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长沙理工大学线性代数考试试卷及答案

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(完整word版)线性代数经典试题4套及答案

(完整word版)线性代数经典试题4套及答案

线性代数经典试题4套及答案试卷1一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

完整版)线性代数试卷及答案

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完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。

(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。

A) r(A)。

r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。

A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。

3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。

(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。

(C) BA=O。

(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。

5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。

11；(C) -1；(D)。

(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。

A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。

1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。

(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。

长沙理工大学线性代数习题册答案详解

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练习1.1一、1.6,8,6,8+1；2.n .二、1.()()24R A R A β==<,无穷多个解；2.()()3R A R A β==,有惟一解(5,0,3)；3.()2,()3R A R A β==,无解.三、1.21313212311342121338()312100101134113080006r r r r r r r r A β------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,()()R A R A β≠,无解；2.213132124142232423141245124507714()38213000041960000r r r r r r r r r r r r A β---↔----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, ()()23R A R A β==<,有无穷多个解；3.23211331323222*********()32134075951435200000r r r r r r rr r r A β↔-↔-----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→→→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,()()24R A R A β==<,有无穷多个解.四、321221331581824()18240231431690011r r r r rr A β-↔-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()3R A R A β==，358824369x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解，有惟一交点.五、21231321241421212()417737371034571717233219200117174111316000072130000r r r r r r r r r r r r r r r A -⨯-------⎛⎫--⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪⎪-=→→→→ ⎪⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 1342343344313171719201717x x x x x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪=⎩，取34,x a x b ==，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=b x a x ba xb a x 4321172017191713173. 练习1.2一、1.≤，5，5；2.初等行变换.二、1.21313212343011*********r r r r r r r r A ++----⎛⎫⎪→→→-- ⎪ ⎪⎝⎭,()2R A =；2.34242132312343421()241()33162113430011020001000000r r r r r r r r r r r r r r r r B ⨯--⨯---------⎛⎫ ⎪--⎪→→→→ ⎪ ⎪⎝⎭,()3R B =； 3.31210101000r ar C a a -⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭,若a =0或a =1，()2R C =；若a ≠0且a ≠1，()3R C =. 三、1.23r r ↔；2.261r ⨯；3.)4(2131r r +. 四、1.()()()1+≤≤B R A R B R ；2.当)B ()A (R R ≠时，方程组无解；当n R R ==)B ()A (时，方程组有唯一解；n R R ＜)B ()A (=时，方程组有无穷多个解练习1.3一、1.无，无穷多个，唯一；2.)B ()A (R R <；3.n A R ＜)(，n A R =)(.二、1.32321221332731612122()3522401151109417200000r r r r r r r r A β-+-+--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,方程组有无穷多解；2.3242213234312343144123434322315124731270117464136001512470001r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r A ----↔--+↔----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→→→→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, 方程组有惟一零解.三、2131133222222311111()11011110021r r r r r r r rA λλλλβλλλλλλλλλλλλλ--↔+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭, 1.当1≠λ，且2≠λ时，()()3R A R A β==,方程组有唯一解； 2.当λ＝－2时，()2,()3R A R A β==,方程组无解； 3.当λ＝1时，()()1R A R A β==,方程组有无穷多个解. 四、13211313212(2)25112222122()254201112451(1)(10)(1)(4)0022r r r r r r r r r A λλλλβλλλλλλλλλλ↔+⨯--+-+⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪⎪=--→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---------⎝⎭ ⎪⎝⎭1.当1≠λ且10λ≠时,()()3R A R A β==,方程组有唯一解；2.当10λ=时,()2,()3R A R A β==,方程组无解；3.当1λ=时,()()1R A R A β==，方程组有无穷多个解.1221()00000000A β-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,123122x x x =-+,令2x a =，3x b =，得122 321⎪⎩⎪⎨⎧==++-=b x a x b a x （b a ,为任意常数） 练习1.4一、1.r=k ；2.行，列，秩；3.⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001. 二、1.12421321233134341243231455343111100310010441001121000r rr r r r r r r r r r r r r r r r r E O -++---⨯---⨯-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪→→→→= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； 2.313144124221122342431324343453441421()2131122421112()134********11012201103100422012r r r r r c c r c c r r r r r r r r r r r r r c c r r c c r r r r r r ⨯----⨯+-+-⨯-+---+↔+---⎛⎫⎪⎪→→→→→→ ⎪⎪--⎝⎭10000010000010000010⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭()445E O ⨯；三、213123211202(1)2(1)4(1)03(1)3(1)6(1)r r r kr k A k k k k k k +---⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭，1.当1k =时，A →431000⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛E ；2.当k ≠1时，1121120112011201(1)20020k k A k k ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭, (ⅰ)2k =-，A →432000⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛E ；(ⅱ)2k ≠-，A →()4330⨯E .练习2.1一、1.1；2.1或-2.二、1.1；2.xyz z y x 3222-++；3.))()((a c c b b a ---． 三、14.练习2.2一、1.零；2.D k n n )1(-；3.111110()()0111a b c a b c b a a b bc a b a a b b a c a c aa cca b c aa c ++---+=--==--=---+--；4.103100204203100204110020411002041992003953992003954200395601330130060060130060013006004012--===-- 613100100(20)2000412-=-=-⨯-=-．二、1.1234102341023310234234110341011301131603412104120222004441231012301110004--====-------；2.2()2()2()02()0xyx y x y y x y x y y x y yx y x x y x y x x y x yxy x y x y x yx++++++=++=-++-- 2()2()000x y y x y x y y x y x y x y x xy++++=-+---2()2()000x y y x y x y y x y x y y x y xy++++=-----22332()()2()()()2()()2()x y x y x x y y y x y x xy y x y =+--+--=-+-+=-+；3.111111111020411102abac ae bdcd de abc de f abcdef abcdef bfcfef----=-=-=--；4.(1)(1)(1)00(1)00a b b a n b b b a n b b b b a b a n b a b a b b b a a n b b a a b +-+-+--==+-- 1[(1)]()n a n b a b -=+--．练习2.3一、1.64；2.4x ；3.－10；4.0,))((,212111b b a a b a ---；5.－2，0，2. 二、1.1)]()1([---+=n n a x a n x D ；（见练习2.2二、4.解法）2.21222242()()()()n n n n n D ad bc D ad bc D ad bc D ad bc ---=-=-==-=- ．三、1.2122232421031132329635304167A A A A ---++==--； 2.4142434421031111035301111A A A A -+++==-． 练习2.4一、1.2，-1；2.c b a ≠≠.二、2124133223121211111D λλλλλλλλλ----+-=-=---2332(3)(2)0121λλλλλλλλ-+-==--=--,3,2,0=λ． 三、1.1,3,2,14321-====x x x x ；2.1,4,6,44321-==-==x x x x ． 四、甲、乙、丙三种化肥各需3千克，5千克，15千克.练习3.1 一、1.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛91101106,15803113；2.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----2536,14324101221 3.（10），⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------132132132；4.E 3；5.0，a d -. 二、1.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10001001n ； 2.2824211100713()1125312010823101110001210f A A A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.四、()()300014000.50.040.211115001300465047027000.40.060.42000800⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭,总价值：4650万元；总重量：470吨；总体积：2700立方米.练习3.2 一、1.3221-⎛⎫⎪-⎝⎭；2.25112*11,9,813A A A A A A --======； 3.16；4.111111111111()()[()]()A B B BA B AA B B A A A B A B ------------+=+=+=+；5.AA . 二、1.1102214151122⎛⎫- ⎪⎪-- ⎪ ⎪-⎪⎝⎭；2.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a 11121. 三、1.1011101113113623210212432432856111312X --⎛⎫⎛⎫----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭；2.222,,()AX E A X AX X A E A E X A E +=+-=--=-,00101010141A E -==-≠,A E -可逆,121()()()()()X A E A E A E A E A E A E --=--=--+=+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛341030102.四、11,P AP A P P --=Λ=Λ,1010110111*********A P P --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=Λ= ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭1010111122122212⎛⎫--+= ⎪--+⎝⎭. 五、2124,(2)4,[(2)]4A A E O A A E E A A E E -+=-=-⋅--=. A ∴可逆,11(2)4AA E -=--.练习3.3一、1.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8500320000520021,9320014500000910002023，2.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-010000000010000001100000121n n a a a a ； 3.1111A O A O A O C C C A B O B O B OB --*--⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11A B A OO A B B --⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B A O O A B . 二、1.34202541004322A ==-⨯=--,881610A A ==；12A O A O A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2212343450434305A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭,442211145005A A A ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 22232202020222222A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,4422222642022A A A ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 44441442645000050000200022A O A OA ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭. 2.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3401230000021000001200011.三、1.11111,A O E O A O A O A O E O B O E O B OB OB -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∴=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；11111,O A E O O A OB O B E B O O E B O AO AO -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 2.A B E O E B A O M O C O C O E O E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,E O E B A O M E C A E A C O C O E O E===.练习4.1一、1.；；T T TT )4,3,2,1(,)13,4,5,17(21.2)8.1,7,2(,)1,1,1,3(------ 3.121233333(k k βααβααα=-=-+，为任意实数).二、123111111111111()3210012301230120120003αααβλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 1.当3λ≠时，123123()2,()3R R ααααααβ==，β不能由123ααα线性表示；2.当3λ=时，123123()()23R R ααααααβ==<，β能由123ααα线性表示，且表示式不惟一.三、β 可由12,,,m ααα 唯一线性表示，∴方程组1122m m x x x αααβ+++= 有唯一解，则1212()()m mR R m ααααααβ== ，从而12,,,m ααα 线性无关.练习4.2一、1.线性相关，线性无关； 2.＜，＝； 3.1； 4.无关.