反比例函数的图象和性质
反比例函数反比例函数的图象与性质
2023-11-06
contents
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01
反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数定义
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数 。
反比例函数的积分特性
反比例函数在区间(-∞,0)和(0,+∞) 上的积分等于常数k。
VS
反比例函数在区间(-∞,x)和(x,+∞)上 的积分等于常数k乘以x。
04
反比例函数的应用
用反比例函数解决实际问题
电力分布
在电力分布问题中，常常 需要使用反比例函数来计 算电力的分布情况，以便 合理规划电力设施。
反比例函数的定义域和值域
定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}。
反比例函数的单调性
在区间(-∞,0)和(0,∞)上单调递减。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式
01
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。Biblioteka 反比例函数的解析式02
反比例函数通常被表示为y = k / x的形式，其中k是常数且不
热传导
在热传导中，可以使用反比例函数 来描述热量在介质中的传导规律。
在几何中的应用
圆的面积
在计算圆的面积时，可以使用 反比例函数来描述圆的面积与
半径之间的关系。
球的体积
在计算球的体积时，可以使用 反比例函数来描述球的体积与
半径之间的关系。
光线反射
在光线反射问题中，可以使用 反比例函数来描述光线反射的
反比例函数的图像和性质
A S1 B
A. B. C. D.
S1 S1 S3 S1
= < < >
S2 S2 S1 S2
= S3 < S3 < S2 >S3
C
o
S2 S3 A1 B1 C1
x
7.如图，过平面直角坐标系中的x轴上的整数 点1、2、3、4、5作x轴的垂线，分别交反比例函数 D、E作y轴的垂线。则图中阴影部分的面积是___.
1 4.如图在坐标系中，直线y=x+ 2
k与ห้องสมุดไป่ตู้
4.如图，点A、C是反比例函数
的图
像上的任意两点，过点A作x轴的垂线，过点C 作y轴的垂线，连接OA、OC，设Rt△OAB和 Rt△OCD（O为坐标原点）的面积分别是M和N， y 则M、N的大小关系是（ ） A.M>N B.M<N C.M=N D.M和N的大小关系不能确定.
S1
A
B
o
S2
x
C
D
1 5. .如图, 在 y ( x > 0 )的图像上有三点 A , B , C , x 经过三点分别向 x 轴引垂线 , 交 x 轴于 A1 , B1 , C 1 三点 , 边结 OA , OB , OC , 记 OAA 1 , OBB 1 , OCC 1的 面积分别为 S 1 , S 2 , S 3 , 则有 __ .
3 2
5 D. 2
y A D C O B
x
例1.如图：一次函数y=ax+b的图象与 k 反比例函数y= x 交于M （2，m） 、N （1，-4）两点。（1）求反比例函数和一次 函数的解析式；（2）根据图象写出反比 例函数的值大于一次函数 y 的值的x的取值范围。
反比例函数图像及其性质
易加益教育培训中心——溧阳校区 小学、初中创新教育专家反比例函数图像及其性质一、函数定义一般的，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成 xk y (k 为常数，k ≠0），其中k 叫做反比例系数，x 是自变量，y 是自变量x 的函数，x 的取值范围是不等于0的一切实数，且y 也不能等于0。
k 大于0时，图像在一、三象限。
k 小于0时，图像在二、四象限。
k 的绝对值表示的是x 与y 的坐标形成的矩形的面积。
二、函数的性质1、单调性当k>0时，图象分别位于第一、三象限，从左往右，y 随x 的增大而减小，为减函数； 当k<0时，图象分别位于第二、四象限，从左往右，y 随x 的增大而增大，为增函数。
2、相交性因为y=k/x(k ≠0)中，x 不能为0，y 也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x 轴相交，也不可能与y 轴相交，只能无限接近x 轴，y 轴。
3、图像表达⑴ 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴：y=x 和y=-x （即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
⑵ 反比例函数图像不与x 轴和y 轴相交的渐近线为：x 轴与y 轴。
⑶ k 值相等的反比例函数重合，k 值不相等的反比例函数永不相交。
⑷ |k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
三、重点知识⑴ 过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。
⑵ 对于双曲线y=k/x ，若在分母上加减任意一个实数(即y=k/（x ±m ），m 为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。
（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）四、反比例函数图像。
反比例函数的图像与性质.
x
0
y
0
x
如图，函数y=k/x和y=－kx+1(k≠0)在同 一坐标系内的图象大致是 （ D ）
6
y
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
A
-4
B
y
6
-4
先假设某个函数 图象已经画好， 再确定另外的是否 符合条件.
