高等数学基础形成性考核册及答案
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证明：由f(x)=-f(-x)求导f＇(x)=-f＇(-x)(-x)＇
f＇(x)=f＇(-x)，∴f＇(x)是偶函数
高等数学基础第三次作业
第4章导数的应用
（一）单项选择题
⒈若函数 满足条件（D），则存在 ，使得 ．
A.在 内连续
B.在 内可导
C.在 内连续且可导
D.在 内连续，在 内可导
⒉函数 的单调增加区间是（D）．
当x＞0时有f＇(x)＞0，f(x)为增函数，又f(0)=1
∴当x＞0时f(x)＞1，即ex＞x+1
高等数学基础第四次作业
第5章不定积分
第6章定积分及其应用
（一）单项选择题
⒈若 的一个原函数是 ，则 （D）．
.
.
⒉下列等式成立的是（D）．
.
.
⒊若 ，则 （B）．
.
.
⒋ （D）．
.
.
⒌若 ，则 （B）．
表面积S=a2+4ah
∵a2h=，∴h=a2
S=a2+250/a，S＇=2a-250/a2=(2a3–250)/a2，
由S＇=0解得a=5m，h=2.5m，此时S=75m2最小，即用料最省。
⒏从面积为 的所有矩形中，求其周长最小者．
⒐从周长为 的所有矩形中，求其面积最大者．
（四）证明题
⒈当 时，证明不等式 ．
⒍设 ，则 1/x．
（三）计算题
⒈求下列函数的导数 ：
⑴ y=(x3/2+3)ex，y＇=3/2x1/2ex+(x3/2+3)ex
=(3/2x1/2+x3/2+3)ex
⑵ y＇=-csc2x+2xlnx+x
⑶ y＇=(2xlnx-x)/ln2x
⑷ y＇=[(-sinx+2xln2)x3-3x2(cosx+2x)]/x6
.
.
⒍由区间 上的两条光滑曲线 和 以及两条直线 和 所围成的平面区域的面积是（）．
.
.
⒎下列无穷限积分收敛的是（D）．
.
.
（二）填空题
⒈函数 的不定积分是
⒉若函数 与 是同一函数的原函数，则 与 之间有关系式F(x)=G(x)+c．
⒊ ．
⒋ tanx+c．
⒌若 ，则 -9cos3x．
⒍ 3．
⒎若无穷积分 收敛，则 ＞1．
⑸ =
⑹ y＇=4x3-cosxlnx-sinx/x
⑺ y＇=[(cosx+2x)3x-(sinx+x2)3xln3]/32x
=[cosx+2x-(sinx+x2)ln3]/3x
⑻ y＇=extanx+exsec2x+1/x=ex(tanx+sec2x)+1/x
⒉求下列函数的导数 ：
⑴
⑵
⑶ y=x7/8y＇=(7/8)x-1/8
.
.
⒊函数 在区间 内满足（A）．
A.先单调下降再单调上升B.单调下降
C.先单调上升再单调下降D.单调上升
⒋函数 满足 的点，一定是 的（C）．
A.间断点B.极值点
C.驻点D.拐点
⒌设 在 内有连续的二阶导数， ，若 满足（C），则 在 取到极小值．
.
.
⒍设 在 内有连续的二阶导数，且 ，则 在此区间内是（A）．
（三）ห้องสมุดไป่ตู้算题
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
（四）证明题
⒈证明：若 在 上可积并为奇函数，则 ．
证明： ，在第一项中令x=-t，
则 ，∴ 0
⒉证明：若 在 上可积并为偶函数，则 ．
证明： ，在第一项中令x=-t，
则 ，∴
⒊证明：
⑷
⑸
⑹
⑺ y＇=nsinn-1xcosxcosnx-nsinnxsinnx
⑻
⑼
⑽
⑾
⒊在下列方程中， 是由方程确定的函数，求 ：
⑴ 方程对x求导：y＇cosx-ysinx=2y＇e2y
y＇=ysinx/(cosx-2e2y)
⑵ 方程对x求导：y＇=y＇(-siny)lnx+(1/x)cosy
y＇=[(1/x)cosy]/(1+sinylnx)
A.单调减少且是凸的B.单调减少且是凹的
C.单调增加且是凸的D.单调增加且是凹的
⒎设函数 在点 处取得极大值 ，则 （）．
.
