历年高考抛物线真题详解理科

历年高考抛物线真题详解理科

1.【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，

l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16

B ．14

C ．12

D ．10

2.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )

（A

（B ）23（C

（D ）1

3.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线2

2(p 0)y px =>上

任意一点，M 是线段PF 上的点，且

PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )

（A

（B ）2

3

（C

（D ）1 4.【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB

|=

DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8

5.【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线

24y x =相交于

A ，

B 两点，与圆

()

()2

2250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，

则r 的取值范围是（ ）

（A ）

()13，

（B ）()14，（C ）()23，（D ）()24， 6.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点

A ，

B ，

C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF

∆的面积之比是（ ）

A. 11BF AF --

B. 2211BF AF --

C. 1

1BF AF ++ D. 2

2

11

BF AF ++

7. 【2017课标II ，理16】已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交

y 轴于点N 。若M 为FN 的中点，则FN =

8.【2016高考天津理数】设抛物线2

22x pt y pt

⎧=⎨=⎩，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l .过

抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C （

7

2

p ,0），AF 与BC 相交于点E .若|CF |=2|AF |，

且△ACE 的面积为p 的值为_________.

10.【2017北京，理18】已知抛物线C ：y 2=2px 过点P （1，1）.过点（0，

1

2

）作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.

（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.

11.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线2:y 2(0)C px p => （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q .

①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --； ②求p 的取值范围.

12.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线2

x y =，点A 11()24

-，，39()24

B ，，

抛物线上的点)2

3

21)(,(<<-

x y x P ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ． （Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求||||PQ PA ⋅的最大值．

13.【2016高考新课标3理数】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．

（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR

FQ ；

（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.

1.【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，

l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16

B ．14

C ．12

D ．10

【答案】A

【解析】试题分析：设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y ，直线1l 方程为1(1)y k x =-

联立方程214(1)

y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222

111

240k x k x x k --+=∴21122124k x x k --+=-212

124

k k +=

同理直线2l 与抛物线的交点满足2

2342

2

24

k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++ 当且仅当121k k =-=（或1-）时，取得等号. 【考点】抛物线的简单性质

2.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )

（A

（B ）23（C

（D ）1

【答案】C