二、1.123110110000012()12200022000ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,123()23R ααα=<,123,,ααα相关； 2.123131131()223041315000ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 123()23R ααα=<,123,,ααα相关.三、1.设113221323()()()0k k k αααααα++-++=,即121232133()()()0k k k k k k ααα-++++=.123,,ααα 线性无关,1223130,0,0.k k k k k k -=⎧⎪∴+=⎨⎪+=⎩ 1100110101-=,方程组有非零解,123,,ααα线性相关. 2. 设112123123()()0k k k αααααα+++++=,即123123233()()0k k k k k k ααα+++++=.123,,ααα 线性无关,1232330,0,0.k k k k k k ++=⎧⎪∴+=⎨⎪=⎩ 11101110001=≠,方程组只有零解,123,,ααα线性无关. 四、解法1:设11221233123()(2)(2)0k a k a k αααααααα++++++-=,即12311232233(2)(2)()0k k k ak k k ak k ααα++++++-=.123,,ααα 线性无关,1231232320,20,0.k k k ak k k ak k ++=⎧⎪∴++=⎨⎪-=⎩ 若12123123,2,2a a αααααααα++++-线性无关,则方程组只有零解,2121121001a a a =-≠-,1±≠a . 解法2:12123123123121(22)()1201B a a a a ααααααααααα⎛⎫ ⎪=++++-= ⎪ ⎪-⎝⎭,若12123123,2,2a a αααααααα++++-线性无关,则()3R B =,又121()12301R B R a a ⎛⎫ ⎪≤≤ ⎪ ⎪-⎝⎭,12112301R a a ⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪-⎝⎭,2121121001a a a =-≠-,1±≠a .五、设1234()a bc d b a d c A c d a b d c b a αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪-- ⎪--⎝⎭, 22222222222222220000000000T a b c d a b c d AA a b c d a b c d ⎛⎫+++⎪+++⎪= ⎪+++ ⎪⎪+++⎝⎭,222224()T T a b c d AA A A A A A +++====,0,0,()4abcd A R A ≠∴≠= ,1234,,,αααα线性无关.练习4.3一、1.T 中任一个向量都可由s ααα,,,21 线性表出；2.＜，＝；3. 4，5321,,,αααα.二、123217121121121121217055055()055055055000318318055000ααα------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 123()23R ααα=<,123,,ααα线性相关.三、1234132213221322223204120231()311208540854111102310412αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪------⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭71110100132222202313110101022200700010001000500000000⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1234(,,,)3R αααα=,123,,ααα为一个最大无关组,4121122ααα=+.四、设1212(),,,,n n B αααααα= 线性无关,(),0R B n B ∴=≠.1212()n n A A A A AB A B αααααα=== ,1212()00()n n R A n A A A A R A A A n αααααα=⇔≠⇔≠⇔=12,,,n A A A ααα⇔ 线性无关.自测题（第一、二、三、四章）一、填空题1.-3；2.4m -；3.0；4.2,1-≠≠λλ；5. 任一n 维向量都是0Ax =的解，则n 个n 维单位坐标向量12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)T T T n εεε=== 是0Ax =的解，则1212()()(000)n n A AE A A A A O εεεεεε===== ，从而()0R A =.6.3,0-≠k ；7.2；8.-4；9.20,0,20,2,1,2A E A E A E +=-=-=∴- 为A 的特征值,2124A =-⋅⋅=-, 31*2(4)16A A-==-=.10.1110111101P AP D A PDPA PDP PDP PDP PD P ------=⇒=⇒==101010111111102122211202112221-⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.二、21322217204292-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭.三、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=313223X .四、160.五、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-6493244361A .六、因为1121111111022110221131824000001302000000----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪--⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，所以，第一列与第二列是一个最大无关组.七、()1111111122(2)3010323000A a b ab a a b a b β--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-+→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭, 当0a b ==时，()1,()2R A R A β==；当0,0a b =≠时,()2,()3R A R A β==,无解；当b a a ≠≠，0时，()()3R A R A β==,有惟一解:Taa x )0,1,11(-=， 当b a a =≠,0时,()()2R A R A β==有无限多个解:TTaa k )0,1,11()1,1,0(1-+=α. 八、()123411111011212324335185a b a ααααβ⎛⎫⎪-⎪= ⎪++ ⎪+⎝⎭11111102100112101121012100100225200010a b a b a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→⎪ ⎪++ ⎪⎪-++⎝⎭⎝⎭1.当0,1≠-=b a 时，β不能表示成4321,,,αααα的线性组合；2.当1-≠a 时,β能由4321,,,αααα唯一线性表示:32111112αααβ+++++++-=a ba b a a b练习5.1一、1.A 0=；2.≠A 0；3.无关；4.2；5.0,1；二、111111111100111100220011112200330000A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=--→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭,121234340,,0..x x x x x x x x -==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩ 令2142x c x c ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则通解为 11213224,,,x c x c x c x c =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩或121212341010,(,)0101x x c c c c R x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 三、112111211022211103310103221201030038A ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭101003010380013⎛⎫- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，14243410,33,8.3x x x x x x ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩取43x =，得方程组的一个基础解系为10983ξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭.练习5.2一、1.b AX =；2.1；3.04321=+++a a a a ；4.≠A 0.二、1111021*********22()422120001000010211110002000000A β⎛⎫-⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭, 1234111,2220,x x x x ⎧+-=⎪⎨⎪=⎩即1234111,2220,x x x x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩令2132x c x c ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得 11221324111,222,,0,x c c x c x c x ⎧=-+⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩即12121234111222010,(,)001000x x c c c c R x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 三、见练习1.3第三题.四、充分性:若0A ≠,则A 可逆,对任一0β≠,方程组Ax β=唯一解1x A β-=.必要性:若对任一0β≠,Ax β=有解,则当β分别为12100010,,,001n εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭时,方程组有解,即存在12,,,n ηηη ,使得1122,,,n n A A A ηεηεηε=== , 则121212()()()n n n A A A A E ηηηηηηεεε=== ,A ∴可逆,0A ≠.练习5.3一、1.零，非零；2.是，0；3.是，3.二、123123512351235()111003450345032703270022αααβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭123512081208100203450309010301030011001100110011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 123123()3,,,R αααααα=∴ 线性无关,从而是3R 的一个基.12323βααα=+-,β在基123ααα下的坐标为(2,3,1)-.三、11111βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,21221112301[,]2111[,]331113αββαβββ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭, 31323312112220301[,][,]111101[,][,]3232111123αβαββαββββββ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 111e ββ==1(1,1,1)3T ,222e ββ==1(2,1,1)6T -,333e ββ==1(0,1,1)2T -. 练习6.1一、1.0, <, 非零；2.0；3.1，3121，，6，11，18；4.1，2，3.二、1.233256356356911022020121121121r r c c A E λλλλλλλλλλλ+--------=--=--=-----2359(2)(2)(44)(2)11λλλλλλλ--=-=--+=----,令0A E λ-=，得===321λλλ 2.对于2λ=解方程组()0A E x λ-=,得基础解系12(2,1,0),(1,0,1)T Tξξ=-=,则A 的对应于===321λλλ2的全部特征向量为12(2,1,0)(1,0,1)T T k k -+(12,k k 不同时为零)； 2.121321133133133353153020664464464c c c c r r A E λλλλλλλλλλλλλ++--------=--=---=----------21313(2)(2)(4)(2)(4)4411λλλλλλλλλ--=--=-+-=+---,令0A E λ-=,得221-==λλ,=3λ 4.对应于221-==λλ的全部特征向量为T T k k )1,0,1()0,1,1(21-+(12,k k 不同时为零)；对应于=3λ4的全部特征向量为3(1,1,2)T k (03≠k ).三、已知A ξλξ=,要证k k A ξλξ=,用数学归纳法.因为当1k =时等式成立,假设当k m =时等式成立,即m m A ξλξ=,则11m m m m m m A AA A A ξξλξλξλλξλξ++=====,即1k m =+时等式也成立,所以对一切正整数k 等式成立. 四、用反证法.假设12αα+是A 的对应于特征值λ的特征向量,即1212()()A ααλαα+=+由已知111222,A A αλααλα==,12121122()A A A ααααλαλα+=+=+,则有121122()λααλαλα+=+,从而有1122()()0λλαλλα-+-=.1212,,λλαα≠∴ 线性无关,则12120,0λλλλλλλ-=-=⇒==,与12λλ≠矛盾,所以12αα+不是A 的特征向量.练习6.2一、1.n ；2.B AP P =-1；3.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123λλλ；4.设1212(),,P αααα= 线性无关，12()2,0,R P P αα∴=≠可逆.121212120202()()(02)()0101AP A A A P αααααααα⎛⎫⎛⎫===+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则10201P AP -⎛⎫=⎪⎝⎭,A 与0201⎛⎫ ⎪⎝⎭相似,特征值相同,0201⎛⎫⎪⎝⎭的特征值为0和1,所以A 的非零特征值为1. 二、1.1211(1)0,0,10A E λλλλλλλ--==--===-，12λλ≠，A 能对角化；2.22122125335375121A E λλλλλλλλ------=--=--------223111211(1)(1)034375344λλλλλλλλλλ----=-==+=-+=+-----+--， 1231λλλ===-，,()0A E O R A E +≠+≠，A 不能对角化.三、202312520111A E xx x x -=-=-+-=-,2=x 或21=x . 2=x 时,12312344440421121121111211212r r r A E λλλλλλλλλλλλλ++-------=--=--=------ 4411(1)(1)(4)(1)(4)(1)01212λλλλλλλλλλ--=--=-+-=-+--=--,1231,4,1A λλλ=-==，能与对角阵相似；21=x 时,3112312312311111222122224221210221112r r A E λλλλλλλλλλλ-----=--=--=---+---3121252111220(52)(22)(1)04410c c λλλλλλλ+--=-=---+=+,1235,1,12A λλλ===-，能与对角阵相似.四、1.已知112212,,11,,A A αααααα=-=-≠∴ 线性无关.设1122330k k k ααα++=,则331122331122k k k k A k A k A αααααα=--⇒=--32311223311232()()()k k k k k k k ααααααα⇒+=---⇒=-+ 1122112321132()20k k k k k k k αααααα⇒--=-+⇒-= 13220,00k k k α⇒==⇒=,而,则123,,ααα线性无关.2.1231231223123100()()()()011001AP A A A A ααααααααααααα-⎛⎫ ⎪===-+= ⎪ ⎪⎝⎭,100011001AP P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.练习6.3一、1. 正交的；2.线性无关的；3.实数；4.若0A =，则A 有特征值10λ=.设A 还有两个特征值为23,λλ.A 的特征值互不相同,230,0λλ∴≠≠,且A 能对角化,即存在可逆矩阵P ,使得1230P AP λλ-⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭. 11()()(),()()(),()()2R R P AP R A R A R P P R R A R --Λ=≤=Λ≤Λ∴=Λ= .二、1.A 与012⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似,A ∴的特征值为0,1,2. 2111()011A ααβαββ==--=,010201A E ααβαββ-===⇒0==βα；2.对于10λ=,解方程组0Ax =,得1(1,0,1)T ξ=-. 对于21λ=,解方程组()0A E x -=,得2(0,1,0)T ξ=. 对于32λ=解方程组(2)0A E x -=得3(1,0,1)T ξ=.123,,λλλ 互不相同,123,,ξξξ∴两两正交,将123,,ξξξ单位化: 3121231231111(,0,),(0,1,0),(,0,)2222T T Tp p p ξξξξξξ==-====, =P 12311022()01011022p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦为正交矩阵,使1P AP B -=. 三、设A 的与特征值6对应的特征向量为3123(,,)Tx x x α=,363,α≠∴ 与1α，2α都正交,3132[,]0,[,]0αααα==,131230,20,x x x x x -+=⎧⎨-+=⎩解得基础解系3(1,1,1)Tα=,A 的与特征值6对应的全部特征向量为333(0)k k α≠.121[,]0,ααα=∴ 与2α正交,故123,,ααα两两正交,将它们单位化:31212311121111(,0,),(,,),(,,)22666333T T Tαααααα=-=-=, 得正交矩阵11126321063111263P ⎛⎫-⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,使1336P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 1333366TA P P P P -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111102632234112112103141636666114111111263333⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.四、()2,R A A =∴ 的特征值有且只有一个是0.设λ为A 的特征值,则2()2f λλλ=+为2()2f A A A =+的特征值,而()f A O =的特征值必为0,220,0λλλ∴+==或2-.A 的全部特征值为2,0321-===λλλ.练习7.1一、1.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡310122021；2.323121x x x x x x f ++=；二、1.1222212122311112222nn n n n ii i i i f x x x x x x x x x xx x --+===+++----=-∑∑ ，()()R f R A n ==.2.23()32(23)(32)(745)745x y z f x y z x y z x x y z y x y z z x y z x y z ++⎛⎫ ⎪=++=++++++++ ⎪ ⎪++⎝⎭2222152352106()133535x x y z xy xz yz x y z y z ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=+++++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,215133()()3535A R f R A ⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭，.