高等数学2第十一章答案

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高等数学第十一章习题

第十一章总习题
1. 填空题
∞
∑ (1)
lim
n→∞
un
= 0 是级数 un 收敛的
n=1
必要
条件,
而不是
充分
条件;
∞
∞
∞
(2) 若级数 ∑un 绝对收敛, 则级数 ∑un 必定收敛 ; 若级数 ∑un 条件收敛,
n=1
n=1
n=1
∞
则级数 ∑ un 必定发散 ; n=1
∞
∞
(3) 级数 ∑un 按某一方式经添加括号后所得的级数收敛是级数 ∑un 收敛的
.
n=1 (n − 1)! 3
n=1 (n − 1)!
n=1 (n − 1)!
93
所以
S ( x)
=
x2 (
+
x
x
+ 1)e3
,
x ∈ (−∞, +∞) .
93
∑ ∑ (4) 令 t = x + 1, 则 ∞ (x + 1)n = ∞ tn . n=0 (n + 2)! n=0 (n + 2)!
设 an
−1)
,
而 lim un+1 n→∞ un
=
lim
n→∞
2(n + 1) 2n+1
−1 2n x2 2n −1
=
x2 2
,
当
x=±
2
时级数
∞
∑
2n
−
1
发散,
所以级数的收敛区间为 (−
2,
2) .
设
n=1 2
∑ S ( x)
=
∞ n=1

高等数学习题册解答_11.线面积分(青岛理工大学).

22R y x =+解:⎰
⎰⎰⎰
--+=-+
+=R
R
H
D dy y
R dz z
R R dydz y
R y z
R I yz
2
2
2
2
2
2
22
2
1. 1212
=2R
H
R y R z R R
H arctan 2].[arcsin][arctan0π=-
3、求曲面积分⎰⎰∑
++ds zx yz xy ( ,其中∑是锥面22y x z +=
=dydz z y x P , , (
(⎰⎰∑1
, , 2dydz z y x P C. (⎰⎰∑-1
, , 2dydz z y x P D.ABC都不对
2.设(0:2222≥=
++∑z a z y x取上侧,则下述积分不等于零的是( A ⎰⎰∑
dydz x 2∑
xdydz C ⎰⎰∑
ydxdy D ⎰⎰∑
0, πA的积分(
(dy y x dx y L
+++⎰213的值最小
解:(([]
30333
44cos sin 2sin 1a a dx x a x a x x a a I +
-=+++=⎰ππ
((
(0811, 014' ' 2
' >=⇒=⇒=-=I a a a I。, 1=a (a I最小,此时x y sin =
第十一章曲线积分与曲面积分§ 1对弧长的曲线积分
1设L关于x轴对称, 1L表示L在x轴上侧的部分,当(y x f ,关于y是偶函数时,

《高等数学》第11章微分方程习题详解

，
即．
再对求导，得
，
即，
所以是所给微分方程的解．
3．确定下列各函数关系式中所含参数，使函数满足所给的初始条件．
（1），；（2），．
解（1）将，代入微分方程，得
所以，所求函数为．
（2），将，分别代入
和，
得
，，
所以，所求函数为．
4．能否适当地选取常数，使函数成为方程的解．
（*）
这是齐次方程．
设，则，，于是（*）式可化为
，
即
，
变量分离，得
，
两端积分，得
，
即
，
将代入上式，得原方程的通解为
．
（2）原方程可写成
，
该方程属于类型，一般可令．
令，有，则原方程可化为
，
即
，
积分得
，
将代入上式，得原方程的通解为
．
习题 11-3
1．求下列微分方程的通解：
（1）；（2）；（3）；
（2），；
（3），；
（4），．
解（1）将代入所给微分方程的左边，得左边，而右边＝2 左边，所以是的解．
（2）将，代入所给微分方程的左边，得左边右边，所以是所给微分方程的解．
（3）将，，代入所给微分方程的左边，得
左边（右边），
所以不是所给微分方程的解．
（4）对的两边关于求导，得
（2）原方程分离变量，得
，
两端积分，得
，
即
，
故原方程的通解为．Biblioteka （3）原方程可化成，
分离变量，得
，
两端积分，得，

高等数学下册第十一章综合练习题答案

第十一章自测题参考答案一、填空题： 1.()⎰Γ++ds R Q P γβαcos cos cos 切向量2.()⎰⎰∑++dS R Q P γβαcos cos cos 法向量3.⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q 4. 0 5. π4 6. π2 7. 0 8.()⎰⎰101,dy y x f dx ， ()⎰⎰-110,dy y x f dx ， 09.()⎰-Lds x x y x P 22,二、选择题：1.C2.C3.A4.A5.D 三、计算题：1.解由于曲线L 表达式中x ,y, z 是对称的，所以⎰Lds x 2=⎰Lds y 2=⎰Lds z 2，故⎰L ds x 2=()⎰++ds z y x 22231=3223223131a a a ds a L ππ=⋅=⎰. 2.解原式=()[](){}⎰+---π20sin cos 1cos 12dt t t t()⎰+=π202sin sindt t t =π202sin 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t =π 3.解记222:y x a z S --=，D ：xoy 平面上圆域222a y x ≤+原式=()dxdy y z x z y x a y x D222221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+--++⎰⎰ =()⎰⎰--⋅--++Ddxdy yx a y x a y x a2222221注意到积分区域D 关于坐标轴的对称性及被积函数的奇偶性知⎰⎰--Ddxdy yx a x 222=⎰⎰--Ddxdy yx a y 222=0，所以原式=⎰⎰Ddxdy a=2aa π⋅=3a π.4.解利用高斯公式原式=()⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x 2其中Ω为S 所围成的空间区域。

由Ω关于坐标平面的对称性知⎰⎰⎰Ωxdxdydz =⎰⎰⎰Ωydxdydz =0，所以，原式=⎰⎰⎰Ωzdxdydz 2=⎰⎰⎰+1222y x D zdz dxdy xy=()⎰⎰--xyD dxdy y x 221=()⎰⎰-12201ρρρθπd d=2412ππ=⋅5.解原式=()()[]()⎰+--π202222sin cos 1cos 1dt t a t a t a=()⎰-π20253cos 12dt t a =⎰π20253sin 8dt at=du u a⎰π53sin 16=315256a 6.解 ()()()()()x f y x Q y x f e y x P x -=+=,,,要使曲线积分与路径无关，当且仅当xQ y P ∂∂=∂∂，即()()x f x f e x '-=+ 解此微分方程可得()x xe Cex f 21-=-，又()210=f ，所以C =1,故()x x e e x f 21-=- 现在计算从()0,0A 到()1,1B 的曲线积分的值.由于积分与路径无关，故选取有向折线________CB AC +进行积分，其中()0,1C 。

高等数学(下册)第11章第7讲高斯公式、通量和散度

P Q R
x
y
z
dV
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
或
P x
Q y
R z
dV
P cos
Q cos
R cos
dS
其中取外侧，cos，cos ，cos 是在点(x, y, z)处的正法向量方向余弦.
注意：格林公式取边界曲线的正向，高斯公式取边界曲面的外侧
3
一、高斯公式
证
Pdydz
xdydz ydzdx zdxdy
3 外
1 3dxdydz 3 4 π 3 4π
3 外
3 3
故 I 0 4π 4π.
11
本讲内容
01 高斯公式 02 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 03 通量和散度
二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
空间二维单连通区域对于空间区域G，如果G 内任一闭曲面所围成的区域全属于G.
空间一维单连通区域如果G内任一闭曲线总可以张成一片完全属于G 的曲面.
空间二维单连通区域空间一维单连通区域
非空间二维单连通区域空间二维单连通区域空间一维单连通区域非空间一维单连通区域
13
二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
定理11.9
设G是空间二维单连通区域，若P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) 在G 内具有
z
Dxy
z z1 ( x, y)
x
R[x, y, z2(x, y)] R[x, y, z1(x, y)]d x d y Dxy
2
Dx y
3 1
y
Rdxdy ( )Rdxdy R[x, y, z2(x, y)] R[x, y, z1(x, y)]d x d y

人教版高中数学必修二第十一章11

例 4 在△ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是 a，b，c，已知 c＝2，
C＝π3. (1)若△ABC 的面积等于 3，求 a，b；
解由余弦定理得a2＋b2－ab＝4. 又因为△ABC 的面积等于 3，所以12absin C＝ 3，得 ab＝4. 联立方程组aa2b＋＝b42，－ab＝4，解得a＝2，b＝2.
例3 为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量.A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图).飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离.请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
解 ①需要测量的数据有A观测M，N的俯角α1，β1，B观测M，N的俯角 α2，β2；A，B间的距离d(如图所示). ②方法一第一步：计算AM. 在△ABM 中，由正弦定理得 AM＝sindsαi1n＋α2α2；第二步：计算AN. 在△ABN 中，由正弦定理得 AN＝sindsβi2n－β2β1；第三步：计算MN.
(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.
解由 cos B＝1157，得 sin B＝187，故 S△ABC＝12acsin B＝147ac. 又 S△ABC＝2，则 ac＝127. 由余弦定理及a＋c＝6，得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)
＝36－2×127×1＋1157＝4. 所以b＝2.
10×3 2
1010＝3
2.
2
(2)求AB边上的中线CD的长.
解由正弦定理，得 AB＝sAinCB·sin∠ACB＝ 120× 55＝2.BD＝21AB＝1. 2
在△BCD 中，由余弦定理，得 CD＝ BD2＋BC2－2BD·BCcos B

