结构化学练习之原子结构习题附参考解答

原子结构习题
一、填空题（在划线处填上正确答案）
2101、在直角坐标系下，Li 2+ 的Schr ödinger 方程为________________ 。

2102、已知类氢离子 He +的某一状态波函数为：
()022-023021e 222241a r a r a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π 则此状态的能量为 )(a ，
此状态的角动量的平方值为 )(b ，
此状态角动量在 z 方向的分量为 )(c ，
此状态的 n ， l ， m 值分别为 )(d ，
此状态角度分布的节面数为 )(e 。

2103、写出 Be 原子的 Schr ödinger 方程 。

2104、已知类氢离子 He +的某一状态波函数为
ψ= ()022-023021e 222241
a r a r a ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π 则此状态最大概率密度处的 r 值为 )(a ，
此状态最大概率密度处的径向分布函数值为 )(b ，
此状态径向分布函数最大处的 r 值为 )(c 。

2105、原子轨道是原子中的单电子波函数， 每个原子轨道只能容纳 ______个电子。

2106、H 原子的()φr,θψ,可以写作()()()φθr R ΦΘ,,三个函数的乘积，这三个函数分别由量子数 (a) ，
(b)， (c) 来规定。

2107、给出类 H 原子波函数
()θa r Z a Zr a Z a Zr cos e
68120320220
23021-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π=ψ 的量子数 n ，l 和 m 。

2108、H 原子 3d 电子轨道角动量沿磁场方向分量的可能值 。

2109、氢原子的波函数131321122101-++=ψψψψc c c
其中 1
31211210-ψψψψ和，，都是归一化的。

那么波函数所描述状态的能量平均值为（a ），角动量出现在 π22h 的概率是（b ），角动量 z 分量的平均值为（c ）。

2110、氢原子中，归一化波函数
131321122101-++=ψψψψc c c （ 131211210-ψψψψ和，，都是归一化的 ）
所描述的状态， 其能量平均值是 （a ）R ， 能量 -R /4 出现的概率是（b ），角动量平均值是（c ）π2h ， 角动量π22h 出现的概率是（d ），角动量 z
π2，角动量 z 分量π22h 出现的概率是（f ）。

2111、氢原子波函数()()()211
p 2p 2p 2C ，B ，A ψψψx z 中是算符H ˆ的本征函数是（a ），算符2H 的本征函数有（b ），算符Z
M ˆ的本征函数有（c ）。

2112、若一原子轨道的磁量子数为 m = 0， 主量子数 n ≤3， 则可能的轨道为____。

2113、氢原子处于定态z p 3ψ时的能量为（a ） eV ， 原子轨道z p 3ψ只与变量（b ）有关， z p 3ψ与x p 3ψ（c ）
相同的简并态 。

2114、氢原子中的电子处于123，，ψ状态时，电子的能量为（a ）eV ， 轨道角动量为（b ） π2h ， 轨道角
动量与 z 轴或磁场方向的夹角为（c ）。

2115、氢原子波函数()()
1cos 3e 681123200213200-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π=-θa Zr a Z a Zr ψ的 径向部分节面数 （a ） ，
角度部分节面数 （b ） 。

2116、原子轨道的径向部分R (r )与径向分布函数的关系是（a ）。

用公式表示电子出现在半径r =a 0、厚度为
100pm 的球壳内的概率为（b ）。

2117、基态H 原子单位体积中电子出现概率最大值在（a ）；
单位厚度的球壳体积中电子出现概率最大值在（b ）。

2118、氢原子处于321ψ态的电子波函数总共有（a ）个节面，电子的能量为（b ）eV ，电子运动的轨道角动
量大小（c ），角动量与 z 轴的夹角为（d ）。

2119、有一类氢离子波函数nlm ψ，已知共有两个节面，一个是球面形的，另一个是xoy 平面。

则这个波
函数的 n ，l ，m 分别为（a ），（b ），（c ）。

2120、设氢原子中电子处在激发态 2s 轨道时能量为E 1， 氦原子处在第一激发态
1s 12s 1时的2s 电子能量为E 2，氦离子He + 激发态一个电子处于 2s 轨道时能量为E 3， 请写出E 1，
E 2，E 3的从大到小顺序 。

2121、量子数为 L 和 S 的一个谱项有（a ）个微观状态。

1D 2 有（ｂ）个微观状态。

2122、写出 V 原子的能量最低的光谱支项。

( V 原子序数 23 ) _______________。

2123、Cl 原子的电子组态为 [ Ne ] 3s 23p 5， 它的能量最低的光谱支项为____.
2124、请完成下列表格
2125、多电子原子的一个光谱支项为3D2，在此光谱支项所表征的状态中，原子的总轨道角动量等于（a）；
原子总自旋角动量等于（b）；原子总角动量等于（c）；在磁场中，此光谱支项分裂出（d）个蔡曼( Zeeman ) 能级。

2126、Ti 原子(Z = 22) 基态时能量最低的光谱支项为________________ 。

2127、写出下列原子基态时的能量最低的光谱支项：
(1) Be ( Z = 4 )
(2) C ( Z = 6 )
(3) O ( Z = 8 )
(4) Cl ( Z = 17 )
(5) V ( Z = 23 ) ( )
2128、写出基态S，V 原子的能量最低的光谱支项。

( 原子序数S：16 ；V：23 )
2129、求下列原子组态的可能的光谱支项。

(1) Li 1s22s1
(2) Na 1s22s22p63p1
(3) Sc 1s22s22p63s23p64s23d1
(4) Br 1s22s22p63s23p64s23d104p5
2130、写出基态Fe 原子(Z=26) 的能级最低的光谱支项。