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
-4
C
D
-4
k 3.已知反比例函数 y (k≠0) x
k＞0 当x＜0时，y随x的增大而减小，
则一次函数y=kx-k的图象不经过第 二 象限
y
k＞0 ,-k＜0
o
x
例4:图是反比例函数y= m-5 的图象的一支.根据 x 图象回答下列问题:
(1)图象的另一支在哪个象限?常数m的取值范 围是什么? (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a,b)和 点B(a’,b’).如果a﹥a’,那么b和b’有怎么的大小 y 关系?
则y1与y2的大小关系(从大到小)
x
为 y1 ＞0＞y2
.
A
y
y1
o
x2
x
B
x1
y2
4.已知点 A(-2,y ),B(-1,y ),C(4,y ) 1 2 3 4 y 都在反比例函数 的图象上 , x 则y1、y2与y3的大小关系(从大到小)
为 y3 ＞y1＞y2
.
反比例函数的图像和性质ppt课件
7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反比例函数 y = - 1 0 0 的图象上，则（
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
）
A、y1>y2>y3 C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3 D、y3>y2>y1
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
已知点A(2,y1)， B（5,y2)C是（反-3比,y例3)函是数y 象上的两点．请比较y1,y2的,y大3的小大．小．
4 x
图
y
⑴代入求值
y1 A B
-3 y2 O2 5
C y3
⑵利用增减性
⑶根据图象判断
x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ D ）
y
x
y
A：
o
x
B：
o
x
y
C：
o
x
D：
y
o x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
2、我校食堂有5吨煤，用y表示可以用的天数
，用x表示每天的烧煤量，则y关于x的函数的
10
１、这几个函数图象有 8 什么共同点？
２、函数图象分别位于 6 哪几个象限？
4
３、y随的x变化有怎
反比例函数图象和性质
对称性
反比例函数的图象关于原点对称，即 如果点 (x, y) 在图象上，那么点 (-x, y) 也在图象上。利用这一性质，可以 更快地描出图象。
图象特点总结
图象形状
反比例函数的图象是一条双 曲线，且以原点为中心对称 。
渐近线
当 x 趋向于正无穷或负无穷 时，y 趋向于 0。因此，x 轴和 y 轴是反比例函数的渐 近线。
在生物学领域，反比例 关系可以描述生物体内 部某些生理过程之间的 平衡关系。例如，在生 态系统中，捕食者和猎 物之间的数量关系可能
呈现出反比例关系。
THANK YOU
解析法
对于反比例函数f(x)=k/x (k≠0)，可以通过求导来判断其增减性。当k>0时，f'(x)=-k/x^2<0，函数在定义域内 单调递减；当k<0时，f'(x)=-k/x^2>0，函数在定义域内单调递增。
对称性表现形式
中心对称性
反比例函数的图象关于原点对称。即对于任意一点(x,y)在反比例函数的图象上， 其关于原点的对称点(-x,-y)也在反比例函数的图象上。
06
函数图象位于第二象限和第四象限，且关于原点对称。
02
反比例函数图象绘制
列表法绘制步骤
确定函数表达式
列表取值
首先确定反比例函数的表达式 y = k/x (k ≠ 0)。
在自变量 x 的取值范围内，选取一些具有 代表性的点，计算对应的函数值 y。
绘制坐标点
连线成图
在坐标系中，将选取的点用坐标 (x, y) 表示 出来。
变速直线运动
在某些变速直线运动中，速度与时间的关系也可以近似为反 比例关系。此时，可以利用反比例函数来分析和求解相关问 题。
反比例函数的图像和性质ppt课件
探究新知
k
一般地，反比例函数 y 的图象是双曲线，它具有以下性质：
x
(1)当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
(2)当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而增大．
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性
大而减小.
探究新知
k
当k=－2，－4，－6时，反比例函数 y
的图象(如图)，它们有哪
x
些共同特征？
y
6
2
y=
x
6
4
y=
4
x
2
–6
–4
–2 O
–2
y
y
y=
4
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
4
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
–4
–4
–4
–6
–6
–6
追问（1）：函数图象分别位于哪几个象限内？
函数的图象都位于二、四象限.