.
（二）填空题
⒈设 在 内可导， ，且当 时 ，当 时 ，则 是 的极小值点．
⒉若函数 在点 可导，且 是 的极值点，则 0．
⒊函数 的单调减少区间是(-∞，0)．
⒋函数 的单调增加区间是(0，+∞)．
.
.
⒌下列极限存计算不正确的是（D）．
.
.
⒍当 时，变量（C）是无穷小量．
.
.
⒎若函数 在点 满足（A），则 在点 连续。
. 在点 的某个邻域内有定义
.
（二）填空题
⒈函数 的定义域是（3，+∞)．
⒉已知函数 ，则 x2-x．
⒊ e1/2．
⒋若函数 ，在 处连续，则 e．
⒌函数 的间断点是x=0．
⒍若 ，则当 时， 称为无穷小量．
+
0
—
0
+
y
↑
Ymax=32
↓
Ymin=0
↑
(-∞，1)和(5，+∞)为单调增区间，(1，5)为单调减区间，极值为Ymax=32，Ymin=0。
⒉求函数 在区间 内的极值点，并求最大值和最小值．
解：y＇=2x-2，驻点x=1是极小值点，在区间[0，3]上最大值为y(3)=6，最小值为y(1)=2。
x
解：圆柱体的表面积S=2πR2+2πRH
由体积V=πR2H解得H=V/πR2
∴S=2πR2+2V/R
S＇=4πR-2V/R2=2(2πR3-V)/R2
由S＇=0解得 ，此时
答：当高与底面直径相等时圆柱体表面积最小。
⒎欲做一个底为正方形，容积为立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设长方体底面边长为a高为h
高等数学基础形成性考核册及答案
高等数学基础第一次作业
第1章函数
第2章极限与连续
（一）单项选择题
⒈下列各函数对中，（C）中的两个函数相等．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
⒉设函数 的定义域为 ，则函数 的图形关于（C）对称．
A.坐标原点B. 轴
C. 轴D.
⒊下列函数中为奇函数是（B）．
.
.
⒋下列函数中为基本初等函数是（C）．
⒌若函数 在 内恒有 ，则 在 上的最大值是f(a)．
⒍函数 的拐点是x=0．
⒎若点 是函数 的拐点，则 ， ．
（三）计算题
⒈求函数 的单调区间和极值．
解：y＇=(x-5)2+2(x+1)(x-5)=3(x-1)(x-5)
由y＇=0求得驻点x=1，5.
列表
x
(-∞，1)
1
(1，5)
5
(5，+∞)
y＇
⒌圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
解右图为圆柱体的截面，
由图可得R2=L2-H2
圆柱体的体积V=πR2H=π(L2-H2)H
V＇=π(L2-3H2)，由V＇=0解得 ，
此时 ，圆柱体的体积 最大。
⒍一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？
证明：令f(x)=x-ln(1+x)，f(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)
当x＞0时有f＇(x)＞0，f(x)为增函数，又f(0)=0
∴当x＞0时f(x)＞0，即x＞ln(1+x)
⒉当 时，证明不等式 ．
证明：令f(x)=ex/(x+1)，
f＇(x)=[ex(x+1)-ex]/(x+1)2=xex/(x+1)2
y＇=exsiny/(2y-excosy)
⑺ 方程对x求导：y＇ey=ex-3y2y＇，y＇=ex/ey+3y2
⑻ 方程对x求导：y＇=5xln5+y＇2yln2，y＇=5xln5/(1-2yln2)
⒋求下列函数的微分 ：
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⒌求下列函数的二阶导数：
⑴
⑵
⑶
⑷
（四）证明题
设 是可导的奇函数，试证 是偶函数．
∴
⒋求
⒌求
⒍求
⒎求．
⒏求
⒐求
⒑设函数
讨论 的连续性，并写出其连续区间．
解：
∴函数在x=1处连续
不存在，∴函数在x=-1处不连续
高等数学基础第二次作业
第3章导数与微分
（一）单项选择题
⒈设 且极限 存在，则 （B）．
.
