第6章非线性控制系统分析

一般非线性
描述函数不仅适合于分段线性系统，也适合于一般
非线性系统，只要能求出非线性环节的描述函数。我们 举一个例子:
1 1 3 y x x 2 4
因为它是单值、奇对称的，A1
0, 1 0 ，先求出 y (t ) ：
1 1 3 3 y (t ) A sin t A sin t 2 4
n 1

A 0 Yn sin(n t n )
n 1
y (t ) A0 ( An cos n t Bn sin n t )
n 1

A 0 Yn sin(n t n )
n 1
1 2 式中：A0 y (t )d t 0 2 1 2 An y (t ) cos n td t
2 1 2 1
这意味着一个非线性元件在正弦输入下，其输出也是
一个同频率的正弦量，只是振幅和相位发生了变化。
这与线性元件在正弦信号作用下的输出具有形式上的 相似性，故称上述近似处理为谐波线性化。
描述函数法的定义：输入为正弦函数时，输出的基波分量 与输入正弦量的复数比。其数学表达式为
Y sin( t 1 ) Y1 N ( A) 1 1 A sin t A A12 B12 A arctan 1 A B1
y
B
C
0
C
x
B
(a)
死区特性 一般的测量元件、执行机构都具有不灵敏区特性。只有在输 入信号大到一定程度以后才会有输出。一般的机械系统、 电机等, 都不同程度地存在死区。这种只有当输入量超过 一定值后才有输出的特性称为死区特 性，如图b所示。
y
k
C
0
C
x
k
(b)
具有不灵敏区的饱和特性
在很多情况下，系统的元件同时存在死区特性和饱和限
y M －a －ma 0 ma －M a x
0<i<a时，触头不动； i > ma时，触头吸合；
i <ma时，触头释放。
间隙特性
间隙特性的特点是：当输入量的变化方向改变时，输出量保 持不变，一直到输入量的变化超出一定数值（间隙）后，输 出量才跟着变化。间隙特性如图e所示。
y
B
C
0 C
x
B
(e)
6.1.1 典型非线性特性
常见的典型非线性特征有以下几种： 1. 饱和非线性 2. 死区特性 3. 具有不灵敏区的饱和特性 4. 继电特性
5. 间隙特性

饱和非线性
实际的放大器只能在一定的输入范围内保持输出量和输
入量之间的线性关系。当输入量超出该范围时，其输出 量则保持为一个常值。饱和非线性特性如图a所示。
0

Hale Waihona Puke 2Mcos t 0

4M

Y1 4M N ( A) 0 A A
理想继电器特性
4M N(A) A
死区继电器特性
( A 0)
4M a 2 N(A) 1 ( ) A A
(A a )
y(t)
ωt y(t) ωt
y(t) ωt
y(t)
ωt
滞环继电器特性
4M 1 h N(A) sin A A (A h )
幅特性。譬如，测量元件的最大测量范围与最小测量范 围都是有限的。具有不灵敏区的饱和特性如图c所示。
y
B
k
nc
C
0
B
C nc
x
k
(c )
霍尔元件
（磁敏传感器）
+
IB UH k d
霍尔元件
UH
继电特性
由于继电器吸合电压与释放电压不等 , 使其特性中包含了死区 、回环及饱和特性，如图所示。
将y(t)傅氏展开得
y( t ) A 0 (A n cos nt B n sin nt )
n 1

斜对称、奇函数A0=An=0
y1 ( t ) B1 sin t
B1 2 1
2


y(t ) sin td (t )
0
y (t ) sin td (t )
4M 2 2k 2 N ( A) 1 ( ) arctan 1 ( ) A A 2 A A A 2k 1 4 M 2k 2 k sin 1 ( ) 其中A A A A
1．非线性特性的并联计算 设有两个非线性环节并联，且其非线性特性都是 单值函数，即它们的描述函数都是实数。
N1 x(t)
y11(t) y1(t) y12(t)
N2
y1(t) = y11(t) + y12(t) = N1Asint + N2Asint = (N1+ N2 ) Asint N = (N1+ N2 ) 总的描述函数
0
x0<1
当x0<1时，x(t) 递减并趋于0。
x0 t ln x 1 0
由上例可见，初始条件不同，自由运动的稳定性 亦不同。因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构 和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。
3.自持振荡问题 产生某一固定振幅和频率的振荡（一种稳定的周期运动 ）。非线性系统出现的这种周期运动称为自持振荡或简 称为自振。 4.对正弦输入信号的响应 非线性系统对正弦输入信号的响应比较复杂，其稳态输 出除了包含与输入频率相同的信号外，还可能有与输入 频率成整数倍的高次谐波分量。
相平面分析法 适用于一、二阶非线性系统的分析，方法的重点是将二 阶非线性微分方程变写为以输出量及输出量导数为变量 的两个一阶微分方程。然后依据这一对方程，设法求出 其在上述两变量构成的相平面中的轨线，并由此对系统
的时间响应进行判别。
6.2 描述函数法
6.2.1 描述函数法的基本概念 基本思想：当系统满足一定的假设条件时，系统中 非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波 分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率 特性，即描述函数。
若干个非线性环节并联后的总的 描述函数，等于 各非线性环节描述函数之和。当N1和N2是复数时，该 结论仍成立。
例6-1 一个具有死区的 非线性环节，求描述函数 N(A)。
k x
M
0
y
△
M 0 △ x y
+ + k
0 △
解：该死区非线性特性可分解为一个死区继电 器特性和一个典型死区特性的并联，描述函数为
间隙特性: 间隙又称回环。传动机构的间隙是一种常见的回
环非线性特性，如图所示。
y
－a 0 a x
在齿轮传动中, 由于间隙存在, 当主动齿轮方向 改变时, 从动轮保持原位不动, 直到间隙消除后才改 变转动方向。铁磁元件中的磁滞现象也是一种回环 特性。 间隙特性对系统影响较为复杂, 一般来说, 它 将使系统稳态误差增大，频率响应的相位迟后也增 大, 从而使系统动态性能恶化。 采用双片弹性齿轮 (无隙齿轮)可消除间隙对系统的不利影响。
概括起来，求描述函数的过程是：先根据已知 的输入 x (t ) A sin t 和非线性特性 y f ( x ) 求出输出 y (t ) ，然后由积 分式求出
A1 , B1 , Y1 , 1 ，最后由求出 N ( A) 。
6.2.3 组合非线性特性的描述
以上介绍了描述函数的基本求法，对于复杂的非线 性特性，完全可以利用这种力法求出其描述函数，但计 算也复杂得多。此时也可以将复杂的非线件特性分解为 若干个简单非线性特性的组合，即串并联，再由已知的 这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非线件特件的 描述函数。
所以
4 21 1 3 3 B1 A sin t A sin t sin td (t ) 0 2 4 4 21 1 3 2 4 A sin t A sin t d (t ) 0 2 4 1 3 3 A A 2 16 B1 1 3 2 N(X ) A A 2 16