随堂练习
1.（1）已知点（-6，y1）, （-4，y2）在反比例函数 =
试比较 y1， y2的大小
（2）已知点（6，y3）, （4，y4）在反比例函数 =
比较 y3， y4的大小
函数 =
−6
的图像上，试
y
（3）已知点（-4，y5）, （6，y6）在反比例
−6
的图像上，试比较
函数及其图象反比例函数反比例函数的图象和性质
反比例函数图像的变换规律
伸缩变换
当k值变化时，反比例函数的图像 会沿着x轴或y轴方向伸缩。当k增 大时，图像会向原点靠近；当k减 小时，图像会远离原点。
平移变换
当反比例函数沿x轴或y轴平移时 ，其图像也会相应地沿x轴或y轴 方向移动。
03
反比例函数的性质
反比例函数的单调性
递减性
当$k > 0$时，反比例函数在$(\infty,0)$和$(0,+\infty)$上单调递 减。
溶质溶解度
在溶质溶解度中，溶解度 与温度也成反比关系，即 温度越高，溶解度越低。
反比例函数在经济问题中的应用
供需关系
在市场经济中，供需关系 呈反比关系，即供应量越 大，需求量越小；反之亦 然。
货币流通速度
在货币流通中，货币流通 速度与货币供应量也成反 比关系，即货币供应量越 大，货币流通速度越慢。
热力学中的气体定律
在热力学中，气体的压强与体积也成反比关系，即压强越大，体积 越小。
反比例函数在化学问题中的应用
01
02
03
化学反应速率
在化学反应中，反应速率 与反应物的浓度成反比关 系，即浓度越高，反应速 率越快。
化学平衡
在化学平衡中，反应物的 转化率与反应温度成反比 关系，即温度越高，转化 率越低。
04
反比例函数的图像是双 曲线。
反比例函数的应用场景
在物理学中，反比例函数可以用来描述一些物理量之间的关系，例如电 流与电阻之间的关系可以表示为 $I = \frac{V}{R}$。
在化学中，反比例函数可以用来描述一些化学反应速率与反应物浓度之 间的关系。
在经济学中，反比例函数可以用来描述一些经济现象之间的关系，例如 需求与价格之间的关系可以表示为 $D = \frac{N \times P}{M}$。
反比例函数的图象和性质课件
函数值的无限性
01
由于x不能为0，所以y的值是无限 的，即反比例函数图像上存在无穷 多个点。
02
在每一个象限内，随着x的增大或 减小，y的值会趋近于无穷大或无 穷小。
函数值的单调性
当k>0时，函数在(0, +∞)区间内单调 递减，在(-∞, 0)区间内也单调递减。
当k<0时，函数在(0, +∞)区间内单调递 增，在(-∞, 0)区间内也单调递增。
反比例函数的定义
反比例函数是指形如 y = k/x (k ≠ 0) 的函数，其中 k 是 常数。
反比例函数的性质
反比例函数的图象是双曲线，当 k > 0 时，双曲线的两支 分别位于第一、第三象限；当 k < 0 时，双曲线的两支分 别位于第二、第四象限。
反比例函数的单调性
在各自象限内，反比例函数是单调递减的。
反比例函数的图象和性质课件
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图像性质 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01 反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数是指函数形式为$f(x) = frac{k}{x}$（其中$k neq 0$）的函数。
当$k > 0$时，反比例函数的图像分布在 第一象限和第三象限；当$k < 0$时，图 像分布在第二象限和第四象限。
经济问题
在经济学中，反比例函数可以用 于描述商品价格与市场需求之间 的关系，通过分析反比例函数的 特性，可以预测市场价格的变动
趋势。
在物理中的应用
磁场问题
在电磁学中，磁场与电流之间的 关系可以用反比例函数描述，通 过分析反比例函数的特性，可以 解决与磁场和电流相关的问题。
反比例函数的图象与性质
反比例函数的图象与性质一、知识回顾（1）定义：一般地，形如y ＝kx （k 为常数，k ≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 取值范围是不等于0的一切实数.（2）性质：一般地，反比例函数y ＝kx的图象是双曲线，它具有以下性质：①当k ＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y 随着x 的增大而减小.②当k ＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y 随着x 的增大而增大.③反比例函数y ＝kx 的图象，关于原点对称，关于直线y ＝±x 对称；图象上任意一点关于原点或直线y ＝±x 对称后仍然在反比例函数图象上.二、精讲精练 【定义】〖例〗下列是反比例函数的是（ ）A .y ＝x 2B .y ＝－23xC .y ＝x 2D .y ＝2x －1〖练〗下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）A ．