三、1.112323220220()212212020020T x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭112323112220112200012212012()010001020001004TT y y y y y y y y ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪=----=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22212324y y y =-+.2.112323220220()212212020020T x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭11232311111122010022011212011()010*********022TTy y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=----=-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222123y y y =-+.四、1.220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭,32368(1)(2)(4)A E λλλλλλλ-=-++-=--+-,令0A E λ-=，得1231,2,4λλλ==-=.对于11λ=,解方程组()0A E x -=,得基础解系1(2,1,2)T ξ=-； 对于11λ=-,解方程组(2)0A E x +=,得基础解系2(1,2,2)T ξ=； 对于34λ=,解方程组(4)0A E x -=,得基础解系3(2,2,1)T ξ=-.123,,ξξξ两两正交,将它们单位化,构成正交矩阵P :312123212333122()333221333P ξξξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,使1124T P AP P AP -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭. 作正交变换x Py =,则222123()()()24T T T T f x Ax Py A Py y P AP y y y y ====-+.2.222254245A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭, 22220220225421421424521549A E λλλλλλλλλλλ-------=--=--=----------2222(1)(1)(1110)(1)(10)49λλλλλλλλ--=-=--+=-----,令0A E λ-=，得1231,10λλλ===.对于121λλ==,解方程组()0A E x -=,得基础解系12(2,1,0),(2,4,5)TTξξ=-=； 对于310λ=,解方程组(10)0A E x -=,得基础解系3(1,2,2)T ξ=-.123,,ξξξ两两正交,将它们单位化,构成正交矩阵P :3121232213535142()3535520335P ξξξξξξ⎛⎫-⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,使11110TP AP P AP -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 作正交变换x Py =,则222123()()()10T T T T f x Ax Py A Py y P AP y y y y ====++.五、1111111A a a --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,A 的特征值为2,2,b ,则221113b ++=++=,1b =-. 又2111211(1)0,111A E a a a a ----=--=+=∴=---. 111111111A --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭.对于122λλ==,解方程组(2)0A E x -=,得基础解系12(1,1,0),(1,1,2)T T ξξ=-=-；对于31λ=-,解方程组()0A E x +=,得基础解系3(1,1,1)T ξ=.123,,ξξξ两两正交,将它们单位化,构成正交矩阵P :312123111263111()26321063P ξξξξξξ⎛⎫-⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,使1221TP AP P AP -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭. 作正交变换x Py =,则222123()()()22T T T T f x Ax Py A Py y P AP y y y y ====+-. 且22()()()T T T T T T xx x Py Py y P P y y Ey y y y ======,2222222212312322222222236T f y y y y y y yx x x =+-≤++====⋅=,∴f 在3=X X T 下的最大值为6.(上式在30y =时等号成立,即取得最大值)练习7.2 练习7.3一、1.22231213232444f x x x x x x x x =-+--22222123121323132(222)23x x x x x x x x x x x =+++---- 222123132()23x x x x x =+---,令11123233x y x x x y x y=⎧⎪+-=⎨⎪=⎩，则22212322f y y y =-+-. 所作的可逆变换为11212333x y x y y y x y =⎧⎪=-++⎨⎪=⎩，即112233*********x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2.令11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩,则2222221212231133223322442(2)2(2)f y y y y y y y y y y y y y y =-++=++--+2213232()2()y y y y =+--,令13123233y y z y y z y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩,即11322333y z z y z z y z=-⎧⎪=+⎨⎪=⎩,则221222f z z =-. 所作的可逆变换为1122123332x z z x z z z x z =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩,即112233*********x z x z x z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.二、1.不是,2210a bA a b b a==--=-<- ；2.是正, 是负.三、1140102t A t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,若A 为正定,则2211140,404204102t t t t t t =->=->,⇒22<<-t .四、1112125t A t--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,若A 为负定,则 2211110,125401125t t t tt t t---=->-=-<---,⇒540<<t .五、设λ是A 的特征值,则2()56f λλλ=-+是2()56f A A A E O =-+=的特征值,25602λλλ∴-+=⇒=或3λ=.A 的特征值全为正,则A 是正定矩阵.六、设λ是A 的特征值,A 为正定,0λ∴>.()T T T T A E A E A E A E λλλλ-=-=-=- ,T A ∴与A 有相同的特征值,从而TA 的特征值全大于0,则TA 也为正定.1A - 的特征值为1λ,1A -∴的特征值全大于0,则1A -也为正定.*A 的特征值为Aλ,而0A >*A ∴的特征值全大于0,则*A 也为正定.七、B 为正定,B ∴为对称矩阵,有TB B =,且0,B B >可逆. 0x ∀≠,则0Bx ≠(否则11()00x B Bx B --==⋅=).从而有()()()0TTTTf x BAB x x B ABx Bx A Bx ===>(A 为正定), 故BAB 为正定.自测题(第五、六、七章)一、1.0；2.若2是A 的特征值，则12是1A -的特征值，212⎛⎫ ⎪⎝⎭是1221()()A A --=的特征值，2122⎛⎫ ⎪⎝⎭是212112()()2A A --=的特征值，211()2A -∴必有一个特征值为12.3.2,2,-2；4.10==y x ，；5.–3；6.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----321222121；7.0；8.3； 9.2122121,430,1,31212A A E λλλλλλλ---⎛⎫=-==-+=== ⎪---⎝⎭,22123f y y =+ 10.1122112212()s s s s s A k k k k A k A k A k k k ηηηηηηβββ+++=+++=+++12()s k k k ββ=+++= , 12(1)0s k k k β+++-= ,12120,101s s k k k k k k β≠∴+++-=⇒+++=二、练习6.1二、1.(2)0R A E -≠,A 不相似于对角阵.三、设1112132122233132,1a a a A a a a A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为正交矩阵,A ∴的列向量是单位向量, 2222221323313213233132(1)1,(1)10a a a a a a a a ++-=++-=⇒====,1112212200,0001a a A a a Ax ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭的解为1111222000000011T a a x A A a aββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 四、设A 的与4λ=对应的特征向量为123(,,)Tx x x ,它与2λ=-对应的特征向量1η正交,12320x x x ∴-++=,它的一个正交基础解系为23(1,1,0),(1,1,1)T T ηη==-,31212311162311162321063P ηηηηηη⎛⎫-⎪⎪⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,1244P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 1223124413244220T A P P P P ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,11162311162321063x y ⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.五、见自测题(第一,二,三,四章)七大题当0=a 时，无解；当b a a ≠≠,0时，有惟一解:Taa x )0,1,11(-=，当b a a =≠,0时,有无限多个解:TTaa k )0,1,11()1,1,0(1-+=α. 六、1.()11231001011,00121P P AP ααα-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,1110011001000011002101110121011022A P P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥==-=- ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦； 2.10101110011001000011002101110121011022A P P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥==-=- ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 七、A 为正交正定矩阵,1121,TTA A A A A A A AA AA E ---∴==⇒=⇒=== 设λ为A的特征值,α为对应的特征向量,即22222(1)0A A E αλααλααλααλαλα=⇒=⇒=⇒=⇒-=,20,10αλ≠∴-= ,又A 为正定,1λ∴=,即A 的特征值全为1,A 与E 相似, 11,P AP E A PEP E --===.八、设20120()(0)m m f x a a x a x a x a =++++≠ ,假设0是A 的特征值,则(0)f 是()f A O =的特征值,0(0)0f a ∴==,与已知矛盾, 0∴不是A 的特征值.模拟试题一一、1.设()123B βββ=，AB O = ，即()()()123123000A A A A ββββββ==，1230,0,0A A A βββ∴===，则123,,βββ是方程组0Ax =的解向量，又()2,R A =∴ 0Ax =的基础解系含有1个解向量，即0Ax =只有一个线性无关的解，故123,,βββ最多只有一个线性无关，123()(,,)1R B R βββ=≤，又,()0,()1B O R B R B ≠>∴=.2.1230262!0032000n nA n n n==, (1,2,,)222(1)(1)2(1)2(1)2(!)2i n i r r i n nn n n n n O AA OB A A A n A OOA+↔=======-=-=-=- .3.122212123304134a a A a a α-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,A α 与α线性相关,2334111a a a a a ++∴==⇒=-. 4.()101310131001111401010101011301130012αβγξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2ξαβγ=++,ξ在基,,αβγ下的坐标为(1,1,2).5.()3,0R A Ax =∴= 的基础解系含有4-3=1个解向量. 123,,ηηη 是Ax β=的解,1223,ηηηη∴--是0Ax =的解,则1223123()2()32(0,1,0,0)T ξηηηηηηη=---=-+=是0Ax =的基础解系. 又*123`1()(1,2,3,4)3T ηηηη=++=-是Ax β=的解,Ax β∴=的通解为 (1,2,3,4)(0,1,0,0)()T T x c c R =-+∈.6.23*12*1*1221()()()32TT A B A A B A A B A AA B---====. 7.()2211123()4()()()44A A E O A E E A E A E E A E A E ---=⇒-=⇒--=⇒-=-.8.设A 的特征值为12,,,,1n i λλλλ= 或1(1,2,,)i n -= .A 为实对称矩阵,∴存在可逆矩阵P ,使得121n P AP λλλ-⎛⎫ ⎪⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭ ,则1A P P -=Λ, 21222111122111n A P P P P P P PEP E λλλ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=Λ==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.二、*29A B -=- *1*1119[(2)]9(2)9(2)9(2)A E A A AA A A E A E ----=-=-=-=+1203932019000303009001⎛⎫- ⎪-⎡⎤⎪⎢⎥ ⎪==⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎪⎣⎦- ⎪ ⎪⎝⎭.三、22222(2)2(2)A A E O A kA A kA k k E E k k E O ++=⇒++-+-+--=2()(2)()(22)A A kE k A kE k k E ⇒++-+=--+ 2[(2)]()(22)A k E A kE k k E ⇒+-+=--+,221,220,[(2)]()22k R k k A k E A kE E k k ∀∈-+>-+-+=-+,A kE ∴+可逆,[]121()(2)22A kE A k E k k -+=-+--+.四、()()121122n n n n n n B t t t βββαααααα==+++()12121000101n n t t t ααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭, 当1-=n t 时,()1R B n n =-<,方程组有非零解.五、A 是正交矩阵,A ∴的列向量是两两正交的单位向量,0,1,Ti j i ji j αα≠⎧=⎨=⎩则()12121121100001000101T T T n T n T T T T n B A C ααααααβαβαβαβ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 100,T T B A B A B A C B B ====≠⇒≠ 可逆,111111111()()()()()T T T T T T B CA B B CA AC B AC C A ---------=⇒===⇒==.六、设0λ是B 的任一特征值,则0()0f λ=.()f A 可逆()f A ⇔的特征值全不为00()0f λ⇔=不是()f A 的特征值0λ⇔不是A 的特征值.七、1.设A 的特征值为12,,,n λλλ ,{}12max ,,,nk λλλ= .A 为实对称矩阵,∴存在正交矩阵P ,使得121T n P AP P AP λλλ-⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ , ()112212()()T T T T n n n y y f x Ax Py A Py y P APy y y y y λλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪==== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2221122n n y y y λλλ=+++ ,22222222112212T T n n n x Ax y y y ky ky ky k y k x kx xλλλ=+++≤+++=== .()22()()T T T T T T x x x Py Py y P Py y Ey y y y======2.222211111333T T T AA αααααααααααα=≤==.八、本教材无此概念.模拟试题二一、1.42342311a a a a ；2.(2 3)，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------132132132；3.()n A R =；4.3213αααk +-；5.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛310122021.二、1.)(233y x +-；2.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-2/12/511412/12/101A ；3.2=λ；4.213212),,(ααααα，，=R ；5.TT 2T 10,0,1110,1121,0,111,119c 0,1,115,111c x ⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=；6.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-==12/12/1p ,011p ,111p 9,1,0321321；λλλ；7.23222142y y y ++-. 三、1.∵()()()()()E AA AEA A BB A A B AB AB AB T T T T T T T=====,∴AB 也是正交矩阵. 2.设R k k k ∈321,,，使得()()0321321211=+++++ααααααk k k ,即 ()()0332211321=+++++αααk k k k k k ,∵321,,ααα线性无关,∴0000321332321===⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=++k k k k k k k k k , ∴321211,,αααααα+++线性无关.。