2131、Co3+和Ni3+的电子组态分别是[Ar]3d6和[Ar]3d7，预测它们的能量最低光谱支项，。

2132、氢原子分别属于能级：(1) -R，(2) -R/9 ，(3) -R/25 的简并度为：，，。

2133、对n s1n's1组态，其总自旋角动量可为（a），其总自旋角动量z分量可为（b），总自旋角动量与z轴可能的夹角为（c）。

2134、H 原子(气态)的电离能为13.6 eV，He+(气态)的电离能为_______ eV。

2135、Li 原子基组态的光谱项和光谱支项为______________________ 。

2136、描述单电子原子运动状态的量子数( 不考虑自旋－轨道相互作用)是____________ 。

2137、在一定的电子组态下，描述多电子原子运动状态的量子数 ( 考虑自旋－轨道相互作用 ) 是
_________________________________ 。

2138、1eV 的能量是指_____________________。

1a.u. (原子单位) 的长度为________________。

1a.u.(原子单位) 的质量为______________。

1a.u. (原子单位) 的电荷为______________。

1a.u. (原子单位) 的能量为______________。

1a.u. (原子单位) 的角动量为______________。

2139、在径向分布函数图(D (r )－r ) 中，n s 原子轨道有（a ）个节点，n d 则有（b ）个节点，两者不同是因
为（c ）。

2140、对氢原子 1s 态：
(1) 2
ψ在 r 为_______________处有最高值； (2) 径向分布函数 224ψr π在 r 为____________处有极大值；
(3) 电子由 1s 态跃迁至 3d 态所需能量为_____________。

2141、B 原子基态时最稳定的光谱支项为2P 3/2，则 Cl 原子基态时最稳定的光谱支项为
_________________。

2142、氢原子s ψ1在 r =a 0和 r =2a 0处的比值为_____________。

2143、4f 轨道有 个径向节面？ 角度节面？ 总节面数？
2144、两个原子轨道1ψ和2ψ互相正交的数学表达式为_______________。

2145、某多电子原子的一个光谱支项为3D 2。

在此光谱支项所表征的的状态中，原子的轨道角动量为______，
原子的自旋角动量为______，原子的总角动量为___________，在外磁场作用下，该光谱支项将分
裂为_______个微观状态。

2146、量子数为L 和S 的一个谱项有多少个微观状态 ？
二、选择填空题（选择正确的答案填在后面的括号内）
2201、已知ψ=
Y R ⨯ = ΦΘ⨯⨯R ，其中Y R ,,,ΦΘ皆已归一化，则下列式中哪些成立？-------（ ） (A)⎰∞=021d r ψ ; (B)⎰∞=021d r R ; (C)⎰⎰∞=0π2021d d φθY ; (D)⎰=π
021d sin θθΘ 2202、对氢原子Φ方程求解，以下叙述何者有错？-------（ ）
(A) 可得复数解()φΦm A m i ex p =
(B) 根据归一化条件数解1d ||202=⎰πφm Φ，可得 A=(1/2π)1/2
(C) 根据m Φ函数的单值性，可确定 │m │= 0，1，2，…，l
(D) 由Φ方程复数解线性组合可得实数解
2203、氢原子处于z p 2ψ状态时，电子的角动量--------- ( )
(A)在 x 轴上的投影没有确定值， 其平均值为 1； (B)在 x 轴上的投影有确定值， 其确定值为 1
(C)在 x 轴上的投影没有确定值， 其平均值为 0 ； (D)在 x 轴上的投影有确定值， 其值为 0
2204、氢原子处于z p 2ψ状态时， 电子的角动量--------- ( )
(A)在 x 轴上的投影没有确定值， 其平均值为 0
(B)在 x 轴上的投影没有确定值， 其平均值为 1
(C)在 x 轴上的投影有确定值， 其确定值为 0
(D)在 x 轴上的投影有确定值， 其确定值为 1
2205、H 原子3d 状态的轨道角动量沿磁场方向有几个分量----------- ( )
(A) 5； (B) 4； (C) 3 ； (D) 2
2206、H 原子的s 轨道的角动量为 -------------------------------- ( )
(A) π2h ； (B) π22h (C) 0； (D) -π2h
2207、已知径向分布函数为D (r )，则电子出现在内径r 1= x nm ， 厚度为 1 nm 的球壳内的概率P 为------ ( )
(A) P = D (x +1)∑-D (x ) ；(B) P = D (x ) ；(C) P = D (x +1) ；(D)()⎰+=
1d x x r r D P
2208、原子的电子云形状应该用 ______________________ 来作图。