高等数学下册第十一章习题答案详解

高等数学下册第十一章习题答案详解1.设L 为xOy 面内直线x a =上的一段，证明：(,)d 0LP x y x =⎰,其中(),P x y 在L 上连续.证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段，则 L ：12x ab t b y t =⎧≤≤⎨=⎩，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故 ()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2.设L 为xOy 面内x 轴上从点(,0)a 到点(,0)b 的一段直线，证明：(,)d (,0)d bLaP x y x P x x =⎰⎰,其中(),P x y 在L 上连续.证：L ：0x xa xb y =⎧≤≤⎨=⎩，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ．故()(),d ,0d bLaP x y x P x x =⎰⎰3.计算下列对坐标的曲线积分: （1）22()d Lxy x -⎰,其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；（2）d Lxy x ⎰，其中L 为圆周()222x a y a -+=(0)a >及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；（3）d d Ly x x y +⎰,其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到π2的一段弧；（4）22()d ()d Lx y x x y y x y+--+⎰,其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针方向绕行）；（5）2d d d x x z y y z +-⎰Γ,其中Γ为曲线,,x k y acos z asin θθθ===上对应θ从0到π的一段弧；（6） 322d 3d ()d x x zy y xy z ++-⎰Γ,其中Γ是从点3,2,1（）到点0,0,0（）的一段直线；（7）d d d x y y z -+⎰Γ,其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里AB C 、、依次为点1,0,0（）、010（，，）、(001)，，；（8）22(2)d (2)d Lx xy x y xy y -+-⎰,其中L 是抛物线2y x =上从点(1,1)-到点(1,1)的一段弧.解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，()()22222435001156d d 3515L x y x x x x x x ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为图11-1cos 0πsin x a a tt y a t =+⎧≤≤⎨=⎩L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a ) 故()()()()()12π20π320ππ32203d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2LL L axy x xy x xy xa a t a a t t x a t t ta t t t ta =+'=⋅++=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)()π20π220π220d d sin sin cos cos d cos 2d 1sin 220Ly x x y R t R t R tR t t Rt tR t +=-+⎡⎤⎣⎦=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π．故()()()()()()222π202π220d d 1cos sin sin cos sin cos d 1d 2πLx y x x y yx y a t a t a t a t a t a t t a a t a +--+=+---⎡⎤⎣⎦=-=-⎰⎰⎰(5)()()()2π220π3220π3320332d d d sin sin cos cos d d 131ππ3x xz y y zk k a a a a k a k a k a Γθθθθθθθθθθ+-=⋅+⋅--=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰(6)直线Γ的参数方程是32=⎧⎪=⎨⎪=⎩x t y t z t t 从1→0．故()()322322103141d 3d d 27334292d 87d 1874874x x zy y x y z t t t t t tt tt Γ++-⎡⎤=⋅+⋅⋅+-⋅⎣⎦==⋅=-⎰⎰⎰(7)AB BC CA Γ=++(如图11-2所示)图11-21:0y x AB z =-⎧⎨=⎩，x 从0→1()01d d d 112AB x y y z dx -+=--=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰． 0:1x BC y z =⎧⎨=-⎩，z 从0→1()()()1010120d d d 112d 12232BC x y y z z dz z zz z -+=--+-⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰0:1y CA z x =⎧⎨=-⎩，x 从0→1[]1d d d 1001CAx y y z dx -+=-+=⎰⎰．故()()d d d d d d 312122LABBCCAx y y zx y y z-+=++-+=-++=⎰⎰⎰⎰(8)()()()()()221224211235412d 2d 222d 224d 1415L x xy x y xy yx x x x x x x xxx x x x---+-⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⎣⎦=-+-=-⎰⎰⎰4. 计算()d ()d Lx y x y x y ++-⎰,其中L 分别是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线；（4）曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 解：(1)L ：2x y y y ⎧=⎨=⎩，y ：1→2，故()()()()()2221232124321d d 21d 2d 111232343L x y x y x yy y y y y yy y y yy y y ++-⎡⎤=+⋅+-⋅⎣⎦=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰ (2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x =3y -2，y ：1→2 故()()()()()2121221d d 32332d 104d 5411L x y x y x yy y y y y y yy y ++-=-+⋅+-+⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎣⎦=⎰⎰⎰ (3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L 1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L 2，则L =L 1+L 2．且 L 1：1x y y=⎧⎨=⎩，y ：1→2；L 2：2x x y =⎧⎨=⎩，x ：1→4；故()()()()()12122211d d 101d 1d 212L x y x y x yy y y y y y y ++-=+⋅+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰()()()()()()24144211d d 220d 12d 22272L x y x y x yx x x x x x ++-=++-⋅⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰从而()()()()()12d d d d 1271422LL L x y x y x yx y x y x y++-=+++-=+=⎰⎰⎰(4)易得起点(1,1)对应的参数t 1=0，终点(4,2)对应的参数t 2=1，故()()()()()()122132014320d d 32412d 10592d 10592432323L x y x y x y t t t tt t tt t t tt t t t ++-⎡⎤=++++--⋅⎣⎦=+++⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰5. 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比.若质点由(,0)a 沿椭圆移动到0,Bb （）,求力所做的功. 解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t=⎧⎨=⎩，t ：0→π2()()()()π2022π20π222022d d cos sin sin cos d sin 2d 2cos 2222LW kx x ky yka t t kb t b t t k b a t tk b a t k b a =+=-+⋅⎡⎤⎣⎦-=--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-=⎰⎰⎰(其中k 为比例系数)6. 计算对坐标的曲线积分：（1）d xyz z ⎰Γ,Γ为2221x y z ++=与z y =相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅶ、Ⅷ卦限；（2）222222(-)d ()d ()d y z x z x y x y z +-+-⎰Γ,Γ为2221x y z ++=在第Ⅰ卦限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分. 方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分．解:(1)Γ：2221x y z y z ⎧++=⎨=⎩ 即2221x z y z ⎧+=⎨=⎩其参数方程为：cos x ty tz t =⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ t ：0→2π 故：2π2π2202π202π0222d cos sin sin cos d 2sin cos d 2sin 2d 21cos 4d 22πxyz z t t t t t t t t t t ttΓ=⋅⋅⋅==-==⎰⎰⎰⎰⎰(2)如图11-3所示．图11-3Γ=Γ1+Γ2+Γ3．Γ1：cos sin 0x ty t z =⎧⎪=⎨⎪=⎩t ：0→π2，故()()()()()1222222π2220π3320π320d d d sin sin cos cos d sincos d 2sin d 24233yz x z x y x y zt t t t tt t tt t Γ-+-+-⎡⎤=--⋅⎣⎦=-+=-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰又根据轮换对称性知()()()()()()1222222222222d d d 3d d d 4334y z x z x y x y z y z x z x y x y zΓΓ-+-+-=-+-+-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=-⎰⎰ 习题11-31. 应用格林公式计算下列积分：（1）(24)d (356)d Lx y x x y y -+++-⎰,其中L 为三顶点分别为()()0,0,3,0和(32)，的三角形正向边界；（2）222(cos 2sin e )d (sin 2e )d x x Lx y x xy x y x x x y y +-+-⎰,其中L 为正向星形线222333x y a +=0a >（）；（3）3222(2cos )d (12sin 3)d Lxy y x x y x x y y -+-+⎰,其中L 为抛物线22πx y =上由点0,0（）到点π,12⎛⎫⎪⎝⎭的一段弧；（4）22()d (sin )d Lxy x x y y --+⎰,其中L 是圆周22y x x =-上由点0,0（）到()1,1的一段弧；（5）(e sin )d (e cos )d x x Ly my x y m y -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(),0a 到0,0（）经过圆22x y ax +=上半部分的路线（a 为正数）.图11-4解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4，Q =3x +5y -6，3Qx∂=∂，1P y ∂=-∂，由格林公式得 ()()d d 24356d d 4d d 4d d 1432212LD DDx yx y x y Q P x y x y x yx y+-++-∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭===⨯⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)P =x 2y cos x +2xy sin x -y 2e x ，Q =x 2sin x -2y e x ，则2cos 2sin 2e x P x x x x y y∂=+-∂，2cos 2sin 2e x Qx x x x y x∂=+-∂．从而P Qy x∂∂=∂∂，由格林公式得．()()222d dcos2sin e sin2ed d++--∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭=⎰⎰⎰x xLDx yx y x xy x y x x yQ Px yx y(3)如图11-5所示，记OA，AB，BO围成的区域为D．（其中BO=-L）图11-5P=2xy3-y2cos x，Q=1-2y sin x+3x2y2262cosPxy y xy∂=-∂，262cosQxy y xx∂=-∂由格林公式有：d d d d0L OA AB DQ PP x Q y x yx y-++∂∂⎛⎫-+==⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰故π2122001222d d d dd d d dππd d12sin3243d12π4π4++=+=+++⎛⎫=+-+⋅⋅⎪⎝⎭⎛⎫=-+⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰L OA ABOA ABP x Q y P x Q yP x Q y P x Q yO x yy yyy y(4)L、AB、BO及D如图11-6所示．图11-6由格林公式有d d d d++∂∂⎛⎫-+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰L AB BO DQ PP x Q y x yx y而P=x2-y，Q=-(x+sin2y)．1∂=-∂Py ，1∂=-∂Q x，即，0∂∂-=∂∂Q P x y 于是()d d d d 0+++++=+=⎰⎰⎰⎰LABBOL AB BOP x Q y P x Q y从而()()()()()()()22222211220011300d d d d sin d d d d sin sin d d 1sin 131sin 232471sin 264LLBA OB P x Q y x yx y x y x y x yx y x y x y x y y x x y x y y +=--+=-+--+-+=-++⎡⎤⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5)L ，OA 如图11-7所示．图11-7P =e x sin y -my ， Q =e x cos y -m ， e cos x P y m y ∂=-∂，e cos x Q y x ∂=∂ 由格林公式得：22d d d d d d d d 1π22π8L OA D DDQ P P x Q y x y x y m x ym x ya m m a +∂∂⎛⎫-+= ⎪∂∂⎝⎭==⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 于是：()()[]220202πd d d d 8πd 0e sin 00e cos08π0d 8π8+=-+=-+⋅⋅-⋅⋅-=-=⎰⎰⎰⎰L OA a x x a m a P x Q y P x Q y m a xm m m a xm a2. 设a 为正常数，利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：（1）星形线 33cos ,sin ;x a t y a t == （2）双纽线 22cos2;r a θ= （3）圆 22x y ax ++=解：(1) ()()()()()2π3202π2π242222002π202π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 43d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416312π+d cos 2cos 61623π8LA y x a t a t tt a t t t a t t t a t t t a tt t t t a t t t a =-=-⋅-==⋅=--=--+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)利用极坐标与直角坐标的关系x =r cos θ，y =r sin θ得 cos cos 2x a θ=sin cos 2y a θ=从而x d y -y d x =a 2cos2θd θ．于是面积为：[]π24π4π24π4212d d 2cos 2d sin 22LA x y y x a a a θθθ--=⋅-===⎰⎰(3)圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为 cos 02πsin x a a y a θθθ=+⎧≤≤⎨=⎩故()()[]()2π022π021d d 21d a+acos sin 2d 1cos 2πcos sin L A x y y xa a a a a θθθθθθθ=-=-=+=⋅-⎰⎰⎰ 3. 证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值：（1）(1,1)(0,0)()(d d )x y x y --⎰；（2）(3,4)2322(1,2)(6)d (63)d xy y x x y xy y -+-⎰；（3）(1,2)2(1,1)d d y x x yx +⎰沿在右半平面的路径；（4）(6,8)(1,0)⎰.证：(1)P =x -y ，Q =y -x ．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且1P Q y x∂∂==-∂∂，故积分与路径无关．取L 为从(0,0)到(1,1)的直线段，则L 的方程为：y =x ，x ：0→1．于是()()()()11,100,00d 0d d x x y x y ==--⎰⎰(2) P =6xy 2-y 3，Q =6x 2y -3xy 2．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且2123Pxy y y∂=-∂，2123Qxy y x∂=-∂，有P Q y x ∂∂=∂∂，所以积分与路径无关．取L 为从(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线，则()()()()()()[]3,423221,2432214323212d d 663d d 63966434864236x y xyy x y xy y x y y x y y x x +--=+--=+⎡⎤--⎣⎦=⎰⎰⎰(3)2y P x =，1Q x =-，P ，Q 在右半平面内有连续偏导数，且21P y x ∂=∂，21Q x x ∂=∂，在右半平面内恒有P Qy x∂∂=∂∂，故在右半平面内积分与路径无关．取L 为从(1,1)到(1,2)的直线段，则()()()21,2211,1d d d 11x y x x y y -==--⎰⎰(4) P =，Q ，且P Qy x∂∂==∂∂分在不含原点的区域内与路径无关，取L 为从(1,0)→(6,0)→(6,8)的折线，则()()686,811,0801529x y =+⎡=+⎣=⎰⎰⎰4．验证下列()(),d ,d P x y x Q x y y +在整个xOy 平面内是某一函数(),u x y 的全微分，并求这样的一个函数(),u x y :（1）()()2d 2d x y x x y y +++；（2）22d d xy x x y +;（3）223238d 812e d yx y xy x x x y y y ++++（）（）；（4）222cos cos d 2sin sin d x y y x x y x x y y ++-（）（）. 解：证：(1)P =x +2y ，Q =2x +y ．2P Q y x ∂∂==∂∂，所以(x +2y )d x +(2x +y )d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分． ()()()()()(),0,0022022d d ,22d d 2222222x y xy yu x y x y x y x y x x yx y x y xy x y xy =+++=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=++⎰⎰⎰(2)P =2xy ,Q =x 2, 2P Qx y x∂∂==∂∂，故2xy d x +x 2d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分． ()()(),20,02022d d ,0d d x y xy u xy x x y x y x x yx y=+=+=⎰⎰⎰(3)P =3x 2y +8xy 2，Q =x 3+8x 2y +12y e y ，2316∂∂=+=∂∂P Qx xy y x，故(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y 是某个定义在整个xOy 面内函数u (x ,y )的全微分， ()()()()()(),22320,03200322d ,38812e 0d d 812e 412e 12e 12x y y xyyy y u x x y x y x y x x y y x y x x y y x y x y y =++++=+++=++-+⎰⎰⎰(4)P =2x cos y +y 2cos x ，Q =2y sin x -x 2sin y ，2sin 2cos P x y y x y ∂=-+∂，2cos 2sin Qy x x y x∂=-∂，有P Qy x∂∂=∂∂，故(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y 是某一个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分，()()()()()(),220,020022d d ,2cos cos 2sin sin 2d d 2sin sin sin cos x y xyu x y x y x y y x y x x y x x yy x x y y x x y=++-=+-=+⎰⎰⎰5.证明：22xdx ydyx y ++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数。

_高等数学2第十一章答案(DOC)

习题11-1 对弧长的曲线积分1.计算下列对弧长的曲线积分：（1）22x y Leds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；（2）2x yzds Γ⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)；（3）2Ly ds ⎰，其中L 为摆线的一拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤.2.有一段铁丝成半圆形y =，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。