长沙理工大学线性代数考试试卷及答案

长沙理工大学线性代数考试试卷及答案

长沙理工大学模拟考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………………试卷编号1拟题教研室（或教师）签名教研室主任签名…………………………………………………………………………………………………………………………课程名称（含档次）线性代数课程代号0701011专业全校各专业层次（本、专）本科考试方式（开、闭卷）闭卷一、判断题（正确答案填√,错误答案填×。

每小题2分，共10分）1.设阶方阵可逆且满足，则必有（）2.设是的解，则是的解（）3.若矩阵的列向量组线性相关，则矩阵的行向量组不一定线性相关（）4.设表示向量的长度，则（）5.设是的解，则是的解（）二、填空题：(每小题5分，共20分)1.计算行列式＝；2.若为的解，则或必为的解；3.设n维向量组，当时，一定线性，含有零向量的向量组一定线性；4.设三阶方阵有3个特征值2，1，-2，则的特征值为；三、计算题（每小题10分，共60分）1.；第1页（共2页）2.若线性方程组有解，问常数应满足的条件3.设是方程组的解向量，若也是的解，则；4.求齐次线性方程组的基础解系；5.已知矩阵与矩阵相似，求的值；6.设为正定二次型，求.四、证明题（10分）：设向量组线性无关，证明线性无关。

长沙理工大学模拟试卷标准答案课程名称：线性代数试卷编号：1一、判断题（正确答案填√,错误答案填×。

每小题2分，共10分）1，×2，×3，√4,×5,√二、填空题：(每小题5分，共20分)1，42；2，；3，相关，相关；4，4，1，4.三、计算题（每小题10分，共60分）1.==5（5分）=5＝5（5分）2.（2分）（5分）若有解，则A的秩与的秩相等，即。

（3分）3.（6分）∴(1)当时，矩阵的秩为2；（2分）(2)当时，矩阵的秩为3.（2分）第1页（共3页）4.对系数矩阵作作初等行变换得同解方程组令，；得，基础解系为：5.解：∵与相似，∴特征多项式相同，即亦即6.解：的矩阵为∵为正定二次型，∴的各阶主子式大于0．即＞0，＞0＞0第2页（共3页）解联立不等式组＞0或＜0＜＜或＜＜0＜＜0即当＜＜0时，为正定二次型．四、证明题（10分）：证明：设存在一组数使得，（3分）又向量组线性无关，因此，（7分）由此可知，只有当时，等式才成立，即向量组线性无关。

长沙理工大学高等数学期末考试试卷(含答案)

长沙理工大学高等数学期末考试试卷(含答案)

长沙理工大学高等数学期末考试试卷(含答案)
一、高等数学选择题
1．由曲线，直线，轴及所围成的平面图形的面积为．
A、正确
B、不正确
【答案】A
2．是微分方程．
A、正确
B、不正确
【答案】A
二、二选择题
3．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
4．函数的图形如图示，则函数的单调减少区间为
( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
5．极限（）．A、
B、
C、
D、
【答案】C
6．是微分方程．
A、正确
B、不正确
【答案】A
7．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
8．不定积分 ( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
9．设函数，则（）．A、
B、
C、
D、
【答案】A
10．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
11．函数的定义域为．
A、正确
B、不正确
【答案】A
12． ( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
13．设函数，则导数．
A、正确
B、不正确
【答案】B
14．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
15．函数的定义域为．
A、正确
B、不正确
【答案】B。

线性代数试题(完整试题与详细答案)

线性代数试题(完整试题与详细答案)

线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

线性代数试题及答案

线性代数试题及答案

（试卷一）一、 填空题（本题总计20分，每小题2分）1. 排列7623451的逆序数是_______。

2. 若122211211=a aa a，则=16030322211211a aa a3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n阶单位矩阵，则CAB =-1。

4. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b=有唯一解的充分要条件是_________5.设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。

6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1230120011A，则=*A7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。

10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组rααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则(D)Ａ．s r = Ｂ．s r ≤ Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34- 3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ 4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。

c)(A *kA )(B *A k n)(C*-A k n 1)(D *A5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。

线性代数试卷1(完整版带答案,可直接作为考试卷)

线性代数试卷1(完整版带答案,可直接作为考试卷)
，此方程组无解；。。。。。。。。。。8分
（3）当 时，增广矩阵为
～
，此方程组有无穷多解。。。。。。。。。。12分
4、解： ）= ～ …….6分
所以 是最大无关组(8分)，且 ， ……..12分
5.解因 ,故对应的齐次方程组Ax=0的基础解系由
1个非零解构成，且 都是Ax=0的解， 即是Ax=0的基础解系，
所以Ax=b的通解为 （共12分，酌情给分）
1、 ，
2、
3、1，—34、 5、-32,0
二、选择题：（每小题4分，共20分）
1、 2、 3、A4、A5、B
三.计算题（每题12分，共60分）
1解
以上步骤每步3分，共12分。
2.
以上步骤每步4分，共12分。
3、解：因，方程组有唯一解；。。。。。。。。。4分
（2）当 时，方程组的增广矩阵为
1.齐次线性方程组 只有零解，则 应满足条件______。
（A） (B) (C) (D)
2．设A是4阶矩阵，且 ，则 。
（A）16 (B)32 (C)8 (D) 0
3.已知非齐次线性方程组 无解，则a=______。
（A）-1 (B)0 (C)2 (D) 3
4.已知方阵A的列向量组 线性无关，下列结论中正确的是_______。
（A）向量组 的任一部分向量组都线性无关；
（B）向量组 中存在两个向量分量对应成比例；
（C）齐次方程组 有非零解；
（D）向量组 中有一个是零向量
5.设 是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵 有一个特征值为_______。
（A）1 (B) (C)2 (D) 3
三．计算题（每题12分，共60分）
1．计算n阶行列式。
2.解矩阵方程

(完整word版)长沙理工大学大一高数期末考试题(精)

(完整word版)长沙理工大学大一高数期末考试题(精)

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x=处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. =+→xx x sin 20)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221L n n nnn n ππππ .8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x Ax ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13.求微分方程2ln xy y x x'+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e. 6.cx x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：1033()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

(完整版)线性代数试题套卷及答案

(完整版)线性代数试题套卷及答案

（线性代数） （ A 卷）专业年级： 学号： 姓名：一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设n m A ⨯为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T为正定矩阵的(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。

2．已知32121,,,,αααββ为四维列向量组，且行列式 4,,,1321-==βαααA ，1,,,2321-==βαααB ，则行列式 =+B A(A) 40； (B) 16-； (C) 3-； (D) 40-。

3．设向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线 性表示，则以下结论中不能成立的是(A) 向量组s βββ，，，21线性无关； (B) 对任一个j α，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C) 存在一个j α，向量组s j ββα，，，2线性无关； (D) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价。