(A) Y 2 ； (B) R 2 ； (C) D 2 ； (D) R 2Y 2
2209、径向分布函数是指 ----------------------------------- ( )
(A) R 2 ； (B) R 2d r ； (C) r 2R 2 ； (D) r 2R 2d r
2210、s n ψ对r 画图，得到的曲线有：-------------- ( )
(A) n 个节点 ； (B) (n +1) 个节点 ； (C) (n -1) 个节点； (D) (n +2) 个节点 2211、R l n ,(r )-r 图中，R = 0称为节点，节点数有：--------- ( )
(A) (n -l ) 个； (B) (n -l -1) 个 ； (C) (n -l +1) 个； (D) (n -l -2) 个
2212、已知 He +处于311ψ 状态， 则下列结论何者正确？-------( )
(A) E = -R /9 ；（B ）简并度为 1；(C) 径向分布函数的峰只有一个 ；(D) 以上三个答案都不正确 2213、电子在核附近有非零概率密度的原子轨道是： ------------------- ( )
（Ａ）p 3ψ； （Ｂ）d 4ψ ； （Ｃ）p 2ψ ； （Ｄ）2s ψ
2214、Be 2+ 的 3s 和 3p 轨道的能量是 ： ------------------------- ( )
(A) E (3p) >E (3s)； (B)E (3p) < E (3s) ； (C) E (3p) = E (3s)
2215、试比较哪一个原子的 2s 电子的能量高？----------------------- ( )
(A) H 中的 2s 电子； (B) He +中的 2s 电子 ； (C) He ( 1s 12s 1 ) 中的 2s 电子
2216、在多电子原子体系中， 采用中心力场近似的H
i ˆ可以写为：------------------------- ( ) ()i i i r εZe m H 0π-∇π-=481 A 222ˆ； ()∑≠00π+π-∇π-=j i j i i i i r εe r εZe m H ,22224481 B ˆ ()()i
i i i r εe σZ m H 0π--∇π-=481 C 222ˆ 2217、Mg (1s 22s 22p 63s 13p 1) 的光谱项是：___________________ 。

(A) 3P ，3S ； (B) 3P ，1S ； (C) 1P ，1S ； (D) 3P ，1P
2218、组态为 s 1d 1的光谱支项共有：---------------------------- ( )
(A) 3 项； (B) 5 项 ； (C) 2 项 ； (D) 4 项
2219、He 原子光谱项不可能是： --------------------------------- ( )
(A) 1S ； (B) 1P ； (C) 2P ； (D) 3P ； (E) 1D
2220、基态 Ni 原子可能的电子排布为：
(A) 1s 22s 22p 63s 23p 63d 84s 2 ；(B) 1s 22s 22p 63s 23p 63d 94s 1
由光谱实验确定其能量最低的光谱支项为 3F 4，试判断它是哪种排布？---------- ( )
2221、s 1p 2组态的能量最低的光谱支项是：------------------------- ( )
(A) 4P 1/2 ； (B) 4P 5/2 ； (C) 4D 7/2 ； (D) 4D 1/2
2222、已知 Ru 和 Pd 的原子序数分别为 44 和 46 ， 其能量最低的光谱支项分别是 5F 5和 1S 0，则这两
个原子的价电子组态应为哪一组？
A B C D E Ru
s 2d 6 s 2d 6 s 2d 6 s 1d 7 s 1d 7 Pd s 2d 8 s 1d 9 s 0d 10 s 0d 10 s 2d 8
2223、钠原子的基组态是3s 1，激发组态为 n s 1(n ≥4)，n p 1(n ≥3)，n d 1(n ≥3)，试问钠原产生下列哪条谱线？
(A) 2D 3/2 → 2S 3/2 ； (B) 2P 2 → 3D 2 ； (C) 2P 3/2 → 2S 1/2 ； (D) 1P 1 → 1S 0
2224、三价铍离子 ( Be 3+ ) 的 1s 轨道能应为多少 -R ? --------------------- ( )
(A) 13.6 ； (B) 1 ； (C) 16 ； (D) 4 ； (E) 0.5
2225、银原子光谱的特征峰为双峰是因为：------------------ ( )
(A) 自旋－自旋偶合 ； (B) 自旋－轨道偶合； (C) 轨道－轨道偶合； (D) 有不同价态的银 2226、在 s 轨道上运动的一个电子的总角动量为： ------------------ ( )
(A) 0 ； (B) 2πh 23； (C) 2πh 21 ； (D) 2πh 2
3 2227、用来表示核外某电子运动状态的下列各组量子数 ( n ，l ，m ，m s )中，合理的是：------------------ ( ) (A) ( 2， 1， 0， 0 )； (B) ( 0， 0， 0， 1/2 ) ； (C) ( 3， 1， 2， 1/2 )
(D) ( 2， 1， -1， -1/2 ) ； (E) ( 1， 2， 0， 1/2 )
2228、对于单电子原子， 在无外场时， 能量相同的轨道数是：------------------- ( )
(A) n 2 ； (B) 2(l +1) ； (C) 2l +1； (D) n -1； (E) n -l -1
2229、处于原子轨道()φθr ,,322ψ中的电子， 其轨道角动量向量与外磁场方向的夹角是：------------- ( )
(A) 0° (B) 35.5° (C) 45°
2230、已知一个电子的量子数 n ， l ， j ， m 分别为 2，1，3/2，3/2，则该电子的总角动量在磁场方向
的分量为：---------------------------- ( )
(A) 2πh ； (B) 2πh 23 ； (C) 2π-h 23 ； (D) 2πh 2
1设在球坐标系中， 2231、玻尔磁子是哪一种物理量的单位：---------------------------- ( )
(A) 磁场强度 ； (B) 电子在磁场中的能量； (C) 电子磁矩 ； (D) 核磁矩
2232、基态钠原子的价层电子组态为3s 1，其激发态可为n s 1(n ≥4)，n p 1(n ≥3)，n d 1(n ≥3)，n f 1(n ≥4)，问
下列各种跃迁中，哪个是允许的跃迁？---------------- ( )
(A) 2D 3/2 → 2S 1/2 ； (B) 3P 2 → 3D 2 ； (C) 2F 7/2 → 2D 5/2 ； (D) 1P 1 → 1S 0
2233、对氢原子基态的Y 函数，下列结论哪个是错误的：-----------------------------( )
(A)
π=⎰⎰ππ4d d sin 020φθθ ； (B) 1d d sin 0202020,2=⎰⎰ππφθθΘΘ； (C) 1d d sin 020=⎰⎰ππ
φθθ； (D)π=410,0Y
2234、已知，Y 是归一化的，下列等式中哪个是正确的：-----------------------------( )
(A)
4d d sin 02020,1π=⎰⎰ππφθθY ； (B) 1d 2=r ψ ； (C) ()()r r r τφθr R φθd d ,,22200=⎰⎰2π=π=ψ； (D) π=⎰⎰4d d sin cos 2φθθθ
2235、对于氢原子的ns 态，下列哪个是正确的：-----------------------------( )
(A)τr τψψd 4d 222⎰⎰π= ； (B)τr τR ψd 4d 222⎰
⎰π= ； (C)
φθθr r τR ψd d sin d d 222⎰⎰⎰⎰=； (D)22224ns ψR r r π= 2236、就氢原子波函数x ψp 2和x ψp 4两状态的图像，下列说法错误的是：----------------( )
(A)原子轨道的角度分布图相同； (B)电子云图相同 ；
(C)径向分布图不同； (D)界面图不同
2237、钪原子(Sc)的电子排布为[Ar]3d 14s 2，这是根据：
(A)E E d 3s 4< ； (B)E E d 3s 4>； (C)使体系总能量保持最低； (D)轨道能高低次序
2238、１原子单位质量是：----------------------------------------------( )
(A) 1.6×1027-kg ； (B) 0.91×1031-kg ； (C) 1.6×1030-kg ； (D) 0.91×1027-kg 2239、已知氢原子处于nlm ψ态，则在0～r 球面内电子出现的概率为：------------------- ( ) (A)2nlm ψ； (B)⎰r nlm r r ψ022d ；(C)()⎰r r r r D 02d ； (D φθr θr r
nlm ψd d d sin 200022⎰⎰⎰ππ (E)φθr θr r
nlm ψd d d sin 200022⎰⎰⎰ππ 2240、Cu 的光谱基项为2S 1/2，则它的价电子组态为哪一个？------------------------------ ( )
（A ）s 1d 10 ；（B ）s 2d 9 ；（C ）s 2d 10 ；（D ）s 1d 9 ； (E) s 2d 8
三、是非题（在正确的题号后画√，错误的题号后画×）
2301、在多电子原子中， 单个电子的动能算符均为222
8∇π-m
h 所以每个电子的动能都是相等的。