解曲线L 的参数方程为()cos ,sin 0x a y a ϕϕϕπ==≤≤ds ad ϕϕ==依题意(),x y y ρ=，所求质量22sin 2LM yds a d a πϕϕ===⎰⎰ 习题11-2 对坐标的曲线积分1.计算下列对坐标的曲线积分：（1）22()Lxy dx -⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；（2）22()()Lx y dx x y dy x y+--+⎰，其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针方向绕行）；（3）(1)xdx ydy x y dz Γ+++-⎰，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线；（4）dx dy ydz Γ-+⎰，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)；2.计算()()Lx y dx y x dy ++-⎰，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；（4）曲线221x t t =++，21y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。

高等数学第十一章习题课(二)曲面积分

z
B
o
dS
n C

y
z
x
3 2
y A x : x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
1 3

(3) d S
答: 第一类曲面积分的特例.
2) 设曲面问下列等式是否成立?
不对 ! 对坐标的积分与的侧有关
练习: P185 题4(3)
计算 x d y d z y d z d x z d x d y, 其中为半球面

的上侧. 提示: 以半球底面 0 为辅助面, 且取下侧 , 记半球域为 , 利用高斯公式有原式 =
x , 2 2 x y y , 2 2 x y
D

x y I y , x , z 2 , 2 ,1dxdy 2 2 x y x y
2
z 2dxdy

( x 2 y 2 )dxdy
D xy
[ Dxy : 1 x 2 y 2 4 ]

用重心公式
利用对称性
2( x z ) d S

0
例7. 设L 是平面
与柱面
的交线
从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算解: 记为平面
上 L 所围部分的上侧,
D为在 xoy 面上的投影. 由斯托克斯公式
z
L
I

1 3 x
2z x y z 2 (4 x 2 y 3z )dS 3
2 2
1 3 y 2
2
3x y 2
1 3 z 2
dS
D
o x
y

高等数学习题解答(上海交大)习题11解答

第11章级数1．写出下列级数的前5项：(1) 11(1)3n nn -∞=-∑；(2) 113(21)242n n n ∞=⨯-⨯∑；(3) 21(ln )nn n ∞=∑；(4) 1!nn n n∞=∑解答：(1)23451111133333-+-+-；(2) 1131351357135792242462468246810∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙+++++∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙；(3) 2345611111(ln 2)(ln 3)(ln 4)(ln 5)(ln 6)+++++； (4)234511212312341234512345∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙+++++。

所属章节：第十一章第一节难度：一级2．写出下列级数的通项： (1)2341357++++；(2)261220-+-；(3)22242462468x x+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯解答：(1) 21n n -；(2)1(1)(1)n n n --+；(3)2242nx n∙ 。

所属章节：第十一章第一节难度：一级3．已知级数的部分和S n ，写出该级数，并求和： (1)1n n S n+=；(2)212nn nS -=；解答：(1) 一般项为111121u S +===，111,2,3,1(1)n n n n n u S S n nn n n -+-=-=-==--，故该级数为212(1)n n n∞=--∑，该级数的和为1lim lim1n n n n S n→∞→∞+==；(2) 一般项为1112u S ==，11121211,2,3,222nn n n n nn nu S S n -----=-=-==，故该级数为112nn ∞=∑，该级数的和为21lim lim12nnnn n S →∞→∞-== 。

所属章节：第十一章第一节难度：一级4．根据定义求出下列级数的和：(1) 1326n n nn ∞=+∑；(2) 11(2)n n n ∞=+∑；(3) 1(1)(2)(3)n nn n n ∞=+++∑；(4) 1n ∞=∑解答：(1) 111113211332()()1162321123n n nn nn n n ∞∞∞===+=+=+=--∑∑∑；(2) 1111111111113()(1)(2)222324354n n n n n n ∞∞===-=-+-+-+=++∑∑；(3) 111123111111[()]()()2(1)(2)(3)2122322334n n nn n n n n n ∞∞===-+-⋅=-++⨯=++++++∑∑；(4) 11n n ∞∞===-∑∑111n ∞==-∑11=-=-所属章节：第十一章第一节难度：一级5．证明下列级数发散：(1) 121n n n ∞=+∑；(2) 12nn n∞=∑；(3)11nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑；(4) 111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑解答：(1) 由于10212nn u n =→≠+，所以级数121n nn ∞=+∑发散；(2) 由于2nnu n=→+∞≠，所以级数12nn n∞=∑发散；(3)由于1()01nn nu n e =→≠+，所以级数11nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑发散；(4) 由于1111011(1)()(1)n n nn n nnnnnnn u n en nn ++=≥=→≠+++，所以级数111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散。