4．对于n 元齐次线性方程组0=Ax ，以下命题中，正确的是(A) 若A 的列向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (B) 若A 的行向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (C) 若A 的列向量组线性相关，则0=Ax 有非零解； (D) 若A 的行向量组线性相关，则0=Ax 有非零解。

5．设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ，*A 为A 的伴随矩阵，则√√(A) A A A 11||)(-*-=； (B) A A A ||)(1=*-；(C) 111||)(--*-=A A A ； (D) 11||)(-*-=A A A 。

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6． 列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量. 则λ＝ ，a ＝ ，b ＝ 。

关于长沙理工大学往届高等数学试题及答案

关于长沙理工大学往届高等数学试题及答案

长沙理工大学高等数学试题及答案一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题2 分，共 10 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设 f(x)=lnx，且函数 (x) 的反函数1(x)= 2(x+1) ，则 f (x)（）x-1et2 dt2． limetx（）x 01 cos xA ． 0 B． 1 C ．-1D ．3．设 y f (x 0x)f ( x 0 ) 且函数 f (x) 在 x x 0 处可导，则必有（）4．设函数 f(x)=2x 2 , x 1，则 f(x) 在点 x=1处（）3x1,x 1A. 不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D.可导5．设 xf(x)dx=e-x2C ，则 f(x)= （）二、填空题（本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6. 设函数 f(x) 在区间 [0 ，1] 上有定义，则函数 f(x+1)+f(x-1) 的定义域是 __________.7．lim44a aqaq2L aqnq 1 _________n8． lim arctan x_________xx9. 已知某产品产量为 g 时，总成本是 C(g)=9+g 2，则生产 100 件产品时的边际成本 MC g 100 __80010. 函数 f (x) x 3 2x 在区间 [0 ，1] 上满足拉格朗日中值定理的点ξ是 _________.11. 函数 y 2x 39x 2 12x 9 的单调减少区间是 ___________.12. 微分方程 xy ' y 1 x 3 的通解是 ___________. 13. 2ln 2dt, 则 a ___________.设e ta1614. 设 zcos 2 x 则 dz= _______.y15. 设 D (x, y) 0 x 1,0 y 1 ，则 xe 2 y dxdy _____________.D三、计算题（一） （本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）x16. 设 y1 ，求 dy.x17. 求极限 lim ln cot xx 0ln x18. 求不定积分1dx.5x 1ln 5x 119. 计算定积分 I=aa 2 x 2dx.20. 设方程 x 2 y 2xz e z 1确定隐函数 z=z(x,y) ，求 z 'x , z 'y 。

2022年线性代数试卷及答案6套

2022年线性代数试卷及答案6套

线性代数试卷及答案6套．试卷(一): 一． 填空题（每小题4分，共20分）1．已知正交矩阵P 使得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=200010001AP P T ，则.________)(2006=+P A E A P T2．设A 为n 阶方阵，n λλ,,1 为A 的n 个特征值，则 ._________)det(2=A 3．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有无数多个解的充分必要条件是：._________4．若向量组T T T t )3,2,(,)1,3,2(,)2,4,0(===γβα的秩为2,则._____=t5．,27859453251151)(32--=x x x x D 则0)(=x D 的全部根为:_________.二． 选择题 （每小题4分，共20分）1.行列式001010100 ---的值为( ).A. 1B. -1C. 2)1()1(--n n D. 2)1()1(+-n n2. 对矩阵n m A ⨯施行一次行变换相当于( ).A. 左乘一个m 阶初等矩阵B. 右乘一个m 阶初等矩阵C. 左乘一个n 阶初等矩阵D. 右乘一个n 阶初等矩阵 3. 若A 为n m ⨯矩阵,{},,0|,)(n R X AX X M n r A r ∈==<= 则( ). A. M 是m 维向量空间 B. M 是n 维向量空间 C. M 是r m -维向量空间 D. M 是r n -维向量空间 4. 若n 阶方阵A 满足,,02=A 则下列命题哪一个成立 ( ).A. 0)(=A rB. 2)(n A r =C. 2)(n A r ≥D. 2)(nA r ≤5. 若A 是n 阶正交矩阵,则下列命题哪一个不成立( ). A. 矩阵T A 为正交矩阵 B. 矩阵1-A 为正交矩阵 C. 矩阵A 的行列式是1± D. 矩阵A 的特征值是1±三. 解下列各题（每小题6分,共30分）1. 若A 为3阶正交矩阵, *A 为A 的伴随矩阵, 求).det(*A2. 计算行列式.111111111111aa a a 3. 设,,100002020B A AB A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=求矩阵.B4. 求向量组,)2,1,2,1(1T =α,)2,1,0,1(2T =α,)0,0,1,1(3T =αT )4,2,1,1(4=α的一个 最大无关组.5. 求向量T )1,2,1(=ω在基,)1,1,1(T =α,)1,1,0(T =βT )1,1,1(-=γ下的坐标. 四. (12分) 求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--+=+++-=++-+631052372322543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x的通解(用基础解系与特解表示).五.(12分) 用正交变换化下列二次型为标准型, 并写出正交变换矩阵3123222132122),,(x x x x x x x x x f -++= 六. 证明题(6分)设r ξξξβ ,,,021≠是线性方程组β=AX 对应的齐次线性方程组的一个 基础解系,η是线性方程组β=AX 的一个解, 求证ηηξηξηξ,,,,21+++r 线性无关.试卷（二）：一．计算下列各题：（每小题6分，共30分）（1）,180380162176380162225379162（2）求,3222E A A ++其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3112A（3）已知向量组T T T t ),2,1(,)3,3,2(,)3,2,0(321-===ααα线性相关,求.t (4) 求向量T )4,2,1(-=α在基T T T )1,2,1(,)1,1,0(,)1,0,1(321-===ααα下的坐标.(5) 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5321A , 求A 的特征值.二.(8分) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200002130A ,且,B A AB T +=求矩阵B.三. (8分) 计算行列式: 100200300321x c b a四. (8分) 设有向量组,)6,0,2,3,3(,)7,2,0,1,1(,)5,2,1,0,1(,)3,2,1,1,0(4321T T T T -=--===αααα 求该向量组的秩以及它的一个最大线性无关组.五. (8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+-=-+-+.18257,432,1042354315432154321x x x x x x x x x x x x x x六. (8分) 求出把二次型323121232221222)(x x x x x x x x x a f -++++=化为标准形的正交变换,并求出使f 为正定时参数a 的取值范围.七. (10分) 设三阶实对称矩阵A 的特征值为3(二重根)、4(一重根),T )2,2,1(1=α是A 的属于特征值4的一个特征向量,求.A 八. (10分) 当b a ,为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,233,1032,4321321321x bx x x bx x x x ax 有惟一解、无穷多解、无解?九．(10分) (每小题5分,共10分) 证明下列各题(1) 设A 是可逆矩阵, ,~B A 证明B 也可逆, 且.~11--B A (2) 设βα,是非零1⨯n 向量,证明α是n n ⨯矩阵T αβ的特征向量.试卷(三):一. 填空题（共20分）1. 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有唯一解的充分必要条件是：2. 已知E 为单位矩阵, 若可逆矩阵P 使得11223,P AP P A P E --+= 则当E A -可逆时, 3A =3. 若t 为实数, 则向量组α=（0，4，t ），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3+t ）的秩为:4. 若A 为2009阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 则*A =5. 设A 为n 阶方阵，12,,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则1ni i i i E A λ=-∑ =二. 选择题（共20分）1. 如果将单位矩阵E 的第i 行乘k 加到第j 行得到的矩阵为)),(,(k i j P 将矩阵n m A ⨯的第i 列乘k 加到第j 列相当于把A ：A, 左乘一个));(,(k j i P B ，右乘一个));(,(k j i PC ． 左乘一个));(,(k i j PD ，右乘一个)).(,(k i j P2. 若A 为m ×n 矩阵，B 是m 维非零列向量，()min{,}r A r m n =<。

线性代数考试题库及答案(一)

线性代数考试题库及答案(一)

线性代数考试题库及答案(一)1.下面是线性代数考试题库及答案的第一部分专项同步练第一章行列式的格式正确版本：一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。

3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有(D) (n-1)。

项。

4.1/1 = (D) 2.5.1/(-1) = (B) -1.6.在函数f(x) = (2x-1)/(2-x^3)中x^3项的系数是(A) 0.7.若D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |1 a32 a33|，则D1 =2a11a33 - 4a13a31 - 2a12a32.8.若 |a11 a12| |a21 a22| = a，则 |a12 a11| |ka22 ka21| = (-k^2)a。

9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3，第3行元的余子式依次为-2.5.1.x，则x = 3.10.若D = |4 3 1 5| |-1 3 4 1| |2 -1 6 3| |-2 1 3 4|，则D中第一行元的代数余子式的和为(B) -2.11.若D = |-1 5| |3 -2|，则D = (A) -1.12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 + kx2 + x3 = 0，kx1 + x2 + x3 = 0，x2 + x3 = 0有非零解。