y ＝－12xB ．y ＝－1x 2C ．y ＝1x ＋1D ．y ＝1－1x【图象】〖例〗（点与图象）已知反比例函数y ＝k x （k 为常数，k ≠0）的图象经过点A （－2，12）．（1）求这个函数的解析式；（2）若点B （m ＋2，m ）在这个函数的图象上，求m 的值．〖变〗1、若反比例函数的图象经过点（2，－2），（m ，1），则m ＝__________.2、已知，点A （m ，2－m ），B （m ＋3，m －2）都在反比例函数y ＝k x 的图象上．则k 的值为__________.3、若反比例函数y ＝3－m x 的图象经过点（1，a 2），则m 的取值范围是__________.〖例〗（图象分布）若反比例函数y ＝kx 的图象经过点（2，－1），则该反比例函数的图象在第__________象限．〖练〗反比例函数y ＝kx 图象经过点（－3，－2），则该图象的两个分支在第__________象限．〖例〗（k 的几何含义）反比例函数y ＝kx 的部分图象如图所示，点M 是双曲线上一点，MN⊥x 轴于点N ．若S △MNO ＝2，则k 的值为__________．〖变〗1、已知反比例函数图象A ，B ，C 对应各自反比例函数系数k 1，k 2，k 3；则k 1，k 2，k 3的大小关系_______________.（用“＜”连接）2、反比例函数y ＝kx 的部分图象如图所示，则k 的值可能是（ ）A ．2B ．0.7C ．－6D ．3【对称性】〖例〗若正比例函数y ＝－2x 与反比例函数y ＝kx 的图象交于（1，－2），则另一个交点坐标为__________.〖练〗已知正比例函数y ＝kx 的图象与反比例函数y ＝6－kx 的图象的一个交点坐标是（1，3），则另一个交点的坐标是__________.〖变〗已知直线y ＝kx （k ＞0）与双曲线y ＝3x 交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则x 1y 2＋x 2y 1的值为（ ） A ．－6 B ．－9C ．0D ．9【增减性】〖例〗反比例函数y ＝m －1x ，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是__________．〖练〗若反比例函数y ＝2k －3x 的图象在其每个象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是__________．〖例〗已知点A （－3，y 1），B （－1，y 2），C （3，y 3）都在反比例函数y ＝4x 的图象上，则（ ）A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 2＜y 1＜y 3〖练〗1、已知点A （1，y 1），B （－2，y 2），C （－3，y 2）都在反比例函数y ＝－k 2－1x（k为常数）的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是__________.2、已知：点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）是函数y ＝－3x 图象上的三点，且x 1＜0＜x 2＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 3＜y 2＜y 1D ．无法确定〖变〗已知A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）是反比例函数y ＝2x 上的三点，若x 1＜x 2＜x 3，y 2＜y 1＜y 3，则下列关系式不正确的是（ ） A ．x 1﹒x 2＜0 B ．x 1﹒x 3＜0 C ．x 2﹒x 3＜0 D ．x 1＋x 2＜0【识别图象】〖例〗当k ＞0时，反比例函数y ＝kx和一次函数y ＝kx ＋2的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．〖练〗1、在同一直角坐标系中，一次函数y ＝ax －a 与反比例函数y ＝ax (a ≠0)的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2、一次函数y ＝kx －k 2－1与反比例函数y ＝k x在同一直角坐标系内的图象大致位置是（ ）A ．B ．C ．D ．一次函数与反比例函数综合一、方法与技巧（1）求解析式、交点：代点得方程、联立方程、待定系数法； （2）面积问题：k 的几何意义、设坐标、割补拼凑、平行转化； （2）求不等式解集：联立方程解交点，观察函数图象；（3）判断双曲线与直线（线段）位置关系：联立方程，转化为整式方程，利用判别式； （4）求交点相关的代数式值：利用方程计算、根与系数关系.