2302、原子轨道是指原子中的单电子波函数，所以一个原子轨道只能容纳一个电子。

2303、求解氢原子的Schr ödinger 方程能自然得到 n ， l ， m ， m s 四个量子数。

2304、解H 原子()φΦ方程式时，由于波函数φm i e
要满足连续条件，所以只能为整数。

2305、z y x p 4p 4p 4,,ψψψ分别为：410141411,,ψψψ-。

2306、2p x 、2p y 、2p z 是简并轨道，它们分别可用三个量子数表示：
2p x ： (n =2， l =1， m =+1)
2p y ： (n =2， l =1， m =-1)
2p z ： (n =2， l =1， m =0 )
2307、对单电子原子来说， 角量子数 l 确定后， 它的轨道角动量矢量是能够完全确定的。

2308、在原子中，磁量子数m 相同的原子轨道角动量的大小不一定相同。

2309、在单电子原子中，磁量子数m 相同的轨道，其角动量的大小必然相等。

2310、已知氢原子2p z 电子云的角度分布图为相切于原点的两球面。

下列说法正确者在括号内画 √， 错
者画 × 。

（1）电子出现在该曲面(即两球面，下同)上任意两点的概率密度相等平；( )
（2）电子出现在该曲面上任意一点的概率密度总大于出现在曲面外面任意一点概率密度；
( )
（3）电子出现在该曲面内部的概率大于出现在曲面外部的概率； ( )
（4）电子出现在该曲面内部任意一点的概率密度总大于出现在曲面外部任意
一点的概率密度； ( )
（5）电子只在该曲面上运动。

( )
2311、在径向分布图中， 节点前后图像的符号恰好相反。

2312、氢原子 1s 态在离核 52.9 pm 处概率密度最大。

2313、氢原子 1s 轨道的径向分布函数最大值在r =a 0处的原因是1s 轨道在r =a 0处的概率密度最大。

2314、第四周期各元素的原子轨道能总是E （4s ）< E （3d ）。

2315、多电子原子中单电子波函数的角度部分和氢原子是相同的。

2316、由组态 p 2导出的光谱项和光谱支项与组态 p 4导出的光谱项和光谱支项相同，其能级次序也相同。

2317、电子自旋量子数 s = ±1/2。

2318、210ψ 与
z ψp 2代表相同的状态----------------- ( ) 2319、211ψ 与x
ψp 2代表相同的状态----------------- ( ) 2320、若)(r R nl 已归一化，则1)()(=⎰dr r r R R nl nl 。

---------------- ( )
2321、离核愈近，值愈21s ψ大。

---------------- ( )
2322、离核愈近，D (= r 2R 2) 值愈大。

---------------- ( )
四、简答题
2401、回答有关 Li 2+ 的下列问题：
(1)写出 Li 2+ 的薛定谔方程；
(2)比较 Li 2+ 的 2s 和 2p 态能量的高低。

2402、氢原子中处于 z p 2ψ状态的电子，其角动量在x 轴和y 轴上的投影是否具有确定值？ 若有，其值是
多少？若没有，其平均值是多少？
2403、一个电子主量子数为 4， 这个电子的 l ， m ， m s 等量子数可取什么值？这个电子共有多少种可
能的状态？
2404、对于H 原子2s 和2p 轨道上的电子，平均来说，哪一个离核近些？
()020230s 2e 21221a r a r a r R -⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=
()020230
p 2e 1621a r a r a r R -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= （积分公式0!d e 10>=+∞
-⎰a a n x x n ax n ，）
2405、碳原子 1s 22s 22p 2组态共有 1S 0，3P 0，3P 1，3P 2，1D 2等光谱支项，试写出每项中微观能态数目及按照
Hund 规则排列出能级高低次序。

