13.2 长程相关与长程互相关分析

t 1,2,，对 考虑一个时间序列 { (t )} ，
于任意正整数 ≥1 ，定义均值序列
1 (t ) t 1
1,2,
累积离差
t X (t , ) ( (u ) ) u 1
1 t
极差 R( ) max X (t , ) min X (t , ) 1 t 1 t
或反记忆性。
2. R/S 分析应用实例：气温与降水过程
的R/S分析
目的：了解塔里木河流域（图13.2.1）气温过
程的长期记忆性行为。
数据：采用塔里木河流域23个气象台站1961
年1月1日~2011年12月31日期间的数据。 方法：对日平均气温序列，做R/S分析，结果 如图13.2.2所示。
图13.2.1 塔里木河流域23个气象台站分布
（3）对于给定的n，用积分信号减去趋势信号，
得到波动信号：
1 N 2 F ( n) [ y(k ) yn (k )] n k 1
（4）取不同的尺度n，重复（1）～（2）两 个步骤，得到在不同尺度 n 下的F(n)。 如果F（n）与n之间存在幂律关系
F (n)

则时间序列具有自相似性或分形性质。 在双对数坐标下，绘出 ln(F(n))~ ln(n) 曲 线，并进行直线拟合，得出其斜率 ，即为 DFA 指数。
1月1日—2011年12月31日期间的数据，
方法：对日平均气温序列，做DFA分析，结果
见图13.2.3。
图13.2.3
日气温过程的DFA分析
二、长程互相关分析
长程相关分析，包括R/S分析与DFA分析等， 揭示了单变量时间序列的长记忆性特征。 消除趋势的互相关性分析（简称DCCA）方法: 研究多变量系统中一个变量随时间的变化
（二）DCCA方法的应用实例
目的：探究日平均气温、日降水量与日蒸 发量间的关系。 数据：塔里木河流域23个气象台站1961
年1月1日—2011年12月31日期间的数据。
方法：DCCA分析，结果如图13.2.4。
图13.2.4 日平均气温、日降水量与日蒸发量之间的DCCA分析
，拟合后的方程作为这个 法来拟合 Rk 和 Rk
盒子中数据的趋势。
然后计算每个盒子剩余部分的协方差：
s 1 2 ˆ )(R R ˆ ) f ( s, v) ( Rk R k ,v k k ,v s k 1
式中： f 2 (s, v) 为长度为s 的划分中第v 个盒子
ˆ 和 R ˆ 分别为第v 个盒子的拟合 R 的剩余协方差； k ,v k ,v
第2节 长程相关与长程互相关分析
长程相关分析
长程互相关分析
长程相关与长程互相关分析： 主要是从长记忆性也称长程相关性或持久 性的视角，研究数据序列的局部与整体之间
的自相似性，以及数据序列之间的互相关系。
关注的是时间序列或空间序列的“记忆”
或内在相关性。
一、长程相关分析
长程相关性分析方法，主要有两种：重标极
N
然后，按照以下步骤进行操作：
（1）计算累积和序列：
Rk X i Yi Rk
i 1 i 1 k
k
划分成 （2）取标度s，将累积生成的 Rk 和 Rk
等长度的互不重叠的盒子，每个盒子均包含s
个数据，共可划分成 Ns int(N / s) 个小盒子。
（3）在每个等长的小盒子中，通过最小二乘
F (s) ~ s 式中，λ即为长程互相关的标度指数。
若λ > 0.5，表明两个序列存在正的长程互相关性。 若λ = 0.5，则表明两个序列之间不存在长程互相 关性。 若λ < 0.5，则两个序列存在负的长程互相关性。
2

若标度指数λ接近于1，则对应于1/f 噪声，两个
时间序列之间也不存在长程互相关性。
图13.2.2
日气温过程的R/S分析
（二）消除趋势的波动分析（DFA）法
1. DFA方法的基本原理 能检测出包含于表面上看来非平稳的时
间序列中内在的自相似性。
还能避免检测出由于外在趋势而导致的
明显的自相似性，即可消除人为合成的
非平稳时间序列中的伪相关现象。
DFA方法的具体算法如下：
i 1,2,..., N }， 考虑一个时间序列{ xi ，
时间序列的长记忆（持续性）过程可由DFA
指数α 来表征。
α= 0.5 时，表示时间序列不存在记忆性，任
意时刻的值与前一时刻的值无关；
0 <α< 0.5，表示时间序列为消极的长程关联
信号，α 越接近0，反记忆行为就越强；
0.5 <α< 1时，表示时间序列为积极的长程关
联信号，且α 越接近1，这种长记忆的行为就
方程。
（4）针对长度为s的划分，对所有盒子的剩余协 方差进行平均，得到去趋势的协方差函数：
1 F ( s) 2Ns
关系，即
2Ns
2 ( f (s, v)) v 1
2 F （5）若 (s) 和标度s 在双对数坐标下服从幂率
F ( s) ~ s
2

则两个变量的时间序列{ xi }和{ yi }之间存在 长程互相关的关系。
差法（R/S 分析法）和消除趋势波动分析法
（DFA 法）。
（一）重标极差分析（R/S 分析）法wk.baidu.com
1. R/S 方法的基本原理
R/S分析法反映的是非线性时间序列统计特征
量的标度不变性。
R/S关系式的存在却说明事件的发生具有长记
忆性，后面事件的发生将受到前面事件的影响。
R/S 方法的具体算法如下：
象，H 称为Hurst指数。
Hurst指数H 的值，可根据计算出的(τ ,
R/S )的值，在双对数坐标系( ln ， ln(R / S ) ）
中用最小二乘法拟合式（13.2.5）得到。
根据H的大小，可判断该时间序列是完全随机的或者
存在趋势性成分，而趋势性成分是表现为持续性，还是反 持续性。
Hurst指数 H一般处于0～1 之间： 当H>0.5 时，全部或部分数据之间满足正相关 性或长记忆性，H 值越接近1，长记忆性就越强； H=0.5 表示研究的时间序列是白噪声序列； H<0.5 表明全部或部分数据之间满足负相关性
1,2,
标准差
1 2
1 2 S ( ) ( (t ) ) t 1
1,2,
考虑比值 R( ) / S ( ) R / S ，若存在如下关系
R / S
H
(13.2.5)
则时间序列{ξ (t) t=1,2,…}存在Hurst现
其中，N是时间序列的长度，消除趋势的波动 分析的步骤如下： （1）对序列中的数据进行积分，方法如下：
y (k ) [ xi x ]
i 1
k
(k 1, 2,
, N)
x 为序列的平均值。 其中，
（2）将序列的积分信号等间隔地分成n个小区
间，然后利用最小二乘法对每个区间进行直线
k 1,2, ,N。 拟合，得到趋势信号 yn(k ) ，
如何影响另一变量随时间的变化，以及变量之
间是否存在长程互相关性。
（一）DCCA分析方法的基本原理
考虑两个变量的时间序列{
x i }和
i 1,2 ,... , N ,N是序列的长度。 { yi }，
首先，将原始序列转换为零均值序列：
X i xi xi Yi yi yi
i 1 i 1 N
越强；
当α=1时，序列为1/f 噪声；
当α> 1时，表明时间序列中存在非幂律关
系形式的长记忆性； 而当α= 1.5时，则时间序列为布朗噪声。
2. DFA方法的应用实例：气温过程的DFA分析
目的：进一步揭示塔里木河流域气温过程的长
期记忆性行为，
数据：采用塔里木河流域23个气象台站1961年