二、精讲精练【求解析式和交点：方程与函数】〖例〗1、（联立）如图，直线y ＝x －1与反比例函数y ＝2x 的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，则点A ，B 的坐标分别为___________、__________.2、（对称性）已知双曲线y ＝k x 与直线y ＝－12x 交于A 、B 两点，且A （－2，m ），则点B 的坐标是__________.3、（点代入）已知一次函数y ＝kx ＋2与反比例函数y ＝3x 的图象都经过A （m ，1）．求：（1）点A 的坐标；（2）求这个一次函数的解析式． （3）求另一个交点B 的坐标． 4、（待定系数法）已知一次函数与反比例函数的图象交于点P （－2，－1）和点Q （1，m ） 求反比例函数和一次函数的解析式．〖练〗1、已知正比例函数y ＝kx 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象交于A ，B 两点，若点A的坐标为（－2，1），则关于x 的方程mx ＝kx 的两个实数根分别为（ ）A ．x 1＝－1，x 2＝1B ．x 1＝－1，x 2＝2C ．x 1＝－2，x 2＝1D ．x 1＝－2，x 2＝22、已知正比例函数y ＝kx 的图象与反比例函数y ＝5－kx （k 为常数，k ≠0）的图象有一个交点的横坐标是2，则k ＝__________．3、已知反比例函数y ＝k 1x 的图象与一次函数y ＝k 2x ＋b 的图象交于A 、B 两点A （1，n ），B （－12，－2），求反比例函数和一次函数的解析式．【不等式解集：数形结合】〖例〗1、如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 图象交于A （－2，1）、B （1，n ）两点.（1）求点B 坐标；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围.〖练〗1、如图，已知一次函数y ＝x ＋b 与反比例函数y ＝kx 的图象交于A 、B 两点，其中点A的坐标为（2，3）. （1）求点B 的坐标；（2）请根据图象直接写出不等式x ＋b －kx＞0的解集.2、如图，已知一次函数y 1＝k 1x ＋b 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数y 2＝k 2x 的图象分别交于C 、D 两点，点D （2，﹣3），点B 是线段AD 的中点.（1）求一次函数y 1＝k 1x ＋b 与反比例函数y 2＝k 2x 的解析式；（2）求C 点坐标；（3）直接写出y 1＞y 2时自变量x 的取值范围.〖变〗如图，已知反比例函数y ＝k 1x 与一次函数y ＝k 2x ＋b 的图象交于点A （1，8）、B （－4，m ）．（1）求k 1、k 2、b 的值；（2）若M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是比例函数y ＝k 1x图象上的两点，且x 1＜x 2，y 1＜y 2，指出点M 、N 各位于哪个象限，并简要说明理由．【面积问题：k 几何意义、设坐标、割补拼凑、平行转化】〖例〗1、（k 几何意义）如图，A 是反比例函数y ＝kx 图象上一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，点P 在y 轴上，△ABP 的面积为1，则k 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2〖练〗如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上，△ABP 面积为2，则这个反比例函数的解析式为__________.〖例〗（设坐标）如图，已知点A ，B 在反比例函数y ＝kx （x ＜0）的图象上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与BD 交于点P ，且P 为AC 的中点，若△ABP 的面积为2，则k ＝__________.〖练〗如图，反比例函数y ＝2x 的图象经过矩形OABC 的边AB 的中点D ，则矩形OABC 的面积为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．8〖例〗（割补拼凑）如图，已知反比例函数y ＝k x （k ≠0）的图象经过点（12，8），直线y ＝－x ＋b 经过该反比例函数图象上的点Q （4，m ）（1）设该直线与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，与反比例函数图象的另一个交点为P ，则A ，B ，P 三点的坐标分别是__________、__________、__________； （2）连接OP 、OQ ，求△OPQ 的面积．