2406、对谱项 3P ， 1P ， 1D 和 6S 考虑旋轨偶合时，各能级分裂成哪些能级？
2407、求下列谱项的各支项，及相应于各支项的状态数：
2P ； 3P ； 3D ； 2D ； 1D
2408、求氢原子光谱中波长最短的谱线的波长值，这个波长值的能量有什么意义。

2409、给出 1s ， 2p 和 3d 电子轨道角动量的大小及其波函数的径向和角度部分的节面数。

2410、氢原子中的电子处在 3d 轨道之一，它的轨道量子数 n ，l ，m 的可能值各是多少？
2411、已知Li 2+处于φθ2sin )/exp(sin )/3(2002a a r r N -状态，确定轨道符号、节面数及其形状和
位置。

2412、已知Li 2+处于φθ2sin 2)0/exp(02sin )/3(a a r r N -状态，确定轨道节面数及其形状和位置。

2413、下面各种情况最多能填入多少电子：(1) 主量子数为n 的壳层；(2) 量子数为n 和l 的支壳层；(3) 一
个原子轨道；(4) 一个自旋轨道。

2414、某元素的原子基组态可能是s 2d 6，也可能是s 1d 7 实验确定其基态光谱支项为5F 5，请确定其组态。

2415、某元素的原子基组态可能是s 2d 3，也可能是s 1d 4 ，实验确定其能量最低的光谱支项为6D 1/2，请确定
其组态。

2416、指出氮原子下列五种组态的性质：基态、激发态或不允许。

1s 2s 2p 3s
(a) ↑↓ ↑↓ ↑ ↑ ↓
(b) ↑↓ ↑↑ ↑ ↑ ↑
(c) ↑↓ ↑↓ ↑ ↑ ↑
(d) ↑ ↑↓ ↑ ↑ ↑ ↓
(e) ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑
2417、确定下列体系基态的多重性。

(1) a =2b ， 二维势箱中10个电子；
(2) a =b =c ，三维势箱中11个电子；
(3) Cr(Z =24)原子的基谱项。

2418、考察钙原子的一个4s 电子激发到(i)4p 和(ii)3d 亚层的情况，推导两个组态的谱项和光谱支项，运用
下列选择定则，根据在这些激发态之间的跃迁来解释观察到的钙的发射光谱。

L =±1
J =±1，0 (J =0→J =0除外)
──┰┰─┰────┰┰───┰── ┃┃ ┃ ┃┃ ┃ ──┸┸─┸────┸┸───┸── 2419、计算氢原子1s 电子离核的平均距离。

（已知：0
e
12
30s
1a -r αψ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡π1=， 1,0!d e 10
->>=+∞
-⎰
n a a n x x n ax n ，）
2420、已知Li 2+处于
θa r a r N a -r ψcos e 336000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=，根据节面规律判断，n ，l 为多少？并求该状态的能量。

五、证明题
2501、证明氢原子的
Φ方程的复函数解()φΦm i 2
1e π21
±=
是算符φ
h M
∂∂π=2ˆ的本征函数。

而实函数m φm φsin 1cos 1212211π
=π=
φφ，不是M ˆ的本征函数。

2502、证明具有奇数个电子的体系总是具有偶数的多重度，具有偶数个电子的体系总是具有奇数的多重度。

六、计算题
6001、已知 Li 2+ 的 1s 波函数为
32
130s
1e 27a r -α⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡π=ψ
(1)计算 1s 电子径向分布函数最大值离核的距离； (2)计算 1s 电子离核平均距离； (3)计算 1s 电子概率密度最大处离核的距离。

（
10
!d e +∞
-=⎰
n ax n a n x x ）
2602、已知类氢离子 sp 3杂化轨道的一个波函数为： x p s 3
sp 2
321
φφψ
+=
求这个状态的角动量平均值的大小。

2603、已知 H 原子的
()
θa r a a r z cos e 241
002130p 2-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛π=
ψ 试回答： (1) 原子轨道能 E 值； (2) 轨道角动量绝对值│M │； (3) 轨道角动量和 z 轴夹角的度数。

2604、已知 H 原子的一波函数为
()φθa r A φθr a r 2sin sin e
,,0
32
0-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=ψ 试求处在此状态下电子的能量E 、角动量 M 及其在z 轴上的分量M z 。

2605、氢原子基态波函数为0
e
12
130a r a -⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛π，求氢原子基态时的平均势能。

2606、H 原子中的归一化波函数121332023111-++=ψψψψc c c 所描述的状态的能量、角动量和角动量的
z 轴分量的平均值各为多少？121320311-ψψψ和，是H 原子的归一化波函数。

2607、计算基态氢原子中的电子出现在以 2a 0为半径的圆球内的概率。

e 12
130s
1a -r α⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛π=ψ ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰322
22e d e a a x a x x x ax ax n
2608、H 原子的z p 2ψ轨道上的电子出现在︒=45θ的圆锥内的概率是多少？
()θa r a a Zr z
cos e 12410
20
2
3021p 2-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛π=ψ 2609、已知H 原子处在s 2ψ状态，求：
(1) 径向分布函数的极大值离核的距离； (2) 概率密度极大值离核距离；
(3) 节面半径。

()0
02
30s 2e 21221a r a r a r -⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=
ψ。