华东理工大学高等数学(下册)第11章作业答案

第 11 章（之1）（总第59次）教材容：§11.1多元函数 1．解下列各题：**（1）. 函数f x y x y (,)ln()=+-221连续区域是 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ．答：x y 221+>**（2）. 函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，则（）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续(C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续答：（A ）**2. 画出下列二元函数的定义域：（1）=u y x -；解：定义域为：{}x y y x ≤),(，见图示阴影部分：（2）)1ln(),(xy y x f +=；解：{}1),(->xy y x ，第二象限双曲线1-=xy 的上方，第四象限双曲线1-=xy 的下方（不包括边界，双曲线1-=xy 用虚线表示）．（3）yx yx z +-=．解：()()⎩⎨⎧-≠≥⇔⎩⎨⎧≠+≥+-⇔≥+-y x y x y x y x y x y x y x 000．***3. 求出满足22,y x x y y x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+的函数()y x f ,. 解：令⎪⎩⎪⎨⎧=+=x yt y x s ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t st y t s x 11∴()()()t t s t t s s t s f +-=+-=111,22222，即 ()()y y x y x f +-=11,2． ***4. 求极限：()()220,0,11limyx xy y x +-+→．解：()()()()()22222222112111110yx xy y x yx xy xyyx xy ++++≤+++=+-+≤()011222→+++=xy y x （()()0,0,→y x ） ∴()()011lim220,0,=+-+→yx xy y x ．**5. 说明极限()()22220,0, lim y x y x y x +-→不存在．解：我们证明()y x ,沿不同的路径趋于()0,0时，极限不同．首先，0=x 时，极限为()()1lim 2222220,0,0-=-=+-→=y y y x y x y x x ，其次，0=y 时，极限为()()1lim 2222220,0,0==+-→=x x y x y x y x y ，故极限()()22220,0,y y lim +-→x x y x 不存在．**6. 设112sin ),(-+=xy x y y x f ，试问极限),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在)0,0(点的任一去心邻域函数112sin ),(-+=xy x y y x f 并不总有定义的，x 轴与y 轴上的点处函数),(y x f 就没有定义．***7. 试讨论函数z x yxy=+-arctan1的连续性．解：由于arctan x yxy+-1是初等函数，所以除xy =1以外的点都连续，但在xy =1上的点处不连续．**8. 试求函数f x y xyx y(,)sin sin =+22ππ的间断点．解：显然当(,)(,),x y m n m n Z =∈时，f x y (,)没定义，故不连续．又f x y xyx y(,)sin sin =+22ππ是初等函数．所以除点(,)m n （其中m n Z ,∈）以外处处连续．第 11 章（之2）（总第60次）教材容：§11.2 偏导数 [§11.2.1]**1.解下列各题：（1）函数32),(y x y x f +=在)0,0(点处（）（A ）)0,0(x f '和)0,0(y f '都存在；（B ）)0,0(x f '和)0,0(y f '都不存在；（C ）)0,0(x f '存在，但)0,0(y f '不存在；（D ）)0,0(x f '不存在，但)0,0(y f '存在．答：（D ）．（2）设z x y xy =+-()arcsin2，那么∂∂z y (!,)2= （）(A) 0 ； (B) 1； (C)π2； (D)π4．答：(D)．（3）设()xy y x f =,，则=)0,0('x f ______，=)0,0('y f __________．解：由于0)0,(=x f ，0)0,0('=∴x f ，同理 0)0,0('=y f ．**2. 设z x y x y e xy =-+++2322ln ，求 z z x y ,．解：z x x y ye x xy=+++1322， z y x yxe y xy =-+++2322．**3. 求函数xyz arctan =对各自变量的偏导数. 解：2222,y x xz y x y z yx +=+-=．**4. 设f x y x x y x y x y (,)ln()=++≠+=⎧⎨⎩222222200，求f f x y (,),(,)0000．解：f x x x x x (,)limln 000022==→， f yy y (,)lim 000000=-=→．***5. 求曲线⎩⎨⎧=+-=122x y xy x z 在()1,1,1点处切线与y 轴的夹角．解：由于曲线在平面1=x ，故由 ()()()121,11,1=+-=y x z y ，得切线与y 轴的夹角为 41arctan π=．[也可求出切向量为{}1,1,0]∴夹角={}{}422arccos12110,1,01,1,0arccos 22π==+．***6. 设函数ϕ(,)x y 在点)0,0(连续，已知函数f x y x y x y (,)(,)=-ϕ在点)0,0(偏导数)0,0(x f '存在，（1）证明ϕ(,)000=；（2）证明)0,0(y f '也一定存在．解：（1）lim(,)(,)lim (,)∆∆∆∆∆∆∆x x f x f x x x x→→-=000000ϕ，因为)0,0(x f '存在，所以 lim (,)lim(,)∆∆∆∆∆∆∆∆x x x x x x x x→+→-⋅=-⋅0000ϕϕ 即 ϕϕ(,)(,)0000=-，故 ϕ(,)000=．（2）由于ϕ(,)x y 在点)0,0(连续，且ϕ(,)000=，所以0→∆y 时，),0(y ∆ϕ是无穷小量，而yy ∆∆是有界量，所以0),0(lim )0,0(),0(lim00=∆∆∆=∆-∆→∆→∆yy y y f y f x y ϕ，即0)0,0(='y f ．第 11 章（之3）（总第61次）教材容：§11.2 偏导数 [§11.2.2 ~ 11.2.4]**1. 求函数()x y z x z y x f sh ch ,,-=的全微分，并求出其在点()2ln ,1,0=P 处的梯度向量．解：()()()x y d z x d z y x df sh ch ,,-=()zdzx xdy dx x y z xdxy xdy zdz x zdx sh sh ch ch ch sh sh ch +--=--+=∴()()dx z y x df 41,,2ln ,1,0=， ()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∇0,0,41,,2ln ,1,0z y x f ． **2.求函数xyyx z -+=1arctan的全微分：解：xyyx d dz -+=1arctan)arctan (arctan y x d +=2211)(arctan )(arctan y dy x dx y d x d +++=+=**3. 设z xy xy =-sec ()ln()21，求d z ．解：222)]1[ln()]1d[ln()(sec )](d[sec )]1[ln(d ----=xy xy xy xy xy z)]d d (1)(sec )d d )(tan()(sec 2)1[ln()]1[ln(1222y x x y xy xy y x x y xy xy xy xy +--+--= )1(ln )(cos )1()d d ](1)1)(tan()1ln(2[22--+---=xy xy xy y x x y xy xy xy ．**4. 利用df f ≈∆，可推出近似公式：()()()y x df y x f y y x x f ,,,+≈∆+∆+，并利用上式计算()()2203.498.2+的近似值．解：由于()()()y x df y x f y y x x f ,,,+≈∆+∆+，设()22,y x y x f +=，03.0,02.0,4,3=∆-=∆==y x y x ，于是 ()2222,yx y y x x yx ydy xdx y x df +∆+∆=++=，()()22,,yx y y x x y x f y y x x f +∆+∆+≈∆+∆+，∴()()()()012.54303.0402.034303.498.2222222=++-++≈+．***5．已知圆扇形的中心角为60=α，半径为cm r 20=，如果α增加了 1，r 减少了1cm ，试用全微分计算面积改变量的近似值．解：180212παrS =， ))(2(3602ααπd r dr dS +=，∴ )(4533.17)3601)20(360)1(60202(22cm dS S -=⨯+-⨯⨯⨯=≈∆π．***6. 计算函数()()z y x z y x f 32ln ,,++=在点()0,2,1=P 处沿给定方向k j i l-+=2 的方向导数Plf∂∂．解：zy x f zy x f zy x f z y x 323,322,321++=++=++=，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=61,61,62l e ，∴ 65161,61,6253,52,51=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⋅∇=∂∂l Pe f lf．***7. 函数z xy=++arctan 11在（0，0）点处沿哪个方向的方向导数最大，并求此方向导数的值．解：∂∂z xx y y(,)(,)0020011111112=+++⎛⎝ ⎫⎭⎪⋅+=， ∂∂z yx y x y (,)(,)()00220011111112=+++⎛⎝ ⎫⎭⎪⋅-++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-，{}{}∂∂ααααϕz l =+-=-⋅=1212121122cos ()sin ,cos ,sin cos ，其中ϕ为{} l =cos ,sin αα与 g =-⎧⎨⎩⎫⎬⎭1212,的夹角，所以ϕ=0时，即l 与g 同向时，方向导数取最大值∂∂z l =22．**8. 对函数 xyze z y xf =),,( 求出 ),,(z y x f ∇ 以及 )3,2,1(f ∇.解： {}xyz xyz xyzxye xze yze f ,,=∇，{}2,3,6)3,2,1(6e f =∇．**9. 求函数z y x z y x f 1)(),,(+=在点)21,21,21(-+=e e P 处的梯度．解：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++-++=∇--)ln()(,)(1,)(1211111y x z y x y x z y x z f z z z ， {}24,2,2)21,21,21(e e e e ef -=-+∇．***10. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin ),(22222222y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处的连续性，可导性和可微性．解：因为 lim (,)lim sin(,)x y x y f x y x y x y f →→→→=++==022221000，所以f x y (,)在点（0，0）连续．因为 lim(,)(,)lim sin ()∆∆∆∆∆∆∆x x f x f x x x x →→+-=00200001，极限不存在，f x y (,)在（0，0）处不可导，从而在（0，0）处不可微．第 11 章（之4）（总第62次）教材容：§11.3 复合函数微分法；§11.4 隐函数微分法**1.解下列各题：（1）若函数),(v u f 可微，且有x x x x x f ++=3422),(及122),(22 +-='x x x x f u ，则),(2 x x f v '= ( )(A) 1222++x x(B) xx x 21322++ (C) 1222+-x x(D) 1322++x x答：(A)（2）设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则∂∂zy=_________．答： 2112xyz xy-- ．（3）方程yzx z ∂∂=∂∂3，在变量代换y x u 3+=，y x v +=3下，可得新方程为_______. 答：0=∂∂uz．**2. 设u x y z x r y r z r =++===222,cos sin ,sin sin ,cos θϕθϕϕ求∂∂∂∂θ∂∂ϕu r u u ,,．解：()∂∂θϕθϕϕurx y z r =++=2222cos sin sin sin cos ，0)sin cos (2]sin )sin ([2=+-=ϕθθϕ∂θ∂r y r x u，0sin 2)cos sin (2)cos cos (2=-+=ϕϕθϕθ∂ϕ∂r z r y r x u．**3. 一直圆锥的底半径以3s cm /的速率增加，高h 以5s cm /的速率增加，试求r=15cm ，h=25cm 时其体积的增加速率．解：h r V 231π=， s cm h r dtdVdtdhr dt dr rh dt dh h V dt dr r V dt dV /11252515313232πππ===+=⋅∂∂+⋅∂∂=*4. 设,3y e z x -=而4,sin t y t x ==，求dtdz．解：32334cos y t t e dtdy z dt dx z dt dz xy x -=+=．**5. 若)(22y x f xy z -=，证明：z y z x y z y x x z xy 2222+=∂∂+∂∂．解：22222,2ff xy xf z f f y x yf z y x '+='-=，则 z y z x fy x xy yz x z xy y x 222222)(+=+=+． **6. 设 )cos ,,(2x xy ye xe f u x y =，求du yux u ,,∂∂∂∂．解：3221)2sin cos (f x xy x y f ye f e xux y -++=∂∂ ， 3221cos xf x f e f xe yux y ++=∂∂， [][]dy xf x f e f xe dx f x xy x y f ye f e du x y x y 32213221cos )2sin cos (+++-++=．**7. 求由方程y z z x ln =所确定的函数),(y x z z =的偏导数yz x z ∂∂∂∂,．解：zx zyz y zx zFz Fx z x +=---=-=21，yz xy z z z x y Fz Fy z y +=---=-=2211．**8. 设,0),,(=+xz z y xy F 试求dz yzx z ,,∂∂∂∂．解：,0),,(=+xz z y xy F 两边对x 求导，得 0)(321=+++x x xz z F F z yF ，解得 3231xF F zF yF z x ++-=，两边对y 求导，得 0)1(321=+++y y xz F z F xF ．解得3221xF F F xF z y ++-= ，所以dy xF F F xF dx xF F zF yF dz 32213231++-++-=．***9. 函数z z x y =(,)由方程F x x y z z xy (,,)+++=1所确定，其中F 具有连续一阶偏导数，F F 230+≠，求∂∂z x 和∂∂z y．解：F x x y z F z y x x y F 1230d (d d d )(d d d )++++++=，d ()d ()d z F F yF x F xF yF F =-+++++1232323，∂∂z x F F yF F F =-+++12323， ∂∂z y F xF F F =-++2323． ***10. 求由方程z xyz aa 3330-=≠()所确定的隐函数z z x y =(,)在坐标原点处沿由向量{}a =--12,所确定的方向的方向导数．解：当x y ==00,时，z a 00=≠．0,0)0,0(2)0.0()0,0(2)0.0(=-==-=xyz xz yz xyz yz xz ∂∂∂∂，0=∂∂∴az．***11. 设)0(,1,022≠+=+=-y x xv yu yv xu 求yv y u x v x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,．解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂-∂∂+00x v x x u y v xv y x u x u ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=∂∂++-=∂∂⇒2222y x yu xv x v y x yv xu x u类似地 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y v x y u y u y v y v y ux ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=∂∂+--=∂∂⇒2222y x yv xu yv y x xv yu y u第 11 章（之5）（总第63次）教材容：§11.5 多元函数微分法在几何上的应用**1. 曲面x y z xyz x z 2222426-+--+=在点)2,1,0(=A 处的切平面方程为（）（A ）31223110()()x y z -+--+= （B ）3234x y z +-= （C ）032213=--+-+z y x （D ）x y z 31223=-=-- 答：(A)．**2.设函数F x y z (,,)可微，曲面F x y z (,,)=0过点)0,1,2(-=M ，且F F F x y z (,,),(,,),(,,)210521022103-=-=--=-.过点M 作曲面的一个法向量n ，已知n 与x 轴正向的夹角为钝角，则n 与z 轴正向的夹角γ=______ ．答：π3．***3. 设曲线x t y t z t =+=-=+2131223,,在t =-1对应点处的法平面为S ，则点)1,4,2(-=P 到S 的距离d =______ ．答：2．**4. 求曲线ct z t b y t a x L ===,sin ,cos :在点)2,0,(0c a M π=处的切线和法平面方程．解：,0sin 00=-===t t t a dt dx,cos 00b t b dt dy t t =-=== cdtdzt ==0．∴切线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧-==⇔-=-=-c c z by ax c c z b y a x ππ2200，法平面方程为：0)2(=-+c z c by π．***5. 求曲线6,11:==++xyz zx yz xy L 在点)3,2,1(0=M 处的切线和法平面方程．解：设 11),,(-++=zx yz xy z y x F ，6),,(-=xyz z y x G ，)()()(),(),(2x y z z x yz z y xz xz yz z x zy y x G F +-=+-+=++=∂∂，)()()(),(),(2z y x y x xz z x xy xy zx x y z x z y G F -=+-+=++=∂∂，)()()(),(),(2x z y z y xy y x zy zyxy z y y x x z G F -=+-+=++=∂∂．∴8),(),(,1),(),(,9),(),(0=∂∂-=∂∂-=∂∂M M M x z G F z y G F y x G F ，∴切线方程为938211--=-=--z y x ，法平面方程为 ()()()()()0948211=--+-+--z y x ，即 01298=-+-z y x ．***6. 求曲面4416222x y z ++=在点1,22,1(-=P )处的法线在yOz 平面上投影方程．解：曲面在点1,22,1(-=P ）处的法线方向向量{}{}2,2,248,24,8-=-=→n ，法线方程为：x y z -=-=+-1222212．法线在yOz 平面上投影方程为212220-+=-=z y x ．***7.求曲线x t y t z t ===3223,,上的点，使曲线在该点处的切线平行于平面x y z +-=21．解：设所求的点对应于t t =0，则对应的切线方向向量为： {}3,4,3020t t s =→．因为→s 垂直于平面法向量{}1,2,1-=→n ，所以0383020=-+=⋅→→t t n s ，解得：t 013=和t 03=-．所求点为：127291,,⎛⎝ ⎫⎭⎪和(,,)--27189．**8．求曲面xyz 6=上平行于平面.06236=+--z y x 的切平面方程．解：26,6xyy z xyx z -=∂∂-=∂∂， ∴由条件，得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫-=--=-=-32121366622z y x k k x y k yx∴切平面方程为：,0)3(2)2(3)1(6=+-+--z y x 即 018236=---z y x ．***9.求函数22y x ez +=在点),(000y x M =沿过该点的等值线的外法线方向的方向导数．解：等值线方程为x y x y 220202+=+, 在),(000y x M =处的法线斜率为 00x y k =，即法线方向向量为 },1{00x y n =或},{00y x ，方向余弦为：cos cos αβ=+=+x x yy x y0020200202,∂∂zn e x x x y e y y x y x y x y =⋅⋅++⋅⋅+++0202020222000202000202=⋅++202020202e x y x y ．***10. 求函数z y x =+sin 在⎪⎭⎫⎝⎛=1,2πP 点沿 a 方向的方向导数，其中 a 为曲线x t y t ==22sin ,cos π在t =π6处的切向量（指向t 增大的方向）．解：tan d d sin cos αππππ==-=-==y xt tt t 66222，1sin 11cos 22+-=+=ππαπα，，221sin 210sin 2cos 1,21,21,21,2=+==+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ππππ∂∂∂∂xy yz xy x xz ，，所以 ∂∂πππz a =⨯++⨯-+011122122()()1222+-=ππ．***11. 设f y z g z (,),()都是可微函数，求曲线x f y z y g z ==⎧⎨⎩(,)()在对应于z z =0点处的切线方程和法平面方程．解：z z =0对应点()f g z z g z z [(),],(),0000，对应的切线方向向量：{}S f g z z g z f g z z g z y z ='+'[(),]()[(),],(),0000001．切线方程：x f g z z f g z z g z f g z z y g z g z z z y z -'+=-'=-[(),][(),]()[(),]()()0000000000，法平面方程： {}{}f g z z g z f g z z x f g z z y z [(),]()[(),][(),]0000000'+-+'-+-=g z y g z z z ()[()]()0000．****12. 在函数yx u 11+=的等值线中哪些曲线与椭圆16822=+y x 相切？解：对等值线 y x u 110+= 两边微分得 022=--ydy x dx ，即 22x y dx dy -=，同样对16822=+y x 两边微分，有yx dx dy 8-=，令y xxy 822-=-，得 y x 2=，代入16822=+y x ，得 32,34±=±=y x ，∴ 433110±=+=y x u ．***13. 试证明曲面3a xyz =上任一点处的切平面在三个坐标轴上截距之积为定值．解：由3a xyz =，得 xya z 3=，∴在点),,(000z y x 处法向量为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-1,,02030203x y a y x a， ∴切平面为：0)()(0020300203=-+-+-z z y y y x a x x y x a ，又 ∵3000a z y x =， ∴ 切平面方程化为：1333000=++z zy y x x ， ∴ 截距之积为： 30002727a z y x =（定值）．***14. 证明曲面0,=⎪⎭⎫⎝⎛----c z b y c z a x F 的所有切平面都通过一个定点，这里F u v (,)具有一阶连续偏导数．解：曲面上点(,,)x y z 000处的切平面法向量：[]n F z c F z c z c x a F y b F =-----+-⎧⎨⎩⎫⎬⎭10200201021,,()()()[]{}=-----+-10201020102()(),(),()()z c z c F z c F x a F y b F ．切平面方程为： ()()()()z c F x x z c F y y 010020--+--[]0)()()(02010=--+--z z F b y F a x ．易知x a y b z c ===,,满足上述方程，即曲面的所有切平面都通过定点(,,)a b c ．第 11 章（之6）（总第64次）教学容：§11.6泰勒展开1．填空：*（1）设u xy yx=+，则∂∂22u x =________ ．答：32xy． *（2）设u x xy =ln ，则∂∂∂2ux y= _________．答：y1． *（3）设u x y y x =+22sin cos ，则∂∂∂2ux y= _________ ．答： x y y x sin 2cos 2-．*（4）设u x yxy=+-arctan 1，则∂∂∂2u x y =_______ ．答：0 ．**（5）设z e y e y xx=+-sin cos ，则∂∂∂∂2222z x zy+= _________．答：0．**2．设z f x u =(,)具有连续的二阶偏导数，而u xy =，求∂∂22zx．解:z f yf x x u =+， z f yf y f xx xx xu uu =++22．**3．设z x xy =ln()，求∂∂∂32zx y．解一： z x yy =， z yyx =1， z yx 20=．解二： z xy x =+ln()1， z xx 21=， z yx 20=．**4．设)2,21(),()(4322xy z y x xf xy f y z 求+=．解：)(3)()('43434324y x f y x y x f xy f y z x ++=，,4)("3)('124)('2)(")('4334343433333432423yx y x f y x y x f y x x y y x f yx xy f y xy f y z xy ⋅++⋅+⋅+=∴)2("24)2('12)2('4)2("32)2('32)2,21(f f f f f z xy ++++= )2("56)2('48f f +=．**5．函数y y x =()由方程x xy y 2221+-=所确定，求22d d xy．解：xy yx y x y x x y -+=-+-=2222d d ，222)())(1())(1(d d x y y x y x y y x y -+-'--'+= 322)()2(2x y y xy x --+-=3)(2y x -=. ***6．求方程 zy ez x +=+ 所确定的函数),(y x z z =z=z(x,y)的所有的二阶偏导数.解：xz e x z z y ∂∂⋅=∂∂++1， ∴ 11-=∂∂+zy e x z ．3222)1()1(--=-∂∂⋅-=∂∂++++z y zy zy z y e e e x ze x z，因为 )1(y z e y z zy ∂∂+=∂∂+， ∴zy z y z y e e e y z +++-+-=-=∂∂1111．则 3222)1()1()1(z y z y z y z y e e e yze y z ++++-=-+∂∂=∂∂， 322)1()1()1(z y z y z y z y e e e yze yx z ++++--=-+∂∂-=∂∂∂， 322)1()1(-=-∂∂=∂∂∂++++z y z y z y zy e e e x ze x y z ．***7．对于由方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x z =，试求 22xz ∂∂．解：由公式zx F F x z-=∂∂两边对x 求偏导数，得。