〖练〗1、如图，已知一次函数y 1＝k 1x ＋b 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数y 2＝k 2x 的图象分别交于C 、D 两点，点D （2，﹣3），点B 是线段AD 的中点.（1）求C 点的坐标；（2）求△COD 的面积；x A 的坐标为（1，m ）．（1）求反比例函数y ＝kx（k ≠0）的表达式；（2）若P 是y 轴上一点，且满足△ABP 的面积为6，求点P 的坐标．〖例〗（平行转化）如图，反比例函数y ＝kx 与y ＝mx 交于A 、B 两点，已知点A 的坐标是（4，2），点P 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在AB 的上方． （1）求k 、m 的值及B 点的坐标； （2）若S △ABP ＝12，求点P 的坐标．〖练〗在平面直角坐标xOy 中，直线y ＝x ＋b 与双曲线y ＝ mx 的一个交点为A （2，4），与y 轴交于点B ．（1）求m 的值和点B 的坐标；（2）点P 在双曲线y ＝ mx上，△OBP 的面积为8，直接写出点P 的坐标．x B （3，n ）两点．（1）求一次函数及反比例函数的解析式；（2）点P 为双曲线上A ，B 之间的一点，求当△ABP 的面积最大时点P 的坐标．【位置关系问题：数形结合、方程思想】〖例〗（数形结合）一次函数y ＝kx ＋k －1的图象与反比例函数y ＝1x 的图象交点的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．1或2〖练〗函数y ＝1－kx 与y ＝2x 的图象没有交点，则k 的取值范围为（ ）A ．k ＜0B ．k ＜1C ．k ＞0D ．k ＞1〖例〗1、若一次函数y ＝mx ＋6的图象与反比例函数y ＝nx 在第一象限的图象有公共点，则有（ ） A ．mn ≥－9 B ．－9≤mn ≤0C ．mn ≥－4D ．－4≤mn ≤02、若一个反比例函数的图象与一次函数y ＝x －3的图象在同一平面直角坐标系中没有公共点，则这个反比例函数的解析式可能是（ ）A ．y ＝3xB ．y ＝－3xC ．y ＝1xD ．y ＝－1x3、在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋b 与双曲线y ＝－1x 只有一个公共点，则b 的值是（ ）A ．1B ．±1C ．±2D ．2〖练〗1、若直线y ＝x ＋2与双曲线y ＝m －3x 在第二象限有两个交点，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞2B ．m ＜3C ．2＜m ＜3D ．m ＞3或m ＜22、在同一直角坐标平面内，如果直线y ＝k 1x 与双曲线y ＝k 2x 没有交点，那么k 1和k 2的关系一定是（ ） A ．k 1＋k 2＝0 B ．k 1﹒k 2＜0 C ．k 1﹒k 2＞0 D ．k 1＝k 23、在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋2与反比例函数y ＝1x 的图象有唯一公共点，若直线y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝1x 的图象有2个公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．b ＞2B ．－2＜b ＜2C ．b ＞2或b ＜－2D ．b ＜－2〖例〗1、在直角平面坐标系中，直线l 与双曲线y ＝－5x 只有一个交点A （5，－1），求l 的函数解析式．2、如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象相交于点A （1，5）和点B ，与y 轴相交于点C （0，6）.（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）现有一直线l 与直线y ＝kx ＋b 平行，且与反比例函数y ＝mx 的图象在第一象限有且只有一个交点，求直线l 的函数解析式.〖练〗1、如图，点P （－2，3）在双曲线上，点E 为该双曲线在第四象限图象上一动点，过E 的直线与双曲线只有一个公共点，并与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，则△AOB 面积为（ ） A ．24 B ．12 C ．6 D ．不确定2、已知直线l 分别与x 轴、y 轴交于A .B 两点，与双曲线y ＝ax （a ≠0，x ＞0）分别交于D .E两点.若点D 的坐标为（3，1），点E 的坐标为（1，n ）. （1）分别求出直线l 与双曲线的解析式；（2）若将直线l 向下平移m （m ＞0）个单位，当m 为何值时，直线l 与双曲线有且只有一个交点？