2610、求出 Li 2+ 1s 态电子的下列数据：
(1) 电子概率密度最大处离核距离； (2) 电子离核的平均距离；
(3) 单位厚度球壳中出现电子概率最大处离核的距离； (4) 2s 和 2p 能级的高低次序； (5) 电离能。

( 已知：()，0e π12
3021s
1a Zr a Z -⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=ψ1
0!d e +∞-=⎰n ax n a n x x ) 2611、已知 H 原子()θa r a a r z cos e 12410
20
2
3021p 2-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛π=
ψ，试回答 ： (1) 节面的数目、位置和形状怎样？ (2) 概率密度极大值的位置在何处？ (3) 画出径向分布图。

2612、写出 He 原子的薛定谔方程， 用中心力场模型处理 He 原子问题时， 要作哪些假定？ 用光激发
He 原子， 能得到的最低激发态又是什么？ 此激发态的轨道角动量值是多少？ 2613、已知He +处于
()()
1cos 3e 6811222
3021320
-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛π=-θσa Z σψ 态，式中()0/a Zr σ=求其能量E 、轨道角动量┃M ┃、轨道角动量与z 轴夹角，并指出该状态波函数的节面个数。

2614、已知He +处于波函数1421323212104
1234241
ψψψψψ+++=
状态，计算：(1)E =-R /4出现的概率，(2)M 2=22
出现的概率，(3)M z =- 出现的概率。

第二章、原子结构答案
2100、填空题（在划线处填上正确答案）
2101、ψψE r εe m
h =⎥⎦⎤⎢⎣⎡π-∇π-2022
2438
式中：
z
y
x
∂∂+
∂∂+
∂∂
=∇
2
22
22
22
r = ( x 2+ y 2+ z 2)1/2 2102、(a) -13.6 eV ；(b) 0；(c) 0；(d) 2,0,0；(e) 0
2103、()
j i E r εe r εe m h ψψi i j ij i i i ≠=⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡π+π-∇π-∑∑∑∑====2 41414102024122421448 2104、(a) 0；(b) 0；(c) 2.618 a 0 2105、2
2106、(a) n , l (b) l , m (c) m 2107、n =3, l =1, m =0 。

2108、π±π,±22,0h h 2109、(a)(
)
R c c c 944321
222
++-
(b) 出现在
π22h 的概率为 1
(c) ()
π-22
322h c c
2110、(a)(
)
R c c c 944321
222
++-
(b) c 12+ c 22 (c)
2
(d) 1
(e)c c 3222- (f) 0 2111(a) A, B, C (b) A, B, C (c) A, C 2112、1s, 2s, 3s, 2p z , 3p z , 32d z
213、(a) -1.511 (b) r 及θ
(c) 能量以及角动量大小 2114、(a) -1.51 eV (b)
π26h
(c) 66°
2115、(a) 根据径向部分节面数定义: n - l – 1， 则为 0 (b) 角度部分节面数为 l , 即 2 2116、(a) 2
2)(r r r nl
nl R D ⎪⎭
⎫ ⎝⎛= (b)
⎰
+⎪⎭
⎫ ⎝⎛100
2
200
d a a nl
r r r R 2117、(a) 核附近 (b) 离核 a 0处 2118、(a) 2
(b) -1.51 eV (c) ( 6 )1/2 h /π2 (d) 65.90 2119、(a) 3
(b) 1 (c) 0 2120、E 1> E 2> E 3
2121、(a) (2L +1)(2S +1) (b) 5
2122、V ( 1s 22s 22p 63s 23p 64s 23d 3)
4F 3/2 2123、2P 3/2 2124、
Z
24
29
44
41
2125、(a) π26h (b) π22h (c)
π26h
(d) 5 2126、Ti [Ar] 4s 23d 2 3F 2 2127、(1) 1S 0 (2) 3P 0 (3) 3P 2 (4) 2P 3/2 (5) 4F 3/2 2128、S: 3P 2 V: 4F 3/2 2129、(1) 2S 1/2 (2) 2P 3/2 , 2P 1/2 (3) 2D 5/2 , 2D 3/2 (4) 2P 3/2 , 2P 1/2
2130、5D 4 （Fe (1s)2(2s)2(2p)6(3s)2(3p)6(4s)2(3d)6 ）
2131、Co 3+：5D 4 ； Ni 3+：4F 9/2 2132、(1) 1 ; (2) 9 ; (3) 25 .
2133、(a) π2h , 0 (b) π±2h , 0 (c) 45°, 90°, 135° 2134、54.4 eV 2135、2S ，2S 1/2
2136、n , l , m , m s 2137、L , S , J , M J
2138、一个电子的电量 (e) 改变 1 伏特 (V) 电势所需之能量。

a 0或 52.9 pm m e 或 9.109×10-31kg
e 或 1.602×10-19 C 两个电子相距 a 0的势能或 27.2 eV .
π2h 或 1.0546×10-34 J ·s
2139、(a) n -1, (b) n -3, (c) d 轨道有两个径向节面。

