微分几何陈维桓习题答案

习题答案2

p. 58 习题3.1

2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '.

(1) 证明：点p '的坐标是

2221u x u v =++，2221

v y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示；

(2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示；

(3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换；

(4) 证明球面是可定向曲面.

证明. (1) 设(,)r u v Op '=. 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈使得

(1)Op tOp t ON '=+-. (1)

由于21Op ON =='，222u v Op =+，0Op ON '⋅=，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而

22222221(,,)(,,0)(0,0,1)11

u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++ 22222222221,,111u v u v u v u v u v ⎛⎫+-= ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈. (2)

由(1)可知

(,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-，

又2()dt t udu vdv =-+，所以

2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+，

332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=--+

22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠. (3)

因此(,)r r u v =给出了2\{}S N 的正则参数表示.

(2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有

(1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-，222/(1)t u v =++，

22222222221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ⎛⎫--'=== ⎪++++++⎝⎭

，2(,)u v ∈. (4)

2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+， 332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=----+

22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠. (5) 因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示.

(3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为

22u u u v =+，22v v u v

=+. (6) 由(3)和(5)可知

22222222222(,)(1)10(,)(1)()

u v t u v u v t u v u v ∂++=-=-=-<∂+++. 所以参数变换是可允许的，并且是改变定向的参数变换.

注. 如果采用复坐标，令,z u i v w u i v =+=-，则上面的参数变换可写成1/w z =. 这就是广义复平面上的共形变换.

(4) 在2\{}S N 上采用(1)式给出的正则参数表示，在2\{}S S 上采用正则参数表示

22222222221(,).,,111u v u v r u v u v u v u v ⎛⎫---= ⎪++++++⎝⎭

则在公共部分的参数变换公式为

22u u u v =+，22v v u v

-=+. (4) 由于{}22\{},\{}S N S S 构成2S 的开覆盖，并且

22222222222222222()()222

2()()(,)10(,)

()v u uv u v u v uv v u u v u v u v u v u v -++--++∂==>∂+， 所以2S 是可定向的. □ 5 写出单叶双曲面222

2221x y z a b c

+-=和双曲抛物面22222x y z a b =-作为直纹面的参数方程.

解. (1) 对单叶双曲面，取腰椭圆

()(cos ,sin ,0)a u a u b u =，(0,2)u π∈

为准线. 设直母线的方向向量为()()(),(),()l u aX u bY u cZ u =. 则直纹面的参数方程为

()(,)()()(cos ()),(sin ()),()r u v a u vl u a u vX u b u vY u cvZ u =+=++.

由于(,)r u v 的分量满足单叶双曲面的方程，可得

222(cos ())(sin ())(())1u vX u u vY u vZ u +++-=，v ∀∈.

由v 得任意性得到

cos ()sin ()0uX u uY u +=，222()()()X u Y u Z u +=.

因此():():()sin :cos :1X u Y u Z u u u =-±. 取()()sin ,cos ,l u a u b u c =-得

()(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a u v u b u v u cv =-+，(,)(0,2)u v π∈⨯.

(2) 对双曲抛物面，令()x a u v =+，()y b u v =-，则2z uv =. 曲面的参数方程为 ()(,)(),(),2r u v a u v b u v uv =+-

(,,0)(,,2)(,,0)(,,2)au bu v a b u av bv u a b v =+-=-+，2(,)u v ∈.

p. 94 习题3.2

1. 证明：一个正则参数曲面S 是球面⇔它的所有法线都经过一个固定点.

证明. “⇒”设S 是球面，参数方程为(,)r u v ，球心为a ，半径为R . 则有

22((,))r u v a R -=，,u v D ∀∈. (1)

微分可得

()0u r r a -=，()0v r r a -=. (2)

所以()//u v r a r r -⨯，从而u v r a r r λ-=⨯，即有函数(,)u v λλ=使得

(,)(,)[(,)][(,)]u v a r u v u v r u v r u v λ=-⨯. (3)

这说明球心a 在它的所有法线上.

“⇐” 设S 的所有法线都经过一个固定点a . 则有函数(,)u v λλ=使得(3)式成立，即有u v r a r r λ-=⨯. 分别用,u v r r 作积，可得(2). 这说明2()0d r a -=，从而(1)式成立，其中0R >(否则S 只是一个点，不是正则曲面)是常数. 因此S 是以a 为球心，以R 为半径的球面，或球面的一部分. □

3. 证明：一个正则参数曲面S 是旋转面⇔它的所有法线都与一条固定直线相交.

证明. “⇒”设S 是旋转面，旋转轴L 为z 轴. 它的参数方程为

()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =，(()0)f v >.

因为()()sin ,cos ,0u r f v u u =-，()()cos ,()sin ,()v r f v u f v u g v '''=，

()()()cos ,()sin ,()u v r r f v g v u g v u f v '''⨯=-，

所以S 上任意一点(,)r u v 处的法线N 的参数方程为

()(,)[(,)(,)]u v X t r u v t r u v r u v =+⨯.

由于z 轴的参数方程为()(0,0,1)Y s s s k ==，并且

()()cos ()sin ()

()0()cos ()sin (),,001

u v f v u f v u g v f v g v u g v u f v r r r k '''==-⨯，

所以L 与N 共面. 如果L 与N 处处平行，则()//u v r r k ⨯，从而()0g v '=. 此时S 是垂直于z 轴的平面()z g v c ==. 所以当S 不是垂直于z 轴的平面时，旋转面S 的所有法线都与z 轴相交.

“⇐” 通过选取坐标系，不妨设固定直线为z 轴. 设S 的参数方程为