.
⒉设 在 可导，则 （D）．
.
.
⒊设 ，则 （A）．
.
.
⒋设 ，则 （D）．
.
.
⒌下列结论中正确的是（C）．
0
(0，1)
1
(1，3)
3
y＇
-
-
0
+
y
3
↓
2
↑
6
⒊试确定函数 中的 ，使函数图形过点 和点 ，且 是驻点， 是拐点．
⒋求曲线 上的点，使其到点 的距离最短．
解：曲线y2=2x上的点(x，y)到点A(2，0)的距离 d2=x2-2x+4，(d2)＇=2x-2，由(d2)＇=0求得x=1，由此得所求点有两个：
A.若 在点 有极限，则在点 可导．
B.若 在点 连续，则在点 可导．
C.若 在点 可导，则在点 有极限．
D.若 在点 有极限，则在点 连续．
（二）填空题
⒈设函数 ，则 0．
⒉设 ，则 (2/x)lnx+5/x．
⒊曲线 在 处的切线斜率是1/2．
⒋曲线 在 处的切线方程是y=1．
⒌设 ，则 2x2x(lnx+1)．
⑶ 方程对x求导：2siny+y＇2xcosy=(2xy-x2y＇)/y2
y＇=2(xy–y2siny)/(x2+2xy2cosy)
⑷ 方程对x求导：y＇=1+y＇/y，y＇=y/(y-1)
⑸ 方程对x求导：1/x+y＇ey=2yy＇，y＇=1/x(2y-ey)
⑹ 方程对x求导：2yy＇=exsiny+y＇excosy
（三）计算题
⒈设函数
求： ．
解：f(-2)=-2，f(0)=0，f(1)=e
⒉求函数 的定义域．
解：由 解得x<0或x>1/2，函数定义域为(-∞，0)∪(1/2，+∞)
⒊在半径为 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．
解：如图梯形面积A=(R+b)h，其中
f＇(x)=f＇(-x)，∴f＇(x)是偶函数
高等数学基础第三次作业
第4章导数的应用
（一）单项选择题
⒈若函数 满足条件（D），则存在 ，使得 ．
A.在 内连续
B.在 内可导
C.在 内连续且可导
D.在 内连续，在 内可导
⒉函数 的单调增加区间是（D）．
当x＞0时有f＇(x)＞0，f(x)为增函数，又f(0)=1
∴当x＞0时f(x)＞1，即ex＞x+1
高等数学基础第四次作业
第5章不定积分
第6章定积分及其应用
（一）单项选择题
⒈若 的一个原函数是 ，则 （D）．
.
.
⒉下列等式成立的是（D）．
.
.
⒊若 ，则 （B）．
.
.
⒋ （D）．
.
.
⒌若 ，则 （B）．
表面积S=a2+4ah
∵a2h=，∴h=a2
S=a2+250/a，S＇=2a-250/a2=(2a3–250)/a2，
由S＇=0解得a=5m，h=2.5m，此时S=75m2最小，即用料最省。
⒏从面积为 的所有矩形中，求其周长最小者．
⒐从周长为 的所有矩形中，求其面积最大者．
（四）证明题
⒈当 时，证明不等式 ．
⒍设 ，则 1/x．
（三）计算题
⒈求下列函数的导数 ：
⑴ y=(x3/2+3)ex，y＇=3/2x1/2ex+(x3/2+3)ex
=(3/2x1/2+x3/2+3)ex
⑵ y＇=-csc2x+2xlnx+x
⑶ y＇=(2xlnx-x)/ln2x
⑷ y＇=[(-sinx+2xln2)x3-3x2(cosx+2x)]/x6
.
.
⒍由区间 上的两条光滑曲线 和 以及两条直线 和 所围成的平面区域的面积是（）．
.
.
⒎下列无穷限积分收敛的是（D）．
.
.