(B) -2.二、填空题1.2n阶排列24…(2n)13…(2n-1)的逆序数是n(2n-1)。

2.在六阶行列式中项a32a41a25a13a56a64的符号为-。

改写后的文章：线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。

线性代数试题及答案

线性代数试题及答案

线性代数习题和答案第一部分选择题共28分一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内;错选或未选均无分;1.设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于 DA. m+nB. -m+nC. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,则A-1等于 BA.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21131D120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A是A的伴随矩阵,则A中位于1,2的元素是 BA. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有 DA. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩A T等于 CA. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则 DA.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+β1+λ2α2+β2+…+λsαs+βs=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1-β1+λ2α2-β2+…+λsαs-βs=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,则A中 CA.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是 AA.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有 AA.秩A<nB.秩A=n-1 =0 D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n≥3阶方阵,下列陈述中正确的是 BA.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使λE-Aα=0,则λ是A的特征值的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有 AA. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是 BA.|A|2必为1B.|A |必为1 =A T的行列向量组是正交单位向量组13.设A 是实对称矩阵,C 是实可逆矩阵,B =C TAC .则 D与B 相似 B. A 与B 不等价 C. A 与B 有相同的特征值 D. A 与B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为 CA.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪第二部分 非选择题共72分二、填空题本大题共10小题,每小题2分,共20分不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内;错填或不填均无分;15.11135692536= 6 .16.设A =111111--⎛⎝⎫⎭⎪,B =112234--⎛⎝ ⎫⎭⎪.则A +2B = 337137--⎛⎝ ⎫⎭⎪ .17.设A =a ij3×3,|A |=2,A ij 表示|A |中元素a ij 的代数余子式i,j=1,2,3,则a 11A 21+a 12A 22+a 13A 232+a 21A 21+a 22A 22+a 23A 232+a 31A 21+a 32A 22+a 33A 232= 4 . 18.设向量2,-3,5与向量-4,6,a 线性相关,则a= -10 .19.设A 是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解,则它的通解为 η1+c η2-η1或η2+c η2-η1,c 为任意常数20.设A 是m ×n 矩阵,A 的秩为r<n,则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 n-1 .21.设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积α+β,α-β= -5 . 22.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8,已知A 有2个特征值-1和4,则另一特征值为 -2 .23.设矩阵A =010********---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,已知α=212-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为 1 .24.设实二次型fx 1,x 2,x 3,x 4,x 5的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 z z z z 12223242++- .三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求1AB T；2|4A |.26.试计算行列式3112513420111533------.27.设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B .28.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103,α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合；若是,则求出组合系数;29.设矩阵A =12102242662102333334-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求：1秩A ；2A 的列向量组的一个最大线性无关组;30.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ,使T -1AT =D .31.试用配方法化下列二次型为标准形fx 1,x 2,x 3=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--,并写出所用的满秩线性变换;四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.设方阵A 满足A 3=0,试证明E -A 可逆,且E -A -1=E +A +A 2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 1η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解；2η0,η1,η2线性无关;答案：一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分 二、填空题本大题共10空,每空2分,共20分 15. 616. 337137--⎛⎝⎫⎭⎪ 17. 4 18. –10 19. η1+c η2-η1或η2+c η2-η1,c 为任意常数20. n -r 21. –5 22. –2 23. 1 24. z z z z 12223242++-三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.解1AB T=120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.2|4A |=43|A |=64|A |,而|A |=1203401212-=-.所以|4A |=64·-2=-12826.解 311251342011153351111113100105530------=-----=5111111550----=5116205506255301040---=---=+=. 27.解 AB =A +2B 即A -2EB =A ,而A -2E -1=2231101211431531641--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-. 所以 B =A -2E -1A =143153164423110123-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=3862962129-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.28.解一 ----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2130130102243419053213010112013112−→−--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪103501120088001414135011200110000,0000110010102001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−→−所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为2,1,1. 解二 考虑α4=x 1α1+x 2α2+x 3α3,即 -++=-=-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪230312243491231223123x x x x x x x x x x .方程组有唯一解2,1,1T,组合系数为2,1,1.29.解 对矩阵A 施行初等行变换A −→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102000620328209632−→−-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102032830006200021712102032830003100000=B . 1秩B =3,所以秩A =秩B =3.2由于A 与B 的列向量组有相同的线性关系,而B 是阶梯形,B 的第1、2、4列是B 的列向量组的一个最大线性无关组,故A 的第1、2、4列是A 的列向量组的一个最大线性无关组; A 的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是30.解 A 的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=2,-1,0T , ξ2=2,0,1T.经正交标准化,得η1=255550//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,η2=2515451553///⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.λ=-8的一个特征向量为ξ3=122-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,经单位化得η3=132323///.-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪所求正交矩阵为 T =25521515135545152305323////////--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.对角矩阵 D =100010008-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.也可取T =25521515130532355451523////////---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.31.解 fx 1,x 2,x 3=x 1+2x 2-2x 32-2x 22+4x 2x 3-7x 32=x 1+2x 2-2x 32-2x 2-x 32-5x 32.设y x x x y x x y x 11232233322=+-=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪, 即x y y x y y x y 112223332=-=+=⎧⎨⎪⎩⎪,因其系数矩阵C =120011001-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪可逆,故此线性变换满秩;经此变换即得fx 1,x 2,x 3的标准形y 12-2y 22-5y 32.四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.证 由于E -AE +A +A 2=E -A 3=E ,所以E -A 可逆,且E -A -1= E +A +A 2.33.证 由假设A η0=b ,A ξ1=0,A ξ2=0.1A η1=A η0+ξ1=A η0+A ξ1=b ,同理A η2= b , 所以η1,η2是Ax =b 的2个解; 2考虑l 0η0+l 1η1+l 2η2=0,即 l 0+l 1+l 2η0+l 1ξ1+l 2ξ2=0.则l 0+l 1+l 2=0,否则η0将是Ax =0的解,矛盾;所以 l 1ξ1+l 2ξ2=0.又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而l0=0 .所以η0,η1,η2线性无关;。

线性代数考试练习题带答案大全(二)

线性代数考试练习题带答案大全(二)

线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。

(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。

9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。

长沙理工大学往高等数学试题及答案 (2)

长沙理工大学往高等数学试题及答案 (2)

长沙理工大学高等数学试题及答案一、单项选择题（本大题共5小题,每小题２分,共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设f(x)=lnx ,且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（ ) ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x 2.()002lim 1cos t t x x e e dt x -→+-=-⎰（ )A ．0B ．1C ．－1D.∞ ３.设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导,则必有（ ).lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=,则f(x)在点x=1处（ )A 。

不连续B 。

连续但左、右导数不存在 Ｃ.连续但不可导 D. 可导5.设C +⎰2-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共1０小题,每空3分,共３0分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。

6.设函数ｆ（x ）在区间[0,１]上有定义,则函数f(x+14)+f （x —14)的定义域是__＿_______. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8．arctan lim _________x x x→∞= 9。

已知某产品产量为ｇ时,总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC １0。

函数3()2f x x x =+在区间[0,１]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________。

11。

线性代数期末考试试卷合集(共十一套)

线性代数期末考试试卷合集(共十一套)

