动的! 集肤效应带来的第二个直接效果是：柱内部几 乎无物，并无能量传输。
U ( z ) A1e jz A2 e jz I( z ) 1 ( A1e jz A2 e jz ) z0
E ( z ) A1e jz A2 e jz 1 H ( z ) ( A1e jz A2 e jz )
(2-8)
作为注记
dU ( z ) j ( A1e jz A2 e jz ) dz dU ( z ) j ( A1e jz A2 e jz ) jLI ( z ) dz
一、低频传输线和微波传输线
看来，微波传输线必须走自己的路。每一种事物都 有自己独特的本质，硬把不适合的情况强加给它， 必然会出现荒唐的结论。刚才讨论的例子正是因为 我们硬设想把微波“关在”铜导线内传播，事实上 也不可能。“满圆春色关不住，一枝红杏出墙来” 微波功率应该 ( 绝大部分 ) 在导线之外的空间传输， 这便是结论。 最简单而实用的微波传输线是双导线，它们与 低频传输线有着本质的不同：功率是通过双导线之 间的空间传输的。
一、低频传输线和微波传输线
这时，使我们更加明确了Guide Line的含义，导线只 是起到引导的作用，而实际上传输的是周围空间 (Space)(但是，没有Guide Line又不行)。D和d是特 征尺寸，对于传输线性质十分重要。
J 传 输 空 间
D
H S E
d
J
图 2-4
双导线
二、传输线方程
传输线方程也称电报方程。在沟通大西洋电缆 (海底电缆)时，开尔芬首先发现了长线效应：电报 信号的反射、传输都与低频有很大的不同。经过仔 细研究，才知道当线长与波长可比拟或超过波长时， 我们必须计及其波动性，这时传输线也称长线。 为了研究无限长传输线的支配方程，定义电压u 和电流i均是距离和时间的函数，即
I JS Er02 V Edl
同时考虑Ohm定律
Edl V l 1 R0 I Er02 r02 58 . 10 7 (2 10 3 )2 137 . 10 3 / m
代入铜材料 5.8 10 7
一、低频传输线和微波传输线
(2-9)
四、无耗传输线的边界条件
对于终端边界条件场合，我们常喜欢采用z’(终端出 发)坐标系z’，计及Euler公式
jz ' e cos z ' j sin z ' jz ' cos z ' j sin z ' e
最后得到
U ( z ') U (l )cos z' jZ0 I (l )sin z ' U (l ) I ( z ') j sin z ' I (l )cos z' Z0
0
2
——称之为集肤深度。
一、低频传输线和微波传输线
I Jds J 0 e a ( r0 r ) ds E0 e a ( r0 r ) rdrd 1 r0 I 2E0 e re dr 2E0 e rde ar 0 a 0 r0 1 ar 1 1 1 ar0 2E0 e re e ar dr 2E0 r0 2 2 e ar0 0 a a a a
低频电路有很多课程，唯独没有传输线课程。理 由很简单：只有两根线有什么理论可言？这里却要 深入研究这个问题。
1、低频传输线
在低频中，我们中要研究一条线(因为另一条线是作 为回路出现的)。电流几乎均匀地分布在导线内。电 流和电荷可等效地集中在轴线上，见图(2-1)。 由分析可知， Poynting 矢量集中在导体内部传播， 外部极少。事实上，对于低频，我们只须用I，V和
(2-3)
式(2-3)是均匀传输线方程或电报方程。
二、传输线方程
如果我们着重研究时谐(正弦或余弦)的变化情况，有
u( z , t ) Re U ( z )e jt jt i ( z , t ) R I ( z ) e e
(2-4)
(2-4)式中，U(z)、I(z)只与z有关，表示在传输线z处 的电压或电流的有效复值。
三、无耗传输线方程
很易得到
I( z )
C ( A1e jz A2 e jz ) ( A1e jz A2 e jz ) L L
1 ( A1e jz A2 e jz ) z0