(整理)高等数学(1)-2习题册答案(第十一章1-4节)

第十一章曲线积分与曲面积分第17次课对弧长的曲线积分1．计算下列各题中的曲线积分：（1）cos d Ly s ⎰，其中L 为原点至点(2,1)的直线段；解：2200cos 2L x yds ⎤===⎥⎦⎰⎰ （2）d Lx s ⎰，其中L 为抛物线221y x =-介于1x =及0x =之间的一段弧；解：131222001121(116)(116)3232348Lxds x x ⎡⎤==+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰（3）()d Lx y s +⎰，其中L 是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形的边界；解：()()()()LOAABOBx y ds x y ds x y ds x y ds +=+++++⎰⎰⎰⎰111((0x y =++++⎰⎰⎰11221000122x y =++=+（4）222()d Lx y s +⎰，其中L 为圆周222x y a +=；解：2222245()()22LLx y ds a ds a a a ππ+==⋅=⎰⎰（5）||d Lxy s ⎰，其中L 为圆周222x y a +=；解：根据xy 在四个象限的对称性，有14LL xy ds xy ds =⎰⎰（其中1L 是在第一象限的四分之一圆周），则12044(cos )(sin LL xyds xyds a t a t π==⎰⎰⎰333220sin 2(2)(cos 2)2atd t a t a ππ==-=⎰（6）222d z s x y Γ+⎰，其中Γ为圆周cos ,sin ,,02x a t y a t z at t π===≤≤．解：22220z dsx yπτ=+⎰⎰222330013t dt t a ππ===⎰2．计算曲线积分22d x y Les +⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：2240ax y Leds π+=++⎰⎰⎰ 4002(1)4aax a a ae t e ae e ππ=++=+-3．有一铁丝成半圆形cos ,sin (0)x a t y a t t π==≤≤，其上每一点的密度等于该点的纵坐标，求铁丝的质量．解：220sin (cos )2LM yds a a t a ππ===-=⎰⎰提高题：1．已知椭圆23:143x y L +=周长为a ，求22(234)d L xy x y s ++⎰．解：原式(122)121212012LLLxy ds ds xyds a a =+=+=+=⎰⎰⎰2．计算曲线积分4433()d Lx y s +⎰，其中L 为星形线33cos ,sin (0)2x a y a πθθθ==≤≤在第一象限内的弧．解：4444433320()d (sin cos Lx y s a πθθθ+=+⎰⎰7772556633322000113(sin sin cos cos )3sin cos 66a d d a a πππθθθθθθ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰第18次课对坐标的曲线积分1．计算下列各题中的曲线积分：（1）(2)d Lx y x +⎰，其中L 为从点(2,0)-到点(0,2)的直线段．解：02(2)(22)2Lx y dx x x dx -+=++=-⎰⎰（2）22d d Lxy y x y x -⎰，其中L 为圆周221x y +=，逆时针方向．解：2222220cos sin cos cos sin sin Lxy dy x ydx t t tdt t t tdt ππ-=+⎰⎰⎰2222000sin 21cos 411sin 4244162t t dt dt t t ππππ-⎛⎫===-= ⎪⎝⎭⎰⎰（3）d Lxy x ⎰，其中L 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界曲线弧（按逆时针方向）．解：LAOOAxydx xydx xydx =+⎰⎰⎰半圆周232320(cos )sin (sin )0sin sin cos aa a t a t a t dt dx a tdt a t tdt πππ=+⋅-+=--⎰⎰⎰⎰33233330001cos 2111sin sin sin 2sin 22432t a dt a td t a t t a ta πππππ-⎛⎫=--=---=-⎪⎝⎭⎰⎰（4）d d d Lx x y y z z ++⎰，其中Γ为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段．解：()1112[(1)(12)2(13)3](614)6713Lxdx ydy zdz t t t dt t dt t t++=+++⋅++⋅=+=+=⎰⎰⎰（5）d d L x yx y ++⎰，其中L 为从点(0,1)A -到点(1,0)B 再到点(0,1)C 的折线段．解：1001(11)(11)2L AB BC dx dy dx dy dx dydx dx x y x y x y +++=+=++-=+-+⎰⎰⎰⎰⎰2．计算()d ()d Lx y x y x y ++-⎰，其中L ：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧．解：（1）2222321134=[()2()](2)3y y y y y dy y y y dy ++-=++=⎰⎰原式（2）441112121108=[()()]()113333399x x x x dx x dx ++++-⋅=+=⎰⎰原式（3）122220{(211)(41)[1(21)]2}t t t t t t t t dt =+++++++-++⎰原式132032(10592)3t t t dt =+++=⎰3．计算曲线积分2(12)d d Lxy x x y ++⎰，其中L 为从点(1,0)到点(1,0)-的上半椭圆周2221(0)y x y +=≥．解：:cos ,,:02L x t y t t π==→20=[(1cos )(sin )cos cos ]2t t t tt dt π+-+⎰原式220sin sin sin (1sin )sin 2tdt td t t d t πππ=-+-⎰⎰ 2=-提高题： 1．计算曲线积分2sin 2d 2(1)d Lx x x y y +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从点(0,0)到点(,0)π的一段．解：220=[sin 22(1)sin cos ]sin 2x x x x dx x xdx ππ+-=⎰⎰原式2200011cos 2cos 2cos 222x d x x x x xdx πππ⎡⎤=-=-+⎣⎦⎰⎰ []2200011111sin 2sin 2sin 222222xd x x x xdx πππππ=-+=-+-⎰⎰212π=-2．设在力场F y x z (,,)=-作用下，质点由(,0,0)A R 沿Γ移动到(,0,2)B R k π，其中Γ为（1）cos ,sin ,x R t y R t z kt ===；（2）AB ．试求力场对质点所作的功．解：（1）222220d d d ()d 2()W y x x y z z R k t t k R πππΓ==-+=-+=-⎰⎰（2）直线的参数方程为,0,2,:01x R y z kt t π===→12220d d d (2)d 2ABW y x x y z z k t t k ππ=-+==⎰⎰第19次课格林公式及其应用1．应用格林公式计算下列各题中的积分：（1）22d d Lx y x xy y -⎰，其中L 为正向圆周222(0)x y a a +=>．解：22,Q Py x x y∂∂=-=∂∂，由格林公式原式2222440011()()2()42a Dy x dxdy d r rdr a a πθππ=--=-=⋅-=-⎰⎰⎰⎰（2）()d (3)d Lx y y x y x -++⎰，其中L 为以(1,0),(2,0),(2,1),(1,1)A B C D 为顶点的正方形沿顺时针方向．解：1,3Q Px y∂∂==∂∂，由格林公式原式(13)222DDDdxdy dxdy S=--===⎰⎰⎰⎰（3）22222(32)d (223)d x x Ly e x xy y x ye x xy y y ++++++-⎰，其中L 是半圆周y =自点(1,0)A 至(0,1)B ．解：222,222x x Q Pye x y ye x y x y∂∂=++=++∂∂，由格林公式原式L BO OABO OA++=--⎰⎰⎰012210(23)3Ddxdy y y x dx =---⎰⎰⎰⎰1=-（4）22()d (sin )d Lx y x x y y --+⎰，其中L 是在圆周y =上由点(0,0)到(1,1)的一段弧．解：1,1Q Px y∂∂=-=-∂∂ 设(1,1),(1,0)B A ，由格林公式原式L BA AOBAAO++=--⎰⎰⎰0022110[(1sin )]Ddxdy y dy x dx =---+-⎰⎰⎰⎰311710(sin 2)sin 224364=--+=-+2．利用曲线积分计算星形线33cos ,sin (0,02)x a t y a t a t π==>≤≤所围成图形的面积．解：23232011[cos 3sin cos sin (3cos sin )]22L A xdy ydx a t a t t a t a t t dt π=-=⋅-⋅-⎰⎰ 2222222220003331c o s 4s i n c o s s i n 22882t a t t d t a t d t a d t πππ-===⎰⎰⎰ 238a π=3．证明曲线积分21d d L y x y x x -⎰在右半平面内与路径无关，并求(1,2)2(2,1)1d d y x y x x -⎰．解：21Q Px x y∂∂==∂∂(0)x > ∴曲线积分在区域{}(,)0x y x >与路径无关设(2,1),(1,2),:3,:21A B AB y x x =-+→则(1,2)1222(2,1)21131d d d d [(1)]AB y y x x y x y dx x xx x x x -+-=-=-⋅-⎰⎰⎰ 12332x =-=-4．验证表达式：2222(2)d (2)d x xy y x x xy y y +-+--在整个平面内是某一函数(,)u x y 的全微分，并求这样的一个(,)u x y ．解：22Q Px y x y∂∂=-=∂∂ ∴2222(2)d (2)d x x y y x x x y y y +-+--是某一函数(,)u x y 的全微分(,)2222(0,0)(,)(2)d (2)d x y u x y x xy y x x xy y y =+-+--⎰(,0)(,)222(0,0)(,0)(2)x x y xyx x d x x x y y d y=+=+--⎰⎰⎰⎰ 32231133x x y xy y =+--提高题：1．设曲线积分2d ()d L xy x y x y ϕ+⎰与路径无关，其中()x ϕ具有连续导数，且(0)0ϕ=，求()x ϕ，并求积分(1,1)2(0,0)d ()d xy x y x y ϕ+⎰的值．解：曲线积分与路径无关可得2()Q P xy y x x yϕ∂∂'==∂∂即从而2()2()x x x x C ϕϕ'=⇒=+，又(0)0ϕ=有2()x x ϕ= 故(1,1)123(0,0)01d ()d 22xy x y x y x dx ϕ+==⎰⎰2．[()]d [()]d x x L f y e my x f y e m y '-+-⎰，其中()f y 有连续的一阶导数，L 是连续点1(0,)A y ，2(0,)B y 的任何路径，且L 与直线AB 所围成区域的面积为定值S ，L 总是位于直线AB 的左方．解：(),()x x Q P f y e f y e m x y∂∂''==-∂∂ 不妨设12y y <，由格林公式原式12[()]y L BA BA y D mdxdy f y m dy +'=-=---⎰⎰⎰⎰⎰ 212121[()]()()()y D y mS f y my mS f y f y m y y =-+-=-+---第20 次课对面积的曲面积分1．计算下列各题中的曲面积分：（1）d z S ∑⎰⎰，其中∑为上半球面z =解：222:xy D x y R +≤xy D zdS ∑=⎰⎰⎰⎰ 23xy D Rdxdy R R R ππ==⋅=⎰⎰（2）()d x y z S ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =被平面1z =所截下的有限部分．解：22:1xy D x y +≤()d (xy D x y z S x y ∑++=+⎰⎰⎰⎰2100(cos 1)d r sin rdr πθθθ=++⋅⎰20(cos sin 1)3d πθθθ=++⎰=（3）d S ∑⎰⎰，其中∑是平面1=++z y x 在第一卦限被0,0,0===z y x 截下的部分．解：∑的等边三角形，其面积为2S ∑=d S S ∑∑==⎰⎰（4）S ∑，其中∑为抛物面22z x y =+被平面1z =所截下的有限部分．解：22:1xy D x y +≤xyD S ∑=⎰⎰ 2122200(144)(14)xy D x y dxdy d r rdr πθ=++=+⎰⎰⎰⎰ 3232ππ=⋅=（5）()xy yz zx dS ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =被柱面222(0)x y ax a +=> 所截得的部分．解：222:()xy D x a y a -+≤()d [(xy D xy yz zx S xy x y ∑++=++⎰⎰⎰⎰2cos 22202[sin cos (sin cos )]a d r r rdr πθπθθθθθ-=++⎰454522(sin cos sin cos cos )d ππθθθθθθ-=++⎰422420(1sin )sin d πθθ=-=⎰（6）d ,:xy S ∑∑⎰⎰曲面22(01)z x y z =+≤≤在第一卦限的部分．解：22:1(0,0)xy D x y x y +≤≥≥d xy D xy S ∑=⎰⎰⎰⎰12200sin cos d r πθθ=⎰⎰12001sin cos 2d πθθθ=⋅⎰⎰2201111sin 22242t d t dt πθθ-=⋅⋅⎰25311111cos 232253240o t t πθ⎛⎫⎛=-⋅-= ⎪ ⎝⎭⎝2．计算曲面积分(,,)d f x y z S ∑⎰⎰，:∑抛物面222z x y =--在xOy 平面上方的部分，(,,)f x y z 分别如下：（1）(,,)1f x y z =；（2）22(,,)f x y z x y =+；（3）(,,)3f x y z z =．解：22:2xy D x y +≤（1）(,,)d xyD f x y z S S ∑∑==⎰⎰⎰⎰20d πθ=⎰1313263ππ=⋅=(2) 22(,,)d (xy D f x y z S x y ∑=+⎰⎰⎰⎰200d πθ=⎰ 14914926030ππ=⋅=(3) 22(,,)d 3(2xyD f x y z S xy ∑=--⎰⎰⎰⎰2200d r πθ=-⎰11111122010ππ=⋅=提高题： 1．设曲面:1x y z ∑++=，求()d x y S ∑+⎰⎰．解：由曲面的对称性和函数x 的奇偶性可知0xdS ∑=⎰⎰又曲面∑对坐标,,x y z 具有轮换对称性()d d d x y S x S y S∑∑∑∴+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 10()3x y z dS ∑=+++⎰⎰11183332dS S ∑∑===⋅=⎰⎰第21次课对坐标的曲面积分1．计算下列各题中的曲面积分：（1）d d z x y ∑⎰⎰，其中∑为平面1x y z ++=位于第一卦限部分的上侧．（2）22d d x y z x y ∑⎰⎰，:∑球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧．（3）222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰，其中∑为球面2221x y z ++=上半部分外侧．（4）d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰，:∑柱面221(03)x y z +=≤≤在第一卦限内的部分的前侧．（5）d d d d xy z x z x y ∑+⎰⎰，其中∑为抛物面22z x y =+在0,0,01x y z ≥≥≤≤内部分的上侧．2．求()d d ()d d ()d d y z y z z x z x x y x y ∑-+-+-⎰⎰，其中∑为曲面z =及平面(0)z h h =>所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．3．计算()d d ()d d ()d d f x y z g y z x h z x y ∑++⎰⎰，其中(),(),()f x g y h z 为连续函数，∑为直角平行六面体0,0,0x a y b z c ≤≤≤≤≤≤的表面外侧．提高题：1．把对坐标的曲面积分：(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分，其中：∑是平面236x y z -+=在第二卦限部分的上侧．2．设曲面∑是z =的上侧，求2d d d d d d xy y z x z x x x y ∑++⎰⎰．第22次课第十一章总复习题1．计算下列曲线积分：（1）d L x S ⎰，其中L 为星形线332cos 2sin x t,y t ==经过点(2,0)A ，(0,2)C ，(2,0)B -的ACB 弧段．（2）22d d L y x y x y x -⎰，其中L 是圆周222x y a +=，沿顺时针方向．（3）求zds Γ⎰，其中Γ为曲线0cos sin ,(0)x t t y t t t t z t =⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩．（4）求(sin 2)d (cos 2)d x x L e y y x e y y -+-⎰，其中L 为上半圆周222()(0)x a y a y -+=≥，沿逆时针方向．2．验证22(e cos 2)d (2e sin )d x xy xy x x y y y ++-是否是某一函数()u x,y 的全微分．若是，试求出()u x,y ．3．设L 为平面曲线：222x y R +=，计算下列各积分：（1）22()d L x y s +⎰；（2）22()d L x y x +⎰，其中L 取正向；（3）22()d D x y σ+⎰⎰，其中D 为曲线L 所围成的平面区域．4．计算33d d L y x x y -⎰，其中L 是从(,0)A R -到(,0)B R 的上半圆周y =5．设曲面:∑2222x y z R ++=，计算下列各曲面积分：（1）222()d x y z S ∑++⎰⎰；（2）222()d d x y z z x ∑++⎰⎰，其中∑取其外侧；（3）222()d x y z V Ω++⎰⎰⎰，其中Ω为曲面∑所围成的空间区域．6．计算∑∑为介于0z =及(0)z H H =>之间的柱面222R x y =+．。

