九年级数学上册第23章图形的相似知识归纳华东师大版

第23章 图形的相似

1． 比例线段的有关概念

==在比例式::中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，

a c

(a b c d )a d b c a c b d

b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b =

c ，那么b 叫做a 、

d 的比例中项． 2． 比例性质

①基本性质：

a b c

d

ad bc =⇔= ②更比性质(交换比例的内项或外项)：

()()()()⎧=⎪⎪

⎪=⎪=⇒⎨

⎪=⎪⎪⎪=⎩交换内项交换外项同时交换内外项同时交换比的前项和后项a b

c d d c a c

b a d b b d

c a b d

a c

②合比性质：

±±a b c d a b b c d d =⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a

b

===+++⇒++++++=()0

3． 黄金分割

在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果

AC

BC

AB AC =

，即AC 2=AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与

AB 的比叫做黄金比．其中AB AC 2

1

5-=

≈0.618AB ． 4． 平行线分线段成比例定理

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：

l 1∥l 2∥l 3．则

，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF

DF

=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5． 相似三角形的判定

①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ③三边对应成比例，两三角形相似． 6． 相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等,对应边成比例；

②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；

③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 7． 六种相似基本模型：

C

A

B

D C

A

B

D

E E D B

A

C

DE ∥BC

∠B ∠AED

∠B ∠ACD

A

D

B

C

D

O

B

A

C

O D

C

B

A

X 型

母子型

AC ∥BD

∠B ∠C

AD 是Rt △ABC 斜边上的高

8． 射影定理

由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________．

9． 中位线

1) 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段． 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的

长是对应中线长的

3

1

． 2) 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段．

梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半． 10. 位似

①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这

样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比． ②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．

A

D B C