2140、(1) O 或核附近 (2) a 0 或 52.3 pm (3) 8×13.6/9 eV
2141、2P 3/2 2142、e
2143、4f 轨道径向节面为 n -l -1=0 角度分布节面为 l =3个 总节面数为 n -1=3个 2144、
0d 2
*1
=⎰τψψ
2145、
π26h ；π22h ；π
26h ；5 2146、(2L +1)(2S +1)
2200、选择填空题（选择正确的答案填在后面的括号内） 2201、(D) 2202、(C)
2203、(D) 2204、(A) 2205、(A) 2206、(C) 2207、(D) 2208、(D) 2209、(C) 2210、(C) 2211、(B) 2212、(D) 2213、(D)
2214、(A) 2215、(A) 2216、(C) 2217、(D) 2218、(D) 2219、(C) 2220、(A) 2221、(A) 2222、(D) 2223、(C) 2224、(C) 2225、(B) 2226、(B) 2227、(D) 2228、(C) 2229、(B) 2230、(B) 2231、(C) 2232、(C) 2233、(C) 2234、(C) 2235、(D) 2236、(B) 2237、(C) 2238、(B) 2239、(E) 2240、(A)
2300、判断题2301、×2302、×
2303、× 2304、× 2305、× 2306、× 2307、× 2308、√ 2309、× 2310、全部为×
2311、× 2312、× 2313、× 2314、× 2315、√ 2316、× 2317、× 2318、√
2319、× 2320、×
2321、√ 2322、× 2400、简答题
2401、(1) ψψψE r
εe m h =π-∇π-2022
2438
(2) 能量相同
2402、在 x 轴和 y 轴均无确定值 ， 其平均值均为 0
2403、l ：0, 1, 2, 3 m ：0,±1, ±2, ±3 m s ：±1/2 总的可能状态数：2 ( 1 + 3 + 5 + 7 ) = 32 种
2404、02
2023003
s
26d e 212210a r a r a r r
a r =⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-∞⎰
02
2023003
p
25d e 16210a r a r a r r
a r =⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-∞
⎰ 平均来说, 2p 电子离核比 2s 电子要近。

2405、能级由高到低次序为 : 1S 0 1D 2 3P 2 3P 1 3P 0 微观能态数 1 5 5 3 1 2406、考虑到旋轨偶合, 引出量子数 J , 光谱项分裂成光谱支项 3P: 3P 2 , 3P 1 , 3P 0 分裂成 3 个能级
1P: 1P 1不分裂 1D: 1D 2不分裂 6S: 6S 5/2 不分裂 . 2407、2P: 光谱支项为 2P 3/2 , 2P 1/2,其状态数分别为4和20 。

3P: 光谱支项为 3P 2 , 3P 1 , 3P 0 , 其状态数分别为 5, 3, 1 。

3D: 光谱支项为 3D 3 , 3D 2 , 3D 1 , 其状态数分别为 7, 5, 3 。

2D: 光谱支项为 2D 5/2 , 2D 3/2, 其状态数分别为 6, 4。

1D: 光谱支项为 1D 2 , 其状态数为 5 。

2408、⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=2221
11~~n n R νH nm 191m 1011.910
.λ=⨯=-
此波长所对应的能量 : E = 1239.8/91.1 eV = 13.609 eV 是氢原子的电离能。

2409、
轨道 角动量
径向分布节面数
角度部分节面数
()π+=21h l l M
n -l -1 l 1s 0
0 0 2p π2h 0 1 3d
π26h
2
2410、n =3, l =2, m =0, 或±1, 或±2
2411、n =3,l =1,│m │=1, 又θθr cos sin =x 故为3p x 轨道
节面数 n -1=2 个，其中球节面数 n -l -1=1 个在r =2a 0处，
角节面数 l =1 个在yz 平面。

2412、n =3,l =2,│m │=2, φθr 2sin sin 22=xy 故为xy d 3轨道
节面数 n -1=2 个,其中球节面数 n -l -1=0 ,角节面数 l =2 个。

由φθ2sin sin 2=0确定为xz 平面,yz 平面。

2413、2n 2；2(2l +1)；2；1；
2414、
s 2d 6 的基谱项:
m 2 1 0 -1 -2 ∑m =2×2+1+0-1-2=2 L =2 512 2 2)21(1215=+==-⨯+⨯=∑S S m S J =L +S =4 谱项为5D 4
s 1d 7的基谱项:
m 0 2 1 0 -1 -2
∑m =0+2×2+1×2+0-1-2=3 L =3 ()
512 2 212216=+=-⨯+⨯=∑S S m S J =L +S =5 谱项为 5F 5
根据题意该原子的基组态为 s 1d 7
2415、
s 2d 3 的电子排布为
m 2 1 0 -1 -2 ∑m =2+1+0=3 L =3 412 23 23213=+==⨯=∑S S m S
J =L -S =3/2 谱项为4F 3/2
s 1d 4的电子排布为:
m 0 2 1 0 -1 -2
∑m =0+2+1+0-1=2 , L =2 612 25 25215=+==⨯=∑S S m S
J =| L – S |=1/2
谱项为6D 1/2 根据题意该原子的基组态为s 1d 4。

也可用多重态 2S +1=6, S =5/2 必为s 1d 4组态来解。

2416、(A) 激发态
(B) 不允许
(C) 基态
(D) 激发态 (E) 激发态
2417、(1) 二维势箱(a =2b )的能级表达式为
()
2222222224328y x y x n n mb h b n a n m h E +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= n x n y E (以h 2/(32mb 2)为单位) 电子排布 1 1 5 ↑↓ 2 1 8 ↑↓
3 1 13 ↑↓
1 2 17 ↑↓
2 2 20 ↑↓
4 1 20 ↑ ↑
S =1 2S +1=3
(2) 三维势箱(a =b =c )的能级表达式为 ()
222228z y x n n n ma h E ++= n x n y n z E (以h 2/(32mb 2)为单位) 电子排布
1 1 1 3 ↑↓
1 1 2
1 2 1 6 ↑↓↑↓↑↓
2 1 1
1 2 2
2 2 1 9 ↑↑↑
2 1 2
S=3/22S+1=4
(3) Cr基组态4s13d5,5个d电子分占轨道且自旋平行。