无穷级数期末复习题高等数学下册 (上海电机学院)

第十一章无穷级数一、选择题1.在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A）∑∞=+1121n n(B)()()2311nnn∑∞=-(C)()∑--nn3111(D)()nnnn111--∑∞=2.()∑∞=-2!1nnnnx在-∞<x<+∞的和函数()=xf（A ）（A）e x2-(B) e x2(C) e x--2(D) e x2-3.下列级数中收敛的是（ B ）（A）∑+∞=11n nn(B)∑+∞=111n nn(C)()∑+∞=1121n n(D)()∑+∞=12111n n4.lim=∞→u nn是级数∑∞=1nnu收敛的（ B ）（A）充分条件(B) 必要条件(C) 充要条件(D) 无关条件5.级数∑∞=1nnu收敛的充分必要条件是（ C ）（A）lim=∞→u nn(B)1lim1<=+∞→ruunnn(C)s nn∞→lim存在（s n=u1+u2+…+u n）(D) nu n21≤6.下列级数中，发散的级数是（ B ）（A）∑∞=121n n(B)∑∞=11cosnn(C)()∑∞=131nn(D)()∑∞=-1132nn7.级数()()nx nnn51111-∑-∞=-的收敛区间是（ B ）（A）（0，2）(B)(]2,0 (C)[)2,0(D) [0，2]8.()+∞<<∞-∑∞=xnnnx1!的和函数是（ B ）（A）e x(B) 1-e x(C) 1+e x(D) x-119.下列级数中发散的是（ A ）（A）∑∞=12sinnnπ(B)()∑-∞=-1111nnn(C) ∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=143nn(D)∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=131n n10.幂级数()∑∞=-13nnx的收敛区间是（ B ）（A）()1,1-(B)()4,2(C) [)4,2(D)(]4,211.在下列级数中发散的是（ D ）（A）∑∞=123nn(B)()nnn1111∑∞=--(C) ∑∞=+1312n nn(D)∑∞=+13)1(1nnn12.幂级数()()xnnnn120!121+∞=∑+-的和函数是（ D ）（A）e x(B) xcos(C)()x+1ln(D) xsin13. 级数()()nx nn n 51111-∑-∞=-的收敛区间是（B ）（A ）（0，2） (B) (]2,0 (C) [)2,0 (D) [0，2]14. 在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A ）∑∞=+1121n n (B)()()2311nn n∑∞=-(C)()∑--n n 3111 (D)()nn n n111--∑∞=15. 下列级数中不收敛的是（ A ）．A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-11)1(n nnC ．∑∞=-1321)1(n n nD ．∑∞=-121)1(n nn16．在下列级数中发散的是（C ）（A ）∑∞=131n n（B ）+++++321161814121（C ） +++3001.0001.0001.0（D ）()()()+-+-5353535343217．幂级数x n n nn ∑∞=++11)1ln(的收敛区间是（C ）（A ）[]1,1- (B)（-1，1）(C) [)1,1- (D) (]1,1-18．下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．∑∞=--11)32()1(n nnB ．∑∞=--11)1(n n nC ．∑∞=--11)31()1(n nn D ．∑∞=-+-1212)1(n n nn19．幂级数∑∞=++11)21(n nnx 的收敛区间是（ C ）A ．)2123(,- B ．]2123[,- C ．)2123[,-D ．]2123(,-20.在下列级数中，条件收敛的是（ B ）（A ）()111+∑-∞=n nn n(B)()n n n111∑-∞=(C)()∑-∞=1211n nn (D)∑∞=11n n21.级数∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∞=+1152n n 的和Ｓ＝（ D ）（A ）23(B) 35(C) 52(D) 3222. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=x, 若f(x)的傅立叶级数展开式为∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa ，则=n a [D]A. 1)1(2+-n nB.nn)1(2- C.1)1(1+-n nD. 023. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=2x , 若f(x)的傅立叶级数展开式为∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa ，则=nb [A]A. 0B.nn)1(4- C.1)1(2+-n nD. 1)1(4+-n n二、填空题1．幂级数()∑∞=-02!1n nnn x 的和函数是 e x 2-2.幂级数∑∞=02n nnx的收敛半径为21=R 。