〖例〗1、已知直线y ＝kx （k ＞0）与双曲线y ＝4x 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于（ ） A ．28B ．20C ．36D ．－202、已知函数y ＝x ＋5与y ＝3x 的图象的两个交点的横坐标为a 、b ，则1a ＋1b 的值是（ ）A ．－53B ．53C ．－35D ．35〖练〗1、已知直线y ＝kx 与双曲线y ＝－2x 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－8x 2y 1的值为（ ） A ．－6B ．－12C ．6D ．122、已知反比例函数y ＝1－6tx 的图象与直线y ＝－x ＋2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t 的取值范围是（ ） A ．t ＜16B ．t ＞16C ．t ≤16D ．t ≥16〖例〗1、已知点A （－2，1），B （1，4），若反比例函数y ＝kx 与线段AB 有公共点时，k 的取值范围是（ ） A ．－2≤k ≤4 B ．k ≤－2或k ≥4 C ．－2≤k ＜0或k ≥4 D ．－2≤k ＜0或0＜k ≤42、如图，过点A （4，5）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y ＝－x ＋6于B 、C 两点，若函数y ＝kx （x ＞0）的图象△ABC 的边有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．5≤k ≤20B ．8≤k ≤20C ．5≤k ≤8D ．9≤k ≤20〖练〗1、如图，过点C （1，2）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y ＝－x ＋6于A 、B 两点，若反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是_______________．2、如图，正方形ABCD 位于第二象限，AB ＝1，顶点A 在直线y ＝－x 上，其中A 点的横坐标为－1，且两条边AB 、AD 分别平行于x 轴、y 轴，若双曲线y ＝（k ≠0）与正方形ABCD 有公共点．则k 的取值范围是（ ） A ．－4≤k ≤－1 B ．－4＜k ＜－1 C ．－4≤k ＜－1D ．1≤k ≤4。
反比例函数的图象和性质课件
反比例函数的图象和性质ppt课件介绍了反比例函数的定义、性质、图象以及 应用。通过课件，你将了解反比例函数的基本概念和特点，并掌握其在实际 问题中的应用。
I. 反比例函数的定义及性质
定义
反比例函数是一种特殊的函 数关系，其变量之间的比例 关系是相反的。
解析式
反比例函数的解析式一般为y = k/x，其中k为常数。
练习题演练
通过练习题的演练，加深对反比例函数的理解，并提高解决实际问题的能力。
IV. 总结与思考
特点回顾
反比例函数具有对称轴、渐近线等特点，是一种重要的函数类型。
图象对实际问题的帮助
反比例函数的图象可以帮助我们理解和解决实际问题，提供定性和定量的分析。
进一步思考
通过深入思考和探索，我们可以将反比例函数应用于更复杂的优化问题中。
反比例函数的图象可以通过平移、 伸缩等变换得到不同的形态。
反比例函数的图象包括关键点， 如顶点、渐近线和交点。
III. 反比例函数的应用
与正比例函数的关系
反比例函数和正比例函数是互为倒数的关系，它们在实际问题中经常同时出现。
实际问题中的应用
反比例函数在经济、物理和工程等领域中有广泛的应用，例如弹簧的伸长和台阶的高度与数 量关系。
定义域和值域
反比例函数的定义域为除数 不为0的实数集合，值域为不 等于0的实数集合。
单调性
反比例函数在定义域内通常是单调递减或单调增 函数。
渐近线
反比例函数在x轴和y轴上都有渐近线，分别为y = 0和x = 0。
II. 反比例函数的图象
基本形态
变形
特征点
反比例函数的图象通常为双曲线， 具有一个对称轴。
反比例函数的图像和性质
反比函数的图象和性质是什么？
反比函数的图象是什么？反比函数的图像是在一个坐标轴上有两根相互对称的曲线而组成，性质分别为：①单调性、②面积、③图想表达、④对称性，以上就是反比函数的图象和性质。
接下来详细的看一下其中的内容吧！
①单调性：反比函数是具有单调性的，当函数内容k大于零的时候，图像分别位于第一三象限，而在每一个象限的内部，从左往右来数，y 是随着x的增大而减少，如果K小于零的时候，图像分别位于第二四象限，在每一个象限的内部，y随着x的增大而增大。
当K大于零的时候，函数在x小于零上是一个减函数，而在x大于零的时候，也是为减函数。
在k小于零的时候，函数在x小于零上为增函数，在x大于零的时候同为增函数。
②面积：在一个反比例函数上面取两个点，这两个点可以随意的取，然后过点分别做一个x轴和一个y轴的平行线，而这个平行线是可以和坐标轴围成一个矩形，而这一个矩形的面积为绝对值得K。