（二）填空题
⒈函数 的不定积分是
⒉若函数 与 是同一函数的原函数，则 与 之间有关系式F(x)=G(x)+c．
⒊ ．
⒋ tanx+c．
⒌若 ，则 -9cos3x．
⒍ 3．
⒎若无穷积分 收敛，则 ＞1．
⑸ =
⑹ y＇=4x3-cosxlnx-sinx/x
⑺ y＇=[(cosx+2x)3x-(sinx+x2)3xln3]/32x
=[cosx+2x-(sinx+x2)ln3]/3x
⑻ y＇=extanx+exsec2x+1/x=ex(tanx+sec2x)+1/x
⒉求下列函数的导数 ：
⑴
⑵
⑶ y=x7/8y＇=(7/8)x-1/8
.
.
⒊函数 在区间 内满足（A）．
A.先单调下降再单调上升B.单调下降
C.先单调上升再单调下降D.单调上升
⒋函数 满足 的点，一定是 的（C）．
A.间断点B.极值点
C.驻点D.拐点
⒌设 在 内有连续的二阶导数， ，若 满足（C），则 在 取到极小值．
.
.
⒍设 在 内有连续的二阶导数，且 ，则 在此区间内是（A）．
（三）ห้องสมุดไป่ตู้算题
⒈
⒉
⒊
⒋
⒌
⒍
⒎
⒏
（四）证明题
⒈证明：若 在 上可积并为奇函数，则 ．
证明： ，在第一项中令x=-t，
则 ，∴ 0
⒉证明：若 在 上可积并为偶函数，则 ．
证明： ，在第一项中令x=-t，
则 ，∴
⒊证明：
⑷
⑸
⑹
⑺ y＇=nsinn-1xcosxcosnx-nsinnxsinnx
⑻
⑼
⑽
⑾
⒊在下列方程中， 是由方程确定的函数，求 ：
⑴ 方程对x求导：y＇cosx-ysinx=2y＇e2y
y＇=ysinx/(cosx-2e2y)
⑵ 方程对x求导：y＇=y＇(-siny)lnx+(1/x)cosy
y＇=[(1/x)cosy]/(1+sinylnx)
A.单调减少且是凸的B.单调减少且是凹的
C.单调增加且是凸的D.单调增加且是凹的
⒎设函数 在点 处取得极大值 ，则 （）．
.
.
（二）填空题
⒈设 在 内可导， ，且当 时 ，当 时 ，则 是 的极小值点．
⒉若函数 在点 可导，且 是 的极值点，则 0．
⒊函数 的单调减少区间是(-∞，0)．
⒋函数 的单调增加区间是(0，+∞)．
.
.
⒌下列极限存计算不正确的是（D）．
.
.
⒍当 时，变量（C）是无穷小量．
.
.
⒎若函数 在点 满足（A），则 在点 连续。
. 在点 的某个邻域内有定义
.
（二）填空题
⒈函数 的定义域是（3，+∞)．
⒉已知函数 ，则 x2-x．
⒊ e1/2．
⒋若函数 ，在 处连续，则 e．
⒌函数 的间断点是x=0．
⒍若 ，则当 时， 称为无穷小量．
+
0
—
0
+
y
↑
Ymax=32
↓
Ymin=0
↑
(-∞，1)和(5，+∞)为单调增区间，(1，5)为单调减区间，极值为Ymax=32，Ymin=0。
⒉求函数 在区间 内的极值点，并求最大值和最小值．
解：y＇=2x-2，驻点x=1是极小值点，在区间[0，3]上最大值为y(3)=6，最小值为y(1)=2。
x
解：圆柱体的表面积S=2πR2+2πRH
由体积V=πR2H解得H=V/πR2
∴S=2πR2+2V/R
S＇=4πR-2V/R2=2(2πR3-V)/R2
由S＇=0解得 ，此时
答：当高与底面直径相等时圆柱体表面积最小。
⒎欲做一个底为正方形，容积为立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设长方体底面边长为a高为h
高等数学基础形成性考核册及答案
高等数学基础第一次作业
第1章函数
第2章极限与连续
（一）单项选择题
⒈下列各函数对中，（C）中的两个函数相等．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
⒉设函数 的定义域为 ，则函数 的图形关于（C）对称．
A.坐标原点B. 轴
C. 轴D.
⒊下列函数中为奇函数是（B）．
.