0
Bn

1
2
0
y (t ) sin n td t
2 2 Yn An Bn
n arctan
An Bn
设非线性元件的输出为 奇对称函数
A0 0
谐波线性化的处理方法是：以输出y(t)的基波分量近
似地代替整个输出。亦即略去输出的高次谐波，将 输出表示为
y (t ) A1 cos t B1 sin t Y1 sin( t 1 ) A1 式中：Y1 A B ，1 arctan B1
饱和特性
2k a a a 1 ( )2 ] A A A
N ( A)

[sin 1
( A a)
死区特性
N ( A) 2k a a a [ sin 1 1 ( )2 ] 2 A A A ( A a)
死区饱和特性
2k s a s s a a [sin 1 sin 1 1 ( ) 2 1 ( ) 2 ] A A A A A A
描述函数法主要用来分析在无外作用的情况下，非线 性系统的稳定性和自振荡问题。
这种方法不受系统阶次的限制，对系统的初步分析和 设计十分方便，获得了广泛应用。 描述函数法是一种近似的分析方法，它的应用有一定 的限制条件。
应用描述函数法分析非线性系统时，要求元件和系统 必须满足以下条件： (1)非线性系统的结构图可以简化成只有一个非线性环 节和一个线性部分相串联的典型形式；
非线性系统与线性系统的比较
线性系统
①数学模型 线性微分方程 （迭加原理）
非线性系统
非线性微分方程 （不能用迭加原理）
②稳定性
③运动状态 ④研究重点 ⑤研究方法
与系统结构参数 有关
稳定或不稳定 稳定性、动态及 静态性能 传函、频率法等
与系统结构参数、初始条件 外部输入有关
稳定、 不稳定、自持振荡 稳定性、自持振荡 相平面法、描述函数法、波波 夫法，李亚普诺夫法等
⑥典型环节
比例 惯性 积分 微分 振荡等
饱和、死区、间隙、继电器等
6.1.3 非线性系统的分析方法
目前，工程上广泛应用的分析和设计非线性控制系统的 方法是描述函数法和相平面分析法。
描述函数法
是一种近似方法，相当于线性理论中频率法的推广。方 法不受阶次的限制，且所得结果也比较符合实际，故得 到了广泛应用。
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第 6章
6.1 6.2 6.3 6.4
非线性系统分析
非线性系统概述 描述函数法 非线性系统分析与应用 MATLAB应用实例
6.1 非线性系统概述
自动控制系统中所包含的非线性特性可以分为两类。 非本质非线性 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非 线性。 本质非线性 用小偏差线性化方法不能解决的非线性。
(2)非线性环节的输入输出特性是中心对称的，即y(x)＝-y(-x)；
(3)系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。
描述函数的定义 针对一任意非线性系统，设输入x=Asinωt,输出波 形为y(t)，则可以将y(t)表示为富氏级数形式
y (t ) A0 ( An cos n t Bn sin n t )
A1 B1

1
1
2
0 2
y (t ) cos tdt y (t ) sin tdt
0
6.2.2 典型非线性特性的描述函数
理想继电器特性的描述函数
x ( t ) A sin t
x ( t ) A sin t
M y( t ) M
(0 t ) ( t 2)
N ( A)
( A s)
间隙、滞环特性
N ( A) A12 B12 1 A 1 tg A B1 ( A a)
4kA a 2 a A1 [( ) ] A A
kA 2a 2a a a 2 1 B1 [ sin (1 ) 2(1 ) ( ) ] 2 A A A A
dx dt x( x 1)
1
x(t) x0>1
x0<1
x0 e t x(t ) 1 x 0 x 0 e t
0
x0 t ln x 1 0
相应的时间响应随初始条件而 变。
x(t) x0>1
当x0 >1，t <lnx0/(x0 1) 时，随t 1 增大，x(t) 递增；t = lnx0 /(x0 1) 时，x(t)为无穷大。
6.1.2 非线性系统的基本特征
数学模型：非线性微分方程
主要特点：
1.稳定性问题 稳定性除了同系统的结构形式和参数有关外，还与外 作用及初始条件有关。 2.时间响应 非线性系统的时间响应与输入信号的大小和初始条件 有关。
x 2 x x( x 1) x
设t = 0，系统的初始状态为x0