线性代数期末考试试卷合集（共十一套）目录线性代数期末试卷及参考答案（第一套） .............................................................................. 1 线性代数期末试卷及参考答案（第二套） .............................................................................. 9 南京工程学院期末试卷（第一套） ........................................................................................ 17 南京工程学院期末试卷（第二套） ........................................................................................ 24 南京工程学院期末试卷（第三套） ........................................................................................ 30 线性代数 期末试卷（A 卷） .................................................................................................. 36 线性代数 期末试卷（B 卷） .................................................................................................. 41 线性代数 期末试卷（C 卷） .................................................................................................. 46 线性代数 期末试卷（D 卷） .................................................................................................. 51 线性代数 期末试卷（E 卷） .................................................................................................. 57 线性代数 期末试卷（F 卷） (62)线性代数期末试卷及参考答案（第一套）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3223A 满足B AB =，则矩阵=B ( )(A ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21k k ； (B )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11； (C ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2121k k k k ； (D ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2111k k .（21k k ,为任意常数） 2、设n 阶方阵A ，B 满足E AB =，则下列一定成立的是 ( ) (A )E B A == ； (B )E B A =+ ； (C )1=A 或1=B ； (D )1=⋅B A .3、设矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A 则 =-++)()(E A R E A R ( )(A ) 2； (B ) 3； (C ) 4； (D ) 5 .4、设向量组A :r a a a,,,21可由向量组B :s b b b ,,,21线性表示，则正确的是 ( )(A )当s r >时，向量组A 必线性相关； (B ) 当s r <时，向量组A 必线性相关； (C )当s r >时，向量组B 必线性相关； (D ) 当s r <时，向量组B 必线性相关.5、设A 为n m ⨯的矩阵，0=x A 是非齐次线性方程组b x A =所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )(A ) 若0=x A 仅有零解，则b x A =有唯一解；(B ) 若b x A =有无穷多解，则0=x A 有非零解；(C ) 若n m =，则b x A=有唯一解；(D ) 若A 的秩m A R <)(，则b x A=有无穷多解.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010002cb a A ，当c b a ,,满足 时，A 为可逆方阵.2、若可逆方阵A 的有一个特征值3，则13-)(A 必有一个特征值为 .3、设A 为54⨯的矩阵，且秩2=)(A R ，则齐次方程组0=x A 的基础解系所含向量个数是 .4、若三阶行列式222023z y x =1，则行列式1117110111------z y x = ． 5、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13232121,,x 线性相关，则常数x＝ .三、计算题（本题共6小题，共50分）1、(6分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a a A 140132121的秩2=)(A R , 求常数b a ,及一个最高阶非零子式.2、（8分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314020112A 的特征值和特征向量. 3、（8分）设3阶方阵A 与B 满足BA A BA A 22+=*, 其中,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=400030001A 求B .4、（10分）设向量组A ：.,,,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=77103 1301 3192 01414321αααα 求: (1) 向量组A 的秩; (2) 向量组A 的一个最大线性无关组; (3) 将此最大无关组之外的其它向量用最大无关组线性表示.5、（8分）计算行列式aa a a D ++++=4321432143214321,其中0≠a .6、（10分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--=--532403321321321x x x b ax x x x x x ， 问:当参数b a ,取何值时，(1)此方程组有唯一解? (2)此方程组无解? (3)此方程组有无穷多解? 并求出通解.四、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1、设矩阵B A ,为3阶方阵，且42==B A ,，则121=-AB.( )2、由3维向量构成的向量组4321a a a a,,,中必有一个可由其余向量线性表示. ( ) 3、对任意n 阶方阵C B A ,,，若AC AB =，且O A ≠，则一定有C B =.( )4、设向量21ηη ,是线性方程组b x A =的解，则212ηη -也是此方程组的一个解.( ) 5、正交向量组321a a a ,,线性无关.( )五、证明题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 1、设n 阶对称矩阵A 满足关系式O E A A =++862，证明：(1)E A 3+是可逆矩阵，并写出逆矩阵; (2) E A 3+是正交矩阵．2、若3210a a a a,,,是n 元非齐次线性方程组b x A =的线性无关解，且,)(3-=n A R证明：030201a a a a a a---,,是其对应的齐次线性方程组0 =x A 的基础解系．参考答案一、选择题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. C ;2. D ;3. B ;4. A ;5. B .二、填空题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. c ab 2≠；2.91； 3. 3； 4. 23- ； 5. 5. 三、计算题(本题6小题, 共50分)1. 解: A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------210022170121b a a a (2分)， 由R (A ) = 2知，⎩⎨⎧=-=--0201b a ， ⎩⎨⎧=-=∴21b a ，一个最高阶非零子式3221-． 2．解: 由λλλλ-----=-314020112E A (),)(0212=-+-=λλ 得A 的特征值为.,21321==-=λλλ当11-=λ时, 解 ().0=+x E A,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+000010101414030111r E A得基础解系：,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011p 对应11-=λ的全部特征向量为)(0111≠k p k当232==λλ时, 解().02=-x E A,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-000000414111140001142r E A 得基础解系：,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=401 2p ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=041 3p对应232==λλ的特征向量为)0,(323322不全为k k p k p k+ 3. 解: B= 2(|A |E －2A ) -1 A |A |=12(|A |E －2A ) -1 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4100061000101， B=2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410061000101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400030001 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛20001000514. 解: ),,,(4321αααα=A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------71307311100943121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000110024103121 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000110020102001 所以,秩3=A R , (1分)一个最大线性无关组为,,,321ααα(2分)且321422αααα++-=5. 解：aa a a D ++++=43214321432143214321c c c c +++aa a a a a a +++++++432104321043210432101r r i -aa a a 00000000043210+＝)(103+a a 6. 解: 增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----==5312410131b ab A B ),( →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---120011100131b a(1) 当12-≠=b a ,时, 32=<=)()(B R A R ，此时方程组无解. (2) 当b a ,2≠取任意数时, 3==)()(B R A R ，此时方程组有唯一解. (3) 当12-==b a ,时, 32<==)()(B R A R ，此时方程组有无穷多解.B →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000011100131 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000011103201即⎩⎨⎧+-=+-=1323231x x x x 原方程组的通解为)(R c c ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--013112.四、判断题(本题5小题, 每小题2分, 共10分)1. ×;2. √;3. ×;4. √;5. √.五、证明题(本题2小题, 每小题5分, 共10分)1．证明: (1)由O E A A =++862得E E A A =++962，即E E A E A =++))((33 所以E A 3+可逆，且E A E A 331+=+-)(.(2)由A 为n 阶对称矩阵知，E A E A E A TT T 333+=+=+)()(，故()()()E E A E A E A E A T=++=++333)3(，所以E A 3+是正交矩阵．2． 证明: 3210a a a a,,,是n 元非齐次线性方程组b x A =的解，030201a a a a a a---∴,,是对应齐次方程组0 =x A 的解；又,)(3-=n A R 所以0 =x A 的基础解系中含向量个数为3)(=-A R n 个； 下证 030201a a a a a a---,,线性无关即可.设0033022011 =-+-+-)()()(a a k a a k a a k 即00321332211=++-++a k k k a k a k a k )(又 3210a a a a ,,,线性无关， 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-===0000321321)(k k k k k k 有唯一解0321===k k k所以030201a a a a a a---,, 线性无关,从而030201a a a a a a---,,是其对应的齐次方程组0 =x A 的基础解系线性代数期末试卷及参考答案（第二套）一、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）1、设向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123,321βα ，则当k ＝ 时，.正交与βαα +k2、设方阵A 满足关系式O A A =+322，则1)(-+E A = .3、若三阶行列式930021-=x xxx ，则 =x ． 4、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0211A ，多项式x x x f 2)(2+=，则=)(A f . 5、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13,032,101λ线性相关，则常数λ= .6、n 元非齐次线性方程组b x A=有无穷多解的充要条件是 .7、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111,则 ._______________,______,===b a λ二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设A ，B 是任意n 阶方阵(2≥n )，则下列各式正确的是 ( )(A ) B A B A +=+； (B ) 22B A B A B A -=-⋅+； (C ) B A B A ⋅=； (D ) A B AB T⋅= .2、下列4个条件中，①A 可逆 ； ②A 为列满秩（即A 的秩等于A 的列数）； ③A 的列向量组线性无关； ④ O A ≠ ；可使推理“ 若O AB =， 则O B = ”成立的条件个数是 ( )(A ) 1个 ； (B ) 2个； (C ) 3个； (D ) 4个.3、向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ ，，，21线性表示， 则下列结论中不成立的是( )(A ) 向量组s βββ，，，21线性无关；(B ) 对任一个j α )1(s j ≤≤，向量组s j βββα，，，，21线性相关；(C ) 存在一个j α )1(s j ≤≤，向量组s j βββα，，，，21线性无关；(D ) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ ，，，21等价. 4、设A ，B 均为3阶方阵, 3)(=A R ，2)(=B R , 则=)(AB R( )(A ) 1； (B ) 2； (C ) 3； (D ) 6 .5、设A 为n m ⨯的矩阵，r A R =)(，则非齐次线性方程组b x A=( )(A ) 当n r = 时有唯一解； (B ) 当n m r == 时有唯一解；(C ) 当n m = 时有唯一解； (D ) 当n r < 时有无穷多解. 三、计算题（本题共6小题，共54分）1、(7分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=61011152121λλA 的秩2)(=A R , 求常数λ及一个最高阶非零子式.2、（9分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230001A 的全部特征值和特征向量.3、（8分）设3阶方阵C B A ，，满足方程 A B A C =-)2(，试求矩阵A ，其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010301B ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300020001C .4、（10分）设向量组A ：.6721 ,11313 ,5652 ,21214321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=αααα 求: (1) 向量组A 的秩; (2) 向量组A 的一个最大线性无关组; (3) 将此最大无关组之外的其它向量用最大无关组线性表示.5、（8分）计算行列式cc b b a a x x x x D ---=000000, 其中x c b a ,,,全不为0.6、（12分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++bx x x x a x x x x x 3213213214231202， 问:当参数b a ,取何值时，(1)此方程组有唯一解? (2)此方程组无解? (3)此方程组有无穷多解? 并求出通解.四、证明题（本题共2小题，每小题5分，共10分）1、若向量321,,ααα线性无关， 求证 2132αα +，324αα +，135αα + 也线性无关.2、设矩阵T E A ηη -=, 其中E 是3阶单位矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321x x x η 是单位向量，证明：(1) A A =2； (2) A 不可逆.参考答案一、填空题(本题7小题, 每小题3分, 共21分)1. 75-； 2. E A +2； 3. 3±； 4. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2631 ； 5. 6 ； 6. n b A R A R <=),()(； 7. -1 ，-3 ，0 .二、选择题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. D ;2. C ;3. C ;4. B ;5. B .三、计算题(本题6小题, 共54分)1. 解: A →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+---3390022110121λλλλλ(3分)， 由R (A ) = 2知，⎩⎨⎧=-=-03039λλ，3=∴λ (2分)， 一个最高阶非零子式5221 ．2．解: 由λλλλ---=-32230001E A (),01)5(2=--=λλ得A 的特征值为.1,5321===λλλ当51=λ时, 解 ().05=-x E A,0001100012202200045⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-r E A得基础解系：,1101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=p 对应51=λ的全部特征向量为)(0111≠k p k当132==λλ时, 解().0=-x E A,000000110220220000⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-r E A 得基础解系：,001 2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p ,110 3⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p对应132==λλ的特征向量为)0,(323322不全为k k p k p k+.3. 解: CB A E C =-)2( ；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-5000300012E C ； ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--51000310001)2(1E C ; ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅-=-5300032030110001030130002000151000310001)2(1CB E C A . 4. 解: ),,,(4321αααα =A →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00210045101321 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000021********001 （初等变换步骤不一，请酌情给分）所以,秩3=A R , (1分) 一个最大线性无关组为,,,321ααα(2分)且32142617αααα--=5. 解：)1,2,3(1=++i c c i i Dcb a xx x x---0000000234＝xabc 4- .6. 解: 增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==b a b A B 4231120211),( →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----120014100211b a a ， (1) 当b a ,2≠取任意数时, 3)()(==B R A R ， 此时方程组有唯一解； (2). 当1,2≠=b a 时, 3)(2)(=<=B R A R ，此时方程组无解；(3) 当1,2==b a 时, 32)()(<==B R A R ，此时方程组有无穷多解.B →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000012100211 →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000012101001 即⎩⎨⎧--==121321x x x原方程组的通解为)(011120R c c ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-.四、证明题(本题2小题, 每小题5分, 共10分)1．证明: 由题意 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++540013102),,()5,4,32(321133221ααααααααα , 记 AK B = .K K ∴≠=，022 可逆， 又321,,ααα线性无关，所以)5,4,32(133221αααααα +++R 3),,(321==αααR ， 即 2132αα +，324αα +，135αα+ 也线性无关．2． 证明: (1) η为单位向量，1=∴ηηT ，A E E E E A T T T T T T T =-=+--=--=∴ηηηηηηηηηηηηηη)())((2.(2) 由(1)知，A A =2， 即 O E A A =-)(，3)()(≤-+∴E A R A R ，η为单位向量，O E A T ≠-=-∴ηη ， 1)(≥-E A R ，从而32)(<≤A R ， 所以0=A ， 故A 不可逆.另一证法： 0)(=-=-=-=ηηηηηηηηηηT T E A ，的非零解，为线性方程组0=∴ηηA所以0=A ， 故A 不可逆.南京工程学院期末试卷（第一套）共6 页第1页课程所属部门：基础部课程名称：线性代数A 考试方式：闭卷（A卷）使用班级：工科本科南京工程学院试卷共 6 页第 4 页南京工程学院期末试卷（第二套）共6 页第1页课程所属部门：基础部课程名称：线性代数A 考试方式：闭卷（A卷）使用班级：工科本科南京工程学院期末试卷（第三套）共6 页第1页课程所属部门：数理部课程名称：线性代数A 考试方式：闭卷（A卷）使用班级：工科本科线性代数 期末试卷（A 卷）一、（本大题共8小题，每题3分，共24分）1. 设B A ,均为n 阶方阵，则下面各式正确的是----------------------------------（ C ） (A)TTTB A AB =)( (B) 222)(B A AB = (C) || ||AB BA = (D)AB BA = 2. 下列命题正确的是--------------------------------------------------------------------（ C ） (A) 若02=A ，则0=A (B) 若A A =2，则0=A 或E A = (C) 若E A =，则E A n = (D) 若E A =2，则E A ±=3. 若行列式的所有元素都变号，则--------------------------------------------------（ D ） (A) 行列式一定变号 (B) 行列式一定不变号 (C) 偶阶行列式变号 (D) 奇阶行列式变号4. 设k c c c b b b a a a =321321321，则112311231123232323a a a a b b b b c c c c ++=+-------------------------------（ B ） (A) k 6 (B) k 3 (C) k 2 (D) k5. 若某线性方程组的系数行列式为零，则该方程组------------------------------（ D ） (A) 有唯一解 (B) 有非零解 (C) 无解 (D) 有非零解或无解6．已知TT T t ),3,1(,)3,2,1(,)1,1,1(321===ααα线性相关的，则t =-----（ B ）(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 77. 设方阵A 相似于(1,1,1)diag -,则10A =---------------------------------------- ( A )(A) E (B) 10E (C) E - (D) 10E - 8. 设A 为n 阶方阵，则下列说法中正确的是--------------------------------------（ B ） (A) 若A 可对角化，则A 为实对称阵 (B) 若A 为实对称阵，则A 可对角化 (C) 若A 可对角化，则A 必可逆 (D) 若A 可逆，则A 可对角化二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）1.设2110A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，则*A =0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭，1A-=0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭。