.
⒋下列函数中为基本初等函数是（C）．
⒌若函数 在 内恒有 ，则 在 上的最大值是f(a)．
⒍函数 的拐点是x=0．
⒎若点 是函数 的拐点，则 ， ．
（三）计算题
⒈求函数 的单调区间和极值．
解：y＇=(x-5)2+2(x+1)(x-5)=3(x-1)(x-5)
由y＇=0求得驻点x=1，5.
列表
x
(-∞，1)
1
(1，5)
5
(5，+∞)
y＇
⒌圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
解右图为圆柱体的截面，
由图可得R2=L2-H2
圆柱体的体积V=πR2H=π(L2-H2)H
V＇=π(L2-3H2)，由V＇=0解得 ，
此时 ，圆柱体的体积 最大。
⒍一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？
证明：令f(x)=x-ln(1+x)，f(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)
当x＞0时有f＇(x)＞0，f(x)为增函数，又f(0)=0
∴当x＞0时f(x)＞0，即x＞ln(1+x)
⒉当 时，证明不等式 ．
证明：令f(x)=ex/(x+1)，
f＇(x)=[ex(x+1)-ex]/(x+1)2=xex/(x+1)2
y＇=exsiny/(2y-excosy)
⑺ 方程对x求导：y＇ey=ex-3y2y＇，y＇=ex/ey+3y2
⑻ 方程对x求导：y＇=5xln5+y＇2yln2，y＇=5xln5/(1-2yln2)
⒋求下列函数的微分 ：
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⒌求下列函数的二阶导数：
⑴
⑵
⑶
⑷
（四）证明题
设 是可导的奇函数，试证 是偶函数．
∴
⒋求
⒌求
⒍求
⒎求．
⒏求
⒐求
⒑设函数
讨论 的连续性，并写出其连续区间．
解：
∴函数在x=1处连续
不存在，∴函数在x=-1处不连续
高等数学基础第二次作业
第3章导数与微分
（一）单项选择题
⒈设 且极限 存在，则 （B）．
.
.
⒉设 在 可导，则 （D）．
.
.
⒊设 ，则 （A）．
.
.
⒋设 ，则 （D）．
.
.
⒌下列结论中正确的是（C）．
0
(0，1)
1
(1，3)
3
y＇
-
-
0
+
y
3
↓
2
↑
6
⒊试确定函数 中的 ，使函数图形过点 和点 ，且 是驻点， 是拐点．
⒋求曲线 上的点，使其到点 的距离最短．
解：曲线y2=2x上的点(x，y)到点A(2，0)的距离 d2=x2-2x+4，(d2)＇=2x-2，由(d2)＇=0求得x=1，由此得所求点有两个：
A.若 在点 有极限，则在点 可导．
B.若 在点 连续，则在点 可导．
C.若 在点 可导，则在点 有极限．
D.若 在点 有极限，则在点 连续．
（二）填空题
⒈设函数 ，则 0．
⒉设 ，则 (2/x)lnx+5/x．
⒊曲线 在 处的切线斜率是1/2．
⒋曲线 在 处的切线方程是y=1．
⒌设 ，则 2x2x(lnx+1)．
⑶ 方程对x求导：2siny+y＇2xcosy=(2xy-x2y＇)/y2
y＇=2(xy–y2siny)/(x2+2xy2cosy)
⑷ 方程对x求导：y＇=1+y＇/y，y＇=y/(y-1)
⑸ 方程对x求导：1/x+y＇ey=2yy＇，y＇=1/x(2y-ey)
⑹ 方程对x求导：2yy＇=exsiny+y＇excosy
（三）计算题
⒈设函数
求： ．
解：f(-2)=-2，f(0)=0，f(1)=e
⒉求函数 的定义域．
解：由 解得x<0或x>1/2，函数定义域为(-∞，0)∪(1/2，+∞)
⒊在半径为 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．
解：如图梯形面积A=(R+b)h，其中