利用多面体的顶点坐标计算多边形面积

利用多面体的顶点坐标计算多边形面 积
南海区大沥高级中学 江福松 2006年6月26日 在平面直角坐标系或空间直角坐标系中，经常会遇到需要求某个 多边形的面积或多面体的体积问题。但是有时题目给的却是多面体或多 边形的顶点的坐标。尤其是三维空间坐标。计算其面积时会比较麻烦。 下面利用多面体的顶点坐标利用向量方法推导多边形的面积。 1、 平面直角坐标系中坐标求面积公式的推导： （1） 三角形面积： 设三角形ABC的三个顶点坐标分别是（x1,y1）,(x2,y2),(x3,y3) 则。 令x2-x1=m, y2 -y1=n ； x3-x1=p, y3 -y1=则 ， 设，夹角为，则三角形ABC的面积为： S=||||sin=|||| =|||| = = ==|| (2)平行四边形ABCD面积：（可以看作两个相等三角形面积之和） S==2=|| 同理，对梯形，五边形，六边形等平面图形，都可以将它们转化为 求三角形面积进行求解。 2、 空间直角坐标系中用坐标求面积公式的推导： 在空间直角坐标系中由三角形ABC的三个顶点坐标分别求得（x1,y1, z1）,(x2,y2, z2),(x3,y3, z3). =（m,n,e），=(p,q,f) 则三角形ABC的面积为： S=||||sin=|||| =|||| = = =
与求平面图形面积一样可以求出四边形，五边形，六边形面积等。 或者可以这样记法： 若=（），=() 则三角形ABC的面积为 S= 公式中三组数的平方对应如下： （） （） （） () () ()
2、 例题应用： 例1（二维空间面积的求法）：已知平行四边形ABCD的四个顶点的 坐标分别是：A（1，2），B（3，4），C（4，7），D（2，5）。求 平行四边形ABCD的面积。 解：由已知： =（2，2） =(1，3) 所以，平行四边形ABCD的面积： S==2=||=||=4 例2（三维空间面积的求法）：在空间直角坐标系中，已知三角形 ABC的坐标分别是A（2，1，3），B（3，1，-2），C（5，2，4） 求三角形ABC的面积。 解：由已知： =（1，0，-5 ）， =(3，1，1 ) 所以，三角形ABC的面积为： S= = = 例3：四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，PA底面ABCD， PA=AB=BC=2，AD=4，BCAB，ADAB，点M，N分别是PD，PC的 中点。求四棱锥P-AMN的体积。 分析：建立空间直角坐标系如图： 易知，各点的坐标如下： M（0，2，1），N（1，1，1），A（0，0，0），P（0，0，4）
如果要求四棱锥P-AMN的体积，关键是要求出： 1、 其中一个底面的面积。2、该底面对应的顶点到底面的距离。 当多边形的底面不是特殊的规则图形（如直角三角形、等边三角 形、平行四边形梯形等等）时求面积可能就不是那么容易。但是如 果用三角形的空间坐标公式，就不用考虑图形的具体情况了，我们 要的只是三角形的顶点坐标而已。 对于三角形ANM，显然： =（0，2，1）， =(1，1，1 ) 三角形AMN的面积：
S= = = 而点P到面AMN的距离可以用法向量方法求Байду номын сангаас： 设面AMN的法向量为=（x,y,z）。则有：
即 从而 令y=1,则z= -2, x = 1,所以：=（1, 1, -2） .
所以点P到面AMN的距离
d=== 由锥体的体积公式得：
特别地，对于一些不规则的多边形或非特殊形状的多边形，如果能 求出它们的各个顶点的坐标，利用多面体的顶点坐标计算多边形面 积，可以避免许多比较复杂的常规运算。多面体的顶点坐标计算多 边形面积的公式的运用可以将复杂的问题简单化。