《高等数学》(下)习题参考答案

《高等数学》（下）习题参考答案第七章空间解析几何与矢量代数习题一、 1．(,,),(,,),(,,)x y z x y z x y z ------； 2．k j i 573--；3．2y z +=或210x y z +-=； 4．圆，圆柱面； 5．2340x y z --+=．二、 1. 2. 3. 4. 5.B C B A C三、1.u =11232.cos cos cos 22343πππαβγαβγ=-=====；3.4-；4.32550x y z +-+=；5.3πθ=； 6.P r j βα=；7.2OABS ∆= 2228.9x y z ++=； 222289.0x x y z ⎧-+=⎨=⎩； 10．⎪⎭⎫ ⎝⎛--8343,8356,83273； 11.0x y z -+=．第八章多元函数微分学习题一一、 1、yyx +-112； 2、},0,0|),{(2y x y x y x ≥≥≥； 3、1，2； 4、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++xy xy xy xy x 1)1ln()1(，12)1(-+x xy x ； 5、22812y x -，22812x y -，xy 16-．二、1. 2. 3. 4. 5.D D B B A三、 111ln ln ln z z z z y y z y z uuuy x x y z x x y x y xyz--∂∂∂===∂∂∂、 2、)ln (1z x y z y x x u x z y +=∂∂-，)ln (1z x y z y x yux z y +=∂∂-，)ln (1y z x z y x z u x z y +=∂∂-2222222222222222223z xy z xy x x y y x y z y x x y x y ∂∂==-∂+∂+∂-=∂∂+、（）（）（）4、xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=-5、dy dx 3231+习题二一、1、)()(y x f xy y x yf +'++，)()()()(y x f xy y x f y x y x f +''++'+++；2、2242232f y x f y x ''+'； 3、dy f f dx f f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+''-''-12121； 4、y x y x -+； 5、x y z z z -ln ln ，yyz xy z ln 2-二、1、C ；2、A ；3、C ；4、B ；5、C 三、 1、321f yz f y f x u '+'+'=∂∂，32f xz f x yu '+'=∂∂，3f xy z u '=∂∂ 3、212f x f y x z '+'=∂∂，22122211124)(2f xy f y x f xy f yx z''-''-+''+'=∂∂∂ 6、)()(1)](1)[(v g u f v g u f x z ''+'+'=∂∂，)()(1)](1)[(v g u f v g u f y z ''+'+'-=∂∂ 7、2222111133332sin cos 2cos x y x y x y zf x f x e f x f e e f x+++∂''''''''=-⋅+⋅+⋅+⋅+∂； 332232313122sin cos sin cos f e f y e f e f x e y x f y x zy x y x y x y x ''+''⋅-'+''⋅+''-=∂∂∂++++ 8、2222222222222222222221213394133u u u u u u u x x u u u u u u u y y u u u u x y ζηζζηηζηζζηηζζηη∂∂∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=--=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=---∂∂∂∂∂∂ 习题三一、12121281610148x y z x y z ---==-+-=-2、042=-+y x ，2112zy x =-=-3.1+4.326i j k --5.(3,2)大 36二、1. 2. 3. 4. 5.B D A C C 三、(1,2)2zl∂=∂、13(,1)2-、极小值2e-2433p p 、22222222221212121251122022020x y zx y z x y z z x y x y z F x y z x y z z x y x y z F x x F y y F z x λλλλλλλλ=++=+++==+++--+++-=-+=⎧⎪=-+=⎨⎪=++=⎩2、设椭圆上点为（x，y，z），则原点到椭圆上这点的距离平方为d ，其中，，满足和令（，，）（）（）==11求解方程，最长距离为d d 6、在点)1,1(-处有极小值：-2；极大值：6．第九章重积分习题一一、1.()2aba b + 2、⎰⎰e ey dx y x f dy ),(10；3、)1(214--e ；4、1210cos sin (cos ,sin )d f d πθθθρθρθρρ+⎰⎰；5、⎰⎰-+--2211111),(x x dy y x f dx二、1. 2. 3. 4. 5.C A B D C三、1.[36,100]ππ； 62.55； 3．49； 4.e e 2183-； 5．2643π；6．38； 7．π6； 8．)0(32f 'π．习题二一、1、⎰⎰⎰+----111112222),,(y x x xdz z y x f dy dx ； 2、π32； 3、θϕϕd drd r dv sin 2=；4、⎰⎰⎰adr r f r d d 0224020)(sin ππϕϕθ； 5、dxdy y z x z dS 221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+= 二、1. B ；2．B ；3．D ；4．C ；5．B三、1．)852(ln 21-； 2．481； 3．467a π； 4．6π； 5．)22(162-π； 3232001()6.()2[()],lim (0)33t t F t F t r h h f r dr h hf t πππ+→=+=+⎰； 27.2()a a π-．第十章习题一一、填空题 1、23202(2sin 2cos 2)sin 2ta t t t t dt π--+⎰； 2、2； 3、34/3；4、⎰； 5、π2二、选择题1、(B)；2、(A)；3、（C ）；4、（A ）；5、（A ）；6、（C ）三、计算题1、242-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a e a π； 2、9四（略）五1、π2-；2、1/2 六、⎰++Lds xxQP 2412七、⎰Γ++++ds yx yRxQ P 2294132习题二一、选择题 1、（B ）； 2、（D ）； 3、（B ）； 4、（D ）； 5、（C ）二、8 三、1、42R π-；2、241π；3、281a m π四、3cos 42cos 9+ 五、y x y x u 2),(=六、283a π七、八（略）习题三一、填空题1、π8；2、321； 3、π8-； 4、dS R Q P ⎰⎰∑++53223； 5、22a π 二、选择题1、（D ）；2、（B ）；3、（C ）；4、（C ）三、计算题 1、427-； 2、π221+ 四、 1、π23； 2、81五、552a π六、π32第十一章习题一一、判断题1、√；2、×；3、√；4、×；5、√；6、× 二、填空题1、0；2、1>p 且.const p =；3、1>p ，10≤<p ，0≤p ；4、 ,2,1,1=≥+n u u n n 且0lim =∞→n n u三、选择题 1、（C ）； 2、（A ）； 3、（C ）； 4、（A ）； 5、（C ）四（略）五、1、发散；2、收敛六、1、发散；2、收敛七、1、发散；2、收敛八、当b a >时，收敛；当b a <时，发散；当b a =时，可能收敛，也可能发散．九、1、收敛；2、收敛十（略）习题二一、判断题1、×；2、√；3、√；4、×；5、√ 二、填空题1、⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,21； 2、)5,1[-； 3、)1,1[-，)1ln(x --； 4、22,2)1(1)1(2ln 011≤<-⋅+-+∑∞=++x x n n n n n； 5、26,)4(3121011-<<-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∞=++x x n nn n三、选择题1、（D ）；2、（B ）；3、（B ）；4、（C ）；5、（C ）四、1、)3,3[-；2、)3,1[；3、]1,1[- 五、 1、)1,1(,)1(1)(2-∈-=x x x s ；2、)1,1(,arctan 21)]1ln()1[ln(41)(-∈+--+=x x x x x s六、2(1)(),(1,1](1)n nn f x x x x n n ∞=-=+∈--∑七、)1,1(,)1(2131)(01-∈⎪⎭⎫⎝⎛-+=∑∞=+x x x f nn n n八、)1,1(,)1ln(arctan 21222-∈+-++x x x x xx 第十二章习题一一、判断题1、×；2、√；3、√；4、×；5、× 二、填空题1、2)(ln 21)(x x f =；2、x cxe y -=；3、x y 2=；4、x x x y 91ln 31-=；5、yP x Q ∂∂=∂∂ 三、1、C y x =⋅tan tan ；2、C e e y x =-⋅+)1()1( 四、22sec )1(=⋅+y e x 五、s cm /3.269 六、1、Cx y x =-332；2、223x y y -= 七、)ln 41(x x y -= 八、 1、)(sin C x ey x+=-； 2、322Cy y x +=； 3、)cos 1(1x y --=ππ 九、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-t m ke k m k t k k v 2122121 十、xx x f 3132)(+=十一、)1,1[,)1ln()(1-∈--=∑∞=x x e x f x n n习题二一、选择题 1、（C ）； 2、（B ）； 3、（D ）； 4、（C ）； 5、（B ）； 6、（A ）； 7、（D ）二、填空题1、3221)3(C x C x C e x y x +++-=；2、22121C x x e C y x +--=； 3、)1ln(1+-=ax ay三、1、x x e C e C y 221-+=；2、x C x C y sin cos 21+=；3、x C x C e C e C y x x sin cos 4321+++=-；4、4x x y e e -=- 四、⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-++-tk k tk k k eek k v x 1221222424122014五、)sin (cos 21)(x e x x x ++=ϕ 六、u u f ln )(= 七、1)(21)(++=-x xe e x s。