线性代数理科类参考答案

线性代数理科类参考答案

线性代数（理科类）期末考试参考答案2019年01月09日本次考试中，M n (F )为数域F 上n 阶矩阵全体构成的线性空间；F n 为数域F 上所有n 阶列向量构成的线性空间；R 为实数域，C 为复数域；A T 为A 的转置；tr A 为A 的主对角线元素之和；Col (A )为A 的列向量生成的子空间；N (A )为Ax =0的解空间；I n 为n 阶单位阵.第一部分：填空题（每空4分，共48分）(1)设V 1是列向量(1,0,−1,0)T ，(0,1,2,1)T 和(2,1,0,1)T 生成的R 4的子空间，V 2列是向量(−1,1,1,1)T ，(1,−1,−3,−1)T 和(−1,1,−1,1)T 生成的R 4的子空间，则dim (V 1+V 2)=3,dim (V 1∩V 2)=1.(2)设λ是一个非零常数,考虑方程组λx 1+x 2+x 3+x 4=1x 1+λx 2+x 3+x 4=λx 1+x 2+λx 3+x 4=λ2x 1+x 2+x 3+λx 4=λ3，当λ=1,此方程组有无穷解。

此时，方程组的通解是(1000)+k 1(−1100)+k 2(−1010)+k 3(−1001).(3)设A =1000110011101111,则M 4(R )的子空间T (A )={B ∈M 4(R )|BA =AB }的维数是3。

(4)设n 阶方阵A =(I r B0−I n −r ),则存在n 阶可逆方阵P =(I r −12B O I n −r)和对角阵Λ=(I r OO −I n −r)，使得P −1AP =Λ.(5)定义M 2(R )上的线性变换φ满足φ(A )=(1111)A (2001),则Im φ的维数是2，Ker φ的维数是2。

(6)给定矩阵A ∈M 2(R )和4个非零向量α1,α2,α3,α4∈R 2满足这4个向量分别是Col (A T ),N (A ),Col (A ),N (A T )的基。

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长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808 417长沙理工大学模拟考试试卷………………………………………………………………………………………………………………试卷编号 1 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名………………………………………………………………………………………………………………课程名称（含档次） 线性代数 课程代号 0701011专 业 全校各专业 层次（本、专） 本科 考试方式（开、闭卷） 闭卷一、判断题（正确答案填√,错误答案填×。

每小题2分，共10分）1.设n 阶方阵C B A ,,可逆且满足E ABC =，则必有 E CBA = （ ）2.设21,ηη==x x 是b AX =的解，则21ηη+=x 是b AX =的解 （ ）3.若矩阵A 的列向量组线性相关，则矩阵A 的行向量组不一定线性相关 （ ）4.设x 表示向量x 的长度，则x x λλ= （ ）5.设21,ηη==x x 是b AX =的解，则21ηη-=x 是0=AX 的解 （ ） 二、填空题：(每小题5分，共20分)1.计算行列式 231013412-＝ ； 2.若βα,为)0(,≠=A b b X 的解，则βα-或αβ-必为 的解；3.设n 维向量组m ααα,,,:21 T ，当n m >时，T 一定线性 ，含有零向量的向量组一定线性 ；长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808 4174.设三阶方阵A 有3个特征值2，1，-2，则2A 的特征值为 ； 三、计算题（每小题10分，共60分）1.2111121111211112；第 1 页（共 2 页）2.若线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=+-=+414343232121a x x a x x a x x a x x 有解，问常数4321,,,a a a a 应满足的条件3.设s ηηη,,,21 是方程组b X =A 的解向量)0(≠b ，若s s k k k ηηη+++ 2211也是的解，则=+++s k k k 21 ；4.求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-020332202432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系；5.已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y x A 3122与矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321B 相似，求y x ,的值； 6.设3231212322214225x x x x x ax x x x f +-+++=为正定二次型，求a .四、证明题（10分）：设向量组321,,ααα线性无关，长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808 417证明321211,,αααααα+++线性无关。

长沙理工大学模拟试卷标准答案课程名称： 线性代数 试卷编号：1一、判断题（正确答案填√,错误答案填×。

每小题2分，共10分） 1，× 2，× 3，√ 4, × 5, √二、填空题：(每小题5分，共20分)1，42；2，0=A X ；3，相关，相关；4，4，1，4. 三、计算题（每小题10分，共60分）1.2111121111211112=2115121511251115=52111121111211111 （5分）=51000010000101111＝5 （5分）2.)(b A →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=43211001110001100011a a a a （2分） ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++--→43213210000110001100011a a a a a a a （5分） 若有解，则A 的秩与)(b A 的秩相等，即4321a a a a +++0=。

（3分）3.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----++2000672012114720672012111244302121123131242λλλr r r r r r （6分）∴(1) 当2=λ时，矩阵的秩为2； （2分） (2) 当2≠λ时，矩阵的秩为3. （2分）第 1 页（共 3 页）4.对系数矩阵作作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11001100121122111332212111312r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→+-÷0000110030112000011001211)1(21232r r r r r得同解方程组 ⎩⎨⎧+=-=42342103x x x x x x令 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0142x x ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛10； 得 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0131x x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13 基础解系为：()()TT1103,001121-==ξξ5.解：∵A 与B 相似，∴ 特征多项式相同，即 E B E A λλ-=- 亦即 x y y xE A 31))(22(3122---=--=-λλλλλ6)4)(1(4321---=--=-=λλλλλE B6)4)(1(31))(22(---=---⇒λλλλx y 17,12-=-=⇒y x6.解：f 的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=5212111a a A∵ f 为正定二次型，∴ A 的各阶主子式大于0． 即 111=a ＞0，222211211111a a a a a a a -==＞0)45(5212111+-=--=a a aa A ＞0第 2 页（共 3 页）解联立不等式组 21a -＞0 或 )45(+a a ＜0 1-⇒＜a ＜1或 54-＜a ＜0 54-⇒＜a ＜0 即当 54-＜a ＜0时，f 为正定二次型． 四、证明题（10分）：证明：设存在一组数321,,k k k 使得0)()(321321211=+++++ααααααk k k0)()(3322211321=+++++⇒αααk k k k k k ，（3分）又向量组321,,ααα线性无关，因此0,0,0000321332321===⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=++k k k k k k k k k ，（7分）由此可知，只有当0,0,0321===k k k 时，等式0)()(321321211=+++++ααααααk k k 才成立， 即向量组321211,,αααααα+++线性无关。

（10分）第 3 页（共 3 页）长沙理工大学模拟考试试卷………………………………………………………………………………………………………………试卷编号 2 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名 ………………………………………………………………………………………………………………课程名称（含档次）线性代数 课程代号专 业 层次（本、专） 考试方式（开、闭卷） 闭卷一、判断题：(正确填√,错误填×. 每小题２分，共10分)1.B A ,是n 阶矩阵，则BA AB =；（ ）2.若B A ,均为n 阶矩阵，则)()()(B R A R B A R +≤+；（ ）3.向量组s ααα,,,21 线性相关，则至少含有一个零向量；（ ）4.若21,αα是齐次线性方程组0=AX 的两个线性无关解向量，则1111ααk k -不是0=AX 的解； （ ）5.设A 为n 阶矩阵，则A 与2A 具有相同的特征向量。

（ ） 二、填空题：(每小题5分，共20分)1.若行列式a a D ij n ==，则=-=ij a D ；2.()=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321 ； 3.设向量组T ：m ααα,,,21 ，若T 线性相关，则秩T m ；若T 线性无关，则秩T m; 4.如果三阶矩阵A 对应于特征值321,,λλλ的特征向量为321,,p p p ，令),,(321p p p =P ，则=AP P -1。

三、计算题：(每小题10分，共60分)第 1 页（共 2 页）1.efcfbfde cd bdaeac ab---； 2.计算()=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321123 ；3.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21232121a a A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321031x x x x b ,,若线性方程组b Ax =无解,则=a ；4.求解非齐次线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412432143214321x x x x x x x x x x x x ；5.设3阶矩阵A 的特征值为，21=λ，22-=λ，13=λ对应的特征向量依次为,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011111110321p p p ，，求A ；6.用配方法化二次型32212221442x x x x x x f --+=为标准形，并求所用的可逆变换矩阵．四、证明题：(10分)设B A ,为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明AB B T也是对称矩阵.第 2 页（共 2 页）长沙理工大学模拟试卷标准答案课程名称： 线性代数 试卷编号：2一、判断题（每小题2分，共10分） 1，√，2，√，3，×，4，×，5，√； 二、填空题：(每小题5分，共20分)1，a n)1(-；2，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛963642321；3，m T m T =<,；4，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321000000λλλ 三、计算题（每小题10分，共60分）1.fffd d daa a bce efcfbfde cd bdae ac ab--=--- （4分）abcdef abcdef 4111111111=---=；（10分） 2.A X E A =-)2( （2分） 022≠-=-E A ,E A 2-∴可逆A E A X 1)2(--= （5分）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-011100101010110001101101110110011011,2A E A （8分）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=∴011101110X （10分）3.解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=0000010010215110531631121A （5分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x （7分）第 1 页（共 3 页）通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x x x x 4.()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+----=20000100412023112131015162312311,,,4321a a a a a a a （5分）∴当2=a 时，43),,,(4321<=a a a a R向量组4321,,,a a a a 线性相关. （10分）5. 解 令()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==011111110,,321p p p P ，P 可逆 ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110100111010011001100011010111001110,E P⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=∴110111011P （4分）1122-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P A （6分）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=244354332 （10分） 6.解：32222214)(2x x x x x f ---==232322214)2()(2x x x x x ++-- （4分）令⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=333222112x y x x y x x y , 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+=33322321122y x y y x y y y x （6分） 则原二次型化为标准形23222142y y y f +-= （8分）可逆变换矩阵第 2 页（共 3 页）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100210211C （10分）四、证明题：（10分）证明：因为AB B B A B AB B TTTTTTT==)()( （8分） 所以AB B T也是对称矩阵。

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