而在反比例函数上，找到一个点，向X/Y轴分别做一个垂线，设置一个围好的矩形，而这个矩形则为QOWM，这个垂线分别位于y轴和x 轴，则围成形状的这个面积为绝对值得K，则连接这个矩形的对角线为OM，则满足RT△OMQ的面积等于二分之一绝对值得K。
③图像表达：对于反比例函数的图像来说的话，不和x轴或者是y轴的相交渐近线为x轴和y轴，K值相等的反比例函数图像是相互重合的，k值不相等的反比例函数图像是永远都不会相交的，而绝对值得K 越大的话，反比例函数距离坐标轴就会越来越远。
④对称性：反比例函数是一种中心对称的图形，对称中心是原点，而正是这样的一个反比例函数的图像也是轴对称图形，随意反比例函数上的点是关于原点坐标对称的，图像关于原点对称。
反比例函数的图象和性质
忆一忆
面积性质（一）
y P(m,n)
oA
x
y
P(m,n)
oA
x
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（1）求反比例函数和一次函数的解析式。 （2）根据图象写出使反比例函数的值大于一 次函数的值的x的取值范围。
y
M （2，m）
o
x
N （-1，-4）
求（1）一次函数的解析式
（2）根据图像写出使一 次函数的值小于反比例函 数的值的x的取值范围。
y A
O
xBΒιβλιοθήκη 例：已知，关于x的一次函数
和
反比例函数
的图象都经过点（1，-
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17．1．2反比例函数的图象和性质（2）
教学过程
此题还可以画草图，比较a 、b 、c 的大小，利用图象直观易懂，不易出错，应学会使用。
例2． （补充）如图， 一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数x
m y =的图象交于A （－2，1）、B （1，n ）两点 （1）求反比例函数和一次函数的解析式
（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围
分析：因为A 点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函数的解析式x
y 2-=，又B 点在反比例函数的图象上，代入即可求出n 的值，最后再由A 、B 两点坐标求出一
次函数解析式y ＝－x －1，第（2）问根据图象可得
x 的取值范围x ＜－2或0＜x ＜1，这是因为比较两
个不同函数的值的大小时，就是看这两个函数图象哪个在上方，哪个在下方。
例3：已知变量y 与x 成反比例，且当x=2时y=9（1）写出y 与x 之间的函数解析式和自变量的取值范围。
分析：要确定一个反比例函数x
k y =的解析式，只需求出比例系数k 。
如果已知一对自变量与函数的对应值，就可以先求出比例系数，然后写出所要求的反比例函数。
例3、设汽车前灯电路上的电压保持不变,选用灯泡的电阻为R(Ω)，通过
电流的强度为I(A)。
（1）已知一个汽车前灯的电阻为30 Ω，通过的电流为0.40A ，求I 关于R 的函数解析式，并说明比例系数的实际意义。
（2）如果接上新灯泡的电阻大于30 Ω，那么与原来的相比，汽车前灯的亮度将发生什么变化？
在例3的教学中可作如下启发：
（1）电流、电阻、电压之间有何关系？
（2）在电压U 保持不变的前提下，电流强度I 与电阻R 成哪种函数关系？
（3）前灯的亮度取决于哪个变量的大小？如何决定？
先让学生尝试练习，后师生一起点评。
第三步：随堂练习：
1.当质量一定时，二氧化碳的体积V 与密度p 成反比例。
且V=5m3时，p=1．98kg ／m3
（1）求p 与V 的函数关系式，并指出自变量的取值范围。
（2）求V=9m3时，二氧化碳的密度。
2、已知反比例函数y=k/x （k ≠0）的图像经过点（4，3），求当x=6时，y 的值。
3、 已知y －2与x+a （其中a 为常数）成正比例关系，且图像过点A （0，
4）、B （－1，2），求y 与x 的函数关系式
4、已知一次函数y= -x+8和反比例函数y =x
k （1） k 满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两
个交点？
( 2 ) 如果其中一个交点为（－1，9），求另一个交点坐标。
第四步：课后练习
1．已知反比例函数x
k y 12+=的图象在每个象限内函数值y 随自变量x 的增大而减小，且k 的值还满足)12(29--k ≥2k －1，若k 为整数，求反比例函数的解析式
2．已知一次函数b kx y +=的图像与反比例
函数x
y 8-=的图像交于A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是－2 ，
求（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB 的面积。