高等数学-2习题册答案(第十一章1-4节

第十一章曲线积分与曲面积分第17次课对弧长的曲线积分1．计算下列各题中的曲线积分：（1）cos d Ly s ⎰，其中L 为原点至点(2,1)的直线段；解：2200cos 2L x yds ⎤===⎥⎦⎰⎰ （2）d Lx s ⎰，其中L 为抛物线221y x =-介于1x =及0x =之间的一段弧；解：131222001121(116)(116)3232348Lxds x x ⎡⎤==+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰（3）()d Lx y s +⎰，其中L 是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形的边界；解：()()()()LOAABOBx y ds x y ds x y ds x y ds +=+++++⎰⎰⎰⎰111((0x y =++++⎰⎰⎰11221000122x y =++=+（4）222()d Lx y s +⎰，其中L 为圆周222x y a +=；解：2222245()()22LLx y ds a ds a a a ππ+==⋅=⎰⎰（5）||d Lxy s ⎰，其中L 为圆周222x y a +=；解：根据xy 在四个象限的对称性，有14LL xy ds xy ds =⎰⎰（其中1L 是在第一象限的四分之一圆周），则12044(cos )(sin LL xyds xyds a t a t π==⎰⎰⎰333220sin 2(2)(cos 2)2atd t a t a ππ==-=⎰（6）222d z s x y Γ+⎰，其中Γ为圆周cos ,sin ,,02x a t y a t z at t π===≤≤．解：2222z dsx y πτ=+⎰⎰222330013t dt t a ππ===⎰2．计算曲线积分22d x y Les +⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：224ax y Leds π+=++⎰⎰⎰ 402(1)4a ax a a ae teae e ππ=++=+-3．有一铁丝成半圆形cos ,sin (0)x a t y a t t π==≤≤，其上每一点的密度等于该点的纵坐标，求铁丝的质量．解：220sin (cos )2LM yds a a t a ππ===-=⎰⎰提高题：1．已知椭圆23:143x y L +=周长为a ，求22(234)d L xy x y s ++⎰．解：原式(122)121212012LLLxy ds ds xyds a a =+=+=+=⎰⎰⎰2．计算曲线积分4433()d Lx y s +⎰，其中L 为星形线33cos ,sin (0)2x a y a πθθθ==≤≤在第一象限内的弧．解：4444433320()d (sin cos Lx y s a πθθθ+=+⎰⎰7772556633322000113(sin sin cos cos )3sin cos 66a d d a a πππθθθθθθ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰第18次课对坐标的曲线积分1．计算下列各题中的曲线积分：（1）(2)d Lx y x +⎰，其中L 为从点(2,0)-到点(0,2)的直线段．解：02(2)(22)2Lx y dx x x dx -+=++=-⎰⎰（2）22d d Lxy y x y x -⎰，其中L 为圆周221x y +=，逆时针方向．解：2222220cos sin cos cos sin sin Lxy dy x ydx t t tdt t t tdt ππ-=+⎰⎰⎰2222000sin 21cos 411sin 4244162t t dt dt t t ππππ-⎛⎫===-= ⎪⎝⎭⎰⎰（3）d Lxy x ⎰，其中L 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界曲线弧（按逆时针方向）．解：LAOOAxydx xydx xydx =+⎰⎰⎰半圆周232320(cos )sin (sin )0sin sin cos aa a t a t a t dt dx a tdt a t tdt πππ=+⋅-+=--⎰⎰⎰⎰33233330001cos 2111sin sin sin 2sin 22432t a dt a td t a t t a ta πππππ-⎛⎫=--=---=-⎪⎝⎭⎰⎰（4）d d d Lx x y y z z ++⎰，其中Γ为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段．解：()1112[(1)(12)2(13)3](614)6713Lxdx ydy zdz t t t dt t dt t t++=+++⋅++⋅=+=+=⎰⎰⎰（5）d d L x yx y ++⎰，其中L 为从点(0,1)A -到点(1,0)B 再到点(0,1)C 的折线段．解：1001(11)(11)2L AB BC dx dy dx dy dx dydx dx x y x y x y +++=+=++-=+-+⎰⎰⎰⎰⎰2．计算()d ()d Lx y x y x y ++-⎰，其中L ：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧．解：（1）2222321134=[()2()](2)3y y y y y dy y y y dy ++-=++=⎰⎰原式（2）441112121108=[()()]()113333399x x x x dx x dx ++++-⋅=+=⎰⎰原式（3）122220{(211)(41)[1(21)]2}t t t t t t t t dt =+++++++-++⎰原式132032(10592)3t t t dt =+++=⎰3．计算曲线积分2(12)d d Lxy x x y ++⎰，其中L 为从点(1,0)到点(1,0)-的上半椭圆周2221(0)y x y +=≥．解：:cos ,,:0L x t y t t π==→20=[(1cos )(sin )cos cos ]2t t t tt dt π+-+⎰原式220sin sin sin (1sin )sin 2tdt td t t d t πππ=-+-⎰⎰ 2=-提高题： 1．计算曲线积分2sin 2d 2(1)d Lx x x y y +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从点(0,0)到点(,0)π的一段．解：220=[sin 22(1)sin cos ]sin 2x x x x dx x xdx ππ+-=⎰⎰原式2200011cos 2cos 2cos 222x d x x x x xdx πππ⎡⎤=-=-+⎣⎦⎰⎰[]2200011111sin 2sin 2sin 222222xd x x x xdx πππππ=-+=-+-⎰⎰212π=-2．设在力场F y x z (,,)=-作用下，质点由(,0,0)A R 沿Γ移动到(,0,2)B R k π，其中Γ为（1）cos ,sin ,x R t y R t z kt ===；（2）AB ．试求力场对质点所作的功．解：（1）222220d d d ()d 2()W y x x y z z R k t t k R πππΓ==-+=-+=-⎰⎰（2）直线的参数方程为,0,2,:01x R y z kt t π===→12220d d d (2)d 2ABW y x x y z z k t t k ππ=-+==⎰⎰第19次课格林公式及其应用1．应用格林公式计算下列各题中的积分：（1）22d d Lx y x xy y -⎰，其中L 为正向圆周222(0)x y a a +=>．解：22,Q Py x x y∂∂=-=∂∂，由格林公式原式2222440011()()2()42aDy x dxdy d r rdr a a πθππ=--=-=⋅-=-⎰⎰⎰⎰（2）()d (3)d Lx y y x y x -++⎰，其中L 为以(1,0),(2,0),(2,1),(1,1)A B C D 为顶点的正方形沿顺时针方向．解：1,3Q Px y∂∂==∂∂，由格林公式原式(13)222DDDdxdy dxdy S=--===⎰⎰⎰⎰（3）22222(32)d (223)d x x Ly e x xy y x ye x xy y y ++++++-⎰，其中L 是半圆周y =自点(1,0)A 至(0,1)B ．解：222,222x x Q Pye x y ye x y x y∂∂=++=++∂∂，由格林公式原式L BO OABO OA++=--⎰⎰⎰012210(23)3Ddxdy y y x dx =---⎰⎰⎰⎰1=-（4）22()d (sin )d Lx y x x y y --+⎰，其中L 是在圆周y =上由点(0,0)到(1,1)的一段弧．解：1,1Q Px y∂∂=-=-∂∂ 设(1,1),(1,0)B A ，由格林公式原式L BA AOBAAO++=--⎰⎰⎰0022110[(1sin )]Ddxdy y dy x dx =---+-⎰⎰⎰⎰311710(sin 2)sin 224364=--+=-+2．利用曲线积分计算星形线33cos ,sin (0,02)x a t y a t a t π==>≤≤所围成图形的面积．解：23232011[cos 3sin cos sin (3cos sin )]22L A xdy ydx a t a t t a t a t t dt π=-=⋅-⋅-⎰⎰ 2222222220003331cos 4sin cos sin 22882t a t tdt a tdt a dt πππ-===⎰⎰⎰ 238a π=3．证明曲线积分21d d L y x y x x -⎰在右半平面内与路径无关，并求(1,2)2(2,1)1d d y x y x x -⎰．解：21Q Px x y∂∂==∂∂(0)x > ∴曲线积分在区域{}(,)0x y x >与路径无关设(2,1),(1,2),:3,:21A B AB y x x =-+→则(1,2)1222(2,1)21131d d d d [(1)]AB y y x x y x y dx x xx x x x -+-=-=-⋅-⎰⎰⎰ 12332x =-=-4．验证表达式：2222(2)d (2)d x xy y x x xy y y +-+--在整个平面内是某一函数(,)u x y 的全微分，并求这样的一个(,)u x y ．解：22Q Px y x y∂∂=-=∂∂ ∴2222(2)d (2)d x xy y x x xy y y +-+--是某一函数(,)u x y 的全微分(,)2222(0,0)(,)(2)d (2)d x y u x y x xy y x x xy y y =+-+--⎰(,0)(,)222(0,0)(,0)(2)x x y x yx x dx x xy y dy =+=+--⎰⎰⎰⎰32231133x x y xy y =+--提高题： 1．设曲线积分2d ()d Lxy x y x y ϕ+⎰与路径无关，其中()x ϕ具有连续导数，且(0)0ϕ=，求()x ϕ，并求积分(1,1)2(0,0)d ()d xy x y x y ϕ+⎰的值．解：曲线积分与路径无关可得2()Q Pxy y x x yϕ∂∂'==∂∂即从而2()2()x x x x C ϕϕ'=⇒=+，又(0)0ϕ=有2()x x ϕ= 故(1,1)123(0,0)1d ()d 22xy x y x y x dx ϕ+==⎰⎰ 2．[()]d [()]d xx Lf y emy x f y e m y '-+-⎰，其中()f y 有连续的一阶导数，L 是连续点1(0,)A y ，2(0,)B y 的任何路径，且L 与直线AB 所围成区域的面积为定值S ，L 总是位于直线AB 的左方．解：(),()x x Q Pf y e f y e m x y∂∂''==-∂∂ 不妨设12y y <，由格林公式原式12[()]y L BABAy Dmdxdy f y m dy +'=-=---⎰⎰⎰⎰⎰212121[()]()()()y D y mS f y my mS f y f y m y y =-+-=-+---第20 次课对面积的曲面积分1．计算下列各题中的曲面积分：（1）d z S ∑⎰⎰，其中∑为上半球面z = 解：222:xy D x y R +≤xyD zdS ∑=⎰⎰⎰⎰23xyD Rdxdy R R R ππ==⋅=⎰⎰（2）()d x y z S ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =被平面1z =所截下的有限部分．解：22:1xy D x y +≤()d (xyD x y z S x y ∑++=+⎰⎰⎰⎰21(cos 1)d r sin rdr πθθθ=++⋅⎰20(cos sin 1)3d πθθθ=++⎰=（3）d S ∑⎰⎰，其中∑是平面1=++z y x 在第一卦限被0,0,0===z y x 截下的部分．解：∑的等边三角形，其面积为2S ∑=d 2S S ∑∑==⎰⎰ （4）S ∑，其中∑为抛物面22z x y =+被平面1z =所截下的有限部分．解：22:1xy D x y +≤xyD S ∑=⎰⎰21222(144)(14)xyD x y dxdy d r rdr πθ=++=+⎰⎰⎰⎰3232ππ=⋅=（5）()xy yz zx dS ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =被柱面222(0)x y ax a +=> 所截得的部分．解：222:()xy D x a y a -+≤()d [(xyD xy yz zx S xy x y ∑++=++⎰⎰⎰⎰2cos2222[sin cos(sin cos)]ad r r rdrπθπθθθθθ-=++⎰454522(sin cos sin cos cos)dππθθθθθθ-=++⎰42242(1sin)sindπθθ=-=⎰（6）d,:xy S∑∑⎰⎰曲面22(01)z x y z=+≤≤在第一卦限的部分．解：22:1(0,0)xyD x y x y+≤≥≥dxyDxy S∑=⎰⎰⎰⎰12200sin cosd rπθθ=⎰⎰12001sin cos2dπθθθ=⋅⎰⎰2201111sin22242td t dtπθθ-=⋅⋅⎰25311111cos232253240ot tπθ⎛⎫⎛=-⋅-=⎪⎝⎭⎝2．计算曲面积分(,,)df x y z S∑⎰⎰，:∑抛物面222z x y=--在xOy平面上方的部分，(,,)f x y z 分别如下：（1）(,,)1f x y z =；（2）22(,,)f x y z x y =+；（3）(,,)3f x y z z =．解：22:2xy D x y +≤（1）(,,)d xyD f x y z S S ∑∑==⎰⎰⎰⎰20d πθ=⎰1313263ππ=⋅=(2)22(,,)d (xyD f x y z S x y ∑=+⎰⎰⎰⎰20d πθ=⎰14914926030ππ=⋅=(3)22(,,)d 3(2xyD f x y z S x y ∑=--⎰⎰⎰⎰220d r πθ=-⎰11111122010ππ=⋅=提高题：1．设曲面:1x y z ∑++=，求()d x y S ∑+⎰⎰．解：由曲面的对称性和函数x 的奇偶性可知0xdS ∑=⎰⎰又曲面∑对坐标,,x y z 具有轮换对称性 ()d d d x y S x S y S ∑∑∑∴+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰10()3x y z dS ∑=+++⎰⎰111333dS S ∑∑===⋅=⎰⎰第21次课对坐标的曲面积分1．计算下列各题中的曲面积分：（1）d d z x y ∑⎰⎰，其中∑为平面1x y z ++=位于第一卦限部分的上侧．（2）22d d xy z x y ∑⎰⎰，:∑球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧．（3）222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰，其中∑为球面2221x y z ++=上半部分外侧．（4）d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰，:∑柱面221(03)xy z +=≤≤在第一卦限内的部分的前侧．（5）d d d d xy z x z x y ∑+⎰⎰，其中∑为抛物面22z x y =+在0,0,01x y z ≥≥≤≤内部分的上侧．2．求()d d ()d d ()d d y z y z z x z x x y x y ∑-+-+-⎰⎰，其中∑为曲面z =及平面(0)z h h =>所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．3．计算()d d ()d d ()d d f x y z g y z x h z x y ∑++⎰⎰，其中(),(),()f x g y h z 为连续函数，∑为直角平行六面体0,0,0x a y b z c ≤≤≤≤≤≤的表面外侧．提高题：1．把对坐标的曲面积分：(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分，其中：∑是平面236x y z -+=在第二卦限部分的上侧．2．设曲面∑是z =的上侧，求2d d d d d d xy y z x z x x x y ∑++⎰⎰．第22次课第十一章总复习题1．计算下列曲线积分：（1）d Lx S ⎰，其中L 为星形线332cos 2sin x t,y t ==经过点(2,0)A ，(0,2)C ，(2,0)B -的ACB 弧段．（2）22d d Ly x y x y x -⎰，其中L 是圆周222x y a +=，沿顺时针方向．（3）求zds Γ⎰，其中Γ为曲线0cos sin ,(0)x t t y t t t t z t=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩．（4）求(sin 2)d (cos 2)d x x Le y y x e y y -+-⎰，其中L 为上半圆周222()(0)x a y a y -+=≥，沿逆时针方向．2．验证22(e cos 2)d (2e sin )d xxy xy x x y y y ++-是否是某一函数()u x,y 的全微分．若是，试求出()u x,y ．3．设L 为平面曲线：222x y R +=，计算下列各积分：（1）22()d L x y s +⎰；（2）22()d L x y x +⎰，其中L 取正向；（3）22()d D x y σ+⎰⎰，其中D 为曲线L 所围成的平面区域．4．计算33d d L y x x y -⎰，其中L 是从(,0)A R -到(,0)B R 的上半圆周y =5．设曲面:∑2222x y z R ++=，计算下列各曲面积分：（1）222()d x y z S ∑++⎰⎰；（2）222()d d x y z z x ∑++⎰⎰，其中∑取其外侧；（3）222()d x y z V Ω++⎰⎰⎰，其中Ω为曲面∑所围成的空间区域．6．计算∑∑为介于0z =及(0)z H H =>之间的柱面222R x y =+．（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

高数同济第六版下高等数学2第十一章答案[1]

⾼数同济第六版下⾼等数学2第⼗⼀章答案[1]习题11-1 对弧长的曲线积分1.计算下列对弧长的曲线积分：（1）22x y Leds +?，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第⼀象限内所围成的扇形的整个边界；（2）2x yzds Γ，其中Γ为折线ABCD ，这⾥A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)；（3）2Ly ds ?，其中L 为摆线的⼀拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤.2.有⼀段铁丝成半圆形y =，其上任⼀点处的线密度的⼤⼩等于该点的纵坐标，求其质量。

解曲线L 的参数⽅程为()cos ,sin 0x a y a π==≤≤ds ad ??==依题意(),x y y ρ=，所求质量22sin 2LM yds a d a π===?? 习题11-2 对坐标的曲线积分1.计算下列对坐标的曲线积分：（1）22()Lxy dx -?，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的⼀段弧；（2）22()()Lx y dx x y dy x y+--+?，其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针⽅向绕⾏）；（3）(1)xdx ydy x y dz Γ+++-?，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的⼀段直线；（4）dx dy ydz Γ-+?，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这⾥A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)；2.计算()()Lx y dx y x dy ++-?，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的⼀段弧；（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；（4）曲线221x t t =++，21y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的⼀段弧。