4s3d
S=6×1/2=3 2S+1=7
M L=∑m=0+2+1+0-1-2=0
L=0 J=L+S=4
故为7S4.
2418、Ca的基组态为[Ar]4s2
激发组态谱项光谱支项
4s14p13P 3P23P13P0
4s14p03d13D 3D33D23D1
J
3D ────┰──────── 3
┃
──┰─╂─────┰── 2
─┰╂─╂────┰╂┰─ 1
┃┃┃┃┃┃
┃┃┃┃┃┃
3P ─┸┸─┸────╂╂╂─ 2
┃┃┃
─────────┸┸╂─ 1
───────────┸─0
──┰┰──┰───┰┰──┰──
┃┃ ┃ ┃┃ ┃ ──┸┸──┸───┸┸──┸── 2419、r r r r rD r s ψd 4d 21020⎰⎰∞
∞
π== =r a r r r a d e 114023002-∞ππ⎰
=r a r r a d e 402030
3-∞
⎰ =∞
+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅0130302!34a a
=3a 0/2
2420、（1）根据角度函数部分，,90,0cos ==θθxy 平面为节面，l =1。

（2）根据径向节面数为n-l -1,径向函数部分只有当0360
=-a r ，才有径节面，r =2a 0为径节面，则n -l -1=1,3,1==n l 所以因。

eV 6.13eV 3
3
6.1322
-=⨯-=n E
2500、证明题 2501、()
()m h M m φz Φi e 212i ˆi 21±ππ=± ()π±=π±
=±2e 2i 23hm φhm m φ π2hm 为确定的常数, 则复函数 ()
m φΦi 21e 21-π= 是算符 z M ˆ 的本征函数。

按相似方法进行运算, 对实函数得不到常数乘
原函数,故不是z
M ˆ的本征函数。

2502、对于具有n 个电子的体系,其总的自旋量子数S 为
S =n /2,n /2-1,n /2-2,...,0或1/2
设S =n /2-m 式中m 为非负整数,且m ≤n /2 多重度=2S +1=n -2m +1 因2m 恒为偶数,故当n 为奇数时,2S +1为偶数。

当n 为偶数时,2S +1为奇数。

2600、计算题
2601、(1) r = a 0/ 3 ,
(2) <r > = a 0/2 ,
(3) )
27 ,0302a r ψπ=→ 2602、τM M ψψd ˆ*3sp
2sp 23⎰= 根据正交归一化条件
()π
⎪⎭⎫ ⎝⎛=π=
22322
32122h M h M 2603、(1) (-1/4)×13.6 = -3.4 eV
(2) ()π
2=π⨯=h h M 22 (3) 90° 2604、将波函数与 H 原子一般波函数比较可得 : n = 3 , l = 2 , E = (-1/9)×13.6 eV = - 1.51 eV π=26h M
该波函数为实函数, z xy M d ψψi 232
32320--=无确定值 , 求平均值如下 :
()()022212221=π-⨯+π⨯=h h M z 2605、⎰⎰==τV τV V ψψψd d 2*
r φθθr r εe a a r d d d sin 4e 12022020300⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛π-π=-∞
ππ0⎰⎰⎰ 0
02
4a εe π-= 2606、考虑到波函数的正交性和归一化可得
()()()222222233321R c R c R c E -+-+-= R 为里德堡常数 (13.6 eV)
()()π-+⨯+π=π+π+=π
+π+π=202622 2226222322212223
21232221h c c h c M h c h c c h c h c h c M z
2607、
7618.0 d e 4 d d d sin 00202230
020221s ===⎰⎰⎰⎰-∞
ππ0a a r r r a r
φθθr P ψ 2608、r φθθθr r αP a r d d d sin cos e 321220202250
0⨯π=⎰⎰⎰∞π︒450- = 0.3232
2609、(1) 0.764a 0，5.236a 0
(2) 0， 4a 0
(3) 2a 0
2610、(1) 0
(2) a 0/ 2
(3) a 0/ 3
(4) 相等
(5) 122.4 eV
2611、(1) 1 个节面 , 位置在通过坐标原点的 xoy 面上 , 平面形。

(2) 在 z 轴上 , 距原点 2a 0处。

(3) 略
2612、He 原子薛定谔方程为
()
ψψE r e r e r e εm h =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+π-∇+∇π-2122121202221222418 中心力场模型把原子核和两个电子所形成的势场看作是个中心力场, 只是 离核距离的函数。

当用光激发时, 根据跃迁选律: △S =0 ,△L =±1 。

其最低 激发态为 1s 12p 1, 该状态的轨道角动量 │M │= [ l (l +1)]1/2 π2h = π2h
2613、根据题意 该状态 n =3,l =2, m =0, He +`, Z =2
E =-13.6(Z 2/n 2)=-13.6(22/32) eV =-6.042eV
┃M ┃=()() 61221=+=+l l m M z ==0, 说明角动量与z 轴垂直,即夹角为90°
总节面数=n -1=3-1=2个 其中球节面数 n -l -1=3-2-1=0个 角节面数 l =2个 由θ2cos 3-1=0 得 θ1=57.74°, θ2=125.26° 角节面为两个与z 轴成57.74°和125.26°的圆锥面 。

2614、(1) 4
R E -=出现的概率，即R n Z E 22-=，Z =2则n =4。

4R E -=出现的概率为16412=⎪⎭
⎫ ⎝⎛ (2) 12222==l M 则
概率为16412=⎪⎭
⎫ ⎝⎛ (3) 1,-=-=m M z 则
概率为1613234122=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛。