两角和与差的正弦余弦正切公式 课件

4 5 例2、已知 sin , , , cos , 5 13 2 是第三象限角，求cos( ) 的值。
联系公式 ( ) 和本题的条 件，要计算 cos( ) ，应作 哪些准备？
c
4 解：由 sin 5 , 2 , , 得
由向量数量积的定义，有
OA OB OA OB cos( ) cos( )
由向量数量积的坐标表示，有
（1）
OA OB (cos , sin ) (cos , sin ) cos cos sin sin
（2）
由（1）和（2）得

6 2 4
解法二：
cos15 cos(60 45 )

cos60 cos45 sin 60 sin 45


1 2 3 2 2 2 2 2 2 6 4
思考：你会求 sin 75 的值吗？
sin 75 sin(90 15 ) cos15
的终边与 如右图：设角 pop 单位圆的交点为 p1 ， 1
则 pox 过点P作PM垂直于x轴，垂 足为M，那么OM是角
y
p1
A


C

p
x
O
B M
思考：如何用角 ， 弦线来表示OM？
的余弦线。
的正弦线、余
过点P作PA垂直于O p1 ，垂足为A，过点A作AB垂 直于x轴，垂足为B，过点P作PC垂直于AB，垂足为 C。则OA= cos ，AP= sin 并且pac p1ox
当
0,
时，则 OA OB cos
cos( )
当 ,2 时，则 2 0, 且
OA OB cos(2 ) cos cos( )
（一）两角差的余弦公式
对于任意角 ， 都有

cos( ) cos cos sin sin
3 4 1 5 5
2
3 5 4 12 5 13 5 13
（二）练习：P142 1、2、3、4
（三）总结：
两角差的余弦公式
对于任意角 ， 都有
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
由向量数量积概念知： 0

也是任意角， 但 都是任意角， 那么证法二正确吗？
当 是任意角时，由诱导公式， 总可以找到一个角 0,2 ，使
cos cos( ) 则
（
c
( )）
sin 的值可 作用：知 cos ， cos ，sin ， 求 cos( )
例1 利用差角余弦公式求 cos15 的值。
想一想： 有几种拆 分方法？

解法一：
cos15 cos(45 30 ) cos45 cos30 sin 45 sin 30 2 3 2 1 2 2 2 2
67
tan( 45

x 30 ) 60
x
能否用 sin 把 tan( 45 )

45 67
A

表示出来呢？

3.1-1
C 30 B
，能不能 一般地说，对于任意角 ， 的三角函数值把 或者 用 ，

的三角函数值表示出来呢？
下面我们来研究如何用任意角 ， 的正弦、余弦值来表示 cos 的问 题。
一、课题导入
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上。如图3.1-1所 示,小山高BC约为30米,在地平面上有一点A,测得A，C两点 间距离约为67米，从A观测电视发射塔的视角（ CAD ） D 约为 45 。求这座电视发射塔的高度。 解:设电视塔高CD= x 米，CAB = 则 sin = 30 在 Rt ABD 中，
cos 1 sin
2
cos cos cos sin sin
33 65
5 又由cos , 是第三象限角，得 13 2 12 5 2 sin 1 cos 1 13 13

二、新课讲解
cos( ) cos cos
吗？
很明显：cos(60 cos30 ) cos60 cos30


， cos( ) cos cos 所以对任意的 、
不成立。
思考：
cos( ) ?
证法一、用单位圆上的三角函数线证明
（
c
( )）
sin 的值可 作用：知 cos ， cos ，sin ， 求 cos( )
（四）作业：P152
2、3
于是
OM=OB+BM
=OB+CP =OAcos +AP sin = cos cos sin sin
即 cos( ) cos cos sin sin
பைடு நூலகம்
y A O

证法二、用向量的方法证明
如右图：则
B

1
OA (cos， sin ),OB (cos , sin )